Kryteria algebraiczne stabilności ukladow liniowych

KRYTERIA ALGEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH

Zadanie 1 Problem:

Zbadać stabilność układu zamkniętego przedstawionego na schemacie według kryterium Hurwitza.

x(t)

_y(t)

G

1

(s)

G

2

(s)

Rys 1. Schemat układu regulacji

Rozwiązanie:

Transmitancja układu otwartego ma postać : Transmitancja układu otwartego (1) powstała z wymnożenia transmitancji w bloczkach

( ) ( )( )

4

2

1

6

+

+

=

s

s

s

s

G

_o (1)

Transmitancja układu zamkniętego ma postać:

( )

( )

( )

s G s G s G o o z = ₊

1 (2) Transmitancja układu _{zamkniętego ma}

postać (2) ponieważ jest to układ ze sztywnym sprzężeniem zwrotnym

( ) ( )( )

4

2

1

6

6

+

+

+

=

s

s

s

s

G

_z (3)

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma postać: s(4+s)(2s+1)+6=0

(4s+s2_)(2s+1)+6=0 8s2_+4s+2s3_+s2₊₆₌₀

2s3_+9s2_{+4s+6=0 (4)} Współczynniki wielomianu : a0=6 , a1=4 , a2=9 , a3=2

Liczymy stabilność układu: Sprawdzamy warunki Hurwitza:

1)warunek konieczny-wszystkie współczynniki wielomianu dodatnie. W równaniu (4) wszystkie współczynniki istnieją i są dodatnie , więc układ zamknięty może być stabilny , ale nie jest to pewne. 2)warunek wystarczający-wyznaczniki Hurwitza i jego podwyznaczniki mają wartości większe od zera. Stopień wielomianu n=3

Zgodnie z tabelą wyznacznik Hurwitza ma postać:

          =           = ∆ − − − − − − − 0 2 1 0 3 2 3 4 5 1 2 3 1 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n (5)

(

)

(

0 0 4 9 9 0 6 6 2

)

216 72 144 0 6 0 0 9 2 0 6 4 9 6 0 0 9 4 6 0 2 9 3 > = − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =           = ∆ (6)

Podwyznacznik drugiego rzędu:

> = = ⋅ − ⋅ =       =       = ∆ 9 4 6 2 36_12 24 4 6 2 9 1 0 3 2 2 a a a a (7)

Podwyznacznik pierwszego rzędu:

∆1=a2=9>0 (8)

Drugi warunek Hurwitza jest spełniony, a zatem układ zamknięty jest stabilny.

Zadanie 2 Problem:

Zbadać stabilność układu regulacji przedstawionego na schemacie stosując kryterium Hurwitza . Sprawdzić stabilność układu otwartego i zamkniętego.

x(t)

y(t)

G

₁

(s)

G

₂

(s)

Rys.1.Schemat układu regulacji

Rozwiązanie:

Transmitancje poszczególnych elementów:

( )

2

5

1

=

₊

s

s

G

(1)

( )

2

5

4

2

=

₊

s

s

G

(2)

Transmitancja układu otwartego:

( ) ( )(

4

5

2

)

20

0

=

₊

₊

s

s

s

G

(3) Wyznacznik ∆2 powstał przez wydzielenie podwyznacznika z ∆3           = ∆ 0 0 0 9 4 6 0 2 9 3 Transmitancja układu otwartego powstała po wymnożeniu transmitancji w bloczkach czyli wzorów (1) i (2)

Równanie charakterystyczne dla układu otwartego:

(s+4)(5s+2)=0 (4)

5s2_+22s+8=0

Współczynniki wielomianu: a2=5 , a1=22 , a0=8 Liczymy stabilność układu otwartego:

Sprawdzamy warunki Hurwitza:

1)warunek konieczny-wszystkie współczynniki wielomianu dodatnie. W równaniu (4) wszystkie współczynniki istnieją i są dodatnie , więc układ zamknięty może być stabilny , ale nie jest to pewne. 2)warunek wystarczający-wyznaczniki Hurwitza i jego podwyznaczniki mają wartości

większe od zera.

Stopień wielomianu n=2

Zgodnie z tabelą wyznacznik ∆n=∆2 i ma postać:

0 176 8 0 5 22 0 ₀ 2 1 2 3 1 2  = >      =       =       = ∆ − − − a a a a a a a n n n n ₍₅₎

Podwyznacznik pierwszego stopnia:

0

22

1 1 1

=

=

=

>

∆

a

_n−

a

(6)

Drugi warunek Hurwitza jest spełniony ponieważ wyznaczniki (5) i (6) są dodatnie , a zatem układ otwarty jest stabilny.

Badamy układ zamknięty:

Transmitancja układu zamkniętego wynosi:

( )

_{( ) ( )}

( )

s G s G s G s G_z 2 1 1 1+ = (7) Równanie (4) powstaje poprzez przyrównanie mianownika transmitancji do zera Określamy wyznacznik Hurwitza (5) i jego podwyznacznik (6) Transmitancja układu zamkniętego ma wzór (7) ponieważ układ jest ze sprzężeniem zwrotnym Po podstawieniu wzorów (1) i (2) do wzoru (7) i wymnożeniu otrzymujemy:

( )

28

22

5

10

25

2

₊

₊

+

=

s

s

s

s

G

_z (8)

Równanie charakterystyczne dla układu zamkniętego ma postać:

5s2_{+22s+28=0 (9)}

Współczynniki wielomianu: a2=5,a1=22,a0=28 Liczymy stabilność układu zamkniętego: Sprawdzamy warunki Hurwitza:

1)warunek konieczny-wszystkie współczynniki wielomianu dodatnie. W równaniu (9) wszystkie współczynniki istnieją i są dodatnie , więc układ zamknięty może być stabilny , ale nie jest to pewne. 2)warunek wystarczający-wyznaczniki Hurwitza i jego podwyznaczniki mają wartości większe od zera. Stopień wielomianu n=2

Zgodnie z tabelą wyznaczników obliczamy wyznacznik Hurwitza ∆2 i jego podwyznacznik ∆1:

Podwyznacznik pierwszego stopnia:

0

22

1 1 1

=

=

=

>

∆

a

_n−

a

(10)

Wyznacznik drugiego stopnia:

(11)

0

616

0

5

28

22

28

0

5

22

0

₀ 2 1 2 3 1 2

>

=

⋅

−

⋅

=

=













=













=













=

∆

− − −

a

a

a

a

a

a

a

n n n n

Drugi warunek Hurwitza jest spełniony. Wszystkie wyznaczniki (10), (11) są większe od zera więc układ zamknięty także jest stabilny.

Zadanie 3

Problem:

Układ regulacji składa się z obiektu regulacji opisanego równaniem różniczkowym:

T

o

y

k

x

dt

dy

₊

₌

_⋅

⋅

oraz , regulatora opisanego równaniem różniczkowym:

T

1

dt

de

T

x

dt

dx

₊

₌

_⋅

⋅

₂

Rys.1. Schemat blokowy układu

Zbadać stabilność układu zamkniętego.

Dane:

T

o

= 20 [s], T

2

= 10 [s], T

1

= 2[s] , k =5, k

2

=3, przyjmując zerowe warunki początkowe.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy transmitancje operatorową obiektu:

20

+ y

=

dt

dy

⋅

5

⋅x

20s

⋅

Y

(

s

)

+

Y

(

s

)

=

5

⋅

X

(

s

)

Podwyznacznik pierwszego stopnia powstał z wydzielenia z wyznacznika Hurwitza ∆2:













=

∆

28

0

5

22

2

Transformatę operatorowa obiektu można wyznaczyć przez

wyznaczenie transformaty Laplace’a .

G(s) =

)

(

)

(

s

X

s

Y

R

x(t)

OR

y(t)

e(t)

+

-

y

zad

(t)

G(s) =

1

20

5

)

(

)

(

+

=

s

s

X

s

Y

(1)

Wyznaczamy transmitancje operatorową regulatora:

2

dt

de

x

dt

dx

₊

₌

_⋅

10

⋅

2

⋅

s

⋅

X

(s

)

+X(s) = 10 E(s)

H(s) =

1

20

10

)

(

)

(

+

=

s

s

s

E

s

X

(2)

Transmitancja operatorowa układu otwartego:

G

o

(s) = G(s) H(s) =

1

20

10

1

2

5

+

⋅

+

s

s

s

(3)

G

o

(s) =

)

1

2

(

)

1

20

(

50

+

⋅

+

s

s

s

Transformatę operatorowa regulatora można wyznaczyć przez wyznaczenie transformaty Laplace’a.

Transformatę operatorową układu otwartego powstała z wymnożenia G0(s) = G(s) * H(s) (3)

Wyznaczamy równanie charakterystyczne układu:

1+

)

1

2

(

)

1

20

(

50

+

⋅

+

s

s

s

= 0 (4)

(20s+1)(2s+1) + 50s = 0

40s

2

_{+ 20s + 2s +1 + 50s = 0}

40s

2

+ 72s + 1 = 0

(5)

Aby wyznaczyć równanie charakterystyczne układu należy przyrównać do zera mianownik i wyliczyć pierwiastki.

Równanie charakterystyczne to można obliczyć stosując wzór : 1+Go(s) = 0

∆ = 5024

s

1

=

=

−

1

,

785

s

2

=

=

−

0

,

015

W tym przypadku widać bezpośrednio , że układ zamknięty jest stabilny, ponieważ oba pierwiastki

istnieją i mają wartości rzeczywiste mniejsze od zera s

1,2

<0.

Obliczamy ∆ oraz pierwiastki s1,s2 na podstawie wzorów

∆ = b

2

– 4 a c

s

1,2

=

a

b

2

∆

±