Równania ró»niczkowe
De nicja 1. (równanie ró»niczkowe pierwszego rz¦du)
Niech funkcja dwóch zmiennych f(x, y) b¦dzie okre±lona i ci¡gªa w pewnym obszarze pªaskim D.
Równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz¦dunazywamy równanie postaci:
dy
dx = f (x, y), y0 = f (x, y).
Posta¢ ogólna równania ró»niczkowego pierwszego rz¦du:
F (x, y, y0) = 0, (1)
gdzie funkcja F jest okre±lona i ci¡gªa w pewnym obszarze przestrzennym.
De nicja 2. (rz¡d równania ró»niczkowego)
Rz¦dem równania ró»niczkowego nazywamy najwy»szy rz¡d pochodnej niewiadomej funkcji y(x) wyst¦puj¡cy w równaniu.
Przykªad 1. Okre±l rz¡d równania ró»niczkowego:
• xdxdy − 4x = e3x· x-rz¡d wynosi 1;
• xy00+ 3xyy0− y000+ y = 0 -rz¡d wynosi 3;
• y(IV )+ xy00− y0+ 4xy = cos 2x - rz¡d wynosi 4.
De nicja 3. (równanie ró»niczkowe n−tego rz¦du) Posta¢ ogólna równania ró»niczkowego n−tego rz¦du:
F (x, y, y0, y00, . . . , y(n)) = 0, (2) gdzie funkcja F jest okre±lona i ci¡gªa w pewnym obszarze n + 2 wymiarowym.
De nicja 4. (rozwi¡zanie równania ró»niczkowego)
Rozwi¡zaniem ogólnym równania ró»niczkowego (1) [(2)] nazywamy ka»d¡ funkcj¦ y = ϕ(x, c) [y = ϕ(x, c1, c2, . . . , cn)-zale»n¡ od n staªych] ró»niczkowan¡ [ró»niczkowaln¡ n razy] w pewnym przedziale I, która speªnia równanie (1) [(2)] w przedziale I.
Rozwi¡zywanie równa« ró»niczkowych polega na znalezieniu wszystkich funkcji φ(x). Krzyw¡
y = φ(x)nazywamy krzyw¡ caªkow¡ lub caªk¡równania (1) [(2)].
Rozwi¡zaniem szczególnymrównania ró»niczkowego (1) [(2)] nazywamy dowoln¡ funkcj¦ y = φ(x) ró»niczkowan¡ [ró»niczkowaln¡ n razy] w pewnym przedziale I, która speªnia równanie (1) [(2)] w przedziale I.
Rozwi¡zaniem osobliwym (lub caªk¡ osobliw¡) nazywamy rozwi¡zanie równania rózniczkowego, którego nie mo»na otrzyma¢ z rozwi¡zania ogólnego przez podstawienie za c1, c2, . . . cn,dowolnych warto±ci.
Przykªad 2. Rozwa»my równanie ró»niczkowe:
xy0+ y = y2. (3)
• caªk¡ ogóln¡ równania (3) jest φ(x) = 1−xc1 , dla ka»dej rzeczywistej liczby c;
• caªk¡ szczególna równania (3) jest y ≡ 1, rzeczywi±cie przyjmuj¡c w caªce ogólnej c = 0
• caªk¡ osobliw¡ równania (3) jest y ≡ 0, to rozwi¡zanie równania (3), którego nie otrzymamy z caªki ogólnej φ(x) = 1−xc1 .
De nicja 5. (warunek pocz¡tkowy) Warunek postaci
y(x0) = y0
ograniczaj¡cy rozwi¡zanie równania (1) do znalezienia caªki szczególnej przechodz¡cej przez punkt (x0, y0) nazywamy warunkiem pocz¡tkowym.
De nicja 6. (zagadnienie Cauchy'ego) Zagadnieniem Cauchy'ego dla równania ró»niczkowego pierwszego rz¦du nazywamy zagadnienie postaci:
(y0 = f (x, y), y(x0) = y0.
De nicja 7. (zagadnienie Cauchy'ego równania n−tego rz¦du) Zagadnieniem Cauchy'ego dla rów- nania ró»niczkowego n−tego rz¦du nazywamy zagadnienie polegaj¡ce na znalezieniu caªki szcze- gólnej równania ró»niczkowego (2) speªniaj¡ce warunki pocz¡tkowe:
y(x0) = y0, y0(x0) = y1, ...
y(n−1)(x0) = yn, gdzie y0, y1, . . . , yn nazywamy warto±ciami pocz¡tkowymi.
Równania ró»niczkowe o zmiennych rozdzielonych
De nicja 8. Równanie ró»niczkowe postaci dy
dx = f (x)
g(y) czyli g(y)dy = f(x)dx
gdzie funkcje f i g s¡ ci¡gªe w pewnych przedziaªach x ∈ (a, b) y ∈ (c, d) oraz g(y) 6= 0 dla y ∈ (c, d) nazywamy równaniem ró»niczkowym o zmiennych rozdzielonych.
Metoda caªkowania równa« ró»niczkowych o zmiennych rozdzielonych polega na rozdzieleniu zmien- nych tzn. umieszczeniu ich wraz z ró»niczkami dx i dy po ró»nych stronach równania.
Algorytm metody rozdzielania zmiennych:
1. W pierwszym kroku dokonujemy rozdzielenia zmiennych:
g(y)dy = f (x)dx.
2. Obustronnie caªkujemy ró»niczki:
Z
g(y)dy = Z
f (x)dx + c,
czasami lepiej zamiast c jest napisa¢ ln |c|, gdzie c 6= 0.
3. Wyznaczamy caªk¦ ogóln¡:
G(y) = F (x) + c, gdzie F i G to odpowiednio funkcje pierwotne funkcji f i g.
4.Wyznaczmy rozwi¡zanie ogólne(o ile to mo»liwe):
y(x) = ϕ(x, c).
Przykªad 3. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
2x2dy
dx = y. (4)
Rozwi¡zanie: Najpierw dokonujemy rozdzielenia zmiennych. W tym celu dzielimy przez 2yx2 zakªadaj¡c, »e y 6= 0 oraz x 6= 0. Jednak»e, widzimy »e
y(x) = 0 (5)
jest rozwi¡zaniem szczególnym równania (4), gdy» dxdy = 0. Wobec przyj¦tych zaªo»e« mamy:
1
ydy = 1 2 · 1
x2dx.
Caªkuj¡c obustronnie powy»sze równanie, mamy:
Z 1
ydy = 1 2
Z 1
x2dx + ln |c|, gdzie c 6= 0.
Obliczamy caªki:
ln |y| = − 1
2x+ ln |c|.
Delogarytmuj¡c wyznaczamy y :
y(x) = ce−2x1 , gdzie c 6= 0. (6)
Poniewa» caªka (rozwi¡zanie równania) (5) nie jest zawarta w (6), to przyjmuj¡c c = 0 w (6) zsumujemy te dwa rozwi¡zania. Ostatecznie caªk¡ równania ró»niczkowego (4) jest
y(x) = ce−2x1 , gdzie c ∈ R.
Równania ró»niczkowe pierwszego rz¦du sprowadzalne do równa« o zmiennych rozdzielonych
a) Równanie postaci:
dy
dx = f (ax + by + c), (7)
gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ oraz a, b, c ∈ R takie, »e b 6= 0. Równanie typu (7) rozwi¡zujemy poprzez wprowadzenie nowej zmiennej zale»nej za pomoc¡ podstawienia:
u(x) = ax + by + c. (8)
Ró»niczkuj¡c (8) i przeksztaªcaj¡c mamy:
du
dx = a + bdy
dx =⇒ dy
dx = 1 b ·du
dx − a
b. (9)
Podstawiaj¡c (8) i (9) do równania (7) otrzymujemy równanie rozwi¡zywalne metod¡ zmiennych rozdzielonych:
1 b · du
dx − a
b = f (u) =⇒ du
bf (u) + a = dx, o ile bf(u) + a 6= 0.
Przykªad 4. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
y0 = 4
2x + y − 2x − y − 2, gdzie 2x + y 6= 0 (10) Rozwi¡zanie: Zauwa»my, ze równanie (10) jest typu (7), gdy» y0 = 2x+y4 − (2x + y) − 2, czyli f (z) = 4z − z − 2. Zatem zgodnie z (8) dokonujemy podstawienia
u(x) = 2x + y =⇒ u0 = 2 + y0 =⇒ y0 = u0− 2, z (10) mamy:
u0− 2 = 4
u − u − 2 =⇒ du dx = 4
u − u =⇒ du
dx = 4 − u2
u . (11)
Aby rozdzieli¢ zmienne w równaniu (11) b¦dziemy je dzieli¢ przez 4−uu2 przy zaªo»eniu, »e u 6= 2 oraz u 6= −2. Nale»y sprawdzi¢ czy u = 2, u = −2 s¡ rozwi¡zaniami (11). Widzimy, »e zarówno dla u = 2 jak i u = −2 prawa strona (11) oraz dudx = 0,wobec tego u = 2 i u = −2 s¡ rozwi¡zaniami (11). Wracaj¡c do zmiennej x na wskutek podstawienia u(x) = 2x + y mamy, »e
y = −2x + 2 oraz y = −2x − 2 (12)
s¡ caªkami szczególnymi równania (10).
Dalej dziel¡c (11) przez 4−uu 2 mamy:
u
4 − u2du = dx.
Caªkujemy:
Z u
4 − u2du = Z
dx − 1
2ln |c|, ∀c6=0. (13)
Licz¡c caªk¦ z lewej strony za pomoc¡ metody podstawiania otrzymujemy
Z u
4 − u2du = −1
2ln |4 − u2|.
St¡d oraz z (13) mamy:
−1
2ln |4 − u2| = x −1 2ln |c|.
Delogarytmuj¡c
4 − u2 = ce−2x ∀c6=0. (14)
W tym miejscu zauwa»my, »e u ≡ ±2, b¦d¡ rozwi¡zaniami szczegolnymi o ile w rownaniu (14) doªaczymy c = 0. Wracaj¡c do zmiennej y (podstawienie u(x) = 2x+y) mamy uwikªane rozwi¡zanie równania (10) postaci:
(2x + y)2 = 4 − ce−2x.
b) Równanie jednorodne wzgl¦dem x i y
De nicja 9. Równanie postaci:
dy
dx = fy x
, (15)
gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ tak¡, »e f(u) 6= u nazywamy równaniem ró»niczkowym jednorodnym.
Równanie tego typu rozwi¡zujemy poprzez wprowadzenie nowej zmiennej niezale»nej za pomoc¡
podstawienia:
u(x) = y
x. (16)
Przeksztaªcaj¡c i ró»niczkuj¡c (16) mamy:
y = ux =⇒ dy
dx = xdu
dx + u. (17)
Podstawiaj¡c (16) i (17) do równania (15) na mocy zaªo»enia f(u) 6= u otrzymujemy równanie rozwi¡zywalne metod¡ zmiennych rozdzielonych:
xdu
dx + u = f (u) =⇒ du
f (u) − u = dx x . Przykªad 5. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
xy0 = y − xeyx, x 6= 0. (18)
Rozwi¡zanie: Zauwa»my najpierw, »e równanie (18) jest typu (15), gdy» dziel¡c je przez x (x 6= 0) otrzymujemy:
y0 = y
x− eyx. (19)
Zatem jest to równanie typu (15) z funkcj¡ f(z) = z − ez. Zatem zgodnie z (16) dokonujemy podstawienia
u(x) = y x.
Z powy»szego oraz z (17) równanie (19) zapisujemy w postaci:
xdu
dx+ u = u − eu =⇒ xdu
dx = −eu.
Teraz stosujemy ju» metod¦ rozdzielania zmiennych. Dziel¡c przez xeu (bez dodatkowych zaªo»e«, bo xeu 6= 0 na mocy x 6= 0 i eu > 0) i mno»¡c przez dx, a nast¦pnie caªkuj¡c mamy:
e−udu = −1
xdx =⇒
Z
e−udu = − Z 1
xdx − c, c ∈ R.
Obliczaj¡c caªki dostajemy:
−e−u = − ln |x| − c =⇒ e−u = ln |x| + c.
Logarytmuj¡c:
−u = ln
ln |x| + c .
Korzystaj¡c z u(x) = yx otrzymujemy caªk¦ ogóln¡ równania (18) w postaci:
y(x) = −x ln
ln |x| + c .
c) Równanie postaci y0 = f aa1x+b1y+c1
2x+b2y+c2
Równanie postaci
y0 = f a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2
,
gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ w pewnym przedziale, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈ R jest pewnym uogólnieniem równania jednorodnego z przypadku b).
Podczas rozwi¡zywania odró»niamy dwa przypadki.
Przypadek 1. Je»eli wyznacznik
a1 b1 a2 b2
6= 0
to ukªad równa« (
a1x + b1y = −c1
a2x + b2y = −c2
ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie x = x0, y = y0 i stosujemy podstawienie (x = ξ + x0,
y = η + y0
. (20)
Wówczas mamy:
y0 = dy dx = dη oraz dξ
f a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2
= f a1(ξ + x0) + b1(η + x0) + c1 a2(ξ + x0) + b2(η + x0) + c2
= f a1ξ + b1η + a1x0+ b1y0+ c1 a2ξ + b2η + a2x0+ b2y0+ c2
= f a1ξ + b1η a2ξ + b2η
. Zatem
dη
dξ = f a1ξ + b1η a2ξ + b2η
. Po wyª¡czeniu ξ i skróceniu mamy:
dη
dξ = f a1+ b1ηξ a2+ b2η ξ
! .
Widzimy zatem, »e w ten sposób rozpatrywany typ równania ró»niczkowego zostaª sprowadzony do równania jednorodnego (patrz podpunkt b)).
Przypadek 2. Je»eli wyznacznik
a1 b1 a2 b2
= 0 ⇐⇒ a1b2− a2b1 = 0 co oznacza, »e wspóªczynniki a1, a2 oraz b1, b2 s¡ proporcjonalne:
a1b2− a2b1 = 0 ⇔ a2 a1 = b2
b1 = k ⇔
(a2 = ka1 b2 = kb1.
Wówczas
dy dx = f
a1x + b1y + c1 k(a1x + b1y) + c2
. (21)
Nast¦pnie, poniewa» przynajmniej jedna z liczb b1, b2 6= 0 (niech b1 6= 0) dokonujemy zamiany:
z(x) = a1x + b1y. (22)
Ró»niczkuj¡c dostajemy dz
dx = a1+ b1
dy
dx ⇒ dy
dx = 1 b1
dz dx − a1
b1. Zatem równanie (21) przyjmie posta¢
1 b1
dz dx− a1
b1 = f z + c1 kz + c2
,
a wi¦c otrzymamy równanie które rozwi¡zujemy metod¡ zmiennych rozdzielonych.
Przykªad 6. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
dy
dx = x + 3y − 4
5x − y − 4 (23)
Rozwi¡zanie: Najpierw obliczamy wyznacznik
1 3 5 −1
= −16.
Zatem mamy tutaj przypadek pierwszy. Rozwi¡zujemy ukªad równa«:
(x0+ 3y0 = 4;
5x0 − y0 = 4 ⇒
(x0 = 1;
y0 = 1.
Wówczas na podstawie (20) stosujemy podstawienie:
(x = ξ + 1;
y = η + 1 do równania (23) otrzymuj¡c:
dη
dξ = ξ + 3η
5ξ − η ⇒ dη
dξ = 1 + 3ηξ 5 − ηξ .
Jest to równanie jednorodne dlatego te» w kolejnym kroku stosujemy podstawienie z = η
ξ ⇒ η = ξz ⇒ dη
dξ = z + ξdz dξ dostaj¡c:
z + ξdz
dξ = 1 + 3z 5 − z .
Mamy wi¦c ξdz
dξ = 1 + 3z
5 − z − z ⇒ ξdz
dξ = z2− 2z + 1
5 − z ⇒ 5 − z
z2− 2z + 1dz = 1 ξdξ o ile z 6= 1, widzimy równie», »e z = 1 jest rozwi¡zaniem równania (23). Caªkuj¡c mamy
Z 5 − z
z2− 2z + 1dz = Z 1
ξdξ. (24)
Poniewa» Z
5 − z
z2− 2z + 1dz =
Z −1
z − 1dz + 4
(z − 1)2dz, wi¦c z (24) mamy
− ln |z − 1| − 4
z − 1 = ln ξ + ln |c|, c 6= 0.
St¡d przeksztaªcaj¡c mamy
−4
z − 1 = ln cξ(z − 1), ⇒ ez−1−4 = cξ(z − 1).
Zauwa»my, »e z = 1 nie speªnia powy»szego równania, zatem z = 1 jest caªk¡ osobliw¡. Na koniec, poniewa»
z = η
ξ = y − 1 x − 1, mamy rozwi¡zanie ogólne
e
−4 y−1 x−1−1
= c(x − 1) y − 1 x − 1− 1
, ⇒ e−4(x−1)y−x = c(y − x) oraz rozwi¡zanie osobliwe
y − 1
x − 1 = 1, ⇒ y = x.
Przykªad 7. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
dy
dx = x + y + 1
−2x − 2y + 1 (25)
Rozwi¡zanie: Najpierw obliczamy wyznacznik
1 1
−2 −2
= 0.
Tym razem mamy przypadek drugi, zatem stosujemy podstawienie (22):
z(x) = x + y.
Poniewa»
dz
dx = 1 + dy
dx, ⇒ dy
dx = dz dx − 1, z (25) otrzymujemy
dz
dx − 1 = z + 1
−2z + 1, ⇒ dz
dx = −z + 2
−2z + 1, ⇒ −2z + 1
−z + 2 dz = dx,
o ile z 6= 2. Widzimy, »e z ≡ 2 jest rozwi¡zaniem powy»szego równania. Caªkuj¡c mamy:
Z −2z + 1
−z + 2 dz = Z
dx, ⇒ Z
2 − 3
−z + 2dz = Z
dx, ⇒ 2z + 3 ln |2 − z| = x + c, gdzie c ∈ R. Zauwa»my, »e z ≡ 2 nie jest rozwi¡zaniem tego równania. Wówczas na podstawie z = x + y otrzymujemy caªk¦ ogóln¡ postaci
2(x + y) + 3 ln |2 − x − y| + x + c, c ∈ R oraz caªk¦ szczególn¡
y = 2 − x.
d) Uogólnione równanie jednorodne.
Je»eli wprowadzenie nowej zmiennej:
y(x) = zm(x)
sprowadza rozpatrywane równanie do równania jednorodnego to nazywamy je uogólnionym rów- naniem jednorodnym.
Przykªad 8. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe:
2xy0+ y = x2p
x − x2y2, gdzie x ≥ x2y2. (26) Rozwi¡zanie: Równanie to nie jest równaniem ró»niczkowym z »adnych wcze±niej poznanych typów.
Sprawd¹my, czy jest to uogólnione równanie jednorodne. Stosujemy podstawienie:
y = zm, ⇒ y0 = mzm−1z0 do równania (26), mamy
2mxzm−1z0+ zm = z2m√
x − x2z2m. Porównujemy teraz pot¦gi x z, dostajemy równania
m = m = 2m + 1
2 = 3m + 1.
Równo±ci te speªnione s¡ dla m = −12. St¡d wynika, »e stosuj¡c podstawienie y = z−12, ⇒ y0 = −1
2z−32z0 dla równania (26) otrzymamy równanie jednorodne:
−xz−32z0+ z−12 = z−1√
x − x2z−1, ⇒ −z0+ z
x =r z x− 1.
Zatem w powy»szym równaniu kªadziemy z
x = u ⇒ z = xu ⇒ z0 = u + xu0, dostaj¡c
−xu0 =√
u − 1 ⇒ du
√u − 1 = −1
xdx, o ile u 6= 1.
u ≡ 1jest rozwi¡zaniem. Caªkujemy
Z du
√u − 1 = − Z dx
x + ln |C|, C 6= 0 wi¦c
2√
u − 1 = − ln |x| + ln |C|, ⇒ 2√
u − 1 = ln
C x . Delogarytmujemy
C x = e2
√u−1.
Tutaj mo»emy zauwa»y¢, »e caªka u ≡ 1 jest rozwi¡zaniem osobliwym, dla »adnej warto±ci C u ≡ 1 nie speªnia równania. Z faktu, »e u = zx = y−2x = xy12,mamy caªk¦ ogóln¡:
C x = e2
q 1 xy2−1
, o ile x ≥ x2y2 oraz caª¦ szczególn¡:
1
xy2 = 1, ⇒ y = ± r1
x, o ile x > 0.
