Wykład 9 Konstrukcja ciała liczb rzeczywistych

(1)

Wykład 9

Konstrukcja ciała liczb rzeczywistych

Andrzej Sładek sladek@ux2.math.us.edu.pl

Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach

(2)

Definicja

Niech X będzie zbiorem nieskończonych ciągów liczb wymiernych, które są ciągami Cauchy’ego, tzn.

(an)_n∈N∈ X ⇐⇒ ^

n∈N

an∈ Q oraz ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n,m>n0

|an− am| < ε.

Twierdzenie

Niech (an)_n∈N, (bn)_n∈N∈ X . Wtedy

1 ciąg (an)_n∈Njest ograniczony,

2 (an+ bn)_n∈N, (an− bn)_n∈N, (anbn)_n∈N∈ X,

3 W

ξ∈Q⁺

V

n∈N

|an| > ξ =⇒ (a⁻¹n )_n∈N∈ X,

Dowód. ad 1. Niech n0∈ N będzie takie, że |aⁿ− am| < 1 dla n, m > n0

oraz niech M = max{|a1|, ..., |an0+1|}. Wtedy

n ¬ n0+ 1 =⇒ |an| ¬ M < M + 1,

n > n0+ 1 =⇒ |an| = |an0+1+ (an− an0+1| ¬ |an0+1| + |an− an0+1| ¬ M + 1. Zatem ciąg (an)_n∈Njest ograniczony.

Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach)Wykład 9 Konstrukcja ciała liczb rzeczywistych 2 / 11

(3)

Definicja

(an)_n∈N∈ X ⇐⇒ ^

n∈N

an∈ Q oraz ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n,m>n0

|an− am| < ε.

Twierdzenie

3 W

ξ∈Q⁺

V

n∈N

|an| > ξ =⇒ (a⁻¹n )_n∈N∈ X,

n ¬ n0+ 1 =⇒ |an| ¬ M < M + 1,

(4)

Definicja

(an)_n∈N∈ X ⇐⇒ ^

n∈N

an∈ Q oraz ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n,m>n0

|an− am| < ε.

Twierdzenie

3 W

ξ∈Q⁺

V

n∈N

|an| > ξ =⇒ (a⁻¹n )_n∈N∈ X,

n ¬ n0+ 1 =⇒ |an| ¬ M < M + 1,

(5)

Definicja

(an)_n∈N∈ X ⇐⇒ ^

n∈N

an∈ Q oraz ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n,m>n0

|an− am| < ε.

Twierdzenie

3 W

ξ∈Q⁺

V

n∈N

|an| > ξ =⇒ (a⁻¹n )_n∈N∈ X,

n ¬ n0+ 1 =⇒ |an| ¬ M < M + 1,

(6)

Definicja

(an)_n∈N∈ X ⇐⇒ ^

n∈N

an∈ Q oraz ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n,m>n0

|an− am| < ε.

Twierdzenie

3 W

ξ∈Q⁺

V

n∈N

|an| > ξ =⇒ (a⁻¹n )_n∈N∈ X,

n ¬ n0+ 1 =⇒ |an| ¬ M < M + 1,

(7)

Definicja

(an)_n∈N∈ X ⇐⇒ ^

n∈N

an∈ Q oraz ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n,m>n0

|an− am| < ε.

Twierdzenie

3 W

ξ∈Q⁺

V

n∈N

|an| > ξ =⇒ (a⁻¹n )_n∈N∈ X,

n ¬ n0+ 1 =⇒ |an| ¬ M < M + 1,

(8)

Definicja

(an)_n∈N∈ X ⇐⇒ ^

n∈N

an∈ Q oraz ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n,m>n0

|an− am| < ε.

Twierdzenie

3 W

ξ∈Q⁺

V

n∈N

|an| > ξ =⇒ (a⁻¹n )_n∈N∈ X,

oraz niech M = max{|a1|, ..., |an₀+1|}. Wtedy

n ¬ n0+ 1 =⇒ |an| ¬ M < M + 1,

(9)

Definicja

(an)_n∈N∈ X ⇐⇒ ^

n∈N

an∈ Q oraz ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n,m>n0

|an− am| < ε.

Twierdzenie

3 W

ξ∈Q⁺

V

n∈N

|an| > ξ =⇒ (a⁻¹n )_n∈N∈ X,

n ¬ n0+ 1 =⇒ |an| ¬ M < M + 1,

(10)

Definicja

(an)_n∈N∈ X ⇐⇒ ^

n∈N

an∈ Q oraz ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n,m>n0

|an− am| < ε.

Twierdzenie

3 W

ξ∈Q⁺

V

n∈N

|an| > ξ =⇒ (a⁻¹n )_n∈N∈ X,

n ¬ n0+ 1 =⇒ |an| ¬ M < M + 1,

n > n0+ 1 =⇒ |an| = |an0+1+ (an− an0+1| ¬ |an0+1| + |an− an0+1| ¬ M + 1.

Zatem ciąg (an)_n∈Njest ograniczony.

(11)

Definicja

(an)_n∈N∈ X ⇐⇒ ^

n∈N

an∈ Q oraz ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n,m>n0

|an− am| < ε.

Twierdzenie

3 W

ξ∈Q⁺

V

n∈N

|an| > ξ =⇒ (a⁻¹n )_n∈N∈ X,

n ¬ n0+ 1 =⇒ |an| ¬ M < M + 1,

n > n0+ 1 =⇒ |an| = |an0+1+ (an− an0+1| ¬ |an0+1| + |an− an0+1| ¬ M + 1.

(12)

ad 2. Niech ε ∈ Q⁺ oraz n0∈ N takie, że

^

n,n>n0

|an− am| < ε

2, |bn− bm| < ε 2.

Wtedy dla n, m > n0 mamy

|(an± bn) − (am± bm)| ¬ |an− am| + |bn− bm| < ε 2+ε

2 = ε. Sprawdziliśy warunek Cauchy’ego dla ciągów (an+ bn)_n∈Noraz (an− bn)_n∈N.

Niech M ∈ Q oraz n0∈ N takie, że

^

n∈N

|an| < M, |bn| < M oraz ^

n,n>n₀

|an− am| < ε

2M, |bn− bm| < ε 2M.

|(anbn) − (ambm)| =

|an(bn− bm) + bm(an− am)| ¬ |an||bn− bm| + |bm||an− am| < M_2M^ε + M_2M^ε = ε.

Sprawdziliśy warunek Cauchy’ego dla ciągu (anbn)_n∈N.

(13)

^

n,n>n0

|an− am| < ε

2, |bn− bm| < ε 2.

2 = ε.

Sprawdziliśy warunek Cauchy’ego dla ciągów (an+ bn)_n∈Noraz (an− bn)_n∈N.

^

n∈N

n,n>n₀

|an− am| < ε

2M, |bn− bm| < ε 2M.

|(anbn) − (ambm)| =

(14)

^

n,n>n0

|an− am| < ε

2, |bn− bm| < ε 2.

2 = ε.

^

n∈N

n,n>n₀

|an− am| < ε

2M, |bn− bm| < ε 2M.

|(anbn) − (ambm)| =

(15)

^

n,n>n0

|an− am| < ε

2, |bn− bm| < ε 2.

2 = ε.

^

n∈N

|an| < M, |bn| < M

oraz ^

n,n>n₀

|an− am| < ε

2M, |bn− bm| < ε 2M.

|(anbn) − (ambm)| =

(16)

^

n,n>n0

|an− am| < ε

2, |bn− bm| < ε 2.

2 = ε.

^

n∈N

n,n>n₀

|an− am| < ε

2M, |bn− bm| < ε 2M.

|(anbn) − (ambm)| =

(17)

^

n,n>n0

|an− am| < ε

2, |bn− bm| < ε 2.

2 = ε.

^

n∈N

n,n>n₀

|an− am| < ε

2M, |bn− bm| < ε 2M.

|(anbn) − (ambm)| =

(18)

^

n,n>n0

|an− am| < ε

2, |bn− bm| < ε 2.

2 = ε.

^

n∈N

n,n>n₀

|an− am| < ε

2M, |bn− bm| < ε 2M.

|(anbn) − (ambm)| =

(19)

^

m,n>n₀

|an− am| < εξ².

|a⁻¹n − a⁻¹m | = |am− an|

|an||am| < εξ² 1 ξ² = ε. Zatem ciąg (a⁻¹n )_n∈Njest ciagiem Cauchy’ego. ¶

(20)

^

m,n>n₀

|a⁻¹n − a⁻¹m | = |am− an|

|an||am| < εξ² 1 ξ² = ε.

Zatem ciąg (a⁻¹n )_n∈Njest ciagiem Cauchy’ego. ¶

(21)

^

m,n>n₀

|a⁻¹n − a⁻¹m | = |am− an|

|an||am| < εξ² 1 ξ² = ε.

Zatem ciąg (a⁻¹n )_n∈Njest ciagiem Cauchy’ego. ¶

(22)

Definiujemy relację na zbiorze X następująco:

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n>n0

|an− bn| < ε,

tzn.

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ lim

n→∞(an− bn) = 0.

Uwaga.Jeżeli (an)_n∈N, (bn)_n∈N∈ X oraz istnieje n0∈ N takie, że aⁿ = bn dla n > n0, to (an)_n∈N∼ (bn)_n∈N∈ X .

Twierdzenie

Relacja zdefiniowana wyżej jest relacją równoważnościową. Dowód na tablicy.

Lemat

Jeśli (an)_n∈N∼ (an⁰)_n∈Noraz (bn)_n∈N∼ (b⁰n)_n∈N, to

(an+ bn)_n∈N∼ (a⁰n+ bn⁰)_n∈N, (anbn)_n∈N∼ (a⁰nb⁰_n)_n∈N. Dowód znowu na tablicy - okropne!

(23)

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n>n0

|an− bn| < ε,

tzn.

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ lim

n→∞(an− bn) = 0.

Twierdzenie

Lemat

(24)

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n>n0

|an− bn| < ε,

tzn.

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ lim

n→∞(an− bn) = 0.

Twierdzenie

Lemat

(25)

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n>n0

|an− bn| < ε,

tzn.

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ lim

n→∞(an− bn) = 0.

Twierdzenie

Relacja zdefiniowana wyżej jest relacją równoważnościową.

Dowód na tablicy. Lemat

(26)

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n>n0

|an− bn| < ε,

tzn.

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ lim

n→∞(an− bn) = 0.

Twierdzenie

Dowód na tablicy.

Lemat

(27)

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n>n0

|an− bn| < ε,

tzn.

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ lim

n→∞(an− bn) = 0.

Twierdzenie

Dowód na tablicy.

Lemat

(an+ bn)_n∈N∼ (a⁰n+ bn⁰)_n∈N, (anbn)_n∈N∼ (a⁰nb_n⁰)_n∈N.

Dowód znowu na tablicy - okropne!

(28)

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ ^

ε∈Q⁺

_

n0∈N

^

n>n0

|an− bn| < ε,

tzn.

(an)_n∈N∼ (bn)_n∈N ⇐⇒ lim

n→∞(an− bn) = 0.

Twierdzenie

Dowód na tablicy.

Lemat

(an+ bn)_n∈N∼ (a⁰n+ bn⁰)_n∈N, (anbn)_n∈N∼ (a⁰nb_n⁰)_n∈N. Dowód znowu na tablicy - okropne!

(29)

Niech R będzie zbiorem klas abstrakcji zbioru X względem relacji ∼ .

Elementy zbioru R oznaczać będziemy [aⁿ]_n∈Ni nazywać liczbami rzeczywistymi. W zbiorze R określamy działania

dodawania:

[an]_n∈N+ [bn]_n∈N= [an+ bn]_n∈N, mnożenia:

[an]_n∈N· [bn]_n∈N= [anbn]_n∈N.

Uwaga.Wcześniejszy lemat gwarantuje, że powyższe działania są poprawnie określone.

(30)

Elementy zbioru R oznaczać będziemy [aⁿ]_n∈Ni nazywać liczbami rzeczywistymi.

W zbiorze R określamy działania dodawania:

[an]_n∈N· [bn]_n∈N= [anbn]_n∈N.

(31)

[an]_n∈N· [bn]_n∈N= [anbn]_n∈N.

(32)

[an]_n∈N· [bn]_n∈N= [anbn]_n∈N.

(33)

Twierdzenie

Zbiór R z wcześniej określonymi działaniami dodawania i mnożenia jest ciałem.

Elementami neutralnymi dodawania i mnożenia są odpowiednio klasy abstrakcji ciągów stałych (0)_n∈Noraz (1)_n∈N.

Dowód - kreda i tablica.

Zatem R nazywać będziemy ciałem liczb rzeczywistych. Twierdzenie

Q⁰= {[an]_n∈N: ciąg (an)_n∈Njest ciągiem stałym}jest podciałem ciała R.. odwzorowanieϕ : Q −→ Q⁰, ϕ(a) = [a]_n∈N, jest izomorfizmem ciał. Dowód na tablicy.

Uwaga.Wobec powyższego twierdzenia ciało Q możemy traktować jako podciało ciała R utożsamiając a ∈ Q z klasą abstrakcji ciągu stałego (a)n∈N.

Zamiast klasy [a]_n∈Nciągu stałego (a)_n∈Nbędziemy po prostu pisali a.

(34)

Twierdzenie

(35)

Twierdzenie

(36)

Twierdzenie

Zatem R nazywać będziemy ciałem liczb rzeczywistych.

Twierdzenie

(37)

Twierdzenie

Q⁰= {[an]_n∈N: ciąg (an)_n∈Njest ciągiem stałym}jest podciałem ciała R..

odwzorowanieϕ : Q −→ Q⁰, ϕ(a) = [a]_n∈N, jest izomorfizmem ciał.

Dowód na tablicy.

(38)

Twierdzenie

Dowód na tablicy.

(39)

Twierdzenie

Dowód na tablicy.

(40)

Twierdzenie

Dowód na tablicy.

(41)

Definicja

W ciele R określamy relację < w następujący sposób:

[an]_n∈N< [bn]_n∈N ⇐⇒ _

ε0∈Q⁺

_

n₀∈N

^

n>n₀

an+ ε0< bn.

Prawdziwe jest twierdzenie Twierdzenie

Relacja < jest poprawnie określona.

[an]_n∈N< [bn]_n∈N =⇒ [an]_n∈N+ [cn]_n∈N< [bn]_n∈N+ [cn]_n∈N.

[an]_n∈N< [bn]_n∈N, [0]_n∈N< [cn]_n∈N =⇒ [an]_n∈N· [cn]_n∈N< [bn]_n∈N· [cn]_n∈N.

Definicja

|[an]_n∈N| =

[an]_n∈N, gdy [an]_n∈N [0]_n∈N

−[an]_n∈N, gdy [an]_n∈N< [0]_n∈N .