Wykad 5

MECHANIKA 2

Wykład Nr 5

KINEMATYKA

RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY

Określenie położenia ciała sztywnego

Pierwszy sposób:

Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących na jednej prostej.

Określenie położenia ciała sztywnego

Drugi sposób:

układ nieruchomy

układ

ruchomy

sztywno związany z

bryłą

ζ

χ

ξ

,

,

,

A

z

y

x

,

,

,

0

gdzie:

Określenie położenia ciała sztywnego

Określenie położenia bryły → wyznaczenie położenia układu względem układu nieruchomego.

ζ

χ

ξ

,

,

,

A

(1)

Równanie ruchu:

Po podstawieniu do (1):

Określenie położenia ciała sztywnego

Osie układu stałego

tworzą z osiami

układu

ruchomego kąty, których kosinusy oznaczymy kolejno:

z

y

x

,

,

ξ

χ

ζ

ζ

(2)

Określenie położenia ciała sztywnego

ξ

χ

ζ

x

y

z

Kosinusy te można przedstawić za pomocą tabelki

Mnożąc skalarnie równanie (2) kolejno przez

:

Następnie mnożąc kolejno równanie (2) skalarnie przez

wektory :

Określenie położenia ciała sztywnego

,

,

,

χ

ζ

ξ

ρ

ρ

ρ

(4)

(3) – współrzędne dowolnych punktów bryły w układzie stałym;

(4) – współrzędne dowolnych punktów bryły w układzie ruchomym.

,

,

,

A

y

z

x

Mamy 12 wielkości zależnych od czasu t:

Związki między kosinusami:

Mamy więc sześć wielkości niezależnych:

trzy (niezależne od siebie) kosinusy kierunkowe

Ciało sztywne ma sześć stopni

swobody.

,

,

,

y

z

x

Ruchem kulistym nazywamy taki ruch ciała sztywnego, w którym jeden jego punkt A pozostaje nieruchomy (rys. 1).

Tory wszystkich pozostałych punktów ciała sztywnego leżą na powierzchniach kul o środku w punkcie A.

Ciało sztywne może obracać się tylko dookoła osi przechodzących przez nieruchomy punkt A, zwany środkiem obrotu kulistego.

O – środek obrotu kulistego.

Łuk , zawarty w powierzchni kulistej (tj. powierzchni

poruszającej się po powierzchni jednej kuli), porusza się z położenia do położenia poprzez obrót dookoła punktu C, w którym przecinają się łuki prostopadłe do i wyprowadzone z ich środków (rys. 2).

Rys. 2

AB

A

B

1

AA

BB

AB

Ruch kulisty bryły

Zamiast łuku można przyjąć przekrój bryły na powierzchni rozpatrywanej kuli.

Ponieważ w ruchu tym punkty O i C są nieruchome, to ruch ten odbywa się wokół osi przechodzącej przez punkty O i C.

Rys. 2

Oś

obrotu

przechodząca

przez punkty OC nazywa

się chwilową osią obrotu.

Przyjmijmy

położenie

II

nieskończenie

blisko

położenia I tak, że bryła przechodzi z I do II w

nieskończenie krótkim czasie.

Ruch kulisty bryły

Miejscem geometrycznym tych osi w układzie

jest

powierzchnia stożkowa zwana aksoidą stałą

(wszystkie osie przechodzą przez punkt 0).

Miejscem geometrycznym tych osi w układzie

jest

powierzchnia stożkowa zwana aksoidą ruchomą.

z

y

x

,

,

,

0

ζ

χ

ξ

Wierzchołki obu tych aksoid zbiegają się w środku

ruchu kulistego 0.

Przyjmujemy, że: Stąd:

,

0

,

0

,

0

=

=

=

y

z

x

6 zależności pomiędzy kosinusami kierunkowymi

Własność!

Ruch kulisty będzie określony, jeżeli znana będzie zależność od czasu trzech niezależnych od siebie kosinusów kierunkowych określających położenie układu ruchomego względem układu stałego.

Kąty Eulera

Przyjmujemy stały układ 0, x, y, z i w tym samym początku 0 ruchomy 0, ξ, χ, ζ. Rys. 3 ϕ kąt obrotu

Kąty Eulera:

ψ−

precesji

,

υ −

nutacji,

ϕ −

obrotu

kątami Eulera (Rys. 3)

linia węzłów

Rys. 3

Równania ruchu kulistego:

)

(

),

(

),

(

t

ϕ

ϕ

t

υ

υ

t

ψ

ψ

=

=

=

0 – początek układu stałego i ruchomego w środku ruchu kulistego

Pole prędkości w ruchu kulistym

Po zróżniczkowaniu:

Moduł wektora prędkości jest równy Rys. 4

Oczywiście rozważany na rys. 4 punkt nie porusza się stale po okręgu o promieniu r, lecz oś obrotu chwilowego zmienia z czasem swoje położenie, a więc z czasem zmienia się odległość r. W rezultacie punkt ten porusza się po krzywej leżącej na powierzchni kuli o promieniu r_i.

Pole przyspieszeń w ruchu kulistym

Wektor prędkości kątowej leży na chwilowej osi obrotu.

Rys. 5

ale i

Lub:

Pole przyspieszeń w ruchu kulistym

W ruchu kulistym przyspieszenie dowolnego punktu bryły

jest sumą geometryczną przyspieszenia normalnego i

stycznego.

– wartość

przyspieszenia

stycznego

– wartość

przyspieszenia

normalnego.

Z położenia I do położenia II bryła porusza się za

pomocą przesunięcia (ruchu postępowego) i obrotu

(ruchu obrotowego) dookoła osi przechodzącej przez

obrany biegun.

Ruch ogólny

– współrzędne punktu A w układzie .

Przemieszczenie bryły w ruchu ogólnym

Ruch ogólny jest więc złożony z ruchu postępowego i

kulistego.

Współrzędne bieguna A jak i kąty Eulera są pewnymi

funkcjami czasu stąd równania ruchu ogólnego mają postać

z

y

x

,

,

,

0

y

z

x

,

,

υ

ϕ

ψ

,

,

_{– kąty, wokół których obraca się ciało}

Równania ruchu ogólnego:

Po zróżniczkowaniu równania ruchu:

wiedząc, że

– prędkość ruchu postępowego,

Pole prędkości bryły w ruchu ogólnym:

Składowe wektora prędkości w układzie stałym

mają postać:

Różniczkując równanie na pole prędkości bryły w ruchu

ogólnym:

Pole przyspieszeń w ruchu ogólnym

czyli

– przyspieszenie styczne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A.

Przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu

ogólnym jest sumą geometryczną przyspieszenia ruchu

postępowego, przyspieszenia stycznego i normalnego.

Pole przyspieszeń w ruchu ogólnym

– przyspieszenie normalne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A.

A

a

ρ

–

przyspieszenie

ruchu

postępowego.

W gniotowniku wał o długości 2R, na którego końcach osadzone są dwie tarcze o promieniu r, obraca się wokół pionowej osi ze stałą prędkością kątową ω₁, przy czym tarcze toczą się bez poślizgu. Znaleźć aksoidy tarczy, jej prędkość kątową oraz prędkość punktu C tarczy (rys. a)).

Rozpatrzmy ruch tylko prawej tarczy, gdyż ruchy obu z

nich są równoległe.

Wprowadzamy układ nieruchomy i ruchomy o środku w

punkcie O.

ROZWIĄZANIE

Oś OA – chwilowa oś obrotu.

Punkt O – środek ruchu kulistego.

Punkt A oraz oś OA – zmieniają swoje położenia w obu

układach.

ROZWIĄZANIE

Miejsce geometryczne punktów styczności

W układzie stałym Okrąg w płaszczyźnie poziomej o promieniu R

W układzie ruchomym Obwód toczącej się tarczy (okrąg o promieniu r) Aksoidy stałe W układzie stałym Stożek o rozwarciu 2β W układzie ruchomym Stożek o rozwarciu 2α

Zależności między kątami 2

β

α

Wniosek: Ruch tarczy można odtworzyć przez toczenie po sobie bez

poślizgu dwóch stożków kołowych. Ruch taki nazywa się precesją

regularną.

ROZWIĄZANIE

Aby znaleźć prędkość tarczy, która jest skierowana wzdłuż chwilowej osi obrotu, rozpatrzymy ruch punktu B (środka tarczy). Z jednej strony, prędkość punktu B jest równa

Z drugiej strony, rozpatrując ruch tarczy jako ruch obrotowy wokół chwilowej osi obrotu, znajdziemy

ROZWIĄZANIE

Stąd:

Prędkość punktu C znajdziemy traktując ruch tarczy jako chwilowy ruch obrotowy wokół osi 0A

gdzie DC jest odległością punktu C od chwilowej osi obrotu