Postacie normalne macierzy
zastosowania i uogólnienia
dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu)2013
Projekt wspóª nansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego UNIWERSYTET SZCZECISKI - Lider przyszªo±ci
Projekt koordynowany przez Dziaª Projektów Europejskich Uniwersytetu Szczeci«skiego Poddziaªanie 4.1.1. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni
Spis tre±ci
1 Wst¦p 2 1.1 Cele . . . 2 2 ⊕ 2 2.1 Sklejanie macierzy . . . 2 2.2 Rozkªad macierzy . . . 3 3 Klasy kacja I 3 3.1 Nierozkªadalne w sensie Jordana . . . 34 Klasy kacja II 5 4.1 Inna relacja . . . 5
4.2 Posta¢ normalna, klasy kacja . . . 5
4.3 Posta¢ normalna Smitha . . . 5
4.4 Operacje elementarne . . . 6
4.5 Algorytm . . . 6
4.6 Nierozkªadalne w sensie Smitha . . . 7
4.7 Macierze X i Y . . . . 7
5 Inne 8 5.1 Porównanie . . . 8
5.2 Motywacje, historia, zastosowania . . . 8
5.3 Obiekty nierozkªadalne . . . 9
5.4 Ci¡gªe i dyskretne . . . 9
5.5 Oswojone i sko«czone . . . 10
5.6 Dzikie . . . 10
5.7 Sko«czone, oswojone, dzikie . . . 11
6 II ogólniej 11 6.1 Smith po raz drugi . . . 11
6.2 Ogólniejsza posta¢ normalna Smitha . . . 12
6.3 Operacje elementarne . . . 12
6.4 Algorytm redukcji do postaci Smitha nad Z. . . 13
6.5 Algorytm . . . 13
6.6 Zastosowania . . . 13
6.7 Ukªady równa« nad Z . . . 14
6.8 Ukªady równa« nad Z, przykªad . . . 14
6.9 Smith po raz trzeci . . . 15
6.10 Posta¢ normalna, algorytm . . . 15
6.11 Operacje elementarne nad R[x] . . . 15
6.12 Algorytm redukcji do postaci Smitha nad R[x]. . . 15
6.13 Algorytm nad R[x], przykªad . . . 16
6.14 Zastosowania . . . 16
6.15 Zastosowania - posta¢ Jordana a Smitha . . . 16
7 Aktualno±ci 17 7.1 Wspóªczesne wyniki . . . 17 7.2 Wspóªczesne wyniki przykªad . . . 18
1 Wst¦p
Uwaga. Niniejszy dokument jest wersj¡ zwart¡, przygotowan¡ do druku na podstawie slajdów do wykªadu o tym samym tytule. Zatem nale»y si¦ spodziewa¢, »e nie wszystkie detale s¡ zawarte w tym dokumencie (cz¦±¢ rachunków, dowodów b¦dzie prezentowana na tablicy b¡d¹ przy u»yciu systemu algebry komputerowej). Bez obecno±ci na wykªadzie fragmenty niniejszego dokumentu mog¡ by¢ niezrozumiaªe!
Zaªó»my »e mamy dany pewien zbiór macierzy M oraz relacj¦ równowa»no±ci ∼ na M. Przykªad. M = Mn(k), dla k = R lub k = C oraz relacja ∼J podobie«stwa w sensie
Jordana.
Przypomnienie: Dla A, B ∈ Mn(k), A ∼J B ⇔ ∃X∈Mn(k)∗ A = X−1BX.
Problem. Zde niowa¢ posta¢ normaln¡ ∆(A) macierzy A wzgl¦dem relacji ∼.
• Posta¢ normalna powinna by¢ jak najprostsza, a jednocze±nie zachowywa¢ wªasno±ci macierzy A.
• Powinien istnie¢ przepis na wyznaczanie postaci normalnej. • Dla ka»dej A ∈ M, A ∼ ∆(A).
• Dla ka»dych A, B ∈ M, A ∼ B ⇔ ∆(A) = ∆(B). Przykªad. Posta¢ Jordana J (A) dla relacji ∼J.
1.1 Cele
• Posta¢ normalna i zwi¡zane z ni¡ poj¦cia maj¡ na ogóª wiele zastosowa« praktycznych (por. posta¢ Jordana, warto±ci wªasne,...).
• Posta¢ normalna mo»e posªu»y¢ do lepszego zbadania wªasno±ci relacji ∼ na M: jakie wªasno±ci macierzy zachowuje relacja ∼ ?
rozstrzyganie (najlepiej algorytmiczne), czy A ∼ B, dla dowolnych A, B ∈ M; klasy kacja macierzy nierozkªadalnych.
2 ⊕
2.1 Sklejanie macierzy
Uwaga. Rozwa»amy równie» macierze trywialne, tj. maj¡ce 0 wierszy lub 0 kolumn:
ε0,m∈ M0×m(k), εn,0∈ Mn×0(k), ε0,0∈ M0×0(k).
Ustalmy dwie macierze A ∈ Mn×m(k) oraz B ∈ Mn0×m0(k), dla pewnych n, m, n0, m0 ∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
De nicja Sum¡ prost¡ (lub sklejeniem) macierzy A i B nazywamy macierz
A ⊕ B := " A 0 0 B # ∈ M(n+n0)×(m+m0)(k). Przykªady. • [5] ⊕ 1 2 3 4 = " 5 0 0 0 1 2 0 3 4 # , • J2(3) ⊕ J3(7) = 3 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 7 , • 1 2 3 4 ⊕ ε1,0= " 1 2 3 4 0 0 # , • 1 2 3 4 ⊕ ε0,1= 1 2 0 3 4 0 , • ε1,0⊕ ε0,1= ε0,1⊕ ε1,0= [0].
Uwaga. Sklejanie jest na ogóª nieprzemienne! Element neutralny: ε0,0.
2.2 Rozkªad macierzy
Ustalmy zbiór macierzy M oraz relacj¦ równowa»no±ci ∼ na M.
De nicja Macierz A ∈ M jest rozkªadalna (wzgl¦dem ∼) o ile istniej¡ B, C ∈ M ró»ne od
ε0,0 takie, »e
A ∼ B ⊕ C.
De nicja Macierz ε0,06= A ∈ Mjest nierozkªadalna (wzgl¦dem ∼) o ile nie jest rozkªadalna,
czyli dla ka»dego rozkªadu
A ∼ B ⊕ C, B ∼ ε0,0 lub C ∼ ε0,0.
3 Klasy kacja I
3.1 Nierozkªadalne w sensie Jordana
Ustalmy zbiór macierzy M oraz relacj¦ równowa»no±ci ∼ na M.
Problem. Poda¢ zwi¦zªy opis wszystkich macierzy nierozkªadalnych w M wzgl¦dem ∼. Przykªad I. Rozpatrujemy relacj¦ podobie«stwa Jordana ∼J, ale na zbiorze wszystkich
macierzy kwadratowych, tj. M = M(k) := [ n∈N Mn(k). Uwagi.
• Macierz [0] jest nierozkªadalna w M(k)!
• Na ogóª A ⊕ B 6= B ⊕ A, ale zawsze A ⊕ B ∼J B ⊕ A.
Twierdzenie (C. Jordan) Dla dowolnej macierzy A ∈ M(C):
A ∼J J (A) = Jn1(λ1) Jn2(λ2) Jn3(λ3) ... Jnr(λr) ,
dla pewnych n1, . . . , nr∈ N oraz λ1, . . . , λr∈ C.
J (A) = Jn1(λ1) ⊕ . . . ⊕ Jnr(λr),
A ∼J Jn1(λ1) ⊕ . . . ⊕ Jnr(λr),
Czy klatki Jordana s¡ nierozkªadalne?
Oczywi±cie klatki rozmiaru 1 s¡ nierozkªadalne. Sprawdzimy nierozkªadalno±¢ J2(3).
1. Zaªó»my, »e J2(3) jest rozkªadalna, czyli istniej¡ A, B ∈ M(C) ró»ne od ε0,0 takie, »e
J2(3) ∼J A ⊕ B.
2. Ze wzgl¦dów wymiarowych widzimy, »e A = [a] i B = [b], dla pewnych a, b ∈ C, zatem
J2(3) ∼J A ⊕ B = a 0 0 b . 3. Istnieje wi¦c X = x y z t ∈ M2(C)∗ taka, »e J2(3) = X−1 a 0 0 b X lub równowa»nie X J2(3) = a 0 0 b X. x y z t 3 1 0 3 = a 0 0 b x y z t 3x x + 3y 3z z + 3t = ax ay bz bt
3x = ax 3z = bz x + 3y = ay z + 3t = bt
Rozwi¡zuj¡c ten ukªad zauwa»amy, »e niezale»nie od warto±ci a i b, x = z = 0, czyli
X = 0 y 0 t ,
sprzeczno±¢ (z odwracalno±ci¡ X). ⇒ J2(3)nierozkªadalna!
Twierdzenie Klatki Jordana s¡ nierozkªadalne w M(C).
Wniosek Macierz A ∈ M(C) jest nierozkªadalna (wzgl¦dem ∼J) ⇔ A jest podobna do klatki Jordana.
Uzyskali±my zatem eleganck¡ klasy kacj¦ nierozkªadalnych obiektów w M(C).
4 Klasy kacja II
4.1 Inna relacja
Niech teraz M = M(k) b¦dzie zbiorem wszystkich macierzy (nie tylko kwadratowych), dla k = Q,
k = R lub k = C.
De nicja Macierze A, B ∈ Mm×n(k) s¡ podobne w sensie Smitha, gdy istniej¡ macierze X ∈ Mm(k)∗ oraz Y ∈ Mn(k)∗ takie, »e
A = XBY.
Oznaczenie: A ∼S B.
Uwaga. Czasem mówi si¦ »e macierze j.w. s¡ równowa»ne lub wierszowo-kolumnowo równowa»ne.
4.2 Posta¢ normalna, klasy kacja
Podobnie jak przypadku podobie«stwa Jordana chcemy: • Zde niowa¢ posta¢ normaln¡ wzgl¦dem relacji ∼J.
• Opisa¢ szkic algorytmu wyznaczania postaci normalnej.
• Wykorzysta¢ to do podania klasy kacji macierzy nierozkªadalnych wzgl¦dem ∼S.
4.3 Posta¢ normalna Smitha
De nicja Ka»d¡ macierz S ∈ Mm×n(k)postaci
S = S(m, n, r) := 1 . . . 0 . . . 0 .. . ... ... ... 0 . . . 1 . . . 0 .. . ... ... 0 . . . 0 . . . 0
nazywamy macierz¡ w postaci normalnej Smitha (r jedynek, r ¬ m, n). S(2, 2, 1) = h 10 00 i, S(2, 3, 0) = h 00 00 00 i, S(1, 1, 1) = [1], S(2, 3, 2) = h 10 01 00 i, S(3, 2, 1) = " 1 0 0 0 0 0 # , S(1, 0, 0) = ε1,0. 4.4 Operacje elementarne
Elementarne operacje wierszowe (EOW) na macierzy A ∈ Mm×n(k):
1. pomno»enie i-tego wiersza A przez skalar α ∈ k \ {0}, 2. zamiana miejscami wierszy i oraz j w A,
3. dodanie j-tego wiersza pomno»onego przez skalar α ∈ k do wiersza i-tego (i 6= j). Rozwa»amy te» analogiczne operacje kolumnowe (EOK).
De niujemy nast¦puj¡ce macierze elementarne : 1. En
i(α) ∈ Mn(k) macierz powstaªa z In poprzez EOW nr 1,
2. Pn
i,j ∈ Mn(k) macierz powstaªa z Inpoprzez EOW nr 2,
3. En
i,j(α) ∈ Mn(k) macierz powstaªa z In poprzez EOW nr 3.
Uwaga. Wszystkie macierze elementarne s¡ odwracalne.
• pomno»enie macierzy A ∈ Mm×n(k)z lewej strony przez macierz elementarn¡ (rozmiaru
m) nr 1, 2 lub 3 powoduje wykonanie na A EOW nr 1, 2 lub 3, odpowiednio;
• pomno»enie macierzy A ∈ Mm×n(k)z prawej strony przez macierz elementarn¡ nr 1, 2
lub 3 (rozmiaru n) powoduje wykonanie na A EOK nr 1, 2 lub 3, odpowiednio. Lemat Ustalmy A, B ∈ Mm×n(k). Wówczas:
• A = XB dla pewnej X ∈ Mm(k)∗ ⇔ A powstaje z B (równowa»nie B powstaje z A)
przez sko«czon¡ liczb¦ EOW;
• A = BY dla pewnej Y ∈ Mn(k)∗ ⇔ A powstaje z B (równowa»nie B powstaje z A)
przez sko«czon¡ liczb¦ EOK.
Zatem A ∼S B ⇔ Apowstaje z B (równowa»nie B powstaje z A) przez sko«czon¡ liczb¦
4.5 Algorytm
Algorytm sprowadzania (redukcji) dowolnej macierzy A ∈ Mm×n(k) do macierzy w postaci
Smitha. A EOW -el. Gaussa górnoschodkowa EOW nr 1 -1 1 1 EOK nr 3 -1 1 1 EOK nr 2 -Smitha 1 1 1
Zatem dla dowolnej A ∈ Mm×n(k)mamy A ∼S S(m, n, r), gdzie r = rk(A) (jednoznaczno±¢!). S(A) := S(m, n, r)= posta¢ normalna Smitha macierzy A.
4.6 Nierozkªadalne w sensie Smitha
k = Q, k = R lub k = C. ∀A∈Mm×n(k) ∃r∈N A ∼S S(m, n, r). S(2, 2, 1) =h 10 00 i= [1] ⊕ [0] = [1] ⊕ ε1,0⊕ ε0,1, S(2, 3, 0) =h 00 00 00 i= [0] ⊕ [0] ⊕ ε0,1= ε1,0⊕ ε0,1⊕ ε1,0⊕ ε0,1⊕ ε0,1= ε21,0⊕ ε3 0,1, S(2, 3, 2) =h 10 01 00 i= [1] ⊕ [1] ⊕ ε0,1, S(3, 2, 1) = " 1 0 0 0 0 0 # = [1] ⊕ ε0,1⊕ ε21,0, S(1, 0, 0) = ε1,0.
⇒ jedynymi kandydatami na macierze nierozkªadalne
(z dokªadno±ci¡ do ∼S) s¡ [1], ε1,0 oraz ε0,1.
Macierze te s¡ oczywi±cie nierozkªadalne.
Udowodnili±my zatem: Twierdzenie Macierz A ∈ M(k) jest nierozkªadalna (wzgl¦dem ∼S) ⇔ A jest podobna do jednej z macierzy [1], ε1,0 oraz ε0,1.
Uwaga. W odró»nieniu do relacji Jordana (gdzie byªo niesko«czenie wiele nierozkªadalnych!), w relacji Smitha mamy jedynie 3 macierze nierozkªadalne.
4.7 Macierze X i Y
Przypomnienie. Metoda wyznaczania postaci Jordana macierzy A pozwalaªa te» na wyznaczenie macierzy X, takiej, »e J (A) = X−1AX.
Natomiast w przypadku algorytmu wyznaczania postaci Smitha nie mówili±my nic o macierzach
X i Y takich, »e S(A) = XAY .
Redukcja od A do S(A) polega na wykonaniu sko«czonej liczby operacji wierszowych i kolumnowych na A.
Mo»na zapisywa¢ wszystkie EOW i EOK u»yte w trakcie algorytmu i wówczas • X :=iloczyn macierzy elementarnych odpowiadaj¡cych wszystkim EOW, • Y := iloczyn macierzy elementarnych odpowiadaj¡cych wszystkim EOK. Sposób szybszy:
• Algorytm redukowania do S(A) dla A ∈ Mm×n(k) stosujemy dla macierzy blokowej "
A Im In 0
# .
• Redukujemy tylko blok A, ale EOW i EOK aplikujemy równie» do bloków Im i In: " A Im In 0 # −→ " S(A) X Y 0 # , S(A) = XAY.
5 Inne
5.1 PorównanieZbiór M Relacja Posta¢ normalna Nierozkªadalne
M(C) A = X−1BX J (A) ∀λ∈C, n∈N Jn(λ)
M(k) A = XBY S(A) [1], ε1,0, ε0,1
k = Q, R, C
Zde niujemy teraz relacj¦ ∼K na parach macierzy, tj.
dla A, B, A0, B0 ∈ Mm×n(C): (A, B) ∼K(A0, B0) ⇔ ( A = XA0Y, B = XB0Y, dla pewnych X ∈ Mm(C)∗ i Y ∈ Mn(C)∗.
De nicja Je»eli (A, B) ∼K (A0, B0) jak wy»ej, wówczas mówimy, »e pary te s¡ podobne w
5.2 Motywacje, historia, zastosowania
• Podobie«stwo i posta¢ Jordana macierzy kwadratowej A byªa wykorzystywana do rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych postaci
Ax = x0
lub ogólniej
Ax + x0 = f .
• Relacja ∼K na zbiorze par (A, B) byªa oryginalnie rozwa»ana w kontek±cie jeszcze
ogólniejszych równa« postaci
Ax + Bx0 = g.
• Problem postawiª Weierstrass w XIX wieku, podaª cz¦±ciowe rozwi¡zanie (posta¢ normalna par (A, B), klasy kacja nierozkªadalnych; problem wyra»any w terminach tzw. p¦ków macierzy).
• Peªne rozwi¡zanie podaª Kronecker w 1890r. (skomplikowane).
• Wiele problemów zwi¡zanych z relacj¡ ∼K stanowi niebanalne wyzwanie do dzi±.
• Wspóªcze±nie problemy te s¡ intensywnie badane przez rozmaite grupy naukowców. • Wiele problemów m.in. z teorii sterowania mo»e by¢ wyra»one w j¦zyku par macierzy i
wªasno±ci relacji ∼K.
• Podaje si¦ alternatywne (prostsze ni» Kroneckera) metody rozkªadu par macierzy na nierozkªadalne (m.in. Dowbor-Mróz, 2007).
• Problemy te byªy i s¡ inspiracj¡ do ciekawych uogólnie«.
• Klasy kacje nierozkªadalnych w sytuacjach ogólniejszych rozwi¡zuje si¦ wspóªcze±nie zupeªnie innymi metodami ni» elementarna algebra macierzy czy algebra komputerowa (stosuje si¦ m.in. narz¦dzia teorii moduªów, teorii reprezentacji koªczanów z relacjami).
5.3 Obiekty nierozkªadalne (A, B) ⊕ (A0, B0) := (A ⊕ A0, B ⊕ B0). • Rn(λ) := (Jn(λ), In), dla ka»dych λ ∈ C, n 1. • Rn(∞) := (In, Jn(0)), dla ka»dego n 1. • Pn:= (hIn 0 i ,hI0 n i ), dla ka»dego n 0, gdzie 0 oznacza zerowy wiersz.
• Qn:= ([In 0] , [0 In]), dla ka»dego n 0,
gdzie 0 oznacza zerow¡ kolumn¦.
Twierdzenie (Kronecker-Weierstrass) Dla A, B ∈ Mm×n(C), para (A, B) jest nierozkªadalna ⇔
jest podobna do jednej z par Rn(λ), Rn(∞), Pn, Qn.
A co z parami postaci (In, Jn(λ)), λ 6= 0 ? (In, Jn(λ)) ∼K(Jn(λ−1), In) = Rn(λ−1).
De nicja Wymiarem pary (A, B), dla A, B ∈ Mm×n(C), nazywamy liczb¦ d = dim(A, B) := m + n ∈ N.
1. dim Rn(λ) = dim(Jn(λ), In) = 2n, 2. dim Rn(∞) = dim(In, Jn(0)) = 2n, 3. dim Pn= dim( hI n 0 i ,hI0 n i ) = 2n + 1, 4. dim Qn= dim([In 0] , [0 In]) = 2n + 1.
• Mamy tylko dwie pary nierozkªadalne o wymiarze 1:⇒ P0 = (ε1,0, ε1,0) oraz Q0= (ε0,1, ε0,1).
• d ∈ N nieparzyste, tj. d = 2n + 1 ⇒ ∃ tylko dwie nierozkªadalne o wymiarze d: Pnoraz Qn.
• d ∈ N parzyste, tj. d = 2n ⇒ ∃ niesko«czenie wiele nierozkªadalnych o wymiarze d: Rn(∞) oraz ∀λ∈C Rn(λ).
5.4 Ci¡gªe i dyskretne
• Obiekty Rn(λ)nazywamy ci¡gªymi, a dla ustalonego n ∈ N, zbiór {Rn(λ)}λ∈C rodzin¡ ci¡gª¡ (jednoparametryczn¡).
• Obiekty Pn, Qn i Rn(∞) nazywamy dyskretnymi.
Analogiczne poj¦cia mo»na zde niowa¢ dla dowolnego problemu macierzowego (M, ∼). De nicja Je»eli dla danego problemu macierzowego (M, ∼) w ka»dym wymiarze istnieje
• (co najwy»ej) sko«czenie wiele rodzin ci¡gªych oraz • (co najwy»ej) sko«czenie wiele obiektów dyskretnych, to (M, ∼) nazywamy problemem oswojonym.
• (M, ∼Np. K), gdzie M = { (A, B) : m, n ∈ N, A, B ∈ Mm×n(C) }.
• (M, ∼J), gdzie M = M(C).
5.5 Oswojone i sko«czone
De nicja Je»eli dla danego problemu macierzowego (M, ∼) w ka»dym wymiarze istnieje • (co najwy»ej) sko«czenie wiele rodzin ci¡gªych oraz
• (co najwy»ej) sko«czenie wiele obiektów dyskretnych, to (M, ∼) nazywamy problemem oswojonym.
De nicja Je»eli dla danego problemu macierzowego (M, ∼) istnieje tylko sko«czenie wiele obiektów nierozkªadalnych to (M, ∼) nazywamy problemem sko«czonym (sko«czonego typu).
Przykªad problemu sko«czonego.
• (M, ∼S), gdzie M = M(k), k = Q, R, C.
De nicja Je»eli dla danego problemu macierzowego (M, ∼) w ka»dym wymiarze istnieje • (co najwy»ej) sko«czenie wiele rodzin ci¡gªych oraz
to (M, ∼) nazywamy problemem oswojonym.
De nicja Je»eli dla danego problemu macierzowego (M, ∼) istnieje tylko sko«czenie wiele obiektów nierozkªadalnych to (M, ∼) nazywamy problemem sko«czonym (sko«czonego typu).
Ka»dy problem sko«czony jest te» oswojony!
5.6 Dzikie
De nicja Problem macierzowy (M, ∼) nazywamy dzikim, je»eli nie jest oswojony.
Uwaga. Pokazuje si¦, »e je±li problem macierzowy jest dziki, to klasy kacja jego obiektów nierozkªadalnych zawiera w sobie klasy kacje dla wszystkich problemów macierzowych!
Przykªad problemu dzikiego. (M, ∼), gdzie • M = { (A, B) : n ∈ N, A, B ∈ Mn(C) },
• (A, B) ∼ (A0, B0) ⇔ ∃X∈Mn(C)∗ (
A = X−1A0X, B = X−1B0X.
Dla porównania podobie«stwo Kroneckera:
(
A = XA0Y, B = XB0Y.
5.7 Sko«czone, oswojone, dzikie
Relacja Typ
Jordan A = X−1BX oswojony
Smith A = XBY sko«czony
Kronecker (A, B) = (XA0Y, XB0Y ) oswojony
2-Jordan (A, B) = (X−1A0X, X−1B0X) dziki
3-Kronecker (A, B, C) = dziki
(XA0Y, XB0Y, XC0Y )
2 podprzestrzenie (A, B) = (XA0Y, XB0Z) sko«czony
3 podprzestrzenie (A, B, C) = sko«czony (XA0Y, XB0Z, XC0T )
4 podprzestrzenie (A, B, C, D) = oswojony (XA0Y, XB0Z, XC0T, XD0P )
5 podprzestrzeni (A, B, C, D, E) = dziki (XA0Y, XB0Z, XC0T, XD0P, XE0Q)
Rozwa»a si¦ problemy macierzowe z dodatkowymi warunkami, np. • Jordan: A ∈ M(C) + As = 0, dla ustalonego s ∈ N.
Wówczas problem staje si¦ sko«czonego typu jedyne nierozkªadalne to Ji(0), i = 1, . . . , s.
• 2-Jordan: A, B ∈ Mn(C) + A2 = B2 = 0, AB = BA.
Wówczas problem staje si¦ oswojony klasy kacja bardzo skomplikowana.
Do bada« problemów macierzowych wykorzystuje si¦ teorie gª¦bsze ni» elementarna algebra liniowa:
• teoria Auslandera-Reiten, • teoria moduªów odwracaj¡cych, • algebra homologiczna,
• geometria algebraiczna, • teoria nakry¢,...
6 II ogólniej
6.1 Smith po raz drugi
Przypomnienie. M = M(k), k = Q, k = R lub k = C.
Macierze A, B ∈ Mm×n(k) s¡ podobne w sensie Smitha (A ∼S B), gdy istniej¡ macierze X ∈ Mm(k)∗ oraz Y ∈ Mn(k)∗ takie, »e A = XBY.
Przykªad. [5] ∼S [1], gdy» [5] = [5][1][1], a [5] i [1] s¡ odwracalne ([5]−1 = [15], [1]−1 = [1]).
Zatem [a] ∼S [1], dla wszystkich a ∈ k \ {0}.
Problem. Jak zmieni¡ sie wªasno±ci relacji, postaci normalnej Smitha, gdy za zbiór wspóªczynników przyjmiemy k = Z?
Przykªad. [5] S [1], gdy» [5] nie jest odwracalna w M1(Z)!
Zatem {[a]}a∈N+ tworz¡ rodzin¦ parami niepodobnych macierzy nierozkªadalnych.
6.2 Ogólniejsza posta¢ normalna Smitha
De nicja Ka»d¡ macierz S ∈ Mm×n(Z) postaci
S = S(m, n, (d1, . . . , dr)) := d1 . . . 0 . . . 0 .. . ... ... ... 0 . . . dr . . . 0 .. . ... ... 0 . . . 0 . . . 0 ,
gdzie d1, . . . , dr ∈ Z+ oraz d1|d2, . . . , dr−1|dr nazywamy macierz¡ w postaci normalnej Smitha
(nad Z). S(2, 2, (1)) =h 10 00 i, S(3, 3, (1, 4, 12)) = " 1 0 0 0 4 0 0 0 12 # . Natomiast h 2 0 0 0 3 0 i
nie jest macierz¡ w postaci Smitha.
6.3 Operacje elementarne
Elementarne operacje wierszowe (EOWZ) na macierzy A ∈ Mm×n(Z):
1. pomno»enie i-tego wiersza A przez skalar α ∈ Z∗ = {−1, 1},
2. zamiana miejscami wierszy i oraz j w A,
Rozwa»amy te» analogiczne operacje kolumnowe (EOKZ).
De niujemy nast¦puj¡ce macierze elementarne : 1. En
i(α) ∈ Mn(Z) macierz powstaªa z In poprzez EOWZ nr 1,
2. Pn
i,j ∈ Mn(Z) macierz powstaªa z In poprzez EOWZ nr 2,
3. En
i,j(α) ∈ Mn(Z) macierz powstaªa z In poprzez EOWZ nr 3.
Uwaga. Wszystkie macierze elementarne s¡ odwracalne nad Z!
Analogicznie jak ostatnio pomno»enie A przez macierz elementarn¡ z lewej (odp. z prawej) powoduje wykonanie EOWZ (odp. EOKZ).
Lemat Ustalmy A, B ∈ Mm×n(Z). Wówczas:
• A = XB dla pewnej X ∈ Mm(Z)∗ ⇔ A powstaje z B (równowa»nie B powstaje z A)
przez sko«czon¡ liczb¦ EOWZ;
• A = BY dla pewnej Y ∈ Mn(Z)∗ ⇔ A powstaje z B (równowa»nie B powstaje z A)
przez sko«czon¡ liczb¦ EOKZ.
Zatem A ∼S B ⇔ Apowstaje z B (równowa»nie B powstaje z A) przez sko«czon¡ liczb¦
EOWZ i EOKZ.
6.4 Algorytm redukcji do postaci Smitha nad Z.
Krok I. Znajdujemy niezerowy wspóªczynnik macierzy A o najmniejszej | | i przestawiamy go w lewy górny róg (tzn. staje si¦ on a11). Je»eli takiego nie ma - KONIEC.
Krok II.
2.1. Je»eli ∀i,j a11| aij, to wykonuj¡c EOWZ i EOKZ sprowadzamy A do postaci
a11 0 · · · 0 0 . . . A0 0
Normalizujemy a11 (tj. je»eli a11 < 0, mno»ymy przez −1) . Przechodzimy z A0 do
Kroku I.
2.2. Je»eli nie 2.1, tzn. ∃i,j a11- aij to stosuj¡c EOWZi EOKZdoprowadzamy do sytuacji,
gdy w ij stoi a0
ij < |a11|(a0ij =aij mod a11).
Przechodzimy z t¡ zmody kowan¡ macierz¡ do Kroku I. Dokªadniejszy opis, w szczególno±ci wyja±nienie kroku 2.2 na mojej stronie www, patrz [3].
6.5 Algorytm Przykªad. S " 2 4 3 0 6 5 2 −12 0 #! = S(3, 3, (1, 2, 62)) = " 1 0 0 0 2 0 0 0 62 # .
Zatem dowolna A ∈ Mm×n(Z) jest podobna do macierzy w postaci Smitha S(A) (jednoznaczno±¢!
nieoczywiste).
• Algorytm redukowania do S(A) dla A ∈ Mm×n(Z) stosujemy dla macierzy blokowej h A I m In 0 i .
• Redukujemy tylko blok A, ale EOWZ i EOKZ aplikujemy równie» do bloków Im i In:
h A I m In 0 i −→ h S(A)Y X0 i, S(A) = XAY. 6.6 Zastosowania
1. Rozkªad sko«czenie generowanych grup abelowych na nierozkªadalne. 2. Badanie struktury j¡der, obrazów, ilorazów, (ko)homologii grup j.w. 3. Rozwi¡zywanie caªkowitoliczbowych liniowych ukªadów równa«.
Ad 3. Cz¦sto w praktycznych zastosowaniach pojawia si¦ potrzeba rozwi¡zywania równa« nad Z (np. zagadnienia transportowe - wysyªamy/produkujemy jedynie caªkowite jednostki towaru).
Ale rozwi¡zywanie równa« nad Z jest trudniejsze ni» nad R (zwykªa eliminacja Gaussa nie ma zastosowania!) , np.
2x = 7
lub
8x1 + 12x2 − 8x3 = 36 6x1 + 10x2 + 14x3 = 22.
6.7 Ukªady równa« nad Z
Liniowy ukªad równa« dla A ∈ Mm×n(Z), b ∈ Mm×1(Z):
(∗) Ax = b.
Np. A = 86 1210 −814 oraz b = 3622 . Algorytm rozwi¡zywania:
1. wyznaczamy X, Y, S = S(A) takie, »e S = XAY ; 2. X · (∗) : XAx = Xb =: c ; 3. XAY Y−1x = c, y := Y−1x; 4. XAY y = c ; 5. Sy = c. (∗∗) rozwZ(∗∗) ↔ rozwZ(∗) y 7→ x = Y y.
6.8 Ukªady równa« nad Z, przykªad A = 8 12 −8 6 10 14 , x = " x 1 x2 x3 # , b = 36 22 , czyli (∗) 8x1 + 12x2 − 8x3 = 36 6x1 + 10x2 + 14x3 = 22. • S =h 20 04 00 i, X =h 01 −21 i, Y = " 2 5 31 −1 −3 −20 0 0 1 # ; • c := Xb = 22 −8 ; • (∗∗) Sy = c ma posta¢ 2y1 = 22 4y2 = −8 (∗∗)ma rozwi¡zania, s¡ one postaci y =
" 11 −2 y3 # , y3∈ Z. ⇒ rozwi¡zania (∗): x = Y y = " 12 + 31y 3 −5 − 20y3 y3 # , y3 ∈ Z.
6.9 Smith po raz trzeci
Problem. Jak zmieni¡ sie wªasno±ci relacji, postaci normalnej Smitha, gdy za zbiór wspóªczynników przyjmiemy R[x] (wielomiany jednej zmiennej x o wspóªczynnikach rzeczywistych)?
Przykªad. A = " x − 1 x3− 1 x2− 1 x2+ 2x + 1 # ∈ M2(R[x])
Lemat Macierz kwadratowa A ∈ Mn(R[x]) jest odwracalna (nad R[x] ) ⇔ det(A) ∈ R\{0}.
6.10 Posta¢ normalna, algorytm
Wªasno±ci relacji ∼S nad R[x] s¡ w peªni analogiczne do wªasno±ci tej relacji nad Z !
Przyczyna. Z i R[x] (ale te» Q[x], C[x]) s¡ pier±cieniami ideaªów gªównych oraz istniej¡ algorytmy dzielenia z reszt¡.
Twierdzenie Ka»da macierz A ∈ Mm×n(R[x]) jest podobna do jednoznacznie wyznaczonej
macierzy postaci S(A) = S(m, n, (f1, . . . , fr)) = f1 . . . 0 . . . 0 . . . . .. ... ... 0 . . . fr . . . 0 . . . ... ... 0 . . . 0 . . . 0 ,
6.11 Operacje elementarne nad R[x]
Elementarne operacje wierszowe (EOWR[x]) na macierzy A ∈ Mm×n(R[x]):
1. pomno»enie i-tego wiersza A przez skalar α ∈ R[x]∗
= R \ {0}, 2. zamiana miejscami wierszy i oraz j w A,
3. dodanie j-tego wiersza pomno»onego przez skalar α ∈ R[x] do wiersza i-tego (i 6= j). Rozwa»amy te» analogiczne operacje kolumnowe (EOKR[x]).
Dla A, B ∈ Mm×n(R[x]):
A ∼SB ⇔ Apowstaje z B (równowa»nie B powstaje z A) przez sko«czon¡ liczb¦ EOWR[x] i
EOKR[x].
6.12 Algorytm redukcji do postaci Smitha nad R[x].
Krok I. Znajdujemy niezerowy wspóªczynnik macierzy A o najmniejszym stopniu i przestawiamy go w lewy górny róg (tzn. staje si¦ on a11). Je»eli takiego nie ma - KONIEC.
Krok II.
2.1. Je»eli ∀i,j a11| aij, to wykonuj¡c EOWR[x] i EOKR[x] sprowadzamy A do postaci
a11 0 · · · 0 0 . . . A0 0
Normalizujemy a11 (tj. dzielimy a11 przez wspóªczynnik przy najwy»szej pot¦dze x)
. Przechodzimy z A0 do Kroku I.
2.2. Je»eli nie 2.1, tzn. ∃i,j a11 - aij to stosuj¡c EOWR[x] i EOKR[x] doprowadzamy do
sytuacji, gdy w ij stoi a0
ij, deg(a0ij) < deg(a11)(a0ij =aij mod a11) Krok I.
Dokªadniejszy opis na mojej stronie www, patrz [3].
6.13 Algorytm nad R[x], przykªad
A =h xx − 12− 1 x2x+ 2x + 13− 1 i ∈ M2(R[x]). DK12(f1), f1= −x 3−1 x−1 + 1 = −x 2− x:h x − 1 x − 1 x2− 1 −x4− x3+ 2 x2+ 3 x + 1 i ; −x4− x3+ 2 x2+ 3 x + 1 = (−x3− 2 x2+ 3)(x − 1) + 4⇒ DW12(−(−x3− 2 x2+ 3)): h x − 1 x − 1 x4+ x3− x2− 3 x + 2 4 i 7→ Krok I; ZW12, ZK12: h 4 x4+ x3− x2− 3 x + 2 x − 1 x − 1 i ; DW12(−14(x − 1)), DK12(−14(x4+ x3− x2− 3 x + 2)), MW1(14): 1 0 0 −1 4(x5− 2 x3− 2 x2+ x + 2) ; A0:= [ −1 4(x 5− 2 x3− 2 x2+ x + 2) ] ∈ M 1×1(R[x]) A0 7→ Krok I. MW1(−4)na A0: h 1 0 0 x5− 2x3− 2x2+ x + 2 i ; ε0,0 7→ Krok I ⇒ KONIEC.
6.14 Zastosowania
• Badanie j¡der, obrazów, ilorazów, (ko)homologii dla sko«czenie generowanych moduªów nad R[x] (ogólniej: nad pier±cieniami ideaªów gªównych).
• Rozwi¡zywanie liniowych ukªadów równa« o wspóªczynnikach w R[x].
• Zastosowania zwi¡zane z postaci¡ Jordana macierzy z Mn(k), dla k = Q, R, C.
6.15 Zastosowania - posta¢ Jordana a Smitha
Przypomnienie. Dla A, B ∈ Mn(k), k = Q, R, C, sprawdzenie (metod¡ klasyczn¡), czy A ∼J B
nie jest takie proste:
A ∼J B ⇔ J (A) = J (B).
Ale (zauwa»my, »e A − xIn∈ Mn(k[x])):
Twierdzenie I
A ∼J B ⇔ A − xIn ∼S B − xIn.
Mamy zatem o wiele prostsz¡ metod¦ sprawdzania, czy A ∼J B (nie wymaga wyznaczania J (A), J (B)!):
A − xIn ∼S B − xIn ⇔ S(A − xIn) = S(B − xIn).
Co wi¦cej, posta¢ Smitha A − xIn koduje w sobie peªn¡ informacj¦ o postaci Jordana
macierzy A: Twierdzenie II Dla k = C: A ∼L i∈[n] L j∈[s]: li,j1Jli,j(ci) ⇔ S(A − xIn) = S(n, n, (1, 1, . . . , 1, Q
i∈[n](x − ci)li,s,Qx∈[n](t − ci)li,s−1, . . . ,Qi∈[n](x − ci)li,1)).
• c1, . . . cn∈ C;
• li,1 li,2 · · · li,s 0, dla i ∈ [n] := {1, . . . , n};
• li,1 1dla ka»dego i;
• li,s 1dla co najmniej jednego i.
6.16 Posta¢ Jordana a Smitha przykªad
A = J1(a)⊕J2(a)⊕J1(a)⊕J3(b) =
a 0 0 0 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 b 1 0 0 0 0 0 0 b 1 0 0 0 0 0 0 b , A−xI = a − x 0 0 0 0 0 0 0 a − x 1 0 0 0 0 0 0 a − x 0 0 0 0 0 0 0 a − x 0 0 0 0 0 0 0 b − x 1 0 0 0 0 0 0 b − x 1 0 0 0 0 0 0 b − x ; S(A − xI) = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 x − a 0 0 0 0 0 0 0 x − a 0 0 0 0 0 0 0 (x − a)2(x − b)3 ,czyli S(A − xI) = S(7, 7, (1, 1, 1, 1, x − a, x − a, (x − a)2(x − b)3)).
7 Aktualno±ci
7.1 Wspóªczesne wyniki
Przypomnienie. Przy problemie Jordana (oraz Smith a Jordan) wykorzystywali±my macierz
A − xI ∈ M(C[x]).
• Obiekty ci¡gªe w problemie Jordana: Jn(λ), dla n ∈ N, λ ∈ C.
• Obiekty ci¡gªe w problemie Kroneckera: Rn(λ) = (Jn(λ), In), dla n ∈ N, λ ∈ C. Ogólny kontekst (nieformalnie). Ustalmy
• dowolny oswojony problem macierzowy (M, ∼) nad C; • rodzin¦ ci¡gª¡ R := {Rn(λ)}n∈N; λ∈C;
• obiekt M ∈ M.
Dla powy»szych danych konstruuje si¦ macierz wielomianow¡
HR(M ) ∈ M(C[x]),
zwan¡ macierz¡ charakterystyczn¡ obiektu M wzgl¦dem rodziny R (patrz [5]). Uwaga. Dla problemu Jordana HR(M ) = M − xI.
Czynimy pewne techniczne zaªo»enia dla (M, ∼) oraz R, których opis tu pomijamy. Twierdzenie I' (Dowbor-Mróz 2012) Dla dowolnych M, N ∈ M:
M|R ∼ N|R ⇔ HR(M ) ∼∗S HR(N ).
• M|R oznacza maksymalny skªadnik wzgl¦dem ⊕ obiektu M nale»¡cy do rodziny R;
• relacja ∼∗S oznacza równo±¢ wielomianów stopnia 1 na przek¡tnej postaci Smitha. Jest to mocne uogólnienie Twierdzenia I z poprz. rozdziaªu (patrz [5]).
Twierdzenie II' (Dowbor-Mróz 2012) Dla dowolnego M ∈ M:
M|R ∼L
i∈[n] L
j∈[s]: li,j1Rli,j(ci) ⇔ S(HR(M )) = S(m, n, (1, 1, . . . , 1, Q
i∈[n](x − ci)li,s,Qx∈[n](t − ci)li,s−1, . . . ,Qi∈[n](x − ci)li,1)). m =liczba wierszy HR(M ); n = liczba kolumn HR(M ).
Jest to mocne uogólnienie Twierdzenia II z poprz. rozdziaªu (patrz [5]).
7.2 Wspóªczesne wyniki przykªad
Przypomnienie. Problem czterech podprzestrzeni: dla A, A0 ∈ Mm×n(C), B, B0 ∈ Mm×n0(C),
C, C0 ∈ Mm×n00(C), D, D0 ∈ Mm×n000(C)
(A, B, C, D) ∼ (A0, B0, C0, D0) ⇔
(A, B, C, D) = (XA0Y, XB0Z, XC0T, XD0P ),
Istnieje jedna R rodzina ci¡gªa obiektów Rn(λ) =h In 0n i ,h 0n In i ,h In In i ,h Jn(λ) In i , dla n 1, λ ∈ C.
(oraz kilka rodzin dyskretnych). Rozwa»my obiekt M : A = 70 −48 −24 59 74 18 97 90 70 99 −75 92 −92 −55 77 −49 60 −33 26 74 −58 60 91 47 70 −38 1 −97 58 −85 −60 84 −98 51 19 88 88 67 −96 64 12 −70 47 55 −8 −49 −85 −88 −13 93 85 −62 95 −64 8 41 85 97 38 89 71 −97 −83 −93 18 32 67 −89 43 66 26 −68 B = −1 −14 98 −83 −35 −23 −34 −80 −7 27 69 −13 2 −5 96 −53 89 49 42 −29 −30 −91 −31 63 36 −55 66 −35 64 −44 93 50 −62 −98 17 −57 −28 46 18 −99 6 52 79 −37 32 −88 −32 −69 −73 8 72 79 −24 −42 93 16 36 46 −10 52 C = 69 −62 157 −9 −99 74 56 19 −82 45 −23 −68 −47 55 −56 −27 163 109 133 −37 40 −129 −128 121 21 −115 150 16 83 67 181 117 2 −86 −8 −10 27 −3 −67 −22 −7 145 17 58 86 −80 9 28 −35 −43 143 −18 −117 −24 88 83 −53 112 16 92 D = 349 −254 275 198 −116 462 416 217 −133 164 −391 −288 −145 126 7 77 459 229 375 −19 320 −281 −322 140 −28 −355 486 118 172 111 533 385 130 2 −61 178 247 −101 −286 −209 −59 517 −107 186 54 −48 173 222 138 54 427 −406 −303 −81 213 351 −409 244 134 76
Dla tego problemu macierzowego HR(M ) =
hA B C 0
xA B 0 D
i
.
Bezpo±rednie rachunki pokazuj¡, »e jedyne wielomiany stopnia 1 na przek¡tnej S(HR(M ))
to: x − 5, (x − 5)(x − 3)2.
M jest losowo wygenerowanym obiektem podobnym do sklejenia nast¦puj¡cych obiektów: R1(5)2 = "1 0 0 0 0 1 0 0 # , "0 0 1 0 0 0 0 1 # , "1 0 1 0 0 1 0 1 # , "5 0 1 0 0 5 0 1 #! , R2(3) = "1 0 0 1 0 0 0 0 # , "0 0 0 0 1 0 0 1 # , "1 0 0 1 1 0 0 1 # , "3 1 0 3 1 0 0 1 #! , 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , 1 1 1 , ([1], ε1,0, ε1,0, ε1,0). Literatura podstawowa
[1 ] W. Cheney, D. Kincaid, Linear algebra. Theory and applications, USA, 2009. [2 ] A.I. Kostrikin, Wst¦p do algebry. Algebra liniowa, PWN, Warszawa, 2007. [3 ] A. Mróz, mini skrypt - posta¢ Smitha:
http://www.mat.umk.pl/~izydor/dydak/diagonalizacja.pdf. [4 ] J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, PWN, Warszawa, 2008. Literatura dodatkowa
[5 ] P. Dowbor, A. Mróz, On the normal forms of modules with respect to parametrizing bimodules, preprint (2013).
[6 ] F. R. Gantmacher, Matrix Theory, Chelsea, New York, 1959.
[7 ] H.J.S. Smith, On systems of linear indeterminate equations and congruences, Collected Math. Papers, 1 , Chelsea, (1979) pp. 367409.
