ALGEBRAICZNE ASPEKTY KRYPTOGRAFII CIA LA SKO ´NCZONE.
Je´sli podzbi´or F ⊂ K cia la K tworzy cia lo wzgl¸edem dzia la´n cia la K (to implikuje 0, 1 ∈ F ), to m´owimy , ˙ze F jest podcia lem cia la K i K jest rozszerzeniem cia la F .
Twierdzenie A. Ka˙zde cia lo K zawiera podcia lo najmniejsze F , kt´ore nie zawiera w la´sciwych podcia l (jest cia lem prostym). Je´sli char(K) = 0, to F jest izomorficzne z Q; je´sli char(K) = p > 0, to F jest izomorficzne z Z/pZ. 2
Je´sli K jest rozszerzeniem cia la F , to K tworzy przestrze´n liniow¸a nad F . Wymiar tej przestrzeni nazywamy stopniem K nad F i oznaczamy przez [K : F ].
Cia lo K jest rozszerzeniem prostym cia la F , je´sli istnieje c ∈ K \ F taki, ˙ze ka˙zde podcia lo zawieraj¸ace F i c zawiera K (piszemy K = F (c)).
Twierdzenie B. Je´sli K = F (c) jest rozszerzeniem stopnia n, to c jest pier- wiastkiem wielomianu nierozk ladalnego m(x) nad cia lem F stopnia n i K jest izomor- ficzne z F [x]/(m(x)) 2
Twierdzenie C. Niech g(x) b¸edzie nierozk ladalnym wielomianem nad F . W´owczas F [x]/(g(x)) jest prostym rozszerzeniem cia la F o pierwiastek wielomianu g(x). 2
Zadanie. Ile element´ow ma F = (Z/2Z)[x]/(x2+ x + 1) ? Poda´c tabel¸e mno˙zenia i dodawania w F .
Twierdzenie D. Niech K b¸edzie cia lem sko´nczonym i char(K) = p.
(a) Wtedy |K| = pn, gdzie n jest stopniem K nad Z/pZ.
(b) Niech q := |K|. Wtedy xq− x = Πa∈K(x − a).
(c) Grupa multyplikatywna wszystkich niezerowych element´ow jest cykliczna (gen- erowana przez jeden element) i jej generator okre´sla K jako rozszerzenie proste cia la Z/pZ. Odpowiedni wielomian m(x) jest pierwotny. 2
Cia lo o q elementach oznaczamy przez Fq.
Fakt: F16 := (Z/2Z)[x]/(x4 + x3+ 1) jest cia lem 16-elementowym. Wielomian x15− 1 rozk lada si¸e na wielomiany minimalne nad F2 w nast¸epuj¸acy spos´ob:
(x + 1)(x4+ x + 1)(x4+ x3+ x2+ x + 1)(x2+ x + 1)(x4 + x3+ 1).
Zadanie. Pokaza´c, ˙ze w powy˙zszym przedstawieniu F16 element odpowiadaj¸acy warstwie x + (x4+ x3+ 1) generuje grup¸e multyplikatywn¸a.
1
