Analiza stanu odkształcenia

Mechanika i wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

Wykład Nr 8

Analiza stanu odkształcenia

składowe stanu odkształcenia, uogólnione prawo Hooke’a, prawo Hooke’a dla czystego ścinania, względna zmiana objętości, klasyfikacja stanów odkształcenia, analiza płaskiego stanu odkształcenia, podstawy tensometrii oporowej, energia sprężysta: energia właściwa odkształcenia objętościowego i postaciowego

8.1. Składowe stanu odkształcenia

Pod wpływem przyłożonych obciążeń ciało odkształca się, a jego przestrzenne elementy doznają:

 zmian objętości – związanych z liniowymi odkształceniami, tj. zmianami długości boków elementów przestrzennych – tzw. odkształcenia objętościowe,

 zmian kształtu (postaci) – związanych z deformacją kątową elementarnych prostopadłościanów, tj. zmianami kątów pomiędzy poszczególnymi ściankami elementów przestrzennych – tzw.

odkształcenia postaciowe

y

_x

x



_x





_y



_y

dx

d y (1+ 

)d y

(1+

)dx

Płaski stan naprężenia:

y

dx x d y  d y

 dx

𝜶

𝜷 𝜶 + 𝜷 = 𝜸

; dy

dy dx

dx

y x

 

  



  dx dx

dx    1  

 

dy

dy   1



Składowe płaskiego stanu odkształcenia: _x, _y, g_xy

© T. Machniewicz

dz

8.1. Składowe stanu odkształcenia

Rodzaje odkształceń:

 odkształcenia objętościowe (

, 

, 

) – względne zmiany długości boków elementarnego prostopadłościanu – mierzone na kierunkach x, y, z – wywołane naprężeniami normalnymi 

,



, 

.

 odkształcenia postaciowe (g

, g

, g

) – mierzone w poszczególnych płaszczyznach pochylenia ścianek elementarnego prostopadłościanu wywołane działaniem naprężeń stycznych, g

, g

, g

.

Przestrzenny stan odkształcenia

z

x

O y 𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚 𝝈_𝒚

𝝉𝒚𝒛

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚 z

x

O y

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚

𝝈_𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚

dy

dz

(1+

)dy

(1+ 

)d z

dy

Składowe przestrzennego stanu odkształcenia: _x, _y, _z, g_xy, g_yz, g_zx

© T. Machniewicz

8.2. Prawo Hooke’a w przypadku odkształceń objętościowych

𝜺 = 𝝈

𝑬 𝜺

= −𝝂𝜺 = − 𝝈 𝑬 𝝂

Odkształcenia w jednoosiowym stanie naprężenia:

Przestrzenny stan naprężenia:

𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 2

3 O 1

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏

=

2

3 O 1

𝝈_𝟏

+ +

𝝈_𝟐 2

3 O 1

𝝈_{𝟐 2}

3 O 1

𝜺 _𝟏 = + +

𝜺 _𝟐 = + +

𝜺 _𝟑 = + +

𝝈

𝑬 − 𝝈

𝑬 𝝂 − 𝝈

𝑬 𝝂 𝝈

𝑬 − 𝝈

𝑬 𝝂

− 𝝈

𝑬 𝝂

− 𝝈

𝑬 𝝂

− 𝝈

𝑬 𝝂 𝝈

© T. Machniewicz 𝑬

W kierunkach głównych:

8.2. Prawo Hooke’a w przypadku odkształceń objętościowych

𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 2

3 O 1

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

W kierunkach dowolnych:

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚 𝝈_𝒚

𝝉𝒚𝒛

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚 z

z O y

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚

𝝈_𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚

© T. Machniewicz

8.3. Prawo Hooke’a w przypadku czystego ścinania

Czyste ścinanie – stan naprężenia w przekrojach, w których działają jedynie naprężenia styczne, zaś naprężenia normalne równe są zeru.

₂= -

₂ = -

1 = 

 1 = 

1 2









y x

𝝈_𝒙 = 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟐

𝟐 +𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝝈_𝒚 = 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟐

𝟐 −𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝝉_𝒙𝒚 = −𝝉_𝒚𝒙 = 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶

gdy:







=-  

= 

𝝉_𝒚𝒙 = −𝝈 𝝉_𝒙𝒚 = 𝝈

y

x

© T. Machniewicz

1 2

8.3. Prawo Hooke’a w przypadku czystego ścinania

1

1

₂= -

₂ = -

 1 = 

 1 = 

(1 -  )

(1+)

𝝅 𝟒−𝜸

𝟐

tg 𝜋 4 −𝛾

2 = 1 − 𝜀 1 + 𝜀

𝜀

= 𝜀

= 𝜀 𝜀

= 1

𝐸 𝜎

− 𝜈 𝜎

+ 𝜎

𝜀

= 1

𝐸 𝜎

− 𝜈 𝜎

+ 𝜎

𝜎₃ = 0;

𝜀 = 1 + 𝜈 𝐸 σ

tg 𝛼 − 𝛽 = tg𝛼 − tg𝛽

1 + tg𝛼 ∙ tg𝛽 ^𝐭𝐠 𝝅 𝟒−𝜸

𝟐 = tg 𝜋

4 − tg 𝛾 2 1 + tg 𝜋

4 ∙ tg 𝛾 2

(1)

(2)

= 1 − tg 𝛾 2 1 + tg 𝛾 2

≅ 1 −𝛾 2 1 +𝛾 2

gdy g jest bliskie zeru

(1)

(4) 𝜀 = 𝛾 2

𝜏 = 𝜎₁ − 𝜎₂

2 sin 2𝛼 𝛼 = 𝜋

4

𝜏 = 𝜎 (3)

(4)

(2) (3)

𝛾

2 = 1 + 𝜈

𝐸 σ 𝛾

2 = 𝜏 1 + 𝜈𝐸

𝜸 = 𝝉

𝐆 gdzie 𝑮 = 𝑬 𝟐(𝟏 + 𝛎)

G – moduł odkształcenia postaciowego moduł Kirchoffa (MPa)

© T. Machniewicz

8.4. Uogólnione prawo Hooke’a

W kierunkach głównych:

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

W kierunkach dowolnych:

dz

z

x

O y

(1+_y)dy

(1+z)dz

dy 𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1

2 O dz

dy 𝝈_𝟑

𝝈_𝟐

(1+₂)dy

(1+3)dz

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝜸

= 𝝉

𝐆 𝜸

= 𝝉

𝐆 𝜸

= 𝝉

© T. Machniewicz 𝐆

8.5. Względna zmiana objętości (dylatacja)

𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1

2 O dz

dy 𝝈_𝟑

𝝈_𝟐

(1+₂)dy

(1+3)dz

Początkowa objętość prostopadłościanu:

𝑑𝑉

= 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧

𝑑𝑉 = 1 + 𝜀

𝑑𝑥 ∙ 1 + 𝜀

𝑑𝑦 ∙ 1 + 𝜀

𝑑𝑧

𝑒 = 𝑑𝑉 − 𝑑𝑉

𝑑𝑉

= 1 + 𝜀

𝑑𝑥 ∙ 1 + 𝜀

𝑑𝑦 ∙ 1 + 𝜀

𝑑𝑧 − 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧

= 1 + 𝜀

1 + 𝜀

1 + 𝜀

𝑑𝑧 − 1 e = 1 + 𝜀

+ 𝜀

+ 𝜀

+ 𝜀

𝜀

+ 𝜀

𝜀

+ 𝜀

𝜀

+ 𝜀

𝜀

𝜀

− 1

Małe wyższych rzędów

𝒆 = 𝜺

+ 𝜺

+ 𝜺

lub w przypadku dowolnych kierunków:

𝒆 = 𝜺

+ 𝜺

+ 𝜺

Uwzględniając:

𝜺_𝟏 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝟏 − 𝝂 𝝈_𝟐 + 𝝈_𝟑 𝜺_𝟐 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝟐 − 𝝂 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟑 𝜺_𝟑 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝟑 − 𝝂 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟐

𝜺_𝒙 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝒙 − 𝝂 𝝈_𝒚+ 𝝈_𝒛 𝜺_𝒚 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝒚− 𝝂 𝝈_𝒙+ 𝝈_𝒛 𝜺_𝒛 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝒛 − 𝝂 𝝈_𝒙+ 𝝈_𝒚 lub:

Względna zmiana objętości w funkcji naprężeń:

𝒆 = 𝟏 − 𝟐𝝂

𝑬 𝝈_𝟏+ 𝝈_𝟐 + 𝝈_𝟑 𝒆 = 𝟏 − 𝟐𝝂

𝑬 𝝈_𝒙 + 𝝈_𝒚 + 𝝈_𝒛

© T. Machniewicz

Przestrzenny stan odkształcenia:

8.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

Tensor dowolnego przestrzennego stanu odkształcenia:

Przestrzenny dowolny stanu odkształcenia opisany jest sześcioma składowymi: _x, _y, _z, g_xy, g_yz, g_zx

𝑻_𝜺 =

𝜺_𝒙 𝜸_𝒙𝒚

𝟐 𝜸_𝒙𝒛 𝜸_𝒚𝒙 𝟐

𝟐 𝜺_𝒚 𝜸_𝒚𝒛 𝜸_𝒛𝒙 𝟐

𝟐 𝜸_𝒛𝒚

𝟐 𝜺_𝒛

W przypadku materiału izotropowego kierunki naprężeń głównych są takie same dla odkształceń jak i naprężeń.

Tensor przestrzennego stanu odkształcenia dla kierunków głównych :

𝑻_𝜺 =

𝜺_𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝜺_𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝜺_𝟑

𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1

2 O dz

dy 𝝈_𝟑

𝝈_𝟐

(1+₂)dy

(1+3)dz dz z

x

O y

(1+_y)dy

(1+z)dz

dy

Zgodnie z prawem Hooke’a (g /G) odkształcenia kątowe są równe zeru (g_xy = g_yz = g_zx =0), bo nie występują naprężenia styczne (_xy = _yz = _zx =0)

© T. Machniewicz

Płaski stan naprężenia (PSN):

8.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

𝜺_𝟏 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝟏 − 𝝂𝝈_𝟐 𝜺_𝟐 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝟐 − 𝝂𝝈_𝟏 𝜺_𝟑 = −𝝂

𝑬 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟐

𝝈

≠ 𝟎, 𝝈

≠ 𝟎, 𝝈

= 𝟎 - co uwzględniając otrzymujemy:

𝑻_𝜺 =

𝜺_𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝜺_𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝜺_𝟑 a) W przypadku kierunków głównych:

𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 2

3

1 O

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏

𝑻_𝝈 = 𝝈_𝟏 𝟎 𝟎 𝝈_𝟐 𝝈_𝟏 = 𝑬

𝟏 − 𝝂^𝟐 𝜺_𝟏 + 𝝂𝜺_𝟐 𝝈_𝟐 = 𝑬

𝟏 − 𝝂^𝟐 𝜺_𝟐 + 𝝂𝜺_𝟏 𝝈_𝟑 = 𝟎

Tensory odkształceń i naprężeń w PSN na kierunkach głównych:

© T. Machniewicz

Płaski stan naprężenia (PSN):

8.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

𝝈

≠ 𝟎, 𝝈

≠ 𝟎, 𝝈

= 𝟎, 𝝉

≠ 𝟎, 𝝉

= 𝟎, 𝝉

= 𝟎

𝑻_𝜺 =

𝜺_𝒙 𝜸_𝒙𝒚

𝟐 𝟎 𝜸_𝒚𝒙

𝟐 𝜺_𝒚 𝟎

𝟎 𝟎 𝜺_𝒛

𝜺_𝒙 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝒙 − 𝝂𝝈_𝒚 𝜺_𝒚 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝒚 − 𝝂𝝈_𝒙 𝜺_𝒛 = −𝝂

𝑬 𝝈_𝒙 + 𝝈_𝒚 𝜸_𝒙𝒚 = 𝝉_𝒙𝒚

𝐆 𝝈_𝒙

𝝈_𝒚 y

z

x O

𝝈_𝒚

𝝈_𝒙 𝝉_𝒚𝒙

𝝉_𝒙𝒚

𝝉_𝒚𝒙 𝝉_𝒙𝒚

𝑻_𝝈 = 𝝈_𝒙 𝝉_𝒙𝒚 𝝉_𝒚𝒙 𝝈_𝒚 𝝈_𝒙 = 𝑬

𝟏 − 𝝂^𝟐 𝜺_𝒙 + 𝝂𝜺_𝒚 𝝈_𝒚 = 𝑬

𝟏 − 𝝂^𝟐 𝜺_𝒚 + 𝝂𝜺_𝒙 𝝈_𝒛 = 𝟎

𝝉_𝒙𝒚 = 𝐆 ∙ 𝜸_𝒙𝒚

Tensory odkształceń i naprężeń w PSN na kierunkach dowolnych:

Wniosek:

W płaskim stanie naprężenia istnieje przestrzenny stan odkształcenia.

© T. Machniewicz

Płaski stan odkształcenia (PSO):

8.6. Szczególne przypadki stanu odkształcenia i naprężenia

- co uwzględniając otrzymujemy:

𝑻_𝜺 = 𝜺_𝟏 𝟎 𝟎 𝜺_𝟐 a) W przypadku kierunków głównych:

𝜺

≠ 𝟎, 𝜺

≠ 𝟎, 𝜺

= 𝟎

𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

= 𝟎 𝝈

= 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝑻_𝝈 =

𝝈_𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈_𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈_𝟑

b) W przypadku kierunków dowolnych:

𝜺

≠ 𝟎, 𝜺

≠ 𝟎, 𝜺

= 𝟎, 𝜸

≠ 𝟎, 𝜸

= 𝟎, 𝜸

= 𝟎 𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

= 𝟎 𝝈

= 𝝂 𝝈

+ 𝝈

Wniosek: Płaski stan odkształcenia można wywołać, odpowiednio dobranym, przestrzennym stanem naprężenia

𝑻_𝜺 = 𝜺_𝒙 𝜸_𝒙𝒚 𝜸_𝒚𝒙 𝟐

𝟐 𝜺_𝒚 𝑻_𝝈 =

𝝈_𝒙 𝝉_𝒙𝒚 𝟎 𝝉_𝒚𝒙 𝝈_𝒚 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈_𝒛 𝝈_𝒙

𝝈_𝒚 y

z O x

𝝈_𝒚

𝝈_𝒙 𝝉_𝒚𝒙

𝝉_𝒙𝒚

𝝉_𝒚𝒙 𝝉_𝒙𝒚

𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 2

3 O 1

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏

© T. Machniewicz

8.7. Analiza płaskiego stany odkształcenia – podstawy tensometrii

Analogia pomiędzy zależnościami transformacyjnymi w płaskim stanie naprężenia i odkształcenia:

 





 

2 2

2 1 2

1 

 

n 

 

 

2 1 

n 

g   

2 2 sin

2

2 1 



n

 





 

2 2

2 1 2

1   

n 



 

g

 

𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 + 𝜺

− 𝜺

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶

1 (45)

x (0) y (90)





𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 + 𝜺

− 𝜺

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶 + 𝟒𝟓°

𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 + 𝜺

− 𝜺

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶 + 𝟗𝟎°

𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 ± 𝜺

− 𝜺

𝟐

𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝐭𝐠𝟐𝛂 = 𝟐𝜺

− 𝜺

− 𝜺

𝜺

− 𝜺

© T. Machniewicz

8.7. Analiza płaskiego stany odkształcenia – podstawy tensometrii

2

1 (45)

x (0) y (90)





𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 ± 𝜺

− 𝜺

𝟐

𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝐭𝐠𝟐𝛂 = 𝟐𝜺

− 𝜺

− 𝜺

𝜺

− 𝜺

Uwzględniając: 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 = 𝟏

𝟏 + 𝐭𝐠^𝟐𝟐𝜶 Otrzymujemy:

𝜺

= 𝜺

+ 𝜺

𝟐 ± 𝟏

𝟐 𝜺

− 𝜺

+ 𝜺

− 𝜺

𝑹 = 𝜺𝑲 gdzie K – stała czujnika

Rozety tensometryczne stosowane do wyznaczania kierunków i wartości odkształceń głównych

© T. Machniewicz

8.8. Energia sprężysta

𝑷

EA

l



8.8.1. Energia właściwa odkształcenia sprężystego w jednoosiowym stanie naprężenia (

):

P

l

L

∆𝒍 = 𝑷𝒍 𝑨𝑬 𝑳_𝑷 = 𝟏

𝟐𝑷∆𝒍

𝑳

= 𝑷

𝒍 𝟐𝑬𝑨

Energia właściwa () – energia przypadająca na jednostkę objętości materiału (V) 𝚽

= 𝑳

𝑽 = 𝑷

𝒍 𝟐𝑬𝑨 ∙ 𝟏

𝑨𝒍 = 𝑷

𝟐𝑬𝑨

;

𝚽

= 𝝈

𝟐𝑬 = 𝟏 𝟐 𝝈 𝝈

𝑬 ;

𝚽

= 𝟏 𝟐 𝝈𝜺

© T. Machniewicz

8.8. Energia sprężysta

8.8.2. Właściwa energia sprężysta ścinania (

):

𝝉

𝑻

𝝉 𝝉

𝝉

a

a

s

𝜸

𝚽

= 𝑳

𝑽 = 𝟏 𝟐

𝑻𝒔 𝑽

𝑻 = 𝝉𝒂 𝚽

= 𝟏 𝟐 𝝉𝜸

8.8.3. Całkowita właściwa energia sprężysta w przestrzennym stanie naprężenia ():

𝒔 = 𝒂𝜸 𝑽 = 𝟏 ∙ 𝒂

z

x O y

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚

𝝈_𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚 𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 2

3 O 1

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏

 ^

^

^

^

^

^

^

^g

^

^g

^

^g





 2 1

dla kierunków dowolnych





2

1

 

 

 





dla kierunków głównych

© T. Machniewicz

8.8. Energia sprężysta

8.8.4. Energia sprężysta odkształcenia objętościowego (

) i odkształcenia postaciowego (

):

Całkowitą energię odkształcenia sprężystego () można podzielić na dwie części:

 _O – energię odkształcenia objętościowego

 _P – energię odkształcenia postaciowego

  

 

a) Odkształcenia czysto objętościowe powstaną, gdy element obciążony będzie takimi samymi naprężeniami _śr na wszystkich kierunkach:

𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1 O 2

𝝈_𝟑

𝝈_𝟐

=

+

𝝈_ś𝒓 3

1 O 2

𝝈_ś𝒓

𝝈_ś𝒓 (𝝈_𝟐− 𝝈_ś𝒓)

(𝝈_𝟑− 𝝈_ś𝒓) 3

1 O 2

(𝝈_𝟑− 𝝈_ś𝒓)

(𝝈_𝟐− 𝝈_ś𝒓)

Odkształcenia wypadkowe

Odkształcenia objętościowe

Odkształcenia postaciowe

(

) (

)

() © T. Machniewicz

8.8. Energia sprężysta

𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1 O 2

𝝈_𝟑

𝝈_𝟐

=

+

𝝈_ś𝒓 3

1 O 2

𝝈_ś𝒓

𝝈_ś𝒓 (𝝈_𝟐− 𝝈_ś𝒓)

(𝝈_𝟑− 𝝈_ś𝒓) 3

1 O 2

(𝝈_𝟑− 𝝈_ś𝒓)

(𝝈_𝟐− 𝝈_ś𝒓)







Przyjmujemy:

3

3 2

1  

_śr   ^{ }





O

       

2 3 2

1   









2

1      



 śr





 

E E     

  ¹   ^12 Z prawa Hooke’a:

8.8.4. Energia sprężysta odkształcenia objętościowego (

) i odkształcenia postaciowego (

):

Otrzymujemy (z rów. 1 i 2):

(1) (2)





2

6 2 1 2

1 2 3 2

3

 

 

 







^{O śr śr} E ^śr E

 

6 2 1

z y x

O  E

 







- dla kierunków głównych - dla kierunków dowolnych

© T. Machniewicz

- dla kierunków dowolnych 8.8. Energia sprężysta

𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1 O 2

𝝈_𝟑

𝝈_𝟐

=

+

𝝈_ś𝒓 3

1 O 2

𝝈_ś𝒓

𝝈_ś𝒓 (𝝈_𝟐− 𝝈_ś𝒓)

(𝝈_𝟑− 𝝈_ś𝒓) 3

1 O 2

(𝝈_𝟑− 𝝈_ś𝒓)

(𝝈_𝟐− 𝝈_ś𝒓)







8.8.4. Energia sprężysta odkształcenia objętościowego (

) i odkształcenia postaciowego (

):





6 2

1

 







^O E

 

6 2 1

z y x

O E

 









- dla kierunków głównych b) Odkształcenia czysto postaciowe powstaną, gdy elementarny prostopadłościan obciążony będzie naprężeniami będącymi dopełnieniem naprężeń średnich (_śr) do wyjściowych naprężeń głównych.

Otrzymujemy:

     





2 3 2 2

2

6 1

1

 





















^{P O} E

       





6 1

zx yz xy x

z z

y y

x O

P   E

 



















© T. Machniewicz