Relacje (porządki, relacje równoważności)

(1)

Relacje A. Mróz

1. Narysuj diagram relacji R ⊆ X × X, gdy (a) X = {a, b}, R = {(a, a), (b, b), (a, b)}; (b) X = {a, b, c}, R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a)};

(c) X = {a, b, c}, R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (b, c)}; (d) _{X = N,} x R y ⇔ x < y;

(e) _{X = N,} x R y ⇔ x ≤ y.

2. Zbadaj wªasno±ci relacji z zadania 1 (tj. czy s¡ zwrotne, przechodnie itp.)

3. Jakie wªasno±ci ma diagram relacji zwrotnej, przeciwzwrotnej, symetrycznej, antysymetrycznej, spójnej?

4. Podaj przykªad relacji, która:

(a) jest zwrotna, symetryczna i nie jest przechodnia;

(b) jest zwrotna, sªabo antysymetryczna i nie jest przechodnia; (c) jest symetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna;

(d) jest sªabo antysymetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna.

5. Zbadaj wªasno±ci relacji R ⊆ X × X (tj. czy jest zwrotna, przechodnia itp.), gdy: (a) _{X = N,} x R y ⇔ x| y; (b) _{X = N,} x R y ⇔ 2| (x − y); (c) _{X = R,} x R y ⇔ x + y = 1; (d) _{X = R,} _{x R y ⇔ x − y ∈ Z;} (e) _{X = R}2_, _{(x, y) R (x}0_{, y}0_{) ⇔ x = x}0_; (f) _{X = R}2_, _{(x, y) R (x}0_{, y}0_{) ⇔ x = y}0_; (g) X = 2N_, _{A R B ⇔ A ⊆ B;} (h) X = 2N_, _{A R B ⇔ A ∩ B 6= ∅;} (i) _{X = R,} x R y ⇔ xy > 0; (j) _{X = R,} x R y ⇔ x2_{= y}2_; (k) _{X = N}2, (x, y) R (s, t) ⇔ x + t = s + y; (l) _{X = M}2(R), A R B ⇔ det(A) = det(B).

6. Niech X b¦dzie zbiorem wszystkich prostych na pªaszczy¹nie. Zbadaj wªasno±ci relacji R ⊆ X × X, gdy

(a) R jest relacj¡ równolegªo±ci prostych; (b) R jest relacj¡ prostopadªo±ci prostych. 7. Sprawd¹, czy poni»sze relacje s¡ funkcjami.

(a) R = {(a, a), (a, b), (b, a)} ⊆ {a, b} × {a, b}; (b) R = {(a, a), (b, a), (c, b)} ⊆ {a, b, c} × {a, b}; (c) R = {(x, y) : xy = 1} ⊆ R × R; (d) R = {(x, y) : x2_{= y}2_{} ⊆ R × R;} (e) R = {(x, y) : x2_{= y}2_{} ⊆ R} +× R+; (f) R = {(x, y) : x2_{+ y}2 = 1} ⊆ R × R.

8. Uzasadnij, »e jedyn¡ zwrotn¡, symetryczn¡ i sªabo antysymetryczn¡ niepust¡ relacj¡ na zbiorze niepustym jest relacja równo±ci.

9. Wska» w±ród relacji z zada« 1 i 5 relacje cz¦±ciowego porz¡dku. Które z nich s¡ porz¡dkami liniowymi?

(2)

10. Rozwa»my zbiór {n ∈ N : 5 ≤ n ≤ 15} cz¦±ciowo uporz¡dkowany relacj¡ podzielno±ci. Narysuj diagram Hassego dla tego porz¡dku i wska» (o ile istniej¡) elementy najmniejsze, najwi¦ksze, mi-nimalne, maksymalne oraz ªa«cuchy. Zrób to samo dla zbioru {2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} (równie» z relacj¡ podzielno±ci).

11. Opisz elementy minimalne w zbiorze {n ∈ N : n ≥ 2} uporz¡dkowanym relacj¡ podzielno±ci. Czy istniej¡ w nim elementy maksymalne, najmniejsze, najwi¦ksze? Opisz elementy minimalne i ªa«cuchy w tym zbiorze.

12. Na zbiorze X = R2 _{rozwa»my relacj¦ deniowan¡ nast¦puj¡co:}

∀(x,y),(x0_,y0_)∈R2 (x, y) (x0, y0) ⇔ x ≤ x0 ∧ y ≤ y0.

Wyka», »e jest to relacja porz¡dku. Czy jest to porz¡dek liniowy?

13. Wska» przykªad (o ile istnieje!) zbioru cz¦±ciowo uporz¡dkowanego, który:

(a) posiada czteroelementowy ªa«cuch, dwa elementy maksymalne i jeden najmniejszy; (b) posiada dwa elementy minimalne i jest relacj¡ spójn¡;

(c) posiada dokªadnie jeden element minimalny i »adnego elementu najmniejszego. 14. W±ród poni»szych liniowych porz¡dków wska» porz¡dki dobre, g¦ste, ci¡gªe.

(a) (N, ≤); (b) (Z, ≤); (c) (Q, ≤); (d) (R, ≤); (e) ({1 n : n ∈ N}, ≤); (f) ({−1 n : n ∈ N}, ≤).

15. W±ród relacji z zada« 5,6 i 7 wska» relacje równowa»no±ci i opisz ich zbiory ilorazowe. 16. Rozwa»my na zbiorze R relacj¦ ∼ deniowan¡ nast¦puj¡co

∀_x,y∈R x ∼ y ⇔ |x| = |y|.

(a) Wyka», »e jest to relacja równowa»no±ci i opisz zbiór ilorazowy R/∼. (b) Sprawd¹, czy poni»sze przyporz¡dkowania s¡ dobrze okre±lone:

• f : R/ ∼ → R, f ([x]) = x3_;

• f : R/ ∼ → R, f ([x]) = x2_;

• f : R/ ∼ → R/ ∼, f([x]) = [x3_]_;

• f : R/ ∼ → R/ ∼, f([x]) = [x − 2].

17. Rozwa»my na zbiorze N relacj¦ ∼ deniowan¡ nast¦puj¡co ∀_n,m∈N n ∼ m ⇔ 3| (n − m).

(a) Wyka», »e jest to relacja równowa»no±ci i opisz zbiór ilorazowy N/∼. (b) Sprawd¹, czy poni»sze przyporz¡dkowania s¡ dobrze okre±lone:

• f : N/ ∼ → N, f ([n]) = n mod 3; • f : N/ ∼ → N, f ([n]) = n; • f : N/ ∼ → N/ ∼, f([n]) = [n2_]_;