Równania o prawych stronach analitycznych 91
9 Równania ró»niczkowe zwyczajne o prawych
stronach analitycznych
De nicja. Mówimy, »e funkcja f : E → R, gdzie E ⊂ Rm jest obszarem, jest
analityczna w punkcie (y1, . . . , ym) ∈ E, je»eli istniej¡ r1 > 0, . . . , rn > 0,
takie, »e
• (y1− r1, y1+ r1) × · · · × (ym− rm, ym+ rm) ⊂ E,
• f obci¦ta do zbioru (y1 − r1, y1+ r1) × · · · × (ym− rm, ym + rm) jest
sum¡ szeregu pot¦gowego m zmiennych zbie»nego w ka»dym punkcie tego zbioru.
Funkcja f : E → R, gdzie E ⊂ Rm jest obszarem, jest analityczna na E, gdy
jest analityczna w ka»dym punkcie tego obszaru.
Funkcja wektorowa okre±lona na obszarze E ⊂ Rm jest analityczna na E,
gdy ka»da z jej wspóªrz¦dnych jest analityczna naE.
Twierdzenie 9.1 (Twierdzenie Cauchy'ego(Kowalewskiej1)). Niech f : (a, b)×
D → Rn, gdzie D ⊂ Rn jest obszarem, b¦dzie funkcj¡ analityczn¡ na (a, b) × D. Wówczas dla ka»dego t0 ∈ (a, b) i ka»dego x0 ∈ Distnieje dokªadnie jedno
rozwi¡zanie nieprzedªu»alne ϕϕϕ: (α, β) → D zagadnienia pocz¡tkowego
x0 = f (t, x)
x(t0) = x0.
Rozwi¡zanie to jest funkcj¡ analityczn¡ na (α, β).
W zasadzie, jest to bardzo szczególna posta¢ twierdzenia Cauchy'ego Kowalewskiej: ogólnie mówi ono o analitycznych rozwi¡zaniach równa« ró»-niczkowych cz¡stkowych.
Dowód powy»szego twierdzenia zwykle przebiega w nast¦puj¡cy sposób: wykazujemy, »e szereg pot¦gowy o ±rodku w t0, speªniaj¡cy formalnie
zagad-nienie pocz¡tkowe, którego wspóªczynniki s¡ jednoznacznie wyznaczone przez wspóªczynniki rozwini¦cia Taylora w punkcie (t0, x0) funkcji f, ma dodatni
promie« zbie»no±ci.
92 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
9.1 Równania ró»niczkowe zwyczajne liniowe
jednorod-ne o wspóªczynnikach analitycznych
Twierdzenie 9.2. Zaªó»my, »e w równaniu ró»niczkowym liniowym jedno-rodnym
(RLJAn) x(n)+ p1(t)x(n−1)+ · · · + pn−1(t)x0+ pn(t)x = 0
ka»da z funkcji p1, . . . , pnjest sum¡ szeregu pot¦gowego zbie»nego na
przedzia-le (t0− r0, t0+ r0), gdzie r0 > 0. Wówczas dla ka»dego (x0, x1, . . . , xn−1) ∈ Rn
rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego
x(n)+ p 1(t)x(n−1)+ · · · + pn−1(t)x0+ pn(t)x = h(t) x(t0) = x0 x0(t0) = x1 ... x(n−1)(t0) = xn−1.
jest sum¡ szeregu pot¦gowego zbie»nego na przedziale (t0− r0, t0+ r0).
Wspóª-czynniki tego szeregu pot¦gowego mo»na wyliczy¢ przez podstawienie odpo-wiednich danych do równania.
9.2 Równania ró»niczkowe Legendre'a
De nicja. Równaniem ró»niczkowym Legendre'a 2 nazywamy równanie
ró»-niczkowe zwyczajne liniowe jednorodne
(RLegα) (1 − t2)x00− 2tx0 + α(α + 1)x = 0,
gdzie α ∈ R, rozpatrywane na przedziale (−1, 1). atwo zauwa»y¢, »e po przeksztaªceniu
x00− 2t
1 − t2x
0
+α(α + 1) 1 − t2 x = 0
funkcje p1(t) = −2t/(1 − t2) i p2(t) = α(α + 1)/(1 − t2)mo»na wyrazi¢ jako
sumy szeregów pot¦gowych zbie»nych na (−1, 1). Z Twierdzenia 9.2 wynika, »e ka»de rozwi¡zanie równania Legendre'a (RLegα) jest funkcj¡ b¦d¡c¡ sum¡
szeregu pot¦gowego zbie»nego na (−1, 1).
Równania o prawych stronach analitycznych 93
Oznaczmy przez ϕ1 rozwi¡zanie równania Legendre'a (RLegα) z
warun-kami pocz¡tkowymi x(0) = 1, x0(0) = 0, i przez ϕ
2 rozwi¡zanie
równa-nia (RLegα) z warunkami pocz¡tkowymi x(0) = 0, x0(0) = 1. Rozwi¡zania
ϕ1 i ϕ2 mo»na zapisa¢ w postaci sum nast¦puj¡cych szeregów pot¦gowych (o
przedziaªach zbie»no±ci zawieraj¡cych, na podstawie Twierdzenia 9.2, prze-dziaª (−1, 1)): ϕ1(t) = 1 + + ∞ X m=1 (−1)m(α + 2m − 1)(α + 2m − 3) . . . (α + 1)α(α − 2) . . . (α − 2m + 2) (2m)! t 2m, ϕ2(t) = t + + ∞ X m=1 (−1)m(α + 2m)(α + 2m − 2) . . . (α + 2)(α − 1)(α − 3) . . . (α − 2m + 1) (2m)! t 2m+1.
Zakªadamy odt¡d, »e α jest liczb¡ caªkowit¡ nieujemn¡ n.
Je±li n jest parzyste, wówczas we wzorze na ϕ1 tylko sko«czenie wiele
wspóªczynników jest ró»nych od zera (zatem ϕ1 jest wielomianem), za± we
wzorze na ϕ2 wszystkie wspóªczynniki s¡ niezerowe (zatem ϕ2 nie jest
wielo-mianem).
Je±li n jest nieparzyste, wówczas we wzorze na ϕ1 wszystkie
wspóªczyn-niki s¡ niezerowe (zatem ϕ1 nie jest wielomianem, za± we wzorze na ϕ2 tylko
sko«czenie wiele wspóªczynników jest ró»nych od zera (zatem ϕ2 jest
wielo-mianem).
W obu przypadkach, zbiór rozwi¡za« równania ró»niczkowego Legendre'a b¦d¡cych wielomianami tworzy przestrze« liniow¡ wymiaru jeden.
De nicja. n-tym wielomianem Legendre'a, gdzie n = 0, 1, 2, 3, . . . , nazy-wamy rozwi¡zanie Pn(·)równania ró»niczkowego Legendre'a
(RLegn) (1 − t2)x00− 2tx0+ n(n + 1)x = 0
b¦d¡ce wielomianem, znormalizowane tak, »e dla t = 1 przyjmuje warto±¢ 1. Niech
ϕ(t) := ((t2− 1)n)(n).
Oznaczmy u(t) := (t2− 1)n. Chcemy wykaza¢, »e ϕ speªnia równanie
Legen-dre'a (RLegn). Zauwa»my na pocz¡tek, »e ró»niczkuj¡c funkcj¦ u jeden raz
otrzymujemy nast¦puj¡c¡ równo±¢
94 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
Ró»niczkuj¡c powy»sz¡ równo±¢ n+1 razy otrzymujemy, wykorzystuj¡c wzór Leibniza, »e (t2− 1)u(n+2) (t) + 2t(n + 1)u(n+1)(t) + (n + 1)nu(n)(t) = = 2n(tu(n+1)(t) + 2n(n + 1)u(n)(t)), czyli (t2− 1)ψ00(t) + 2tψ0(t) − n(n + 1)nψ(t) = 0. Dalej, zauwa»my »e
ϕ(t) = ((t − 1)n(t + 1)n)(n) = ((t − 1)n)(n)(t + 1)n+ v(t) = n!(t + 1)n+ v(t), gdzie v(1) = 0. Zatem ϕ(1) = n!2n.
Z powy»szych rozumowa« wynika, »e
Pn(t) =
1
n!2n((t
2− 1)n)(n)
(jest to tzw. wzór Rodriguesa3). W szczególno±ci, n-ty wielomian Legendre'a
to wielomian stopnia n, o wspóªczynniku przy najwy»szej pot¦dze równym (2n)!/(2n(n!)2).
