Ruch okresowy

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

 Przypomnienie:

Druga zasada dynamiki Newtona:

m

F

dt

x

d

a





 Ruch harmoniczny to taki, dla którego:

_F





_kx

 Ogólne równanie różniczkowe drgań harmonicznych:

 

 

 

ma t



mx t

 

kx t

 

 

0

ma t



kx t



Siła jest proporcjonalna do wychylenia (z położenia równowagi) i przeciwnie do niego skierowana (prawo Hooke’a). F - siła harmoniczna

 Siły oporu (tarcia) są zwykle proporcjonalne do prędkości ciała*:

dt

x

d

b

v

b

F















 Oscylator mechaniczny w obecności sił tarcia (tłumienie):

kx

bv

ma







 Obwód RLC (opór R odpowiada za tłumienie):







0

C

q

RI

dt

dI

L

* A przedtem było (patrz wykład 3.), że do kwadratu prędkości! Nieoduczeni ci wykładowcy, albo kłamią na wykładach…

 Ogólne równanie drgań tłumionych (straty energii na oporze ośrodka, proporcjonalne do pierwszej pochodnej zmiany położenia, czyli prędkości):

0

2



₀

2





x

x

x









Dla oscylatora mechanicznego:

m

b

2





m

k





 Ogólne rozwiązanie w postaci kombinacji liniowej rozwiązań szczególnych:

 

t

N

x

 

t

N

x

 

t

x



₁

₁



₂

₂

 

t

A







t



x



exp















Rodzaje rozwiązań: 1) dla oba pierwiastki są rzeczywiste i ujemne, więc rozwiązaniem jest aperiodyczne, wykładnicze malenie

x od A do zera;

2) dla występuje tzw. tłumienie krytyczne – jest to minimalna wartość tłumienia, przy której ruch jest aperiodyczny;

2 0 2













 

t

A







t



x



exp















Rodzaje rozwiązań:

3) dla mamy drgania gasnące – oscylacje o zanikającej amplitudzie: 2 0 2









t

 

i

t



A

x



exp





exp





 

t

A







t



x



exp

























 Ograniczając się do jednego rozwiązania (znak „plus” przy fazie) i pisząc rozwiązanie w postaci funkcji harmonicznej:

 

t



A

exp







t

 

sin



t







x

 

t

A



t



A



exp





m b 2 













m

k



0

 Drgania gasnące są drganiami nieokreślonymi – nigdy nie powtarzają się największe wartości wychylenia, prędkości, przyspieszenia. Dlatego tylko umownie można nazwać  częstością kątową – w tym sensie, że wskazuje ona, ile razy w ciągu  sekund drgający układ przechodzi przez położenie równowagi!

 

t



A

exp







t

 

sin



t







x

 Podobnie:

nazwiemy umownym okresem drgań gasnących.

2 2 0

2

2

















T

 Współczynnik tłumienia  mówi nam o stosunku kolejnych amplitud drgań gasnących:

 

T

A

A



exp



 Logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń, następujących po sobie w odstępie czasu T (umownego okresu) nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia :

T

A

A









ln

 Oznaczmy przez  odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań zmniejszy się e-krotnie. Wtedy:

1









1



czyli: współczynnik tłumienia  jest wielkością fizyczną równą odwrotności odstępu czasu , w ciągu którego amplituda zmniejsza się e-razy. Czas  nazywamy czasem relaksacji.

 Podobnie: gdy przez N oznaczymy liczbę drgań, po wykonaniu których amplituda zmaleje e-razy, okaże się, że:

N

1





czyli: dekrement logarytmiczny tłumienia  jest wielkością równą odwrotności liczby drgań, po upływie których amplituda zmniejszy się e-razy.

Pranie w pralce automatycznej lub ręczne w podanej temperaturze.

Pranie delikatne w podanej temperaturze.

 Suszenie _{Suszenie w suszarce automatycznej.}

Suszenie w suszarce automatycznej w niskiej temperaturze.

Suszenie w suszarce automatycznej w normalnej temperaturze.

 Pranie chemiczne

Czyścić we wszystkich rozpuszczalnikach organicznych.

Czyścić tylko w benzynie.

 Oprócz siły sprężystej i siły oporu, działamy na układ dodatkową siłą – okresową siłą wymuszającą F:

 

t

F

 

t

F



cos



 Ogólne równanie ruchu oscylatora mechanicznego przybiera wtedy postać:

 

t

F

kx

dt

dx

b

dt

x

d

m

cos









 Spodziewamy się rozwiązania powyższego równania różniczkowego w postaci drgania harmonicznego z częstością , równą częstości siły wymuszającej F, ale amplituda tych drgań powinna „zawierać informacje” o masie m, tłumieniu  i wielkości siły wymuszającej F₀ a także częstości własnej układu ₀:

 

t

F

kx

dt

dx

b

dt

x

d

m







cos



 

t



A

sin





t







x

m



_F



?



?



 Można pokazać, że:





4















m

F

A

Amplituda A ustalonych drgań wymuszonych jest wprost proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej F₀ i odwrotnie proporcjonalna do masy m układu oraz zmniejsza się wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia .

 „Faza początkowa” ma teraz sens różnicy faz między amplitudą drgań wymuszonych A i amplitudą siły wymuszającej F₀ – ściślej: ponieważ użyliśmy funkcji „cosinus” do opisu siły wymuszającej i funkcji „sinus” do opisu drgania x(t), to szukaną różnicą faz będzie:

2 2 0

2

tan















2











 Analizując wyrażenie na amplitudę drgań wymuszonych:





4















m

F

A

możemy zauważyć, że w przypadku braku tłumienia (=0), gdy częstość  siły wymuszającej F równa jest częstości drgań własnych układu ₀, amplituda ta rośnie do nieskończoności!

 Natomiast w obecności tłumienia 0, maksimum wyrażenia na amplitudę A uzyskamy dla:

2 2 0

2











Zjawisko to nazywamy

rezonansem.

Ale co to jest rezonans? Niedobry wykładowca nie podał definicji, żeby ją na ściądze zapisać…

 Przykład obwodu elektrycznego: siła elektromotoryczna, wymuszająca drgania, jest równa:

 

 

t

i

t

E





exp



Wtedy: równanie opisujące ruch ładunku elektrycznego w obwodzie (= prąd elektryczny!):

 

i

t

C

q

dt

dq

R

dt

q

d

L

exp











Rozwiązanie ogólne w postaci:

















q

i

t

q

exp

























L

R

L

q







/















R

L

tg