Równania ró»niczkowe

Równania ró»niczkowe

Równania ró»niczkowe o zmiennych rozdzielonych

Denicja 1. Równanie ró»niczkowe postaci dy

dx = f (x)

g(y) czyli g(y)dy = f(x)dx

gdzie funkcje f i g s¡ ci¡gªe w pewnych przedziaªach x ∈ (a, b) y ∈ (c, d) oraz g(y) 6= 0 dla y ∈ (c, d) nazywamy równaniem ró»niczkowym o zmiennych rozdzielonych.

Metoda caªkowania równa« ró»niczkowych o zmiennych rozdzielonych polega na rozdzieleniu zmien- nych tzn. umieszczeniu ich wraz z ró»niczkami dx i dy po ró»nych stronach równania.

Algorytm metody rozdzielania zmiennych:

1. W pierwszym kroku dokonujemy rozdzielenia zmiennych:

g(y)dy = f (x)dx.

2. Obustronnie caªkujemy ró»niczki:

Z

g(y)dy = Z

f (x)dx + c, czasami lepiej zamiast c jest napisa¢ ln |c|, gdzie c 6= 0.

3. Wyznaczamy caªk¦ ogóln¡:

G(y) = F (x) + c, gdzie F i G to odpowiednio funkcje pierwotne funkcji f i g.

4.Wyznaczmy rozwi¡zanie ogólne(o ile to mo»liwe):

y(x) = ϕ(x, c).

Liniowe równania ró»niczkowe pierwszego rz¦du

Denicja 2. Równanie ró»niczkowe postaci dy

dx + p(x)y = f (x), (1)

gdzie funkcje p(x) i f(x) s¡ ci¡gªe w pewnym wspólnym przedziale (a, b) nazywamy równaniem ró»niczkowym liniowym pierwszego rz¦du.

Równanie (1) nazywamy równaniem jednorodnym, je»eli funkcja f(x) ≡ 0, w przeciwnym przypadku tzn. gdy f(x) 6≡ 0 niejednorodnym.

Rozwi¡zanie równania ró»niczkowego (1) opiera si¦ na zasadzi superpozycji:

Twierdzenie 3. Caªka ogólna y(x) równania liniowego niejednorodnego (CORN) (1) jest suma caªki ogólnej równania jednorodnego (CORJ) y 0 (x) i caªki szczególnej równania niejednorodnego (CSRN) y(x) : e

y(x) = y ₀ (x) + e y(x).

Rozwi¡za« równania postaci (1) poszukujemy w dwóch etapach:

1. Znajdujemy caªk¦ ogóln¡ równania jednorodnego (CORJ) (oznaczam j¡ przez y 0 (x) ) stosuj¡c metod¦ rozdzielania zmiennych;

2. Znajdujemy caªk¦ szczególn¡ równania niejednorodnego (CSRN) (oznaczam j¡ przez e y(x) ).

Caªki (CSRN) b¦dziemy poszukiwa¢ tzw. metod¡ uzmienniania staªej.

Metoda uzmienniania staªej

Metod¦ t¡, jak to ju» wspomniano wcze±niej, stosujemy do wyznaczenia (CSRN), ale »eby móc to zrobi¢ najpierw nale»y wyznaczy¢ (CORJ). Zatem rozwa»amy równanie jednorodne i metod¡

rozdzielania zmiennych wyznaczamy (CORJ):

y(x) = ce ^{− R p(x)dx} , ∀ _c6=0 . (2)

Na podstawie tego, »e y(x) ≡ 0 jest równie» rozwi¡zaniem liniowego równania jednorodnego, wi¦c (CORJ) zapisujemy w postaci:

y 0 (x) = ce ^{− R p(x)dx} , ∀ c∈R .

Teraz b¦dziemy stosowa¢ metod¦ uzmienniania staªej poprzez zast¡pienie w równaniu staªej c funkcj¡ c(x). Zatem (CSRN) b¦dziemy poszukiwa¢ w postaci:

e y(x) = c(x) · e ^{− R p(x)dx} . (3)

Liniowe równania ró»niczkowe drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach

Denicja 4. Równanie ró»niczkowe postaci

y ⁰⁰ + ay ⁰ + by = f (x), (4)

gdzie wspóªczynniki a, b = const., a funkcja f jest ci¡gªa w pewnym przedziale (a, b) nazywamy równaniem ró»niczkowym liniowym drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach.

Równanie (4), podobnie jak to byªo w przypadku równania liniowego pierwszego rz¦du, nazy- wamy równaniem jednorodnym, je»eli funkcja f(x) ≡ 0, w przeciwnym przypadku niejednorodnym.

Tutaj te» znalezienie (CORN) (4) opiera si¦ na zasadzi superpozycji tzn. y(x) = y 0 (x) + y(x), e gdzie y 0 (x) to (CORJ), a y(x) e to (CSRN).

a) Rozwi¡zanie równania jednorodnego y ⁰⁰ + ay ⁰ + by = 0

Denicja 5. Równanie

λ ² + aλ + b = 0 (5)

nazywamy równaniem charakterystycznym równania jednorodnego y ⁰⁰ + ay ⁰ + by = 0.

Posta¢ rozwi¡zania równania jednorodnego zale»y od znaku wyró»nika ∆ = a ² − 4b równania

2. je»eli ∆ = 0, to równanie (5) posiada jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty λ i wówczas y ₀ (x) jest postaci:

y ₀ (x) = (c ₁ x + c ₂ )e ^λx ; (7)

3. je»eli ∆ < 0, to równanie (5) posiada dwa pierwiastki zespolone (sprz¦»one ) λ 1 = α + βi, λ 2 = α − βi, wówczas y 0 (x) jest postaci:

y ₀ (x) = c ₁ e ^λ

^x + c ₂ e ^λ

^x

co na mocy wzoru e ^(α±βi)x = e ^αx (cos βx ± i sin βx) sprowadzamy do:

y ₀ (x) = e ^αx (c ₁ cos βx + c ₂ sin βx). (8) b) Rozwi¡zanie równania niejednorodnego y ⁰⁰ + ay ⁰ + by = f (x) (metoda przewidywa«) Rozwa»amy równanie ró»niczkowe drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach o prawej stronie w postaci quasi-wielomianu:

y ⁰⁰ + ay ⁰ + by = P _m (x)e ^µx . (9)

Niech λ 1 , λ ₂ b¦d¡ pierwiastkami równania charakterystycznego λ ² + aλ + b = 0 oraz µ = α ± βi, gdzie α, β ∈ R. Wówczas rozwi¡zania y(x), e w zale»no±ci od przypadku, poszukujemy zgodnie z tabel¡

Lp. posta¢ funkcji f(x) przewidywanie e y(x)

posta¢ funkcji e y(x) warunek

1. P _n (x)

Q n (x) λ 1 6= 0, λ 2 6= 0 x · Q _n (x) λ ₁ = 0 lub λ 2 = 0 x ² · Q _n (x) λ ₁ = λ ₂ = 0

2. Ae ^αx

Be ^αx λ ₁ 6= α, λ ₂ 6= α x · Be ^αx λ ₁ = α lub λ 2 = α x ² · Be ^αx λ 1 = λ 2 = α

3. e ^αx P n (x)

e ^αx Q _n (x) λ ₁ 6= α, λ ₂ 6= α x · e ^αx Q n (x) λ 1 = α lub λ 2 = α x ² · e ^αx Q _n (x) λ ₁ = λ ₂ = α

4. A cos βx + B sin βx C cos βx + D sin βx λ _1,2 6= ±βi

x · (C cos βx + D sin βx) λ _1,2 = ±βi 5. e ^αx [A cos βx + B sin βx] e ^αx [C cos βx + D sin βx] λ _1,2 6= α ± βi

x · e ^αx [C cos βx + D sin βx] λ _1,2 = α ± βi 6. P _n (x) cos βx + W _m (x) sin βx Q _l (x) cos βx + R _l (x) sin βx λ _1,2 6= ±βi

x · [Q _l (x) cos βx + R _l (x) sin βx] λ _1,2 = ±βi 7. e ^αx [P _n (x) cos βx + W _m (x) sin βx] e ^αx [Q _l (x) cos βx + R _l (x) sin βx] λ _1,2 6= α ± βi

x · e ^αx [Q _l (x) cos βx + R _l (x) sin βx] λ _1,2 = α ± βi

gdzie l = max{n, m}.

Zestaw zada«

Zadanie 1. Sprawd¹ czy dana funkcja jest rozwi¡zaniem podanego równania ró»niczkowego:

1) y = x ² + cx, xy ⁰ = x ² + y;

2) y = x · e ^1+Cx , ^dy _dx = _x ^y ln ^y _x ; 3) y = c ₁ e ^2x + c ₂ e ^−3x , y ⁰⁰ + y − 6y = 0.

Metoda rozdzielania zmiennych

Zadanie 2. Rozwi¡» równanie:

1) 6xdx − 6ydy = 3x ² ydy − 2xy ² dx; 2) y(4 + e ^x )dy − e ^x dx = 0;

3) xp4 + y ² dx + y √

1 + x ² dy = 0; 4) 6xdx − ydy = yx ² dy − 3xy ² dx;

5) (1 + e ^x )yy ⁰ = e ^x ; 6) sin y ⁰ = x;

7) xy ⁰ = y ln y; 8) y ⁰ = cos y+sin y

(sin x+cos x)

.

Zadanie 3. Znajd¹ rozwi¡zanie ogólne danego równania ró»niczkowego, a nast¦pnie wyznacz krzyw¡ caªkow¡ przechodz¡c¡ przez wskazany punkt M :

1) y ⁰ = ^y _x

^+xy y−x

, M(1,1); 2) y ⁰ = ^1+y _1+x

, M(0,1);

3) (1 + e ^x )y _dx ^dy = e ^x , M (1, 1); 4) 2 √

y = ^dy _dx , M (0, 1);

5) (xy ² + x)dx + (x ² y − y)dy = 0, M : y(0) = 1; 6) y ⁰ sin x = y ln y, M : y( ^π ₂ ) = 1.

Równania liniowe niejednorodne pierwszego rz¦du

Zadanie 4. Rozwi¡» równanie

1) (x ² + 4)y ⁰ + 3xy = x; 2) y ⁰ + y cos x = sin x cos x;

3) x ln x ^dy _dx + y = 2 ln x; 4) (ln y + x)y ⁰ = 1 5) ^dy _dx − _1+x ^2x

y = 1 + x ² ; 6) y ⁰ + y tg x = sin 2x;

7) (2x + y)dy = ydx + 4 ln ydy; 8) (x + y ² )dy = ydx;

9) y ⁰ − y = 2e ^x ; 10) y ⁰ + y = 2x ² − 2x + 1;

11) y ⁰ − y = 5 cos 2x; 12) y ⁰ − y = (3x ² + 8x + 3e ^2x ).

Zadanie 5. Rozwi¡» podane zagadnienia Cauchy'ego:

1) y ⁰ = 2y + e ^x − x, y(0) = ¹ ₄ ; 2) xy ⁰ + 2y = cos x, y( ^π ₂ ) = 0;

3) y ⁰ = − ^y _x + x, y(−1) = 1; 4) y ⁰ + ^3y _x = _x ²

, y(1) = 1;

5) y ⁰ − _x+1 ² y = e ^x (x + 1) ² , y(0) = 1; 6) y ⁰ + 2xy = −2x ³ , y(1) = ¹ _e ;

7) y ⁰ + 2xy = xe ^−x

sin x, y(0) = 1; 8) y ⁰ + y tg x = cos ² x, y( ^π ₄ ) = ¹ ₂ ;

9) y ⁰ + _2(1−x ^xy

) = ^x ₂ , y(0) = ² ₃ ; 10) y ⁰ + ² _x y = x ³ , y(1) = − ⁵ ₆ .

Równania liniowe drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach

Zadanie 6. Rozwi¡» równania liniowe o staªych wspóªczynnikach metoda przewidywa«

1) y ⁰⁰ + 4y ⁰ + 3y = 0; 2) y ⁰⁰ + 2y ⁰ + 10y = 0;

3) 2y ⁰⁰ − 5y + 2y = 0; 4) y ⁰⁰ + y ⁰ − 2y = 0;

5) y ⁰⁰ − 2y ⁰ = 0; 6) y ⁰⁰ + 4y = 0;

7) y ⁰⁰ + 4y ⁰ + 3y = 0; 8) y ⁰⁰ + 2y ⁰ + 10y = 0;

9) y ⁰⁰ − 2y ⁰ − 3y = e ^4x ; 10) y ⁰⁰ − 3y ⁰ + 2y = x cos x;

11) y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 4y = 4x; 12) y ⁰⁰ − 3y ⁰ + 2y = x ² ; 13) y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 4y = e ^2x ; 14) y ⁰⁰ − 8y ⁰ + 16y = xe ^2x ; 15) y ⁰⁰ − 3y ⁰ + 2y = sin x; 16) y ⁰⁰ + 4y = 2 cos x + sin x;

17) y ⁰⁰ + 9y = 2 cos 3x + 5 sin 5x; 18) y ⁰⁰ + 4y = x sin 2x;

19) y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 8y = e ^2x + sin 2x; 10) y ⁰⁰ − 5y ⁰ = 3x ² + sin 5x;

21) y ⁰⁰ − 2y ⁰ = (x + 1)e ^2x ; 22) y ⁰⁰ − 2y ⁰ + 2y = e ^x cos x;

23) 2y ⁰⁰ − 5y ⁰ − 7y = e ^2x + sin x; 24) y ⁰⁰ + 3y ⁰ − 4y = e ^−4x + xe ^−x . Zadanie 7.

Ciaªo o temperaturze pocz¡tkowej 100 ^o C zostaªo w chwili t = 0 umieszczone w otoczeniu o tem- peraturze staªej równej 10 ^o C i w ci¡gu 5 minut ostygªo o 20 ^o C. Przyjmuj¡c, »e pr¦dko±¢ stygni¦cia ciaªa jest wprost proporcjonalna do ró»nicy temperatur ciaªa i otoczenia, obliczy¢ po ilu minutach ciaªo ostygnie o nast¦pne 20 ^o C.

Zadanie 8.

W zbiorniku znajduje si¦ 100 litrów roztworu zawieraj¡cego 10kg soli. Do zbiornika dopªywa ci¡gle

woda z pr¦dko±ci¡ 5 l/min. Równocze±nie odpªywa roztwór z tak¡ sam¡ pr¦dko±ci¡. Ile soli b¦dzie

w naczyniu po 1 godzinie, je»eli zaªo»ymy jednakowe st¦»enie roztworu w ka»dej chwili?