4.5. ZADANIA OPTYMALIZACYJNE
Przykład 4.5.1. Jakie wymiary musi mieć prostokąt, którego obwód jest równy 20 , a jego
pole jest największe?
Rozwiązanie
Komentarz
x
y
Dane :
Ob
=
20
P - największe
Szukane: x , y
Wzory :
Ob
=
2
x
+
2
y
P
=
x
⋅
y
Przeprowadzamy analizą zadania: wypisujemy dane i szukane. Zapisujemy wzór na obwód i pole prostokąta.
x
y
y
x
−
=
=
+
10
20
2
2
Wykorzystują obwód ustalamy związek między bokami prostokąta.(
x
)
x
x
x
y
x
P
=
⋅
=
⋅
10
−
=
−
2+
10
załoŜenia:
x
>
0
;
y
>
0
10
0
10
<
>
−
x
x
D
:
x
∈
(
0
.
10
)
WyraŜamy pole prostokąta jako funkcję długości boku x .
Określamy dziedzinę tej funkcji.
0
;
10
;
1
=
=
−
=
b
c
a
( )
D
x
=
∈
−
⋅
−
=
5
1
2
10
Funkcja P(x) jest funkcją kwadratową , której wykresem jest parabola o ramionach
skierowanych do dołu . Zatem funkcja ta osiąga wartość największą w wierzchołku.
Aby wyznaczyć x , dla którego pole P(x) jest największe korzystamy ze wzoru na pierwszą współrzędna wierzchołka
a
b
x
2
−
=
5
5
10
10
−
=
−
=
=
x
y
Odp. Prostokąt, którego pole jest
największe, a obwód wynosi 20, jest
kwadratem o boku 5.
Obliczamy długość boku y. Zapisujemy odpowiedź.
Zadania optymalizacyjne to zadania na wyznaczanie przy uŜyciu metod matematycznych
optymalnego ze względu na wybrane kryteria rozwiązania danego problemu.
Przykład 4.5.2. RozłóŜ liczbę 12 na dwa składniki, tak aby suma kwadratu jednego ze
składników i połowy kwadratu drugiego składnika miała najmniejszą wartość.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane :
x
+
y
=
12
2 2
2
1
y
x
s
=
+
- najmniejsze
Szukane: x , y
Przeprowadzamy analizą zadania: wypisujemy dane i szukane.
x
y
=
12
−
Ustalamy związek między szukanymi składnikami(
−
)
=
+
=
+
=
2 2 2 212
2
1
2
1
x
x
y
x
s
(
)
12
72
2
3
24
144
2
1
2 2 2+
−
+
=
−
+
=
x
x
x
x
x
załoŜenia:
x
∈
R
;
y
∈
R
D
:
x
∈
R
WyraŜamy sunę
s
jako funkcję składnika x . Określamy dziedzinę tej funkcji.72
;
12
;
2
3
=
−
=
=
b
c
a
( )
D
x
=
∈
⋅
−
⋅
−
=
4
2
3
2
12
1
Funkcja s(x) jest funkcją kwadratową , której wykresem jest parabola o ramionach
skierowanych do góry . Zatem funkcja ta osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku.
Aby wyznaczyć x , dla którego suma s(x) jest najmniejsza korzystamy ze wzoru na pierwszą współrzędna wierzchołka
a
b
x
2
−
=
8
4
12
12
−
=
−
=
=
x
y
Odp: Liczbę 12 naleŜy rozłoŜyć na
składniki 4 i 8.
Obliczamy składnik y. Zapisujemy odpowiedź.
ĆWICZENIA
Ć
wiczenie 4.5.1. ( 2pkt) Liczbę 6 przedstaw jako róŜnicę dwóch liczb rzeczywistych, tak
aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 WyraŜenie sumy kwadratów szukanych liczb jako funkcjijednej zmiennej.
1
2 Podanie szukanych liczb.
