Elementy paskiego stanu napre i odksztace

4.



4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4.1. Elementy trójkątne

Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów zastosowano element trójkątny nazywany skrótem CST (Constant Strain Triangle). W elemencie tym wyróżnić możemy trzy węzły (zobrazowane poprzez wierzchołki trójkąta), które mają po dwa translacyjne stopnie swobody. Tak więc przemieszczenie dowolnego punktu elementu opisywać będziemy w układzie x0y za pomocą dwóch składowych, które oznaczymy u i v. Kolejne przemieszczenia węzłowe oznaczymy przez d1 do d6.

Odpowiadają one stopniom swobody oznaczonym na rysunku poniżej

Rys. 4.1. Element trójwęzłowy

Wektor przemieszczeń d, który opisuje deformację elementu, składa się z następujących składowych

d

=[d

1

, d

2

, d

3

, d

4

, d

5

, d

6

,

]

T

=[u

1

, v

2

, u

3

, v

4

, u

5

, v

6

,

]

T _(4.1)

Możemy przyjąć funkcje, które będą opisywać wielkości przemieszczeń u i v w postaci liniowo zależnej od x i y:

u

=c

1

c

2

x

c

3

y

v

=c

4

c

5

x

c

6

y

(4.2)

W postaci macierzowej założoną aproksymację zmian wektora przemieszczeń

u

=[u , v]

T

możemy zapisać

u

=gc

(4.3)

gdzie c jest wektorem stałych ci (na razie nieznanych), natomiast macierz geometryczna g ma postać

i k i j x y v_jk v_ij v_ik u v d₁ d₂ d₃ d₄ d 5 d₆

Jeśli podstawimy warunki brzegowe, to znaczy porównamy przemieszczenia u i v odpowiednio do przemieszczeń węzłów w punktach i, j, k otrzymamy macierz h postaci:

h=

[

gi gj gk

]

=

[

1 xi yi 0 0 0 0 0 0 1 xi yi 1 xj yj 0 0 0 0 0 0 1 xj yj 1 xk yk 0 0 0 0 0 0 1 xk yk

]

(4.5)

która spełnia poniższe równanie macierzowe:

d

=hc

(4.6)

Z równania tego wyznaczamy wartości stałych ci przez znalezienie macierzy odwrotnej

h

−1:

h−1₌ 1

2 Aijk

[

xjyk−xkyj 0 xkyi−xiyk 0 xiyj−xjyi 0

−yjk 0 −ykj 0 −yij 0

x_jk 0 x_kj 0 x_ij 0

0 xjyk−xkyj 0 xkyi−xiyk 0 xiyj−xjyi

0 −yjk 0 −yki 0 −yij

0 xjk 0 xki 0 xij

]

(4.7)

Wpływ jednostkowego przemieszczenia w węzłach na przemieszczenia wszystkich punktów na obszarze elementu

xij=xj−xi

yki= yi− yk

(4.8)

Funkcja kształtu jest funkcją liniową.

2 Aijk=∣podwójne pole powierzchni trójkąta∣=det

[

1 xi yi

1 xj yj

1 xk yk

]

=xijyik−xikyij

(4.9)

Macierz funkcji kształtu ma więc postać:

N=gh−1 ₌

[

N1 0 N2 0 N3 0

0 N1 0 N2 0 N3

]

gdzie odpowiednie funkcje wyrażają się następującymi wzorami N1= 1 2 Aijk



xjyk−xkyj− yjkxxjky



(4.11) N2= 1 2 Aijk



xkyi−xiyk− ykixxkiy



(4.12) N3= 1 2 Aijk



xiyj−xjyi− yijxxijy



(4.13)

Zależność pomiędzy przemieszczeniami węzłów d a odkształceniami elementu otrzymamy wykonując działanie pokazane poniżej

B

=L N =

[

∂

∂ x

0

0

∂

∂ y

∂

∂ y

∂

∂ x

]

N

=

1

2 A

_ijk

[

−y

jk

0

−y

ki

0

−y

ij

0

0

x

_jk

0

x

_ki

0

x

_ij

x

_jk

−y

jk

x

ki

−y

ki

x

ij

−y

ij

]

(4.14)

=Bd (4.15)

Jeśli założymy, że mamy do czynienia z materiałem izotropowym możemy macierz konstytutywną zapisać D= E 1e2

[

e1  0  e1 0 0 0 e₃

]

(4.16)

Gdzie przyjęte stałe ei są równe:

➔ dla płaskiego stanu naprężenia

e1 =1

e

₂

=1−

e

3

=

e

₂

2

(4.17)

e

₁

=1−

e

₂

=1−2

e

₃

=

e

2

2

(4.18)

Macierz sztywności elementu CST

K

=

∫

V

B

T

_{DB dV}

=B

T

_DBA

ijk

t

=K

1

K

2 (4.19)

gdzie przez t oznaczono grubość elementu, zaś macierze K1 i K2 zawierają wyrazy wywodzące się

odpowiednio tylko z odkształceń normalnych i ścinających:

K1=e4

[

e1 yjk 2      − xjkyjk e1 xjk 2     e1 ykiyjk − xjkyki e1 yki 2    − xkiyjk e1 xkixjk − xkiyki e1 xki 2   e1 yijyjk − xjkyij e1 yijyki − xkiyij e1 yij 2  − xijyjk e1 xijxjk − xijyki e1 xijxki − xijyij e1 xij 2

]

(4.20) K2=e4

[

xjk 2      −xjkyjk yjk 2     xkixjk −xkiyjk xki 2    −xjkyki ykiyjk −xkiyki yki 2   xijxjk −xijyjk xijxki −xijyki xij 2  −xjkyij yijyjk −xkiyij yijyki −xijyij yij 2

]

(4.21)

Powyższe macierze są macierzami symetrycznymi .

We wzorach na K1 i K2 wzorach przyjęto następujące oznaczenia

e4= Et 4 Aijk1e2

[

e1  0  e1 0 0 0 e3

]

e

₅

=e

4

=e

3 (4.22)

Do analizy płaskich stanów naprężenia i odkształcenia możemy posłużyć się również sześciowęzłowym elementem trójkątnym, który w literaturze jest w skrócie nazywany LST (Linear Strain Triangle). Element ten przedstawia poniższy rysunek:

Rys. 4.2. Element sześciowęzłowy

Wektor przemieszczeń węzłowy możemy zapisać jako

d

=

[

u

₁

u

₂

u

₃

u

₄

u

₅

u

₆

v

₁

v

₂

v

₃

v

₄

v

₅

v

₆

]

T (4.23)

Wektor przemieszczenia dowolnego punktu elementu określony jest przy pomocy dwóch składowych:

u=

[

u v

]

T. Natomiast aproksymację każdej ze składowych przyjmuje się w postaci

u

=c

1

c

2

x

c

3

y

c

4

x

2

c

5

xy

c

6

y

2

v

=c

7

c

8

x

c

9

y

c

10

x

2

c

11

xy

c

12

y

2 (4.24)

Wektor odkształcenia możemy wyrazić jako funkcję przemieszczeń węzłów

=

[

x y xy

]

=

[

Bx 0 0 By By Bx

]

=

[

u v

]

=Bd (4.25)

Poszczególne wektory można zapisać następująco

x=

[

x1 x2 x3

]

y=

[

y1 y2 y3

]

xy=

[

xy1 xy2 xy3

]

(4.26) 1 2 x y u 1 v ₁ u ₂ v₂ u ₃ v ₃ u 6 v ₆ u ₅ v ₅ u ₄ v ₄ 4 6 3 5

B

_x

=

1

2 A

[

3 y

₃₂

−y

13

−y

21

4 y

13

0

4 y

21

−y

32

3 y

13

−y

21

4 y

32

4 y

21

0

−y

32

−y

13

3 y

21

0

4 y

13

4 y

32

]

(4.27)

B

_y

=

_{2 A}

1

[

3 x

₂₃

−x

31

−x

12

4 x

31

0

4 x

12

−x

23

3 x

31

−x

12

4 x

23

4 x

12

0

−x

23

−x

31

3 x

12

0

4 x

31

4 x

23

]

(4.28)

4.3. Kondensacja statyczna

Kondensacja statyczna polega na tworzeniu elementu czterokątnego z elementów trójkątnych (suma dwóch trójkątnych).

KQi=KT1KT2 i=1 , 2 (4.29)

K0=

1

[

KAA KAB KBA KBB

]

⋅

[

dA dB

]

=

[

pA pB

]

(4.31) KAA⋅dAKAB⋅dB= pA KBA⋅dAKBB⋅dB= pB (4.32)

Po odpowiednich przekształceniach doprowadzamy wzory do postaci

KBA⋅KAA−1⋅ pA−KAB⋅dBKBB⋅dB= pB KBB−KBA⋅KAA −1_⋅K AB⋅dB= pB−KBA⋅KAA −1_⋅p A (4.33) co skracamy do postaci K_BB✶⋅dB= pB ✶ _(4.34)

Dokładność macierzy sztywności zależy od dyskretyzacji, otrzymujemy wynik przybliżony. Tylko wtedy gdy obciążenia przyłożymy w węzłach, funkcja kształtu trzeciego stopnia

v x=a1a2xa3x 2

a4x

3 _(4.35)

Jest prawdziwą i dokładną funkcją rozwiązującą dane równanie różniczkowe. Funkcja momentów na danym odcinku jest liniowa.

d2 w

d x2=±

Mx

EI (4.36)

Kondensacja statyczna polega na dodaniu do siebie prostych elementów po to aby tworzyć bardziej złożone. Składanie czworokąta z trójkątów to dodanie odpowiednich sztywności.(RYSUNKI). Dochodzenie do macierzy sztywności elementu czworokątnego może odbywać się w różny sposób. Element czworokątny o węzłach 1,2,3,4 można złożyć z dwóch trójkątów 4,1,2 i 4,3,2 lub 1,4,3 i 1,2,3.