Zadania o cia lach sko´ nczonych

Zadania o cia lach sko´ nczonych

Wszystkie cia la w poni˙zszych zadaniach sa_,sko´nczone charakterystyki p. Patrz [Browkin, str 81]

Je´sli a ∈ L, K ⊂ L i nie ma w la´sciwych podcia l L zawieraja_,cych a i K, to piszemy L = K(a).

1 Je´sli K1⊂ K₂, to |K2| = |K₁|^d.

2 Je´sli K jest cia lem, to |K| = pⁿdla pewnej liczby pierwszej.

3 Je´sli |K| = q, to dla dowolnego niezerowego elementu a ∈ K mamy a^q−1= 1. Grupa multiplikaty- wna cia la jest cykliczna.

4 Je´sli K jest sko´nczonym cia lem, to istnieje element cia la a nie nale˙za_,cy do w la´sciwego podcia la, tzn K =Fp(a). (Za a mo˙zna wzia_,´c generator grupy cyklicznej.)

5 W ciele q-elementowym wielomian x^q− x rozk lada sie_,na r´o˙zne czynniki liniowe.

6 Je´sli |K1| = p^m, |K2| = pⁿ, K1 ⊂ K₂, to m|n.

7 Je´sli |K1| = p^m, |K2| = pⁿ i m|n to isnieje w lo˙zenie K1 → K₂. 8 Je´sli |K₁| = |K₂| = pⁿ to K₁' K₂.

9 Je´sli K1 i K2 sa_,podcia lami cia la L i |K2| = |K₁|^d, to K1 ⊂ K₂. 10 Je´sli K1 i K2 sa_,r´ownolicznymi podcia lami cia la L to K1 = K2.

11 Niech K ma pⁿ element´ow. Przekszta lcenie a 7→ a^p jest homomorfizmem K → K (oznaczane φ od Frobeniusa).

12 Niech K ma pⁿ element´ow. Zbi´or rozwia_,za´n r´ownania x^pk− x jest podcia lem K. Je´sli wielomian x^pk− x rozk lada sie_,na czynniki liniowe w K, to k dzieli n. Wywnioskowa´c, ˙ze dla ka˙zdego k istnieje cia lo o p^k elementach.

13 Wszystkie podcia la w K sa_,postaci K^φk = {a ∈ K | φ^k(a) = a}. Niech |_Fp(a)| = pⁿ. Wykaza´c φ^k(a) = a ⇐⇒ n|k.

14 Niech K ma pⁿelement´ow i n = st, gdzie s i t sa_,wzgle_,dnie pierwsze. Dane elementy a, b ∈ K takie,

˙ze |Fp(a)| = p^s i |Fp(b)| = p^t. WtedyFp(a + b) = K. (Zbada´c w lasno´sci wielomianu f_k(x) = φ^k(x) − x.) 15 Niech K ma pⁿ element´ow. Roz l´o˙zmy wielomian x^pn − x na nierozk ladalne czynniki w _Fp[x].

Ka˙zdy element K jest pierwiastkiem dok ladnie jednego czynnika. Je´sli_Fp(a) = K, to czynnik, kt´orego a jest pierwiastkiem ma stopie´n n.

16 Niech K ma pⁿ element´ow. Roz l´o˙zmy wielomian x^pn − x na nierozk ladalne czynniki w _Fp[x].

Jeden z czynnik´ow jest stopnia n i nie ma czynnik´ow wy˙zszego stopnia.

17 Niech n_i be_,dzie cia_,giem liczb naturalnych takich, ˙ze n_i|n_i+1 oraz ∀n ∈_N∃i ∈ _Nn|n_i. Niech K_i be_,dzie cia lem o pⁿⁱ elementach. Ustalmy w lo˙zenia K_i ,→ K_i+1. Niech K = S K_i. Udowodni´c, ˙ze K jest algebraicznie domknie_,te.

18 Opisa´c grupe_,automorfizm´ow domknie_,cia algebraicznego Fp.

http://www.mimuw.edu.pl/%7Eaweber