...
imię i nazwisko
Łódź, 8 lutego 2016 r.
Egzamin z Równań różniczkowych
Zadanie 1. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych następującego układu równań linio- wych o stałych współczynnikach
y0 =
"
2 1
−4 −2
#
y.
Zbadać stabilność i asymptotyczną stabilność powyższego układu.
Zadanie 2. Wyznaczyć ogół rozwiązań integralnych równania y00= 3
xy0− 4
x2y, x ∈ (0, +∞), wiedząc, że jednym z jego rozwiązań jest funkcja
ϕ1(x) = x2, x ∈ (0, +∞).
Zadanie 3. Podać definicję równania liniowego pierwszego rzędu oraz podać i udowodnić twierdzenie mówiące o ogóle rozwiązań takiego równania.
Zadanie 4. Niech f : R2 → R będzie funkcją ciągłą i niech y0 = f (x, y)
będzie równaniem różniczkowym. Podać definicję rozwiązania takiego równania. Bez roz- wiązywania równania zbadać, czy funkcja ϕ określona wzorem
ϕ(x) =
1
4x2, x ∈ (−∞, 0), 0, x ∈ [0, +∞) jest rozwiązaniem integralnym równania:
y0 = −√ y w prostokącie T = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ R, y > 0}.
Zadanie 5. Udowodnić twierdzenie mówiące, że:
Jeśli λ0 ∈ R jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu
(1) y0 = Ay,
gdzie A =hakli
16k,l6n, akl∈ R, to odwzorowanie
Φ(x) = eλ0xΓ, x ∈ R
jest rozwiązaniem integralnym układu (1), gdzie Γ ∈ Rn jest wektorem własnym macierzy A związanym z wartością własną λ0, tzn. (A − λ0E)Γ = 0.
