METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ MODYFIKACJE

(1)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2017 nr 62, ISSN 1896-771X

METODA

SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ MODYFIKACJE

Iwona Adamiec-Wójcik

^1a

, Leonard Grinke

^1b

1Katedra Modelowania Komputerowego, Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej

ai.adamiec@ath.bielsko.pl, ^blgrinke@ath.bielsko.pl

Streszczenie

W artykule przedstawiono trzy sformułowania metody sztywnych elementów skończonych: metodę klasyczną, pierwszą modyfikację, w której uwzględnia się podatności giętną i skrętną z zapewnieniem ciągłości przemieszczeń oraz modyfikację drugą, w której stosuje się współrzędne absolutne, uwzględnia podatność wzdłużną, a ciągłość przemieszczeń zapewniona jest poprzez równania więzów. Wyniki obliczeń na podstawie modeli przedstawionych w artykule zostały porównane z wynikami otrzymanymi metodą elementów skończonych, prezentowanymi przez innych autorów. Wykazano ponadto, że metody mogą być stosowane do analizy dynamicznej drgań układów nieliniowych o dużych ruchach unoszenia i przedstawiono wnioski dotyczące zakresu stosowalności metod

Słowa kluczowe: metoda sztywnych elementów skończonych, dynamika, podatność, odkształcenia wzdłużne

RIGID FINITE ELEMENT METHOD AND ITS MODIFICATIONS

Summary

The paper presents three formulations of the Rigid Finite Element Method: classical approach and two modifications. The first modification takes into account bending and torsional flexibilities assuring the continuity of displacements. The second modification uses absolute coordinates and takes into account longitudinal flexibility while continuity of displacements is ensured by means of constraint equations. The results of calculations based on models presented are compared with results obtained by means of finite element method presented by other authors. It is shown the methods can be used for dynamic analysis of nonlinear systems with large base motions and conclusions concerned with the range of applicability are presented.

Keywords: rigid finite element method, dynamics, flexibility, longitudinal deformations

1. WSTĘP

Istotną cechą członów podatnych jest możliwość wystą- pienia dużych odkształceń. Bardzo często elementy te są posadowione na bazach, które są ruchome. Analiza statyczna i dynamiczna takich konstrukcji wymaga użycia metod dynamiki układów złożonych podlegają- cych dużym odkształceniom. Metody dyskretyzacji układów podatnych o dużych ruchach unoszenia są rozwijane od wielu lat, a najbardziej znaną i popularną jest metoda elementów skończonych (MES) [13]. Różne sformułowania MES wykorzystywane w modelowaniu dynamiki układów podatnych przedstawiają Dwivedy i

Eberhard [6] oraz Shabana [11]. Szczególnie istotnym zagadnieniem w modelowaniu dynamiki układów podatnych jest analiza dużych ruchów unoszenia i dużych odkształceń[5,12]. Do modelowania tego typu układów można również zastosować metodę sztywnych elementów skończonych (MSES), która jest oryginalną, polską metodą sformułowaną przez prof. Jana Kruszewskiego z Politechniki Gdańskiej [7]. Przez wiele lat metoda ta z powodzeniem była wykorzystywana do modelowania podatności zarówno w układach płaskich jak i prze- strzennych. Nowe obszary zastosowań stymulowały

(2)

METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ MODYFIKACJE

rozwój metody widoczny w nowych sformułowaniach i modyfikacjach [8,9].

Metoda była i jest nadal rozwijana w różnych ośrodkach akademickich, na Politechnice Gdańskiej, Akademii Techniczno-Humanistycznej w Bielsku-Białej i Politech- nice Szczecińskiej. Każda z modyfikacji posiada wady i zalety oraz różną efektywność numeryczną, a przez to różne pola zastosowań.

2. MODYFIKACJE METODY SES

Dyskretyzacja układu ciągłego we wszystkich odmianach metody SES przebiega w taki sam sposób. Belkę o długości dzieli się na określoną liczbę np. równych elementów w tak zwanym podziale pierwotnym (rys.1).

Następnie w podziale wtórnym w środkach elementów z podziału pierwotnego umieszcza się elementy sprężysto- tłumiące ( ) skupiając w nich własności sprężyste dyskretyzowanego układu (rys.2). Elementy sztywne ( ) powstają pomiędzy elementami sprężystymi.

Rys. 1. Podział pierwotny

Rys. 2. Podział wtórny na i

Poszczególne sformułowania metody różnią się sposobem doboru układu współrzędnych, względem których opisuje się ruch elementów sztywnych, oraz doborem współ- rzędnych uogólnionych.

2.1 METODA KLASYCZNA

W klasycznym sformułowaniu metody sztywnych elementów skonczonych [7,8] pozycja -tego sztywnego elementu skończonego ( ) jest opisywana względem bezwładnościowego układu współrzędnych przez sześć współrzędnych uogólnionych (rys. 3), które są składowymi następującego wektora:

= (1) gdzie:

, , − współrzędne środka masy , , , – kąty obrotu ZYX Eulera tego elementu.

Rys. 3. Układy współrzędnych w metodzie klasycznej

Równania ruchu wyprowadzane są z równań Lagrange’a drugiego rodzaju. Operatory Lagrange’a dla -tego przyjmują postać:

= !− != # $ + & (2) gdzie:

# = # , , ,

' = ' , , ( , , , .

Zaletą takiego wyboru współrzędnych uogólnionych jest łatwość wyprowadzania równań ruchu na podstawie energii kinetycznej, wadą złożoność wyrażeń wyprowa- dzonych z energii odkształcenia sprężystego. W przypadku drgań liniowych klasyczne sformułowanie metody SES prowadzi do diagonalnej macierzy mas oraz pasmo- wych macierzy sztywności i tłumienia.Elementy sztywne mają w ogólnym przypadku 6 stopni swobody, a ciągłość przemieszczeń nie jest zachowana. Ruch jest ograniczony poprzez elementy sprężysto-tłumiące, które opisują związki pomiędzy elementami sztywnymi.

Wektor współrzędnych uogólnionych dla całej belki przyjmuje postać:

= *+ ,- ⋯ / 0 (3) a równania ruchu można zapisać następująco:

#¹ $ = 2 + ' − ³^!! (4) gdzie:

#¹ jest blokowo-diagonalną macierzą mas, 2 jest wektorem sił uogólnionych, ' jest zagregowanym wektorem prawych stron operatorów Lagrange’a, 4 jest energią odkształcenia sprężystego .

Konsekwencją takiego podejścia jest to, że w opisywa- nym ujęciu nie można wyeliminować (w przypadku przestrzennym) ścinania i odkształceń wzdłużnych, co powoduje konieczność użycia małego kroku całkowania.

(3)

Iwona Adamiec-Wójcik, Leonard Grinke

2.2 MODYFIKACJA 1

W tym podejściu [4,8] lokalny układ współrzędnych dla -tego umieszcza się w poprzedzającym go (rys.4), a ruch tego elementu opisuje się względem jego poprzednika poprzez trzy współrzędne uogólnione będące składowymi następującego wektora:

⁵⁶= 7 8 (5)

Rys. 4. Układy współrzędnych w modyfikacji 1

Wektor współrzędnych podatnej belki podzielonej na + 1 sztywnych elementów skończonych połączonych elementami sprężystymi przyjmuje postać:

:⁵⁶= ,56 656 ⋯ /56 (6) Równania ruchu wyprowadzone z równań Lagrange’a drugiego rodzaju można przedstawić w następującej postaci macierzowej:

#⁵⁶ $⁵⁶= ;⁵⁶ (7) gdzie:

#⁵⁶= #⁵⁶ , , jest pełną macierzą mas,

;⁵⁶= ;⁵⁶ , , ( , , , jest wektorem zawierającym wyrażenia pochodzące od sił uogólnionych oraz energii potecjalnej sił ciężkości oraz sprężystej.

Takie podejście zapewnia ciągłość przemieszczeń, a poprzez pominięcie ścinania oraz odkształceń wzdłużnych eliminuje się wysokie częstości drgań, co skutkuje możliwością zastosowania dużego kroku całkowania. Jednakże pełna macierz mas wydłuża czas całkowania równań ruchu.

2.3 MODYFIKACJA 2

Modyfikacja druga [1-3] w porównaniu do sformułowania klasycznego polega na eliminacji ścinania oraz wprowa- dzeniu w środku każdego dodatkowego elementu sprężystego ⊠ odzwierciedlającego podatność wzdłużną.

Lokalny układ współrzędnych, podobnie jak w modyfikacji 1, umieszcza się w elemencie sprężysto-tłumiącym

poprzedzającym skończony element sztywny (rys.5).

Ciągłość przemieszczeń zostaje zapewniona poprzez równania więzów.

Rys. 5. Układy współrzędnych w modyfikacji 2

Wektor współrzędnych uogólnionych definiowany jest następująco:

5== ∆ (8) Istotna różnica tego podejścia w stosunku do poprzed- nich sformułowań polega na konieczności obliczania energii kinetycznej elementu sztywnego jako sumy energii kinetycznych dwóch części tego elementu:

= ⁶ + ⁼ (9) gdzie

6 = ⁶ , , , , , ,

= = ⁼ , , , , , , ∆ .

Operatory Lagrange’a -tego przyjmują postać:

= #⁵⁼ $⁵⁼+'⁵⁼ (10) gdzie:

#⁵⁼= #⁵⁼ ⁵⁼ jest macierzą 7x7,

'⁵⁼= '⁵⁼+ ⁵⁼, ⁵⁼- jest wektorem o 7 elementach.

Równania więzów zapewniające ciągłość przemieszczeń przyjmują postać:

?_@^A6 5=A6 = ?_@ (11) gdzie ?_@ = .

Uwzględniając reakcje w połączeniach (rys.6), równania ruchu -tego można zapisać następująco:

#⁵⁼ $⁵⁼−BCD −B D_E6= 2 (12) gdzie 2 = 2 + , ⁵⁼_A6, ⁵⁼, ⁵⁼_E6, ⁵⁼_A6, ⁵⁼, ⁵⁼_E6- zawiera również siły uogólnione pochodzące od momentów przenoszonych przez ⊗ , BC jest macierzą 7x3 o stałych elementach, B = B , ∆ , , jest macierzą 7x3.

(4)

Rys.6. Reakcje w połączeniach między kolejnymi Ostatecznie równania ruchu można zapisać

#⁵⁼ $⁵⁼− BD = ;⁵⁼

B $ = G gdzie #⁵⁼= H IJ #,5=, … , #/5= , ;⁵⁼ jest wektorem sił uogólnionych, D jest wektorem reakcji,

prawych stron równań więzów.

Macierz B jest macierzą współczynników reakcji wi i przyjmuje postać:

B = LM MM MM

NBC B, O ⋯ O ⋯

O BC B6

⋮ ⋮ ⋮

O O ⋯ BC B ⋯

⋮ ⋮

O O O ⋯ ⋯

Zaletą tej modyfikacji jest łatwość zmiany liczby stopni swobody w zależności od rodzaju analizowanych odkształceń. W przypadku, gdy nie ma konieczności rozważania odkształceń wzdłużnych bądź skrętnych liczba stopni swobody może zostać zmniejszona do pięciu.

3. SYMULACJE NUMERYCZNE

W literaturze nowe metody analizy dynamicznej ukł dów nieliniowych prezentowane są dla tzw. benchma ków, wśród których występuje wirująca

opadająca belka. W celu analizy efektywności num rycznej oraz dokładności wyników otrzymanych z wyk rzystaniem przedstawionych sformułowań metody SES analizie poddano podatną swobodnie opadającą belkę (rys.7) o parametrach podanych w artykule [12]

którym Zheng i Shabana wprowadzają nowy odkszta calny element ANCF/CRBF w metodzie elementów skończonych. Element ten zapewnia ciągłość naprężeń oraz obrotów w węzłach i jest wykorzys

modelowania układów o dużych przemieszczeniach i odkształceniach.

SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ MODYFIKACJE

Reakcje w połączeniach między kolejnymi

można zapisać następująco:

(13.1) (13.2) jest wektorem sił , G jest wektorem jest macierzą współczynników reakcji więzów

⋯ O O

⋮ ⋮

⋯ O O

⋮ ⋮

⋯ O BCQRRRRRS (14)

Zaletą tej modyfikacji jest łatwość zmiany liczby stopni swobody w zależności od rodzaju analizowanych gdy nie ma konieczności rozważania odkształceń wzdłużnych bądź skrętnych, liczba stopni swobody może zostać zmniejszona do

SYMULACJE NUMERYCZNE

W literaturze nowe metody analizy dynamicznej ukła- dów nieliniowych prezentowane są dla tzw. benchmar- ków, wśród których występuje wirująca bądź swobodnie

analizy efektywności nume- rycznej oraz dokładności wyników otrzymanych z wyko- rzystaniem przedstawionych sformułowań metody SES analizie poddano podatną swobodnie opadającą belkę parametrach podanych w artykule [12], w dzają nowy odkształ- calny element ANCF/CRBF w metodzie elementów

zapewnia ciągłość naprężeń oraz obrotów w węzłach i jest wykorzystywany do dużych przemieszczeniach i

Rys. 7. Swobodnie opadająca podatna belka

Autorzy w pracy [12] analizowali belkę o następujących parametrach: długość = 1,2 m

przecznego = 0,0016 m⁼, moment bezwładności prz kroju X = 8,533 ∙ 10^A] m^{^}, gęstość

współczynnik Poissona _ = 0

= 0,70 ∙ 10^] Pa, stała grawitacyjna

Belka ulega dużym odkształceniom wzdłużnym wydłużenie w najniższym punkcie ruchu wynosi co stanowi 8% jej długości.

Na rys.8 przedstawiono porównanie przemieszczeń końca belki w kierunku pionowym otrzyman

odmian metody SES z wynikami przedstawionymi w pracy [12]. Prezentowane wyniki otrzymano

dyskretyzacji belki na = 6 elementów, podobnie jak w przypadku wyników przedstawionych w [12].

Rys. 8. Przemieszczenie pionowe końca

Analiza wykresów wskazuje na dużą zgodność wyników otrzymanych klasyczną metodą SES oraz modyfikacją 2, w której uwzględnia się podatność wzdłużną. Modyfik cja 1 nie uwzględnia podatności wzdłużnej i wyniki otrzymane tą metodą nie pokazują wydłużenia belki.

Ze względu na to, że modyfikacja pierwsza nie uwzglę nia podatności wzdłużnej, w analizie błędów

nano wyników otrzymanych tą metodą uzyskanymi przez autorów [12]

bezwzględną różnic pomiędzy współrzędną MES a wartościami współrzędnej

ną i modyfikacją 2 MSES. Różnicę względną odniesiono do długości belki. Uzyskano dużą zgodność wyników.

-1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2

-0,1 0,1 0,3 0,5

y [m]

t[s]

padająca podatna belka

li belkę o następujących m, pole przekroju po- , moment bezwładności prze- gęstość d = 5540 kg/mⁱ,

0,3, moduł Younga stała grawitacyjna J 9,81^k

l^m. Belka ulega dużym odkształceniom wzdłużnym, jej

ydłużenie w najniższym punkcie ruchu wynosi 0,095 m,

przedstawiono porównanie przemieszczeń końca belki w kierunku pionowym otrzymanych dla trzech odmian metody SES z wynikami przedstawionymi w Prezentowane wyniki otrzymano, dokonując elementów, podobnie jak w przypadku wyników przedstawionych w [12].

Przemieszczenie pionowe końca belki

dużą zgodność wyników otrzymanych klasyczną metodą SES oraz modyfikacją 2, podatność wzdłużną. Modyfika- 1 nie uwzględnia podatności wzdłużnej i wyniki otrzymane tą metodą nie pokazują wydłużenia belki.

Ze względu na to, że modyfikacja pierwsza nie uwzględ- w analizie błędów nie porów- anych tą metodą z wynikami autorów [12]. Obliczono wartość bezwzględną różnic pomiędzy współrzędną w modelu ej uzyskanymi klasycz- ną i modyfikacją 2 MSES. Różnicę względną odniesiono

kano dużą zgodność wyników.

0,7 0,9 1,1

Shabana Klasyczny Modyfikacja 2

(5)

Iwona Adamiec

Cechy różnic pomiędzy podanymi wartośc stawiono w tabeli 1.

Tab. 1. Porównanie wyników MSES klasyczne

MSES modyfikacja 2

różnica bezwzględna różnica względna różnica bezwzględna

maksymalna różnica

0,05734 4,8% 0,08141

średnia 0,01863 1,6% 0,02396 mediana 0,01408 1,2% 0,01633 odchylenie

standardowe

0,01734 0,0237

Kolejne wykresy (rys. 9, 10,11) przedstawiają

belki w kilku chwilach czasowych odpowiadających kolejno 0,1; 0,5 oraz 0,9 sekundy ruchu.

pierwszej fazie ruchu (0,1 s) wyniki otrzymane sowaniem modyfikacji 1 pokrywają si otrzymanymi z zastosowaniem modyfikacji 2.

wanie tej metody do analizy drgań tej

właściwe ze względu na brak możliwości uwzględnienia dużych odkształceń wzdłużnych. Modyfikacja

być stosowana do analizy układów o dominującej poda ności giętnej.

Rys. 9. Odkształcenie belki w 0,1 sekundy ruchu

Iwona Adamiec-Wójcik, Leonard Grinke Cechy różnic pomiędzy podanymi wartościami przed-

MSES modyfikacja 2

różnica względna 0,08141 6,8%

0,02396 2,0%

0,01633 1,4%

) przedstawiają położenie belki w kilku chwilach czasowych odpowiadających ruchu. Jedynie w pierwszej fazie ruchu (0,1 s) wyniki otrzymane z zasto-

modyfikacji 1 pokrywają się z wynikami modyfikacji 2. Zastoso-

tej belki nie jest właściwe ze względu na brak możliwości uwzględnienia dużych odkształceń wzdłużnych. Modyfikacja 1 może być stosowana do analizy układów o dominującej podat-

ruchu

Rys. 11. Odkształcenie belki w 0,9 sekund

Dla klasycznej metody sztywnych elementów skończ nych i obydwu modyfikacji dokonano pomiaru czasu obliczeń dla różnej liczby .

Rys.12. Czasy obliczeń dla różnej liczby

Rys.12 pokazuje, że modyfikacje metody SES

pierwsza jak i druga, są bardziej efektywne numerycznie od metody klasycznej aż do 30 elementów dyskretyz wanej belki. Powyżej tej liczby czas ob

kacji 2 rośnie znacznie szybciej niż dla pozostałych sformułowań.

Powyższe analizy pokazują, że wszystkie sformułowania metody SES mogą być z powodzeniem stosowane w analizach układów o dużych ruchach unoszenia.

odpowiedniego sformułowania zależy od rodzaju rozp trywanych odkształceń. Wyniki anali

bodnie opadającego pręta stalowe parametrach: długość 1,2 m, kołowy przeczny o promieniu n 0,005 7850 kg/mⁱ, moduł Younga

stawiono na rys.13. Analizowano przemieszczenia w kierunku pionowym końca belki w czasie

mując, że liczba , na które dzielono belkę w podziale pierwotnym, wynosiła 20 .

sekundy ruchu

Dla klasycznej metody sztywnych elementów skończo- nych i obydwu modyfikacji dokonano pomiaru czasu

liczby

modyfikacje metody SES, zarówno są bardziej efektywne numerycznie od metody klasycznej aż do 30 elementów dyskretyzo- wanej belki. Powyżej tej liczby czas obliczeń dla modyfi- znacznie szybciej niż dla pozostałych

e wszystkie sformułowania metody SES mogą być z powodzeniem stosowane w analizach układów o dużych ruchach unoszenia. Wybór sformułowania zależy od rodzaju rozpa-

Wyniki analizy dynamiki swo- stalowego o następujących

, kołowy przekrój po- 005 m, gęstość d

2,07 ∙ 10⁶⁶ Pa przed- ys.13. Analizowano przemieszczenia w kierunku pionowym końca belki w czasie 5 s przyj-

, na które dzielono belkę w podziale

(6)

Rys.13. Drgania końca pręta stalowego

Jak widać, wyniki otrzymane każdą z metod

nie różnią. Dobór metody dyskretyzacji ma znaczenie w zależności od rodzaju rozpatrywanych odkształceń.

Ponieważ odkształcenia wzdłużne nie są uwzględniane modyfikacji 1 MSES, która powinna być raczej wyko stywana do modelowania układów o dominującej poda ności giętej, następny przykład dotyczy belki o pomija nej wartości współczynnika sztywności giętnej. W takim przypadku belka może być utożsamiana z kablem, liną bądź łańcuchem.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie analizie podd no swobodnie opadającą belkę (rys.7)

długości 1,2 m, o przekroju kołowym o promieniu n 0,005 m. W tym modelu ze względów numerycznych współczynnik sztywności giętnej różny od zera, ale o bardzo małej wartości p_q 1 [Nm/rad]

poprzednio belkę podzielono na

otrzymane przy zastosowaniu różnych sfor metody przedstawiono na rys.14.

Rys.14. Drgania belki o pomijalnym współczynniku podatności giętnej

Zaprezentowane nowe sformułowania metody sztywnych elementów skończonych pozwalają na uwzględnienie różnego rodzaju odkształceń. Następny wykres pokazuje wpływ sztywności giętnej na przemieszczenia belki poprzez porównanie przemieszczenia współrzędnej

każdą z metod prawie się Dobór metody dyskretyzacji ma znaczenie w zależności od rodzaju rozpatrywanych odkształceń.

Ponieważ odkształcenia wzdłużne nie są uwzględniane w która powinna być raczej wykorzystywana do modelowania układów o dominującej podat- następny przykład dotyczy belki o pomijalnej wartości współczynnika sztywności giętnej. W takim przypadku belka może być utożsamiana z kablem, liną

przykładzie analizie podda- (rys.7) o takiej samej , o przekroju kołowym o promieniu względów numerycznych różny od zera, ale o [Nm/rad]. Podobnie jak 20 . Wyniki różnych sformułowań

Drgania belki o pomijalnym współczynniku podatności

sformułowania metody sztywnych elementów skończonych pozwalają na uwzględnienie Następny wykres pokazuje wpływ sztywności giętnej na przemieszczenia belki poprzez porównanie przemieszczenia współrzędnej y

końca belki otrzymanego dla współczynnika sztywności odpowiadającego stali oraz o pomijalnej wartości.

Rys.15. Przemieszczenia końca belki o różnych współczynnikach sztywności wyznaczone metodą klasyczn

Pominięcie sztywności giętnej może prowadzić do zróżnicowanych wyników.

4. PODSUMOWANIE

Metoda sztywnych elementów skończonych zarówno w postaci klasycznej jak i zmodyfikowanej może być z powodzeniem stosowana do analizy dynamicznej nieliniowych układów podatnych. Wyniki uzyskane tymi metodami wykazują dobrą zbieżność z

skanymi metodą podatnych elementów skończonych.

Modyfikacja 2, w której wprowadzon

ment sprężysty o podatności wzdłużnej umożliwia analizę obliczeniową dużych wydłużeń podobnie jak w pracy [12]. Cechy poszczególnych sformułowań pr stawia tabela 2.

Tab. 2. Cechy różnych sformułowań m tów skończonych

MSES klasyczna

MSES modyfikacja 1 Rodzaj

współrzędnych absolutne złączowe Liczba

stopni swobody

płaski: 3 przestrzenny:

6

płaski: 1 przestrzenny:

Ciągłość

przemieszczeń brak Macierz mas diagonalna

Zaletą wszystkich sformułowań metody sztywnych elementów skończonych jest stosowanie metod

wanych do analizy układów wieloczłonowych do lowania układów podatnych, a modele

nych można otrzymać w prosty sposób

współrzędnych uogólnionych bez konieczności wyprow dzania nowych równań ruchu.

sztywnych elementów skończonych może być wykorz SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ MODYFIKACJE

o dla współczynnika sztywności odpowiadającego stali oraz o pomijalnej wartości.

Przemieszczenia końca belki o różnych współczynnikach sztywności wyznaczone metodą klasyczną.

ominięcie sztywności giętnej może prowadzić do bardzo

PODSUMOWANIE

elementów skończonych zarówno ak i zmodyfikowanej może być powodzeniem stosowana do analizy dynamicznej nieliniowych układów podatnych. Wyniki uzyskane tymi metodami wykazują dobrą zbieżność z wynikami uzy-

datnych elementów skończonych.

2, w której wprowadzono dodatkowy ele- podatności wzdłużnej umożliwia analizę obliczeniową dużych wydłużeń podobnie jak w Cechy poszczególnych sformułowań przed-

metody sztywnych elemen-

MSES modyfikacja 1

MSES modyfikacja 2

złączowe absolutne płaski: 1

przestrzenny:

3

płaski: 3-4 przestrzenny:

5-7 jest równania

więzów pełna diagonalna

Zaletą wszystkich sformułowań metody sztywnych elementów skończonych jest stosowanie metod opraco-

układów wieloczłonowych do mode- a modele układów sztyw- można otrzymać w prosty sposób, zmieniając liczbę współrzędnych uogólnionych bez konieczności wyprowadzania nowych równań ruchu. Klasyczna metoda sztywnych elementów skończonych może być wykorzy-

(7)

Iwona Adamiec

stywana do obliczeń statycznych oraz własnych.

W tym podejściu uwzględnia się odkształcenia wzdłużne, ścinanie, zginanie oraz skręcanie. W przypadku domin jącej podatności giętnej należy wykorzystać modyfik cję 1, a w przypadku istotnej podatności wzdłużnej

Literatura

1. Adamiec-Wójcik I., Brzozowska L.:

“Dynamical Systems Theory”, Łódź: Press of Łódź 2. Adamiec-Wójcik I., Brzozowska L. and Wojciech S.:

dynamics of lines and ropes. “ The Archive of Mechanical Engineering 3. Adamiec-Wójcik I., Wittbrodt E. and Wojciech S.:

vibrations of ropes. “Int. J. of Applied Mechanics and Engineering 4. Adamiec-Wójcik I. and Wojciech S.:

manipulator. “Mech. Mach. Theory”

5. Boer S.E., Aarts R.G.K.M., Meijard J.P., Brouwer D.M. and Jonker J.B.:

for use in flexible multibody systems

6. Dwivedy S.K. and Eberhard P.: Dynamic analysis of flexible manipulators, a literature review Machine Theory” 2006, Vol.41, p.749

7. Kruszewski J. Gawroński W., Wittbrodt E., Najbar F. and Grabowski S.:

skończonych. Warszawa: Arkady, 1975

8. Wittbrodt E., Adamiec-Wójcik I. and Wojciech S.:

method. Berlin: Springer, 2006.

9. Wittbrodt E., Szczotka M., Maczyński A. and Wojciech S.:

of offshore structures. Berlin: Springer

10. Shabana A.A.: Dynamics of multibody systems

11. Simo J.C. and L.Vu-Quoc: On the dynamics of flexible beams under large overall motions Parts I and II, “ASME Journal of Applied Mechanics

12. Zheng Y., A.A Shabana : A two- beam element-Nonlinear Dyn, 2017 87:1031

13. Zienkiewicz O.C., Taylor, R.L.: The finite element method Heinemann, 2000.

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

Iwona Adamiec-Wójcik, Leonard Grinke a do obliczeń statycznych oraz częstości drgań

W tym podejściu uwzględnia się odkształcenia wzdłużne, W przypadku dominu- należy wykorzystać modyfika- podatności wzdłużnej

modyfikację 2. W drugiej modyfikacji ze względu na wprowadzenie równań więzów i pr

postaci przyśpieszeniowej może pojawić zastosowania metod stabilizacyjnych, co wydłużenie czasu obliczeń.

Wójcik I., Brzozowska L.: Homogenous transformations in dynamics of off-shore slender structures , Łódź: Press of Łódź University of Technology, 2013, p. 307-

Wójcik I., Brzozowska L. and Wojciech S.: Modification of the rigid finite element method in modeling The Archive of Mechanical Engineering” 2013, Vol. LX, No.3, p.409

Wójcik I., Wittbrodt E. and Wojciech S.: Rigid finite element in modelling of bending and longitudinal Int. J. of Applied Mechanics and Engineering” 2012, Vol.17, No.3, p.665

Wójcik I. and Wojciech S.: Application of the rigid finite element method in dynamic analysis of plane

” 1993, Vol.28, No3, p.327-334.

Boer S.E., Aarts R.G.K.M., Meijard J.P., Brouwer D.M. and Jonker J.B.: A nonlinear two flexible multibody systems. “Multibody Syst. Dyn.” 2014, Vol.31, No.4, p.405-431.

Dynamic analysis of flexible manipulators, a literature review ol.41, p.749-777.

i W., Wittbrodt E., Najbar F. and Grabowski S.: Metoda 1975.

Wójcik I. and Wojciech S.: Dynamics of flexible multibody systems

Wittbrodt E., Szczotka M., Maczyński A. and Wojciech S.: Rigid finite element method in analysis of dynamics Springer, 2013.

Dynamics of multibody systems. Cambridge University Press, Cambridge, Quoc: On the dynamics of flexible beams under large overall motions ASME Journal of Applied Mechanics” 1996, 53, p. 849-863

-dimensional shear deformable ANCF consistent rotatio 2017 87:1031-1043 DOI 10.1007/s11071-016-3095-4

Zienkiewicz O.C., Taylor, R.L.: The finite element method. Vol 2: Solid mechanics. 5^th ed. Oxford: Butter

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

W drugiej modyfikacji ze względu na wprowadzenie równań więzów i przedstawienia ich w może pojawić się konieczność stabilizacyjnych, co powoduje

shore slender structures.

-316.

Modification of the rigid finite element method in modeling LX, No.3, p.409-429.

Rigid finite element in modelling of bending and longitudinal ol.17, No.3, p.665-67.

Application of the rigid finite element method in dynamic analysis of plane

A nonlinear two-node superelement 431.

Dynamic analysis of flexible manipulators, a literature review. “Mechanism and

Metoda sztywnych elementów

of flexible multibody systems: rigid finite element

finite element method in analysis of dynamics

, 1998.

Quoc: On the dynamics of flexible beams under large overall motions – The plane case:

dimensional shear deformable ANCF consistent rotation-based formulation

ed. Oxford: Butterworth-