Analiza stanu naprężenia

Wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

EiP - Wykład Nr 4

Analiza stanu naprężenia

Stan naprężenia w punkcie, tensor naprężenia, klasyfikacja stanów naprężenia, analiza jednoosiowego stanu naprężenia, analiza płaskiego stanu naprężenia, koło naprężeń Mohra.

z

x

y

4.1. Stan naprężenia w punkcie

𝟏

𝑷_𝟏

𝑷_𝒏

L

𝒑

A

𝑷_𝟏

𝑷_𝒏

𝑷_𝟐

L

𝒑_𝟐

A O

O

𝑷_𝟏

𝑷_𝒊

𝑷_𝟑 𝑷_𝒏

𝑷_𝟐

L

^O

P

𝑷_𝟏

𝑷_𝒊

𝑷_𝟑 𝑷_𝒏

L P

𝑷_𝟐 O

1. Naprężenie w danym punkcie na powierzchni myślowego przekroju zależy od orientacji tego przekroju.

2. Jednoznaczny opis stanu naprężenia w punkcie wymaga w związku z tym określenia naprężeń na wszystkich ściankach tzw. elementarnego prostopadłościanu otaczającego dany punkt.

𝒑_𝟏 ≠ 𝒑_𝟐

𝑷_𝟏

𝑷_𝒊

𝑷_𝟑 𝑷_𝒏

L P

𝑷_𝟐 O

𝝉𝒙𝒛𝟐

𝝉_𝒙𝒚𝟐 𝝈_𝒚𝟐

𝝉𝒚𝒛𝟐

𝝈_𝒛𝟐 𝝉_𝒛𝒚𝟐 z

x O y

𝝈_𝒛𝟏 𝝉_𝒛𝒚𝟏

𝝈_𝒚𝟏 𝝉𝒚𝒛𝟏

𝝉𝒙𝒛𝟏

𝝉_𝒙𝒚𝟏

18 składowych stanu naprężenia

© T. Machniewicz

4.1. Stan naprężenia w punkcie

𝝉𝒙𝒛𝟐

𝝉_𝒙𝒚𝟐 𝝈_𝒚𝟐

𝝉𝒚𝒛𝟐

𝝈_𝒛𝟐 𝝉_𝒛𝒚𝟐 z

x O y

𝝈_𝒛𝟏 𝝉_𝒛𝒚𝟏

𝝈_𝒚𝟏 𝝉𝒚𝒛𝟏

𝝉𝒙𝒛𝟏

𝝉_𝒙𝒚𝟏 𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚 𝝈_𝒚

𝝉𝒚𝒛

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚 z

x O y

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚

𝝈_𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚 1) Założenie:

Brak sił masowych (sił ciężkości i bezwładności).

2) Warunki równowagi:

𝑷_𝒊𝒙

𝒏𝒊=𝟏 = 𝟎, ^𝒏_𝒊=𝟏𝑷_𝒊𝒚 = 𝟎, ^𝒏_𝒊=𝟏𝑷_𝒊𝒛 = 𝟎

18 składowych stanu naprężenia 9 składowych stanu naprężenia:

 3 naprężenia normalne: _x, _y, _z

 6 naprężeń stycznych: _xy, _xz, _yx, _yz, _zy, _zy 𝝈_𝒊𝟏 = 𝝈_𝒊𝟐 𝐨𝐫𝐚𝐳 𝝉_𝒊𝒋𝟏 = 𝝉_𝒊𝒋𝟐

© T. Machniewicz

4.1. Stan naprężenia w punkcie

Tensor stanu naprężenia:

9 składowych stanu naprężenia:

 3 naprężenia normalne: _x, _y, _z

 6 naprężeń stycznych: _xy, _xz, _yx, _yz, _zy, _zy

𝑻_𝝈 =

𝝈_𝒙 𝝉_𝒙𝒚 𝝉_𝒙𝒛 𝝉_𝒚𝒙 𝝈_𝒚 𝝉_𝒚𝒛 𝝉_𝒛𝒙 𝝉_𝒛𝒚 𝝈_𝒛

𝑀_𝑖𝑥

𝑛

𝑖=1 = 0

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚 𝝈_𝒚

𝝉𝒚𝒛

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚 z

x

O y

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚

𝝈_𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚

dy

dz

𝜏_𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑𝑦 − 𝜏_𝑧𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0 𝝉_𝒚𝒛 = 𝝉_𝒛𝒚 𝑀_𝑖𝑦

𝑛

𝑖=1 = 0 𝜏_𝑧𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧 − 𝜏_𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 0 𝝉_𝒙𝒛 = 𝝉_𝒛𝒙 𝑀_𝑖𝑧

𝑛

𝑖=1 = 0 𝜏_𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝜏_𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 0 𝝉_𝒙𝒚 = 𝝉_𝒚𝒙

Naprężenia styczne w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych, prostopadłe do krawędzi przecięcia się tych płaszczyzn, są sobie równe i skierowane do lub od krawędzi.

Prawo równości naprężeń stycznych w płaszczyznach prostopadłych:

𝝉

𝝉

𝝉

𝝉

Ostatecznie:

Stan naprężenia w punkcie opisać można przy użyciu sześciu niezależnych składowych stanu naprężenia: _x, _y, _z, _xy(= _yx), _xz(= _zx), _yz(= _zy)

© T. Machniewicz

4.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:

Tensor dowolnego przestrzennego stanu naprężenia 𝑻_𝝈 =

𝝈_𝒙 𝝉_𝒙𝒚 𝝉_𝒙𝒛 𝝉_𝒚𝒙 𝝈_𝒚 𝝉_𝒚𝒛 𝝉_𝒛𝒙 𝝉_𝒛𝒚 𝝈_𝒛

4.2.1. Dowolny przestrzenny stan naprężenia:

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚 𝝈_𝒚

𝝉𝒚𝒛

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚 z

x O y

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚

𝝈_𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚

W każdym punkcie ciała można tak zorientować trzy osie prostokątnego układu współrzędnych, że na płaszczyznach prostopadłych do tych osi nie wystąpią naprężenia styczne.

𝑻_𝝈 =

𝝈_𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈_𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈_𝟑

Tensor

przestrzennego stanu naprężenia określonego

kierunkami głównymi Osie te nazywamy kierunkami głównymi i

oznaczamy liczbami 1, 2, 3.

Płaszczyzny prostopadłe do kierunków głównych noszą nazwę płaszczyzn głównych, zaś naprężenia normalne w nich działające – naprężeń głównych:

𝝈_𝟏 ≥ 𝝈_𝟐 ≥ 𝝈_𝟑

© T. Machniewicz

 ^y x

O

4.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:

Tensor płaskiego (dwuosiowego)

stanu naprężenia 𝑻_𝝈 = 𝝈_𝒙 𝝉_𝒙𝒚 𝝉_𝒚𝒙 𝝈_𝒚

4.2.2. Płaski stan naprężenia:

𝝉_𝒙𝒚

𝝈_𝒚 x

O y

𝝈_𝒚 𝝉_𝒙𝒚

Tensor płaskiego stanu naprężenia określonego kierunkami głównymi z

𝑷_𝟏

𝑷_𝒊

𝒒 _𝒊 𝑷_𝟐

𝑻_𝝈 = 𝝈_𝟏 𝟎 𝟎 𝝈_𝟐

Płaski (dwuosiowy) stan naprężenia można opisać przy użyciu:

trzech niezależnych składowych tensora naprężenia:

_x, _y, _xy(= _yx)

𝑷_𝟏

𝑷_𝒊

𝒒 _𝒊 𝑷_𝟐

z

dwóch wartości

naprężeń głównych: ₁, ₂

(i ewentualnie kąta  określającego ich kierunek)

© T. Machniewicz

𝑷

4.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:

4.2.3. Jednoosiowy stan naprężenia:

Stan naprężenia reprezentowany jest tylko przez jedno niezerowe naprężenie główne:

 = 

₁

np. rozciąganie, ściskanie, czyste zginanie

1

= ₁ 𝑷

© T. Machniewicz

4.3. Analiza jednoosiowego stanu naprężenia

𝑷 ₁

 =₁

𝑷 𝑷

𝑷

n

 1



𝑻_𝒏

𝑷

n

 1



𝝈 = 𝝈

_𝟏

= 𝑷 𝑨

𝑷



𝑷

_𝒏

= 𝑷 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝑇

_𝑛

= 𝑃 ∙ sin 𝛼 𝝈

_𝒏

= 𝑃

_𝑛

𝐴

_𝑛

= 𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠

²

𝛼

𝐴 = 𝝈 ∙ 𝒄𝒐𝒔

^𝟐

𝜶

𝑨

_𝒏

= 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝜶

𝝉

_𝒏

= 𝑇

_𝑛

𝐴

_𝑛

= 𝑃

𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝜎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝝈

𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝜶



© T. Machniewicz

4.3. Analiza jednoosiowego stanu naprężenia

𝑷 ₁

 =₁

𝑷

n

 1



𝝈

_𝒏

= 𝝈 ∙ 𝒄𝒐𝒔

^𝟐

𝜶

𝑷

n

 1



𝑻_𝒏

𝝉

_𝒏

= 𝝈

𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝜶

Dla

𝜶 = 𝟒𝟓° 𝝉

_𝒏

= 𝝉

_𝒎𝒂𝒙

= 𝝈 𝟐

Płaszczyzny poślizgu o kącie 𝜶 = 𝟒𝟓° Linie Lüdersa

𝑷

𝑷

Ceramiczna próbka poddana ściskaniu

© T. Machniewicz

4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia

4.4.1. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych

₂

₂

₁

₁ ¹

2

n

t

_n

_n

₁

₂

n

t

_n

_n

 

 

1

A

A

₂

A

₁

0 sin

cos

0   _{1 1}  _{2 2}  



^P  ^{A A nA}

i

in     





;

1 Acos

A  A₂  Asin; 0

sin

cos² ₂ ²

1   





^Pn  ^{ A   A  nA}

0 cos

sin cos

sin ₂

1   





^Pt  ^{ A    A   nA}

0 cos

sin

0   _{1 1}  _{2 2}  



^P  ^{A A nA}

i

it     









_n  ₁cos²  ₂sin^{2 }_n 



^1^2



^sincos

Uwzględniając:

 

2 2 cos cos²  1^ 

 

2 2 cos sin²  1^ 

2 2 cos sin

sin   

x

n      

     cos2  2

2

2 1 2 1

xy

n    

   sin2  2

2 1

Otrzymujemy:

₁

₂

n≡x

_n≡_xy

 1 y

© T. Machniewicz

4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia

4.4.1. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych

₂

₂

₁

₁ ¹

2

n

t

_n

_n

₁

₂

n

t

_n

_n

 

 

1

A

A

₂

A

₁





 





 

 _ cos2

2 2

2 1 2 1 ) (

 

 

x 

 

 

 _ sin2

2

2 1 ) (

 

xy 

₁

₂

x

 1 y

) 2 180 2 cos(

2

2 1 2 1 ) 90

( ^o α

y  _ ^o     

 _

xy

yx     

  _{ }   sin(1802 ) 2

2 1 ) 90 (

Ostatecznie:

𝝈

_𝒙

= 𝝈

_𝟏

+ 𝝈

_𝟐

𝟐 + 𝝈

_𝟏

− 𝝈

_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝈

_𝒚

= 𝝈

_𝟏

+ 𝝈

_𝟐

𝟐 − 𝝈

_𝟏

− 𝝈

_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝉

_𝒙𝒚

= −𝝉

_𝒚𝒙

= 𝝈

_𝟏

− 𝝈

_𝟐

𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶

2 45

dla   ^o _xy _max  ^{1 }²

© T. Machniewicz

4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia 4.4.1. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych

𝝈

_𝒙

= 𝝈

_𝟏

+ 𝝈

_𝟐

𝟐 + 𝝈

_𝟏

− 𝝈

_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝈

_𝒚

= 𝝈

_𝟏

+ 𝝈

_𝟐

𝟐 − 𝝈

_𝟏

− 𝝈

_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝉

_𝒙𝒚

= −𝝉

_𝒚𝒙

= 𝝈

_𝟏

− 𝝈

_𝟐

𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶

₂

₂

₁

₁ ¹

2

y 

x

Umowy dotyczące znaków:

 Kąt  uznajemy za dodatni gdy odmierzany jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, odkształconym ciele.

 Naprężenia styczne  uznajemy za dodatnie gdy odwrócone o 90

^o

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara pokrywają się z normalną do rozważanego przekroju.

₁ x >0

1 ₁

x

<0 1

n _n>0 +90^O

n

_n<0

© T. Machniewicz

4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia 4.4.2. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach głównych

_{x x} y

_xy



_x

_xy

_yx

_y

_yx

_y

_{2 2}

1

₂ ₁

₁

Ostatecznie:

𝜎_𝑥 = 𝜎₁ + 𝜎₂

2 +𝜎₁ − 𝜎₂

2 cos 2𝛼 (1) 𝜎_𝑦 = 𝜎₁ + 𝜎₂

2 − 𝜎₁ − 𝜎₂

2 cos 2𝛼 (2) 𝜏_𝑥𝑦 = −𝜏_𝑦𝑥 = 𝜎₁ − 𝜎₂

2 sin 2𝛼 (3)

𝝈

_𝟏

= 𝝈

_𝒙

+ 𝝈

_𝒚

𝟐 + 𝟏

𝟐 𝝈

_𝒙

− 𝝈

_𝒚 ^𝟐

+ 𝟒𝝉

_𝒙𝒚^𝟐

𝐭𝐠 𝟐𝜶 = − 𝟐𝝉

_𝒙𝒚

𝝈

_𝒙

− 𝝈

_𝒚

𝝈

_𝟐

= 𝝈

_𝒙

+ 𝝈

_𝒚

𝟐 − 𝟏

𝟐 𝝈

_𝒙

− 𝝈

_𝒚 ^𝟐

+ 𝟒𝝉

_𝒙𝒚^𝟐

- uwzględniając umowę dotyczącą znaków

2

1

(2)

(1)  _x _y  









 





 

2 cos

1 2

2 2

2

2 1 2 1 1

y x y

x 

 

 

 



 

^{2 2}

2 2 2

2 2

2 4 2 1

2 tg 2

2 tg 2 1

2 cos

1 2

; 2 tg 2 1

cos 1

xy y

x y

x y

x

y x y

x







 







 







 







 



 



 

 



 



 





 

 









 











 cos2

) (

)cos2 (

(2)

(1) _{x y 1 2 1 2} ^x  ^y

















2 tg2

cos2 2

sin2 2 (3)

2

1 x y

xy y

x xy xy





 













 

 

 

 

 











 





 

2 cos

1 2

2 2

2

2 1 2 1 2

y x y

x 

 

 

 

© T. Machniewicz



4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia

4.4.2. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach głównych

y

_{x x}

_xy



_x

_xy

_yx

_y

_yx

_y

_{2 2}

1

₂ ₁

₁

Ostatecznie:

𝝈

_𝟏

= 𝝈

_𝒙

+ 𝝈

_𝒚

𝟐 + 𝟏

𝟐 𝝈

_𝒙

− 𝝈

_𝒚 ^𝟐

+ 𝟒𝝉

_𝒙𝒚^𝟐

𝐭𝐠 𝟐𝜶 = − 𝟐𝝉

_𝒙𝒚

𝝈

_𝒙

− 𝝈

_𝒚

𝝈

_𝟐

= 𝝈

_𝒙

+ 𝝈

_𝒚

𝟐 − 𝟏

𝟐 𝝈

_𝒙

− 𝝈

_𝒚 ^𝟐

+ 𝟒𝝉

_𝒙𝒚^𝟐

x y

_xy

_xy

_yx

_yx

1 x

y

_xy

_xy

_yx

_yx

1 Kierunek naprężeń głównych ₁ przechodzi

przez te ćwiartki układu współrzędnych x-y gdzie naprężenia styczne skierowane są do

siebie.

© T. Machniewicz

4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia

4.4.3. Koło Mohra: a) wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych

𝝈_𝒙 = 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟐

𝟐 +𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝝈_𝒚 = 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟐

𝟐 − 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝝉_𝒙𝒚 = −𝝉_𝒚𝒙 = 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶

₂

₂

₁

₁ ¹

2

_y

_xy ^

_y

_xy

y

x







₂



₁

𝝈

_𝟏

+ 𝝈

_𝟐

𝟐

𝝈

_𝒚

2

𝝈

_𝒙

𝝉

_𝒙𝒚

𝝉

_𝒚𝒙

x

y

𝝈

_𝟏

− 𝝈

_𝟐

𝟐



Dane: 

₁

, 

₂

,  Szukane: 

_x

, 

_y

, 

_xy

© T. Machniewicz

4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia 4.4.3. Koło Mohra: b) wyznaczanie naprężeń głównych







₂

2 

₁

𝝈

_𝒚

𝝈

_𝒙

𝝉

_𝒙𝒚

𝝉

_𝒚𝒙

1

2

𝝈

_𝒙

− 𝝈

_𝒚

𝟐



y

_{x x}

_xy

_x 

_xy

_yx

_y

_yx

_y

₂

₂ ₁ 1

₁

𝝈_𝟏 = 𝝈_𝒙 + 𝝈_𝒚

𝟐 + 𝝈_𝒙 − 𝝈_𝒚 𝟐

𝟐 +𝝉_𝒙𝒚^𝟐

𝐭𝐠 𝟐𝜶 = − 𝟐𝝉_𝒙𝒚 𝝈_𝒙 − 𝝈_𝒚 𝝈_𝟐 = 𝝈_𝒙 + 𝝈_𝒚

𝟐 − 𝝈_𝒙 − 𝝈_𝒚 𝟐

𝟐 +𝝉_𝒙𝒚^𝟐

Dane: 

_x

, 

_y

, 

_xy

Szukane: 

₁

, 

₂

, 

𝝈

_𝒙

+ 𝝈

_𝒚

© T. Machniewicz 𝟐