Zasad Prac Wirtualnych - wyznaczanie przemieszczeń w kratownicy. Wstęp do metody sił.

Wyznaczanie przemieszcze

_ń

w kratownicy

∑

∫

=

⋅

⋅

=

⋅

=

n

P

_P

_P

P

p

P

L

E

A

N

L

N

dL

EA

N

N

1

δ

Całkujemy siły normalne na poszczególnych pr

ę

tach

Zadanie: Wyznacz przemieszczenie pionowe w

ę

zła A

z zasady prac wirtualnych, EA=const

3

18kN

16kN

A

4

3

Wyznaczenie reakcji

3

V =4kN

1

H =18kN

1

1

2

V =20kN

2

18kN

16kN

A

4

3

Wyznaczenie sił w pr

ę

tach od obci

ąż

enia zewn

ę

trznego

18kN

16kN

A

4

3

3

V =4kN

1

H =18kN

1

1

2

V =20kN

2

3

4

D

1

D

2

G

1

S

1

K

1

S

2

K

2

Wykres sił normalnych w kratownicy

18kN

16kN

A

4

3

V =4kN

1

H =18kN

1

1

2

V =20kN

2

3

4

18

4

15

15

20

5

25

N

[kN]

3

Obci

ąż

enie wirtualne

1

A

4

3

3

1

2

Obci

ąż

enie wirtualne

1

A

4

3

3

V =1/2

1

H =0

1

1

2

V =1/2

2

Wyznaczenie sił od obci

ąż

enia wirtualnego

1

A

4

3

3

V =1/2

1

H =0

1

1

2

V =1/2

2

4

3

S

1

S

2

D

1

D

2

G

₁

K

1

K

2

Wykres sił od obci

ąż

enia wirtualnego

1

A

4

3

3

V =1/2

1

H =0

1

1

2

V =1/2

2

3

4

1/2

3/8

3/8

1/2

5/8

5/8

N

Wyznaczenie przemieszczenia

1 A 4 3 3 V =1/2 1 H =0 1 1 2 V =1/2 2 3 4 1/2 3/8 3/8 1/2 5/8 5/8

N

18kN 16kN A 4 3 V =4kN 1 H =18kN 1 1 2 V =20kN 2 3 4 18 4 15 15 20 5 25

N

[kN] 3

(

)

EA

EA

EA

EA

v

_A

4

513

5

8

5

25

5

8

5

5

1

3

8

3

15

3

8

3

15

3

18

0

1

4

5

,

0

20

4

)

5

,

0

(

4

1

=













⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

+













⋅













−

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

−

⋅

=

Metoda Sił

• Metoda rozwi

ą

zywania układów statycznie

niewyznaczalnych

• Układy statycznie niewyznaczalne –

układy maj

ą

ce wi

ę

cej reakcji ni

ż

liczba

równa

ń

równowagi

• Liczba niewiadomych reakcji okre

ś

la

stopie

ń

statycznej niewyznaczalno

ś

ci

Stopie

ń

statycznej niewyznaczalno

ś

ci dla belek

i ram bez obwodu zamkni

ę

tego:

3

−

−

=

_r

_P

s

l

l

n

l

_r

–

liczba reakcji w układzie

l

_P

–

liczba przegubów z uwzgl

ę

dnieniem ich krotno

ś

ci

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• Wyznaczamy stopie

ń

statycznej

niewyznaczalno

ś

ci układu

2

3

0

5

−

−

=

=

s

n

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• Konstrukcj

ę

pozbawiamy wi

ę

zów, tak aby powstał

układ statycznie wyznaczalny i geometrycznie

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• W miejscu usuni

ę

tych wi

ę

zów wprowadzamy nadliczbowe

niewiadome – uogólnione siły,

zamiast blokady przesuwu – siły skupione

zamiast blokady obrotu - moment

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• Obci

ąż

amy schemat podstawowy pierwsz

ą

nadliczbow

ą

X

₁

=1

X =1

₁

11

21

d₁₁ – wartość przemieszczenia na kierunku działania X₁,

pod wpływem obciążenia

układu podstawowego siłą X₁ =1

d₂₁ – wartość przemieszczenia

na kierunku działania X₂,

pod wpływem obciążenia

układu podstawowego siłą X₁ =1

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• Wyznaczenie

d

11

X =1

₁

M

1

1

M

∫

∫

=

=

s s

ds

EI

M

M

ds

EI

M

M

_{1 1 1} 11

δ

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• Wyznaczenie

d

21

X =1

₁

M

1

1

M

X =1

₂

M

2

∫

∫

=

=

s s

ds

EI

M

M

ds

EI

M

M

_{1 1 2} 21

δ

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• Obci

ąż

amy schemat podstawowy drug

ą

nadliczbow

ą

X

₂

=1

X =1

₂

12

22

d₂₂ – wartość przemieszczenia

na kierunku działania X₂,

pod wpływem obciążenia

układu podstawowego siłą X₂ =1

d₁₂ – wartość przemieszczenia

na kierunku działania X₁,

pod wpływem obciążenia

układu podstawowego siłą X₂ =1

d₂₂ – wartość przemieszczenia

na kierunku działania X₂,

pod wpływem obciążenia

układu podstawowego siłą X₂ =1

d₁₂ –

d₂₂ – wartość przemieszczenia

na kierunku działania X₂,

pod wpływem obciążenia

układu podstawowego siłą X₂ =1

wartość przemieszczenia

na kierunku działania X₁,

pod wpływem obciążenia

układu podstawowego siłą X₂ =1

d₁₂ –

d₂₂ – wartość przemieszczenia

na kierunku działania X₂,

pod wpływem obciążenia

układu podstawowego siłą X₂ =1

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• Wyznaczenie

d

22

i

d

12

X =1

₁

M

1

X =1

₂

M

2 2

X =1

₂ 12 2

X =1

₁ 11 21

∫

=

s

ds

EI

M

M

_{2 2} 22

δ

∫

=

s

ds

EI

M

M

_{1 2} 12

δ

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• Wpływ obci

ąż

enia zewn

ę

trznego -

d

10

i

d

20 X =1₁ M1 X =1₂ M2 X =1₂ 12 22 X =1₁ 11 21 M0 wartość przemieszczenia na kierunku działania X₂,

pod wpływem obciążenia

układu podstawowego

obciążeniem zewnętrznym

d₂₀ –

d₁₀ – wartość przemieszczenia

na kierunku działania X₁,

pod wpływem obciążenia

układu podstawowego

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• Wpływ obci

ąż

enia zewn

ę

trznego -

d

10

i

d

20 X =1₁ M1 X =1₂ M2 X =1₂ 12 22 X =1₁ 11 21 M0

∫

=

s

ds

EI

M

M

_{1 0} 10

δ

∫

=

s

ds

EI

M

M

_{2 0} 20

δ

Metoda Sił – tok post

ę

powania

• Ogólnie – w przypadku belek i ram pod obci

ąż

eniem

statycznym

X =11 M1 X =1₂ M2 X =1₂ 12 22 X =1₁ 11 21 M0

∫

=

s k j jk

ds

EI

M

M

δ

∫

=

s j j

ds

EI

M

M

₀ 0

δ

Metoda Sił – tok post

ę

powania

W rzeczywistym schemacie statycznie niewyznaczalnym

przemieszczenia w miejsce podpór s

ą

równe 0, st

ą

d

X =11 M1 X =12 M2 X =1₂ 12 22 X =11 11 21 M0

Przemieszczenie na podporze 1

0

10 2 12 1 11 1

=

δ

⋅

+

δ

⋅

+

δ

=

δ

X

X

Przemieszczenie na podporze 2

0

20 2 22 1 21 2

=

δ

⋅

+

δ

⋅

+

δ

=

δ

X

X

Układ równa

ń

kanonicznych metody sił

dla schematu dwukrotnie statycznie niewyznaczalnego:

X =1₁ M1 X =1₂ M2 X =1₂ 12 22 X =1₁ 11 21 M0 2 1 20 2 22 1 21 10 2 12 1 11

,

0

0

X

X

X

X

X

X

⇒







=

+

⋅

+

⋅

=

+

⋅

+

⋅

δ

δ

δ

δ

δ

δ

Wyznaczenie warto

ś

ci momentu w punkcie „i”

od obci

ąż

enia zewn

ę

trznego dla układu

statycznie niewyznaczalnego:

0 2 2 1 1 i i i i

M

X

M

X

M

M

=

⋅

+

⋅

+

Metoda sił – tok post

ę

powania, podsumowanie:















=

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

0

...

...

...

...

...

...

...

...

0

...

0

...

0 2 2 1 1 20 2 2 22 1 21 10 1 2 12 1 11 n n nn n n n n n n

X

X

X

X

X

X

X

X

X

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

• Obliczenie stopnia statycznej niewyznaczalno

ś

ci,

• Przyj

ę

cie schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego

• Wrysowane wykresów od nadliczbowych X

_1,

, X

₂

,…, X

_n

• Wyznaczenie współczynników układu równa

ń

• Rozwi

ą

zanie równa

ń

i obliczenie nadliczbowych X

₁

, X

₂

, …,X

₃

• Wyznaczenie warto

ś

ci momentów w charakterystycznych

punktach na podstawie wzoru:

0 2 2 1 1 i i i i

M

X

M

X

M

M

=

⋅

+

⋅

+