Idea aproksymacji

2.



2. IDEA APROKSYMACJI

2.1. Pręt jednowymiarowy

Sposób dojścia do sformułowania macierzy sztywności prostego elementu:

1 2 v1 u1 v2 u2 x1 L (Rys. 1)

Liniowa funkcja przemieszczeń:

u = c1 c2 x (2.1)

Globalny wektor przemieszczeń

d =

[d

1

d

2

]=[u

1

u

2

]

Warunki brzegowe:

x=0 u=d1  c1=d1

x=L u=d2  c2=

d2−d1

L

Przemieszczenie dowolnego punktu:

u

=

[

1−

x

L

,

x

L

]

[

d

1

d

2

]

=N d

(2.2)

Stan odkształcenia (tylko jedna składowa):

=[x]=Lu= du dx= dN dx d=Bd B=N ,x= 1 L[−1 ,1] (2.3)

Wektor naprężenia (tylko jedna składowa):

=

[

x

]

=D =E x=E B d _(2.4)

Macierz sztywności elementu:

K=

∫

V BT_{D B dV=}E L2

[

−1₁

]

[−1 ,1]⋅

∫

0 L

∫

A dA dx=EA L

[

−1 11−1

]

(2.5)

Siła masowa zmienia się liniowo:

bx=b1

b₂−b1

L x (2.6)

Wektor sił masowych działających w węzłach:

pb= ˙

∫

0 L NTbxd x= L 6

[

2 b1b2 b12 b2

]

(2.7)

Twierdzenie o minimum całkowitej energii potencjalnej: spośród wszystkich kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszczeń spełnia się to, które całkowitej energii potencjalnej zapewnia minimum.

Całkowita energia potencjalna układu:

=U −W (2.8)

gdzie U – energia sprężysta ciała W – praca sił zewnętrznych

U=

∫

ijijdV=

∫

V T_{ dV} W= piui

∫

V biuidV=u T_p 

∫

V uT_{b dV} (2.9)

Po wstawieniu zależności (#)do wzoru(#)otrzymujemy

=1₂

∫

V T  dV −

∫

V uT_{b dV} −

∫

S uT_p∧_dS (2.10) u=N d =Bd =D  (2.11) Dla elementu

e= 1 2

∫

_{V e}d T_BT_{D B d dV} −

∫

V e dT_NT_{b dV} −

∫

S e dT_NT_p✶_dS (2.12) ∂ e ∂ d =0 ⇒

∫

Ve BT_{D B dV d} − pe=Kd − pe gdzie pe=

∫

V NT_{b dV} 

∫

S e NT_p✶_dS (2.13)

Energia sprężysta elementu belkowego:

Ue= 1 2

∫

V T  dV =1 2

∫

V T D dV =E 2

∫

V e x 2 dV (2.14)

Odkształcenie sprężyste dla belek (Bernoulli'ego): x=−y

d2_v

dx2 (2.15)

Po podstawieniu powyższej zależności do poprzedniego wzoru i uwzględnieniu że

∫

A y2dA=J _(2.16) otrzymujemy: Ue= E 2

∫

V e



−yd2v d x2



2 dV=E 2

∫

V e y2



d2v d x2



2 dV=E 2

∫

0 l



d2_v d x2



2

∫

A y2_{dA dx=}EJ 2

∫

0 l



d2_v d x2



2 dx (2.17)

Dla elementu belkowego:

L x d1 d3 z d2 y d2 d4 (Rys. 2)

d = [d1 d2 d3 d4]=[v1 1 v2 2] =dv_dx x= d ux dx (2.18) Zależności kinematyczne 1= d v₁ dx 2= d v₂ dx (2.19)

Aproksymacja pola przemieszczeń:

v x=c1c2xc3x 2_c 4x 3 _(2.20) Warunki brzegowe: x=0 v0=v1 oraz dv0 dx =1 x=l v1=v2 oraz dv1 dx =2 (2.21)

Macierz funkcji kształtu elementu belkowego:

N=1 l3

[

2 x 3 −3lx2 l3 , lx3−2 x2 l2xl3 ,−2 x3 3lx2 , lx3−x2 l2

]

(2.22) Przemieszczenie podłużne: ux=−ydv dx (2.23a) Odksztalcenia: x= du dx=−y d2_v dx2=−y  , gdzie = d2_v dx2 (2.23b) Operator różniczkowy: L=−y d 2 dx2 (2.24)

Zatem

B=L N =−y

l3

[

12 x−6 l ,6 lx−4 l

2_{,−12 x6 l ,6 lx−2 l}2

]

(2.25)

Macierz sztywności elementu belkowego w układzie lokalnym:

Ke= EIz l3

[

12 6 l −12 6 l 6 l 4 l2 _{−6 l 2 l}2 −12 −6 l 12 −6 l 6 l 2 l2 −6 l 4 l2

]

(2.26) Zadanie 1 A u = ? L P

Obliczyć o jaką wielkość wydłuży się pręt. Posłużyć się zasadą wariacyjną. Korzystamy z równania:

=U −L

U=1

2

∫

_ijijd

Wyrażenia na σij i εij zapisane w przemieszczeniach:

ij=

1

2 uj , iui , j

ij=E ij

W jednoosiowym stanie naprężenia tensor σij ma postać:

=

[

11 0 0 0 0 0 0 0 0

]

,gdzie 11= P A Wektor przemieszczeń:

u=[u1 u2 u3]=[u 0 0]

Zatem wektor odkształcenia:

=

[

∂ u ∂ x1 0 0 1 2 ∂ u ∂ x2 1 2 ∂ u ∂ x3 0

]

Mnożąc tensory otrzymujemy:

T ⋅=11 ∂u ∂ x1 11=E 11 =E⋅ ∂ u1 ∂ x1 U=1 2

∫

_11 ∂u1 ∂ x1 d=1 2 ⋅

∫

_E ∂ u1 ∂ x1 ∂ u ∂ x1 d=1 2

∫

l

∫

A E∂ u1 ∂ x1 ∂ u ∂ x1 dA dx1 =1 ₂EA

∫

0 l ∂ u1 ∂ x1 ∂ u ∂ x1 dx1 L=1 ₂

∫

0 u P du=1 ₂ P u =U −L ∂  ∂ x1 =0 1 2⋅EA ∂u1 ∂ x1 ∂u ∂ x1 −1 ₂ P ∂u ∂ x1 =0 ∂u ∂ x1



EA∂ u1 ∂ x1 −P



=0 du1 dx1 =_EAP du1 = P EAdx1

∫

0 u du1 = P EA

∫

₀ l dx1

Szukane wydłużenie pręta:

u= P

Zadanie 2

Udowodnić, że poszczególne wiersze macierzy sztywności elementu belkowego Ke przedstawiają

wzory transformacyjne metody przemieszczeń.

i k

vi vk

φi _φk

l

Wzory transformacyjne metody przemieszczeń:

ik= vk−vi l = vk l − vi l Mik= 2 EI l



2ik−3ik



= 4 EI l i 2 EI l k− 6 EI l2 vk 6 EI l2 vi= EI l3



6 lvi4 l 2 i−6 lvk2l 2 k



Mki= 2 EI l



2ki−3ik



= 4 EI l k 2 EI l i− 6 EI l2 vk 6 EI l2 vi= EI l3



6 lvi2l 2_ i−6 lvk4 l 2_ k



Tik=Tki= MikMki l =− 6 EI l2



ik−2ik



=−6 EI l2 i−6 EI l2 k12 EI l3 vk−12 EI l3 vi = =EI l3



−12 vi−6 l i12 vk−6 l k



Macierz sztywności elementu belkowego w układzie lokalnym:

Ke= EIz l3

[

12 6 l −12 6 l 6 l 4 l2 −6 l 2 l2 −12 −6 l 12 −6 l 6 l 2 l2 −6 l 4 l2

]

Mnożąc wiersze macierzy sztywności elementu przez wektor przemieszczeń węzłowych powinniśmy otrzymać wzory transformacyjne metody przemieszczeń:

EI l3

[

12 6 l −12 6 l 6 l 4 l2 −6 l 2 l2 −12 −6 l 12 −6 l 6 l 2 l2 −6 l 4 l2

]

⋅

[

v_i i v_k k

]

=K⋅de

Porównując współczynniki ze wzorów transformacyjnych i elementy macierzy sztywności można stwierdzić, że wiersze macierzy sztywności odpowiadają wzorom transformacyjnym metody przemieszczeń.

Odpowiednio wiersz pierwszy – Tik, drugi – Mik, trzeci – Tki, czwarty – Mki. Niezgadzają się jednak znaki

w wyrażeniu na Tik. Jest to związane z inną konwencją znakowania tnących niż w metodzie przemieszczeń.

2.2. Aproksymacyjne metody rozwiązań różniczkowych

Idea aproksymacji:

{u}x , y , z=[N]x , y , z⋅{d } (2.27)

gdzie {u}(x, y, z) oznacza nieznane pola przemieszczeń, [N](x, y, z) funkcje próbne (kształtu), natomiast {d} wybrane punkty przemieszczeń.

Macierz sztywności elementu w układzie lokalnym możemy zdefiniować:

[

Ke

]

=

∫



[

BT

]

_[D][B]d

 _(2.28)

[B]=[L][N] (2.29)

Dokładność różniczkowania wyrażenia 2.29 będzie wpływać na dokładność macierzy kształtu.

Jeżeli macierz sztywności nie zależy bezpośrednio od przemieszczeń węzłów to mamy do czynienia z zadaniem liniowym, w którym:

{}=[B]⋅{d } (2.30)

{}=[ D]⋅{} (2.31)

Otrzymujemy układ równań:

[ K ]⋅{d }={ p} (2.32)

Warunkiem koniecznym istnienia rozwiązań tego układu jest:

Stąd po przekształceniu:

[ K ]−1_{[ K ]{d }=[ K ]}−1_{{p} (2.34)}

Warto zauważyć, że iloczyn

[ K ]−1_{[ K ] (2.35)}

daje w efekcie macierz jednostkową.

Aby zadanie było liniowe, muszą zachodzić następujące warunki: 1. Macierz sztywności {K} ma charakter

• symetryczny,

• pasmowy.

2. Zasada zesztywnienia – warunki równowagi zapisujemy w konfiguracji nieodkształconej.

k “0”

k “k”

Rys. 2.4. Konfiguracja początkowa i końcowa

Zakładamy, że k “0” = k “k”, przy czym k “0” oznacza konfigurację zerową (początkową), natomiast k “k” konfigurację końcową (po przemieszczeniu).

3. Rodzaj materiału.

Zrezygnowanie z zasady zesztywnienia powoduje, iż zadanie staje się zadaniem nieliniowym. Nalezy

pamiętać również o tym, że aby obliczyć wyrażenie 1

2

∫

ijijd , σij oraz εij muszą byc przyjęte według tej

samej definicji.

100 1

Rys. 2.5. Pręt rozciągany

Załóżmy, że długość początkowa wynosi 100, a zmierzone wydłużenie 1. Definiując σij, εij

przyjmujemy tę samą zasadę, na przykład stosunek przyrostu do długości końcowej lub przyrostu do długości początkowej: = wydłużenie dł. początkowa= 1 100 lub = wydłużenie dł. końcowa= 1 101

2.3. Transformacja

Macierz sztywności transformujemy do układu globalnego:

K_e Kg (2.36)

otrzymując w układzie globalnym zależność

[ Kk]⋅{D}={P} (2.37)

Dla wielu elementów praktyczne jest wyznaczenie macierzy sztywności w układach lokalnych. Transformację trzeba jednak zastosować, ponieważ składowe wszystkich macierzy sztywności należy wyrazić w odniesieniu do jednego wspólnego układu współrzędnych.

i j V' i v ' i U' i u ' i V' j v ' j U' j u ' j y' x' e e – element

U, V – odpowiednie siły węzłowe u, v – przemieszczenia węzłów

Rys. 2.6. Dwuwymiarowy układ kratowy

W powyższym przypadku łatwiej będzie operować w układach lokalnych, a dopiero na koniec transformować odpowiednie macierze i wektory do globalnego (wspólnego) układu odniesienia.

Wydłużenie wynosi: =Nl EA (2.38) Ui'= EA l ui'−uj' (2.39) Uj'= EA l uj'−ui' (2.40) Vi'=0 (2.41) Vj'=0 (2.42)

Równanie równowagi należy zapisać w postaci układu równań. Stąd otrzymamy:

EA l

[

1 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 0

]



macierz sztywności

[

ui' vi' uj' vj'

]

=

[

Ui' Vi' Uj' Vj'

]

(2.43) przy czym L=



 xj−xi 2  yj− yi 2 _(2.44)

a zatem równanie w postaci macierzowej, w układzie lokalnym i w odniesieniu do odpowiedniego elementu przyjmie postać:

Ke '_d e ' = pe ' _(2.45)

Wiemy, iż macierz sztywności jest symetryczna i osobliwa, natomiast z chwilą wprowadzenia warunków brzegowych macierz traci osobliwość.

Ke ' =

∫

V BT_{D B dV} (2.46) u x=N d =

[

N1 x N2 x

]

[

u1 u2

]

(2.47) N1x=1− x l (2.48) N2 x= x l (2.49)

Odkształcenia możemy opisać wzorem

=L u=L N d =B d =x=u ,x= d dx

[

N1 N2

]

[

u1 u2

]

=

[

−1 l 1 l

]



B

[

u1 u2

]

(2.50) a naprężenia =x=E x−0 (2.51) gdzie 0= T (2.52)

oznacza początkowe odkształcenie przy działaniu temperatury ΔT; α jest współczynnikiem rozszerzalności cieplnej.

y x j x' e i y' y x r_x r_y P r i j y x P r i j y' x' i' j' (a) (b)

Rys. 2.7. Wektor r w układzie globalnym (a) i lokalnym (b)

Wektor r w układzie globalnym opisuje wyrażenie

r=rx⋅iry⋅j (2.53)

a w układzie lokalnym

r=rx'⋅i 'ry'⋅j ' (2.54)

Przyrównując do siebie obie postaci:

r_x⋅iry⋅j=rx'⋅i 'ry'⋅j ' (2.55)

Po obustronnym pomnożeniu przez wersor i oraz pamiętając, że iloczyn dwóch tych samych wersorów wynosi 1, a wersorów ortogonalnych (na przykład ij) 0, otrzymujemy:

rx=rx' i⋅i 'ry' i⋅j ' (2.56)

n11=cosx , x '=i i ' (2.57)

n12=cosx , y '=i j ' (2.58)

Otrzymujemy

rx=n11rx'n12ry' (2.59)

co w zapisie macierzowym przybiera postać

[

rx ry

]

=

[

n11 n12 n21 n22

][

rx' ry'

]

(2.60)

Należy pamiętać o zależnościach

r=T r ', (2.61)

r '=TT_{r , (2.62)}

TT_=T−1_{, (2.63)}

gdzie T oznacza macierz transformacji. Dla przemieszczeń:

[

ui' vi' uj' vj'

][

n11 n21 0 0 n12 n22 0 0 0 0 n11 n21 0 0 n12 n22

][

ui vi uj vj

]

(2.64) de ' =R de (2.65) gdzie R=

[

T T ₀ 0 TT

]

(2.66) de=

[

ui vi uj vj

]

T (2.67) Dla obciążeń:

p_e' =R pe (2.68) gdzie pe=

[

Ui Vi Uj Vj

]

T (2.69)

Stąd po uwzględnieniu powyższych zależności i podstawieniu do wzoru 2.45 otrzymujemy

Ke '_{R d}

e=R pe (2.70)

Mnożymy obustronnie przez RT _(RT_=R-1_{, R}T_R=R-1_R=I):

RT_K e '_R



Ke d_e= pe _(2.71)

Ostatecznie równanie elementu wyrażone w układzie globalnym przyjmuje postać

Kede= pe (2.72)

Otrzymując macierze sztywności w układzie globalnym dla poszczególnych elementów można przejść w łatwy sposób do scalenia konstrukcji (składającej się z tych elementów) poprzez agregację.

Agregacja macierzy sztywności polega na sumowaniu odpowiednich składowych macierzy

sztywności elementów Ke (przetransformowanej do układu globalnego) w odpowiednich miejscach

macierzy K (całego układu). Agregacja zapewnia nam:

• równość przemieszczeń węzłów, które należą do różnych elementów,

• nierozdzielność odkształceń – warunek ciągłości,

• zwiększenie sztywności odpowiednich wyrazów macierzy K.

Agregacja macierzy sztywności nie powoduje utraty przez nią symetryczności bądź stania się nieosobliwą. Natomiast wprowadzenie warunków brzegowych spowoduje nieosobliwość wyżej wymienionej macierzy. Jest to modyfikacja odpowiednich układów równań mająca na celu narzucenie, iż przemieszczenia danych punktów podporowych będą równały się zeru.

Po rozwiązaniu zadania należy rozważyć, czy konstrukcja została dobrze zdefiniowana, zaprojektowana, rozwiązana. Celem jest znalezienie optymalnego rozwiązania.