Analiza - zestaw 17
Ci¡gi i szeregi liczbowe. Otwarty przedziaª zbie»no±ci szeregu pot¦gowego.
Zadanie 1. Korzystaj¡c z wniosku z twierdzenia Heinego, obliczy¢ granice ci¡gów:
a) lim
n→∞(2n+52n+3)3n+2, b) lim
n→∞
ln(1+5n)
2
n , c) lim
n→∞
√n
2n3− 3n2+ 15, d) lim
n→∞
n√ 2−1
2+(−1)n, e) lim
n→∞
5·32n+1
4·9n+5n, f) lim
n→∞
√n
10n+ 9n+ 8n+1, g) lim
n→∞
pn +√
n −p n −√
n, h) lim
n→∞lnn2 · tgn1, i) lim
n→∞(1 + en)e−n.
Zadanie 2. Korzystaj¡c z twierdzenia Heinego, udowodni¢, »e nie istniej¡ nast¦puj¡ce granice:
a) lim
x→∞cos x, b) lim
x→0ctg x, c) lim
x→1 x
x−1 d) lim
x→0e1x.
Zadanie 3. Za pomoc¡ pojedynczego symbolu P zapisa¢ nast¦puj¡ce wyra»enia:
a) Suma kwadratów wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez 3, wi¦kszych od 5, a mniejszych od 40.
b) Suma sinusów wszystkich nieparzystych wielokrotno±ci π4, pomi¦dzy 0, a 5π.
c) Ró»nica pomi¦dzy sum¡ odwrotno±ci wszystkich naturalnych liczb parzystych i wszystkich naturalnych liczb nieparzystych.
Zadanie 4. Na podstawie de nicji, zbada¢, czy poni»sze szeregi s¡ zbie»ne. Je±li tak, obliczy¢ ich sum¦:
a) P∞n=1 42n+15 , b) P∞n=154n, c) P∞n=1 3n7+4n+1n+2, d) P∞n=1 5−232nn+4 e) Pn=1∞ n(n+1)1 , f) P∞n=1lnn+3n+2.
Zadanie 5. Sprawdzi¢, czy poni»sze szeregi speªniaj¡ warunek konieczny zbie»no±ci szeregu liczbowego:
a) P∞n=1 qn
(13)n+ (25)n, b) P∞n=1sin n!n , c) P∞n=13n1+n2+n+13 , d) P∞n=1n tgn1, e) P∞n=1(n−1n+3)n+2. Zadanie 6. Wyznaczy¢ otwarty przedziaª zbie»no±ci szeregów pot¦gowych:
a) Σ∞n=1 3nn4n+12 xn, b) Σn=1∞ (x−2)n(n+1)n, c) Σ∞n=1 (sin2 1n)xn, d) Σ∞n=1
(2x+3)n
n3n , e) Σ∞n=1
(n)!
(2n!)xn, f) Σ∞n=1 (x−5)n
2n+3 , g) Σ∞n=1 (n + 1)!xn , h) Σ∞n=1
n!(n+2)!
(2n)! xn, i) Σ∞n=1
(n2+n)22n 33n xn, j) Σ∞n=1
(3n)!
nn(2n)!(3x − 1)n, k) Σ∞n=1 2n+n2
3n+n3(3x + 5)n l) Σ∞n=1
3n+5n−1 2n+3+7nxn, ª) Σ∞n=1
(2n)!
2nn2n(1 − x)n, m) Σ∞n=1 n5
(n+1)!(x + 5)2n+1, n) Σ∞n=1 (−1)n3n+1(n+1)x2n√n+1, o) Σ∞n=1
(2x−3)n
4n(n2+3n+5), p) n6+3n3n2+2 12x − 1n
, q) P∞n=1 n32+1n (3x + 12)n, r) P∞n=1 (3n4+5n7n+83+nn2+1)(2x + 6)n, s) P∞n=1 (n+1)(n+5)!n+2(14x − 2)n.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski
1
