Pierwsze zasadnicze twierdzenie rachunku całki oznaczonej Riemanna - twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania

Pierwsze zasadnicze

twierdzenie rachunku całki

oznaczonej Riemanna

-twierdzenie o funkcji górnej

granicy ...

Autorzy:

Witold Majdak

Pierwsze zasadnicze twierdzenie rachunku całki oznaczonej Riemanna - twierdzenie o funkcji górnej granicy

Pierwsze zasadnicze twierdzenie rachunku całki oznaczonej Riemanna - twierdzenie o funkcji górnej granicy

całkowania

całkowania

Autor: Witold Majdak

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o funkcji górnej granicy całkowania

o funkcji górnej granicy całkowania

Niech będzie funkcją całkowalną. Zdefiniujmy funkcję za pomocą przepisu

Wówczas:

1. funkcja jest ciągła,

2. jeżeli jest funkcją ciągłą w punkcie , to funkcja jest funkcją różniczkowalną w punkcie oraz

przy czym jeżeli lub , to pochodną funkcji w punkcie rozumiemy tu jako pochodną jednostronną.

DOWÓD DOWÓD

Zauważmy, że twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania w oczywisty sposób jest prawdziwe dla funkcji tożsamościowo równej zero, gdyż wtedy funkcja jest również tożsamościowo równa zero. Rozpatrzmy przypadek, gdy osiąga wartość niezerową w pewnym punkcie przedziału . Ustalmy . Wówczas dla otrzymujemy

Korzystając z nierówności dla całek, możemy oszacować od góry ostatni z wyrazów, jak następuje:

gdzie jest maksymalną wartością funkcji w przedziale Wartość ta jest osiągana na mocy twierdzenia Weierstrassa, gdyż , a w konsekwencji , jest funkcją ciągłą w domkniętym przedziale ograniczonym.

Ustalmy dowolną liczbę Przyjmując , dla każdego z dziedziny funkcji takiego, że , wnioskujemy, że

Wykazaliśmy w ten sposób, że

a więc funkcja jest ciągła w punkcie .

Przejdźmy do dowodu drugiej części twierdzenia. Rozważmy przypadek, gdy . (Jeżeli lub , to dalsza część dowodu przebiega analogicznie.) Korzystając z definicji pochodnej oraz przepisu funkcji , otrzymujemy

Powołując się na twierdzenie , wnioskujemy, że dla każdego leżącego między a istnieje punkt taki, że

Kontynuując obliczenia, dostajemy

f : [a, b] → R

F : [a, b] → R

F(x) = f(t)dt dla x ∈ [a, b].

∫

a x

F

f

x

0

∈ [a, b]

F

x

0

( ) = f( ),

F

′

_x

₀

_x

₀

= a

x

0

x

0

= b

F

x

0

f

F

f

[a, b]

x

0

∈ [a, b]

x ∈ [a, b]

|F(x) − F( )| =

x

0

f(t)dt −

f(t)dt =

f(t)dt + f(t)dt −

f(t)dt =

f(t)dt .

∣

∣

∣

∣∫

a x

∫

a x0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣∫

a x0

∫

x0 x

∫

a x0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣ ∫

x0 x

∣

∣

∣

∣

f(t)dt ≤ |f(t)|dt ≤ Mdt ≤ M|x − |,

∣

∣

∣ ∫

x0 x

∣

∣

∣ ∫

x0 x

∫

x0 x

x

0

M > 0

|f|

[a, b].

f

|f|

ε > 0.

δ =

ε M

x

F

|x − | < δ

x

0

|F(x) − F( )| ≤ M|x − | < M ⋅

x

0

x

0 Mε

< ε.

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ [a, b] : |x − | < δ ⇒ |F(x) − F( )| < ε,

x

0

x

0

F

x

0

∈ (a, b)

x

0

x

0

= a

x

0

= b

F

( ) =

=

.

F

′

_x

₀

_lim

x→x0 F(x)−F( )x0 x−x0 _x→x

lim

₀ f(t)dt ∫ x0 x x−x0

x

x

0

b

c ∈ ( , x)

x

0

f(t)dt = f(c)(x − ).

∫

x0 x

x

0

=

f(c) =

f(c) = f( ).

lim

x→x+ 0 f(c)(x− )x0 x−x0 _x→x

lim

+ 0

lim

c→x+ 0

x

0

f( )

0

Wykazaliśmy w ten sposób, że pochodna prawostronna funkcji w punkcie jest równa . W analogiczny sposób wykazujemy, że pochodna lewostronna funkcji w punkcie również wynosi . To implikuje, że . CND. CND.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Jeżeli

to dzięki ciągłości funkcji podcałkowej, na mocy twierdzenia o funkcji górnej granicy całkowania, otrzymujemy . Warto dodać, że w tym przypadku bezpośrednie obliczenie funkcji pierwotnej funkcji podcałkowej nie jest możliwe, gdyż nie jest funkcją elementarną.

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Niech

Obliczmy pochodną funkcji w punkcie . Przyjmijmy, że

Jak łatwo zauważyć,

Wobec tego, na podstawie wzoru na pochodną funkcji złożonej, dostajemy

Skoro , a na mocy twierdzenia o funkcji górnej granicy całkowania zastosowanego do funkcji mamy to

gdzie , gdyż .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

F

x

0

f( )

x

0

F

x

0

f( )

x

0

F

′

( ) = f( )

x

0

x

0

F(x) =

∫

dt dla x > 0,

0 x

e

t2

(x) =

F

′

_e

x2

f : t → e

t2

f

F(x) = sin

∫

dt dla x > 0.

0 x2

t

√

F

x > 0

G(x) =

x

2

oraz H(x) = sin

_∫

dt.

0 x

t

√

F(x) = (H ∘ G)(x) = H(G(x)).

(x) =

(G(x)) (x).

F

′

_H

′

_G

′

(x) = 2x

G

′

_H

(x) = sin

,

H

′

_√

_x

(x) = sin

⋅ (x) = sin |x| ⋅ 2x = 2xsin x,

F

′

_√

−−

_x

2

_G

′

= |x| = x

x

2

−−

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:43:59

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=636f66ab442b0fb35a550c3008b6cb90