Streszczenie
Modele komputerowe obiektów technicznych i maszyn są zawsze w pewnym sen-sie wirtualne. Sposoby przedstawiania takich modeli zaleĪą od informacji posiadanej przy ich budowie. W artykule przedstawiono kognitywne podejĞcie do modelowania obiektów, ich stanów oraz dynamiki opisujące zmiany stanu. Takie podejĞcie moĪe byü stosowane np. przy modelowaniu, diagnostyce, podejmowaniu decyzji, identyfi-kacji (w pewnym sensie) i innych dziedzinach nauki i techniki.
Opisywane i analizowane w pracy modele noszą nazwĊ map kognitywnych. Są one realizowane na róĪnych poziomach pewnoĞci posiadanej informacji (np. mapy kognitywne deterministyczne, rozmyte i inne). Na wybranych przykładach przytoczo-no pewne wyniki analizy takich modeli o róĪnych stopniach pełprzytoczo-noĞci i pewprzytoczo-noĞci in-formacji lub wiedzy.
Słowa kluczowe: mapa kognitywna, modelowanie, analiza symulacyjna
1. WstĊp
PracĊ poĞwiĊcono analizie symulacyjnej wybranych dynamicznych modeli rozmytych relacyjnych map kognitywnych. W [2–10] okreĞlono pewną historiĊ wprowadzenia róĪnych modeli map kognitywnych (znakowych, iloĞciowych, rozmytych, jednokierunkowych, relacyjnych iinnych), które zwykle stosowano dla modelowania słabostrukturalnych systemów informatycznych (decyzyjnych, sterowania, multiagendowych, geoinformacyjnych, ekonomicznych). W pracy, w zaleĪnoĞci od informacji, opisano róĪnego typu struktury (dynamiczne i statyczne), które realizują odpowiednie relacje pomiĊdzy czynnikami, okreĞlającymi topologiĊ map. Przy tym dynamiczne modele kognitywne odwzorowują, w zaleĪnoĞci od typu wstĊpnej informacji o czynnikach oraz ich relacjach (ostre lub rozmyte), dokładne lub przybliĪone powiązania..
Przy dokładnej realizacji relacji powiązaĔ pomiĊdzy czynnikami, model dynamiczny opisuje siĊ za pomocą zwykłych nieliniowych równaĔ róĪnicowych, w których wartoĞci zmiennych oraz parametrów są ograniczone do przedziałów [0, 1] lub [-1, 1]. Przy niepełnej informacji opowiązaniach relacje pomiĊdzy czynnikami i ich wpływami moĪna opisaü pewnymi relacyjnymi równaniami róĪnicowymi, które wprowadzono w nastĊpnym rozdziale.
2. Synteza map kognitywnych
Mapami kognitywnymi bĊdziemy nazywali pewne modele matematyczno – informatyczne, przeznaczone do formalizacji badanego problemu złoĪonego systemu, w postaci zbioru czynników odwzorowujących zmienne (cechy) systemowe oraz relacje przyczynowo – skutkowe miĊdzy nimi z uwzglĊdnieniem oddziaływaĔ wzajemnych oraz zmian charakteru relacji [2–8]. Zgodnie zpowyĪszą definicją, mapy kognitywne moĪna przedstawiü w postaci nastĊpującej pary zbiorów:
<X, R> (1)
gdzie: X = [X1, ..., XN] – zbiór czynników mapy (wektor stanu), R = {Rij} – macierz relacji
pomiĊ-dzy czynnikami Xi i Xj (i,j = 1, ..., N).
Macierz R moĪe przybieraü róĪne formy:
– współczynników liczbowych rij z przedziału [0, 1] lub [-1, 1] (relacje ostre),
– rozmytych relacji Rij z odpowiednimi funkcjami przynaleĪnoĞci i zakresem zbioru noĞnika.
Dynamiczne i statyczne relacje pomiĊdzy Xi i Xj opisują nastĊpujące podstawowe modele (2)-(6):
A) Model ostry – dynamiczny ¸¸ ¹ · ¨¨ © § + = +
¦
= ) ( ) ( ) 1 ( 1 t X t X r f t X i j N i ij j j (2) – statyczny ¸¸ ¹ · ¨¨ © § =¦
= i N i ij j j f r X X 1 (3) gdzie: x j j e x f −λ + = 1 1 ) ( lub x x j j j e e x f λ λ − − + − = 1 1 ) ( lub ° ¯ ° ® < ≤ > = 1 dla 1 1 dla 1 dla 1 ) ( -x -|x| x x x fj , Ȝj>
0, j = 1, ..., N (4) B) Model rozmyty – dynamiczny Xk(t+1)=Xk(t) [( () 1 t Xi N i⊕
= Xi(t−1))$Ri,k] (5) – statyczny ( () , ) 1 k i i N i k X t R X⊕
$ = = (6) gdzie:t – czas dyskretny, N – liczba czynników,
– operacja sumowania rozmytego, – operacja odejmowania rozmytego,
Ri,k – pojedyncza rozmyta relacja pomiĊdzy rozmytymi czynnikami o numerach i oraz k,
ƕ – operacja maksyminowej kompozycji rozmytej. Uwagi:
1. Modele dynamiczne rozmytych relacyjnych map kognitywnych, opisanych równaniami (2), (4) lub (5) realizują nastĊpujące zasady działania:
– odwzorowanie asocjacyjne (Xjļ Xi),
– sprzĊĪenie zwrotne,
– strukturalizacja obszarów czynników mapy.
2. WartoĞci czynników oraz współczynników lub relacji w modelu (2)–(4), (5)–(6) okreĞlono na podstawie wiedzy ekspertowej z moĪliwoĞcią „douczenia” (adaptacji) przy zmianie warunków pracy obiektu.
3. Podobne modele powiązaĔ miĊdzy czynnikami mogą byü zapisane i dla innych (mieszanych) typów modeli. Modele takie mogą byü włączone do jednego z głównych typów (A lub B) (przy uwzglĊdnieniu procedur odpowiednio – rozmywania lub wyostrzania).
W nastĊpnym rozdziale zostaną przedstawione wyniki analizy modeli dynamicznych (2), (4) oraz (5) dla wybranych przykładów.
3. Wybrane wyniki analizy symulacyjnej
PoniĪej przedstawiono wyniki syntezy i analizy symulacyjnej monitorowania zmiany stanów wybranych urządzeĔ i systemów.
3.1. Model ostry
Podstawą modelowania dynamicznego procesu monitorowania były mapy kognitywne, charakteryzujące relacje pomiĊdzy czynnikami zgodnie z zaleĪnoĞciami (2) i (4).
Przykładowa ostra mapa kognitywna opisująca pewien problem ekonomiczny [1] została zsyntetyzowana w postaci struktury pokazanej na rys. 1.
Rysunek 1. Schemat ostrej mapy kognitywnej
(N = 7, niezaznaczone współczynniki rij mają wartoĞü zerową)
ħródło: Opracowanie własne. Uwaga:
Wybór czynników wejĞciowych i wyjĞciowych zaleĪy od eksperta. W niniejszym przykładzie WielkoĞci wejĞciowe są opisane przez zmienne X1–X5 oraz X7, natomiast wielkoĞü wyjĞciowa – przez zmienną X6.
Ocena przydatnoĞci mapy kognitywnej do monitorowania takiego systemu sprowadza siĊ właĞciwie do odpowiedzi na pytanie: czy i po jakim czasie (po ilu krokach próbkowania) od zmiany wybranych parametrów wejĞciowych moĪliwe jest uzyskanie nowego stanu ustalonego parametru wyjĞciowego. OdpowiedĨ analityczna moĪe byü trudna, poniewaĪ w złoĪonych systemach technicznych poszczególne czynniki nie tylko podlegają zmianom wymuszonym, ale równieĪ oddziałują na siebie wzajemnie. PoniĪej przedstawiono wyniki analizy symulacyjnej dla róĪnych wartoĞci początkowych.
W zestawiono losowo dobrane wartoĞci składników macierzy r (macierzy współczynników relacji pomiĊdzy czynnikami).
Tabela 1. Macierz współczynników relacji r
r X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X1 0 0,5 -0,55 -0,17 0 -0,33 0,49 X2 -0,31 0 0 0 0,31 -0,71 0 X3 -0,26 -0,82 0 -0,27 0 0 -0,02 X4 -0,4 0 0 0 -0,8 -0,36 0 X5 0 -0,17 0 0,41 0 0 0 X6 0 0 0 0 0 0 X7 0,13 0 0,77 0,13 0 0 0
Podstawą modelowania dynamicznego procesu monitorowania były zaleĪnoĞci pomiĊdzy czynnikami zgodne z (2) i (4). Dla uproszczenia wnioskowania wybrano funkcje fi o charakterze
sigmoidalnym ze współczynnikami Ȝj równymi 1.
Na ƌys. 2. i rys. 3. przedstawiono przebiegi wartoĞci czynników w kolejnych krokach próbkowania dla zerowych wartoĞci początkowych.
Rysunek 2. Przebiegi wartoĞci czynników wejĞciowych X1 – X5 i X7
w kolejnych krokach próbkowania dla zerowych wartoĞci początkowych ħródło: Opracowanie własne.
Rysunek 3. Przebiegi wartoĞci czynnika wyjĞciowego X6 w kolejnych krokach próbkowania
dla zerowych wartoĞci początkowych ħródło: Opracowanie własne.
Na rys. 3 przedstawiono przebiegi zaleĪnoĞci wartoĞci wielkoĞci wyjĞciowej (X6) od zmian poszczególnych wielkoĞci wejĞciowych.
Rysunek 4. ZaleĪnoĞü wartoĞci wielkoĞci wyjĞciowej (X6) od zmian poszczególnych wielkoĞci
wejĞciowych dla zerowych wartoĞci początkowych ħródło: Opracowanie własne.
Z ƌys. 2–4oraz z innych badaĔ, przeprowadzonych dla róĪnych charakterów tablicy r, wynika, Īe zastosowanie mapy kognitywnej typu (2), (4) zawsze prowadzi do ustalenia siĊ sygnału wyjĞciowego, niezaleĪnie od wartoĞci współczynników relacji czy wartoĞci początkowych poszczególnych czynników monitorowanego systemu. Co wiĊcej odbywa siĊ to wprosty sposób, bez koniecznoĞci uciekania siĊ do stosowania zawiłych i czasochłonnych metod analizy modeli matematycznych. Wynika stąd, Īe mapa kognitywna dla modelu z przykładu 1 jest dobrą podstawą do konstruowania np. systemów monitorujących.
3.2. Model rozmyty
Graficzną reprezentacjĊ przykładowej relacyjnej rozmytej mapy kognitywnej, obejmującej relacje pomiĊdzy siedmioma czynnikami, przedstawiono na rys. 5. ChociaĪ w ogólnym ujĊciu nie jest to konieczne, w przykładzie nj rys. 5. wyróĪniono czynniki powiązane zsygnałami wejĞciowymi (X1 – X4) oraz wyjĞciowymi (X5 – X7). Takie podejĞcie jest związane zmonitorowaniem diagnostycznym. Wprowadzenie do mapy z rys. 5. rozmytych zaleĪnoĞci (relacji) pomiĊdzy czynnikami moĪna dokonaü róĪnymi metodami, kaĪda z nich jednak opieraü siĊ bĊdzie na wstĊpnej ekspertowej wiedzy o sile poszczególnych oddziaływaĔ. Dopiero dalsze kroki zaleĪą od przyjĊtego modelu rozmywania relacji. Istotne jest przy tym dokonanie wstĊpnej (bezwymiarowej) normalizacji badanych sygnałów, co znacznie ułatwia tworzenie procedur wnioskowania. Dalsze rozmycie systemu wnioskującego uzyskuje siĊ dziĊki dodatkowemu rozmyciu samych sygnałów. W takim modelu przetwarzanie danych w całoĞci opiera siĊ na logice rozmytej, a wnioski koĔcowe są uzyskiwane w drodze wyostrzenia.
Rysunek 5. Przykładowa mapa kognitywna (N = 7) ħródło: Opracowanie własne.
PoniĪej przedstawiono kolejne kroki algorytmu modelowania dynamiki mapy kognitywnej zgodnie ze schematem z rys. 6.
Rysunek 6. Schemat blokowy dynamiki modelu mapy kognitywnej z Rys. 5. NadkreĞlenie oznacza wartoĞü rzeczywistą danej wielkoĞci, brak nakreĞlenia – wartoĞü rozmytą
ħródło: Opracowanie własne. a) rozmycie sygnałów wejĞciowych
Pierwotną formą wartoĞci chwilowej kaĪdego sygnału wejĞciowego jest forma ostra, wyraĪona liczbą rzeczywistą. Dla celów monitorowania liczba ta jest poddawana normalizacji bezwymiaro-wej (w dziedzinie [0, 1]), a nastĊpnie rozmyciu (np. wg gausoidalnej funkcji przynaleĪnoĞci) wokół centrum na okreĞlonym noĞniku (universum). W rozpatrywanym przykładzie noĞnik ma zakres od –1 do 2 (uwzglĊdnienie symetrii sygnału rozmytego). Przykładowy przebieg funkcji przynaleĪno-Ğci dla okreĞlonej wartoprzynaleĪno-Ğci chwilowej sygnału wejprzynaleĪno-Ğciowego przedstawiono na rys. 7. Podobną
ope-racjĊ wykonuje siĊ wobec wszystkich sygnałów wejĞciowych.
Rysunek 7. Przykładowy kształt jednego z sygnałów wejĞciowych (po rozmyciu gausoidalnym) o wartoĞci chwilowej równej 0,36 (po normalizacji bezwymiarowej do przedziału [0, 1]) ħródło: Opracowanie własne.
b) budowa relacji rozmytych
Relacje rozmyte pomiĊdzy sygnałami wejĞciowymi i wyjĞciowymi mają charakter kompozycji maksyminowej. Z tego powodu konstruując relacje naleĪy uwzglĊdniü nie tylko sam jej charakter, ale takĪe zasiĊg noĞnika, który powinien byü taki sam, jak dla sygnałów wejĞciowych (zarówno pod wzglĊdem zakresu wartoĞci, jak i szerokoĞci kroku próbkowania). Sam kształt relacji moĪna dobieraü według róĪnych wzorców. W rozpatrywanym przykładzie zastosowano ciąg funkcji gau-soidalnych o charakterze podobnym, jak przy rozmywaniu sygnałów wejĞciowych. PołoĪenie cen-trów poszczególnych ciągów funkcyjnych jest uzaleĪnione od siły oddziaływaĔ pomiĊdzy danym sygnałem wejĞciowym i wyjĞciowym (wiedza ekspertowa). W przykładzie zastosowano siły od-działywaĔ zestawione w Tabela 2.
Tabela 2. Siły oddziaływaĔ pomiĊdzy czynnikami badanej mapy kognitywnej Wy We X5 X6 X7 X1 0,4 0 0 X2 0,6 0,4 0 X3 0 0,4 0 X4 0 0 1
Liczby z Tabela 2. są wartoĞciami odniesienia do konstruowania poszczególnych relacji rozmytych (patrz rys. 15).
Przykładowy kształt pojedynczej relacji rozmytej, wykorzystującej zespół gausoidalnych funkcji przynaleĪnoĞci przedstawiono na rys. 8.
Rysunek 8. Gausoidalna rozmyta relacja R1,5 pomiĊdzy dwoma czynnikami (X1 i X5)
ħródło: Opracowanie własne. c) realizacja modelu dynamicznego
ZaleĪnoĞci (7)–(9) okreĞlają dynamikĊ relacyjnych powiązaĔ pomiĊdzy sygnałami wejĞciowymi X1 – X4, a wyjĞciowymi X5 – X7 (róĪnicowe równania relacyjne).
) ( ) 1 ( 5 5 t X t X + = 4 [( () 1 t Xi i
⊕
= Xi(t−1))$Ri,5] (7) ) ( ) 1 ( 6 6 t X t X + = 4 [( () 1 t Xi i⊕
= Xi(t−1))$Ri,6] (8) ) ( ) 1 ( 7 7 t X t X + = 4 [( () 1 t Xi i⊕
= Xi(t−1))$Ri,7] (9)d) wyostrzenie sygnałów wyjĞciowych
Rozmyte sygnały wyjĞciowe, wyznaczone zaleĪnoĞciami(7)–(9), poddaje siĊ wyostrzaniu metodą centrum [2], co pozwala na uzyskanie ich ostrych wartoĞci chwilowych.
PoniĪej zamieszczono graficzne przedstawienie realizacji punktów a) – d), zgodnie ze schematem zrys. 6.
Rys. 9 przedstawia zbiorcze zestawienie przebiegów wartoĞci chwilowych sygnałów wejĞciowych (X1 – X4) po wstĊpnej normalizacji do zakresu wartoĞci [0, 1]. Na potrzeby analizy symulacyjnej poszczególne przebiegi narzucono zachowując ich zróĪnicowany charakter.
Rysunek 9. Przebiegi czasowe wartoĞci sygnałów wejĞciowych (X1 – X4)
ħródło: Opracowanie własne.
WartoĞci chwilowe sygnałów wejĞciowych, przedstawione na rys. 9, poddawano rozmyciu zwykorzystaniem gausoidalnej funkcji przynaleĪnoĞci o postaci (10):
2 ) ( ¸ ¹ · ¨ © § − − = σ c u g e f (10)
gdzie: fg – funkcja przynaleĪnoĞci, u – argument, c – centrum funkcji fg, ı – współczynnik
szero-koĞci funkcji.
PoniewaĪ zakres normalizacji (podstawowy zakres rozmywania) zawiera siĊ w granicach [0, 1], dla zachowania symetrii sygnałów po rozmyciu zastosowano noĞnik o zakresie [–1, 2].
Przebiegi rozmyte sygnałów wejĞciowych, uzyskane ww. metodČ, przedstawia rys. 10.
Rozmyte tablice relacji opracowano opierając siĊ na współczynnikach z Tabela 2, posługując siĊ ciągami funkcji o postaci (10).W efekcie uzyskano dwanaĞcie tablic o charakterze jak na rys. 8. NastĊpnie, posługując sie zaleĪnoĞciami (7)–(9), wyznaczono rozmyte wartoĞci chwilowe wielkoĞci wyjĞciowych (X5 – X7). Przebiegi te pokazano na rys. 1ϭ.
Rysunek 10. Przebiegi rozmyte sygnałów wejĞciowych (X1 – X4)
Rysunek 8. Przebiegi rozmyte sygnałów wyjĞciowych (X5 – X7)
ħródło: Opracowanie własne.
Ostatnim etapem obliczeĔ było wyostrzanie rozmytych wartoĞci przebiegów wyjĞciowych. Przeprowadzano to metodą centrum, a uzyskane wyniki przedstawiono na rys. 12.
Rysunek 12. Przebiegi czasowe wartoĞci sygnałów wyjĞciowych (X5 – X6)
ħródło: Opracowanie własne.
Dla zilustrowania poprawnoĞci działania metody, na rys. 13 przedstawiono trzy zestawienia zmian wartoĞci sygnałów wejĞciowych i zmian wartoĞci zaleĪnych od nich sygnałów wyjĞciowych.
Rysunek 13. Porównanie przebiegów sygnałów wejĞciowych (górne) i zaleĪnych od nich sygnałów wyjĞciowych (dolne)
ħródło: Opracowanie własne. 4. Podsumowanie
Przedstawiono modele struktur statycznych i dynamicznych map kognitywnych. Opisano algorytm budowy map kognitywnych jako narzĊdzia modelowania. Na konkretnych przykładach dokonano analizy symulacyjnej dynamicznych modeli ostrych i rozmytych relacyjnych map kognitywnych, z której wynika, Īe opracowane struktury dokładnie odwzorowują stany równowagi oraz ich stabilnoĞü przy róĪnych wyborach współczynników relacji. Z analizy dodatkowo wynika, Īe podobne struktury mogą byü stosowane w systemach decyzyjnych (np. w monitorowaniu układów technicznych).
Bibliografia
1. Andriejczykow A. B., Andriejczykowa O. N., Inteligentne informacyjne systemy. Wyd. Fi-nanse i Statystyka, Moskwa 2004 (w jĊzyku rosyjskim).
2. Borisow W. W., Krugłow W. W., Fiedułow A. C. Rozmyte modele i sieci. Wyd. Telekom, Moskwa 2007 (w j. rosyjskim).
3. Jastriebow A., SłoĔ G., Modelowanie słabostrukturalnych systemów logistycznych oparte na rozmytych relacyjnych mapach kognitywnych. Logistyka nr 2/2010, PoznaĔ 2010: (wersja elektroniczna).
4. Jastriebow A., SłoĔ G., Obliczenia ziarniste w modelowaniu nieprecyzyjnych obiektów przy uĪyciu relacyjnych rozmytych map kognitywnych. Pomiary, Automatyka, Kontrola vol. 56 nr 12/2010: s. 1449–1452.
5. Jastriebow A., SłoĔ G., Synteza i analiza obliczeniowa modeli inteligentnych opartych na mapach kognitywnych – czĊĞü I. Synteza. W: Jastriebow A. (red.) Informatyka w dobie XXI wieku. Technologie informatyczne i ich zastosowania. Wyd. Naukowe Instytutu Technologii Eksploatacyjnej – PaĔstwowego Instytutu Badawczego, Radom 2010: s. 67–76.
6. Jastriebow A., SłoĔ G., Synteza i analiza obliczeniowa modeli inteligentnych opartych na mapach kognitywnych – czĊĞü II. Analiza. W: Jastriebow A. (red.) Informatyka w dobie XXI wieku. Technologie informatyczne i ich zastosowania. Wyd. Naukowe Instytutu Technologii Eksploatacyjnej – PaĔstwowego Instytutu Badawczego, Radom 2010: s. 77–86.
7. Jastriebow A., SłoĔ G., ZiarnistoĞü informacji w dynamicznych modelach rozmytych rela-cyjnych map kognitywnych. Logistyka nr 6/2010, PoznaĔ 2010: (wersja elektroniczna). 8. Kosko B. Fuzzy cognitive maps. Int. Journal of Man-Machine Studies, Vol. 24. pp. 65–75,
1986.
9. SłoĔ G., Adaptacja relacji w dynamicznych rozmytych relacyjnych mapach kognitywnych. Logistyka nr 6/2010, PoznaĔ 2010: (wersja elektroniczna).
10. SłoĔ G., Analiza wybranych algorytmów adaptacji relacji w rozmytych mapach kognityw-nych. Pomiary, Automatyka, Kontrola vol. 56 nr 12/2010, s. 1445–1448.
COGNITIVE MODELING SYSTEMS AND MACHINES
Summary
Computer models of technical objects and machines are always in certain sense virtual. Methods of presentation such models depend on the information possessed during building of them. In the article cognitive approach to objects modeling, their states and dynamics which describes changes of states is presented. Such an ap-proach can be used e.g. for the modeling, diagnostics, making decisions, identifica-tion (in certain sense) and other disciplines of science and technology.
Models described and analyzed in the work are called cognitive maps. They are realized on different levels of certainty of possessed information (e.g. deterministic cognitive maps, fuzzy cognitive maps and others). On selected examples certain re-sults of the analysis of such models for different degrees of the information (or knowledge) completeness and certainty are quoted.
Keywords: cognitive map, modeling, simulation analysis
Aleksander Jastriebow
Katedra ZastosowaĔ Informatyki
Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Politechnika ĝwiĊtokrzyska
al. Tysiąclecia PaĔstwa Polskiego 7, 25-314 Kielce e-mail: jastri@tu.kielce.pl;
Katedra Infomatyki Wydział Nauczycielski Politechnika Radomska
ul. Malczewskiego 29, 26-600 Radom Grzegorz SłoĔ
Katedra ZastosowaĔ Informatyki
Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Politechnika ĝwiĊtokrzyska
al. Tysiąclecia PaĔstwa Polskiego 7, 25-314 Kielce e-mail: enegs@tu.kielce.pl
