Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt pn. „IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK”
realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
Kurs wyrównawczy — Analiza matematyczna Prowadzący: dr Dorota Gabor, dr Joanna Karłowska-Pik
8. Relacje równoważności
Ćw. 8.1 Niech X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Określamy relację R na X × X wzorem xRy ⇐⇒ 2 | x + y.
Sprawdź, czy podana relacja jest relacją równoważności. Narysuj jej diagram. Wy- znacz klasy abstrakcji.
Ćw. 8.2 Dla danego zbioru X oraz relacji R ⊂ X2 sprawdź, czy R jest relacją równoważ- ności. Jeśli tak, wyznacz dla niej klasy abstrakcji.
1. X = zbiór liczb całkowitych parzystych, xRy ⇐⇒ 3|x − y, 2. X = N, xRy ⇐⇒ 2|x + y,
3. X = {1, 2, . . . , 16}, xRy ⇐⇒ 4|x2− y2,
4. X = zbiór prostych na płaszczyźnie, lRm ⇐⇒ l k m, 5. X = zbiór prostych na płaszczyźnie, lRm ⇐⇒ l ⊥ m,
6. X = zbiór mieszkańców USA, XRY ⇐⇒ X i Y mieszkają w tym samym stanie,
7. X = zbiór mieszkańców USA, XRY ⇐⇒ X i Y mieszkają w tym samym stanie lub w stanach sąsiednich,
8. X = zbiór ludzi na świecie, XRY ⇐⇒ X i Y mają wspólnego rodzica, 9. X = zbiór ludzi na świecie, XRY ⇐⇒ X i Y mają tę samą matkę, 10. X = Z, mRn ⇐⇒ m2 = n2,
11. X = R2, (x, y)R(z, t) ⇐⇒ x2+ y2 = z2+ t2, 12. X = Q[t], xRy ⇐⇒ ∃a,b∈Q x− y = at + b,
13. X = zbiór macierzy 2×2 o wyrazach rzeczywistych, ARB ⇐⇒ det A = det B, 14. X = R[t] \ {0}, xRy ⇐⇒ xy jest wielomianem stopnia parzystego.
Ćw. 8.3 Dany jest podział zbioru R na odcinki [n, n + 1), n ∈ Z. Wskaż relację równo- ważności, której klasami abstrakcji są dokładnie elementy tego podziału.
Ćw. 8.4 Płaszczyznę R2 dzielimy na zbiory będące pierścieniami o środku w (0, 0) i gru- bości 1. Znajdź relację równoważności, której klasami abstrakcji są te zbiory.
ŹRODŁO:
• W. Marek, J. Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach,
• K. A. Ross, Ch. R. B. Wright: Matematyka dyskretna.
1
