Sterowanie Serwonapędów Maszyn i Robotów Wykład 3.1 - Modelowanie układów dynamicznych dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Sterowanie Serwonapędów Maszyn i Robotów

Wykład 3.1 - Modelowanie układów dynamicznych

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2017

(2)

Wstęp

Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p.

turbulencje,

wiele stanów stabilnych, histereza,

straty energii w wyniku tarcia.

W praktyce, dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu liniowego zjawiska, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu).

(3)

Metody opisu działania elementów (układów) liniowych

Stosowany aparat matematyczny:

opis zjawiska w postaci równań różniczkowych, linearyzacja modelu,

rachunek operatorowy.

Podstawowymi formami matematycznego opisu działania elementu (układu) są:

równanie dynamiki, transmitancja operatorowa, równania stanu.

(4)

Metody opisu działania elementów (układów) liniowych

W przypadku elementu (układu) o jednym sygnale wejściowym x (t) i jed- nym sygnale wyjściowym y (t) równanie dynamiki wyraża związek zacho- dzący pomiędzy sygnałem wyjściowym y (t) i sygnałem wejściowym x (t).

Rysunek :Proces - przyczynowo-skutkowy ciąg zdarzeń

(5)

Opis matematyczny układów liniowych - równania dynamiki

Zasada superpozycji:

f (x1+ x2) = f (x1) + f (x2), and f (0) = 0 (1) Przestrzeń rozwiązań równania spełniającego zasadę superpozycji (1) jest przestrzenią liniową.

Jednorodność (implikuje niezmienność skalowania):

Funkcja f (x , y ) jest jednorodna w stopniu k jeżeli

f (βx , βy ) = β^kf (x , y ), and f (0) = 0 (2) . gdzie: β - stały współczynnik.

Układ liniowy

Układ opisany funkcją jednorodną, w którym zachowana jest zasada superpozycji.

Układ nieliniowy

Układ, w którym nie jest zachowana jest zasada superpozycji i/lub nie jest opisany funkcją jednorodną.

(6)

Linearyzacja

(7)

Linearyzacja

Tworzenie opisu liniowego na podstawie opisu nieliniowego nazywa się linearyzacją.

Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań algebraicznych na- zywa się linearyzacją statyczną. (brak pochodnych)

Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań różniczkowych nazywa się linearyzacją dynamiczną.

Metody linearyzacji statycznej

linearyzacja metodą siecznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym w określonym przedziale zmian zmiennej niezależnej.

linearyzacja metodą stycznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym dla określonej wartości zmiennej niezależnej, a więc i określonej wartości zmiennej zależnej.

(8)

Linearyzacja statyczna

Rysunek :Linearyzacja statyczna; a) metoda siecznej, b) metoda stycznej.

Ponieważ w automatyce rozważa się zachowanie układów w otoczeniu okre- ślonego punktu pracy, w dalszych rozważaniach przydatna jest linearyzacja metodą stycznej.

(9)

Linearyzacja metodą stycznej

Przeprowadzony proces linearyzacji metodą stycznej polega na : zastąpieniu krzywej, reprezentującej nieliniową zależność y = f (x ) styczną do niej w punkcie pracy,

przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu pracy, zastąpieniu w modelu matematycznym zmiennych absolutnych x i y odchyleniami tych zmiennych od punktu pracy - zmiennymi przyrostowymi ∆x i ∆y .

Charakterystyka statyczna wyznaczona na podstawie równania zlinearyzo- wanego względem określonego punktu pracy jest funkcją liniową. Można ją także wyznaczyć linearyzując charakterystykę rzeczywistą względem tego samego punktu pracy

(10)

Linearyzacja statyczna - przykład

Funkcja niejednorodna

y = mx + b (3)

Przyjmując punkt pracy - {x0, y0}, y0= f (x0) Rozwinięcie w szereg Taylora w punkcie pracy

y = f (x ) = f (x0) +df dx|x =x₀

(x − x0) 1! +d²f

dx²|x =x₀

(x − x0)²

2! + ... (4) Prosta styczna (pierwsza pochodna) w punkcie pracy jest dobrą aproksymacją w małym zakresie zmian argumentu funkcji (wielkości wejściowej).

Tak więc

y = f (x₀) +df

dx|_{x =x}₀(x − x₀) = y₀+ m(x − x₀) (5) i ostatecznie

(11)

Linearyzacja dynamiczna

Przykład równania różniczkowego, będącego nieliniową zależnością pomię- dzy funkcjami x (t) i y (t) i ich pochodnymi.

F [y (t), ˙y (t), ¨y (t), . . . , y⁽ⁿ⁾(t), x , ˙x (t), ¨x (t), . . . , x^(m)(t)] = 0 (7) Podczas linearyzacji dynamicznej funkcje x (t) i y (t) jak i ich pochodne traktuje się analogicznie jak zmienne funkcji uwikłanej.

n

X

i =0

( ∂F

∂y^{(i )}

y₀^{(i )}

∆y^{(i )} )

+

m

X

j =0

( ∂F

∂x^{(j )}

x^{(j )}₀

∆x^{(j )} )

= 0 (8)

gdzie:

∆y = y (t) − y0, ∆ ˙y = d ∆y

dt , . . . , ∆y⁽ⁿ⁾= dⁿ∆y dtⁿ

∆x = y (t) − x0, ∆ ˙x =d ∆x

dt , . . . , ∆x^(m)=d^m∆x dt^m

(12)

Linearyzacja dynamiczna - przykład

Zlinearyzować układ nieliniowy opisany następującym równaniem różnicz- kowym

y (t) = 2x (t)²+ x (t) ˙x (t) + 2¨x (t)² (9) Przyjmując statyczny punkt pracy - {x0, y0}, x0= 1, ˙x0= 0, ¨x0= 0.

Rozwijając w szereg Taylora w punkcie pracy

∆y (t) + [−4x (t) − ˙x (t)]0∆x (t) − [x (t)]0∆¨x (t) − [4¨x (t)]0∆¨x (t) = 0 (10) Ponieważ w statycznym punkcie pracy ˙x₀ = 0, ¨x₀= 0, to zlinearyzowane równanie różniczkowe ma postać

∆y (t) − 4∆x (t) − ∆ ˙x (t) = 0 (11) Charakterystyka statyczna układu nieliniowego

y = 2x² (12)

Charakterystyka statyczna układu zlineryzowanego (styczna w punkcie pracy do ch-ki statycznej układu nieliniowego)

(13)

Charakterystyka statyczna

Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego:

a_ndⁿy

dtⁿ+a_n−1dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹+· · ·+a₀y = b_md^mx

dt^m+b_m−1d^m−1x

dt^m−1+· · ·+b₀x (14) gdzie: y - sygnał wyjściowy, x - sygnał wejściowy, a_i, b_i - stałe

współczynniki.

Charakterystyka statyczna Charakterystyka statyczna fst

przedstawia zależność sygnału wyjściowego układu y od sygnału wejściowego x w stanie ustalonym.

Stan ustalony

Stanem ustalonym nazywamy jest stan, w którym wszystkie

pochodne sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego są równe zero

Rysunek :Charakterystyka statyczna układu liniowego.

(14)

Przekształcenie Laplace’a

(15)

Przekształcenie Laplace’a

Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową, przejście z dziedziny czasu rzeczywistego t na dziedzinę zmiennej zespolonej s.

f (t) ⇔ f (s), gdzie s = c + j ω (15) gdzie: c - współczynnik części rzeczywistej, ω - współczynnik części uro- jonej. Przekształcenie Laplace’a

f (s) = L[f (t)] =

∞

Z

0

f (t)e^−stdt (16)

Odwrotne przekształcenie Laplace’a - całka Riemanna – Mellina

f (t) = L⁻¹[f (s)] = 1 2πj

c+j ω

Z

c−j ω

F (s)e^stds (17)

(16)

Przekształcenie Laplace’a

Przekształcenie Laplace’a, nazywane też transformatą Laplace’a, wykorzy- stywana jest w automatyce do analizy układów. Jako narzędzie analizy gra- ficznej wykorzystywana jest płaszczyzna zespolona S , na której mnożenie przez s daje efekt różniczkowania a dzielenie przez s całkowania.

Analiza pierwiastków zespolonych równania liniowego, może ujawnić infor- macje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu.

(17)

Przekształcenie Laplace’a układów liniowych

Transformatę Laplace’a funkcji można wyznaczyć jeżeli zostaną spełnione następujące warunki:

f (t) ma w każdym przedziale skończonym wartość skończoną, f (t) ma pochodną ^{df (t)}_dt w każdym przedziale skończonym, istnieje zbiór liczb rzeczywistych C , dla których całka

∞

R

0

e^−ct jest absolutnie zbieżna.

(18)

Przekształcenie Laplace’a układów liniowych

an

dⁿy dtⁿ+an−1

dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹+· · ·+a0y = bm

d^mx dt^m+bm−1

d^m−1x

dt^m−1+· · ·+b0x (18) L dⁿy

dtⁿ

= sⁿy (s) − sⁿ⁻¹y (0⁺) − · · · − yⁿ⁻¹(0⁺) (19) przy zerowych warunkach początkowych

L dⁿy dtⁿ

= sⁿy (s) (20)

Tak więc przekształcenie Laplace’a układu liniowego przy zerowych warunkach początkowych przyjmuje postać

y (s)(a_nsⁿ+a_n−1sⁿ⁻¹+· · ·+a₀) = x (s)(b_ms^m+b_m−1s^m−1+· · ·+b₀) (21)

(19)

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początko- wych

y (s)(ansⁿ+an−1sⁿ⁻¹+· · ·+a0) = x (s)(bms^m+bm−1s^m−1+· · ·+b0) (22) G (s) = y (s)

x (s) =bms^m+ bm−1s^m−1+ · · · + b0

a_nsⁿ+ a_n−1sⁿ⁻¹+ · · · + a₀ (23) przyjmuje się następujące oznaczenia oznaczenia

licznik

M(s) = bms^m+ bm−1s^m−1+ · · · + b0 (24) mianownik - tzw. równanie charakterystyczne

N(s) = ansⁿ+ an−1sⁿ⁻¹+ · · · + a0 (25)

(20)

Wyznaczanie charakterystyki statycznej z transmitancji operatorowej

x₀= lim

t→∞x (t), y₀= lim

t→∞y (t), (26)

na podstawie twierdzenia o wartości końcowej y0= lim

t→∞y (t) = lim

s→0sy (s) = lim

s→0sG (s)x (s) (27) przy założeniu skokowego wymuszenia x (s)

x₀= const ⇒ x (s) =1

sx₀ (28)

y0

x0

= lim

s→0G (s) (29)

ostatecznie

y0=b0

a x0 (30)

(21)

Właściwości układów

Charakterystyka dynamiczna

Prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej y (t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia x (t)

Rysunek :Postać charakterystyki dynamicznej układu.

(22)

Metody wyznaczania odpowiedzi układu dynamicznego

an

dⁿy dtⁿ+an−1

dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹+· · ·+a0y = bm

d^mx dt^m+bm−1

d^m−1x

dt^m−1+· · ·+b0x (31) Klasyczna:

Założenie warunków początkowych x (0), y (0) Rozwiązanie równań różniczkowych

Operatorowa:

f (t) = L⁻¹[y (s)] = L⁻¹[G (s)x (s)] (32) W zastosowaniach praktycznych do wykonywania transformacji prostej i odwrotnej, które są podstawowymi operacjami w rachunku operatorowym, zwykle nie zachodzi potrzeba wykorzystywania wzorów definicyjnych. Naj- częściej wystarczy znajomość podstawowych własności przekształceń La- place’a i tablice transformat typowych funkcji zmiennej rzeczywistej.

(23)

Typowe sygnały wymuszające

Wymuszenie skokowe jednostkowe (funkcja Heaveside’a)

x (t) =

1(t) dla t 0

0 dla t < 0 x (s) =1

s Wymuszenie skokowe o wartość stałą

x (t) =

x_st1(t) dla t 0

0 dla t < 0 x (s) = xst

1 s Impuls - Delta Diraca

x (t) = δ(t) =

0 dla t 6= 0

∞ dla t = 0 x (s) = 1

Wymuszenie liniowo narastające

x (t) = at x (s) = a

s²

(24)

Transmitancja operatorowa obiektów MIMO

Rysunek :Obiekt MIMO.

Zapis wejść (p) i wyjść (r ) w postaci wektorów

U(s) =





 u₁(s) u₂(s)

... up(s)







p

, Y (s) =





 y₁(s) y₂(s)

... yr(s)







r

(33)

(25)

Transmitancja operatorowa obiektów MIMO

Rysunek :Obiekt MIMO.

GMIMO(s) = Y (s) U(s) =







G₁₁(s) G₁₂(s) . . . G_2p(s) G₂₁(s) G₂₂(s) . . . G_2p(s)

... ... ... ... Gr 1(s) Gr 2(s) . . . Grp(s)







r ×p

(34)

Gij(s) = yi(s)

uj(s), gdzie i = 1, . . . , r , j = 1, . . . , p. (35)

(26)

Podstawowe człony dynamiczne

(27)

Wstęp

W złożonych układach automatyki można często wyodrębnić szereg naj- prostszych niepodzielnych już elementów funkcjonalnych. Ich właściwości można przyporządkować z pewnym przybliżeniem zaledwie kilku podstawo- wym modelom matematycznym. Abstrakcyjne elementy o właściwościach odpowiadających tym modelom nazywamy podstawowymi (elementar- nymi) liniowymi członami dynamicznymi.

Opis:

równanie ruchu,

transmitancja operatorowa, charakterystyka statyczna,

odpowiedź na wymuszenie skokowe, transmitancja widmowa,

charakterystyka amplitudowo - fazowa (Nyquist) charakterystyki logarytmiczne (Bode)

(28)

Podstawowe człony dynamiczne

y (t) = ku(t) człon proporcjonalny

(bezinercyjny) Tdy (t)

dt + y (t) = ku(t) człon inercyjny

Tdy (t)

dt = u(t), lub dy (t)

dt = ku(t) człon całkujący y (t) = Tdu(t)

dt

człon różniczkujący idealny

Tdy (t)

dt + y (t) = T_ddu(t) dt

człon różniczkujący rzeczywisty

T²d²y (t)

dt + 2ξTdy (t)

dt + y (t) = ku(t)

człon oscylacyjny, jeżeli 0 < ξ < 1

(29)

Charakterystyki częstotliwościowe

(30)

Wstęp

Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych, więc teoretycznie trwających od t = −∞.

W analizie układów liniowych charakterystyki częstotliwościowe są wy- korzystywane do badania m.in. stabilności układów, a także określonych własności dynamicznych układów.

Określają w funkcji częstotliwości:

stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem

Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych:

charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykresy Bode’go)

(31)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek :Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych

u(t) = A₁sin[ωt]

y (t) = A2sin[ω(t − tϕ)]

gdzie:

Ai - amplituda sygnału,

ω - częstotliwość sygnału (stała dla we/wy),

tϕ - opóźnienie fazy sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego.

Odpowiednio t_ϕ< 0 - ujemne przesunięcie fazowe, t_ϕ> 0 - dodatnie przesunięcie fazowe,

Rysunek :Sygnał wejściowy

Rysunek :Sygnał wyjściowy, ujemne przesunięcie fazowe

(32)

Charakterystyki częstotliwościowe

Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego można wyrazić jako przesunięcie w czasie o czas t_ϕ i wtedy sygnał wyj- ściowy opisywany jest funkcją

y (t) = A2sin[ω(t − tϕ)]

lub jako przesunięcie kątowe ϕ(ω) = ωtϕ, wtedy y (t) = A2sin[ωt − ϕ]

(33)

Charakterystyki częstotliwościowe

Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnały sinusoidal- nie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmową G (j ω).

Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniem Fouriera, które funkcji czasu f (t) przyporządkowuje transformatę F (j ω) zgodnie z zależnością zwaną całką Fouriera:

F (j ω) =

∞

Z

−∞

f (t)e^−jωtdt

(34)

Transmitancja widmowa

Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego.

G_{j ω} = y (j ω) x (j ω)

Między transmitancją widmową, a transmitancją operatorową istnieje for- malny związek

G (j ω) = G (s)|s=j ω

wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace’a i Fouriera.

(35)

Transmitancja widmowa

Korzystając z własności transformaty Laplace’a - twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej

L{f (t + τ )} = L{f (t)}e^{τ s}

można wyznaczyć transmitancję widmową obiektu w przypadku sygnału sinusoidalnego na jego wejściu

G (s) = L {A₂(ω)sin[ω(t + t_ϕ)]}

L {A1sin[ω(t)]} =A₂(ω) A1

L {sin[ω(t)]} e^t^ϕ^s

L {sin[ω(t)]} =A₂(ω) A1

e^t^ϕ^s Ponieważ

G (j ω) = Y (j ω)

U(j ω), G (j ω) = G (s)|s=j ω, tϕ=ϕ(ω) ω to

G (j ω) = A2(ω) A1

e^t^ϕ^s|s=j ω= A2(ω) A1

e^t^ϕ^{j ω}= A2(ω) A1

e^{j ϕ(ω)}

(36)

Transmitancja widmowa

Transmitancję widmową zapisuje się następująco G (j ω) = A2(ω)

A₁ e^{j ϕ(ω)}= M(ω)e^{j ϕ(ω)} gdzie:

M(ω) = ^A²_A^(ω)

1 - moduł transmitancji widmowej ϕ(ω) - argument transmitancji widmowej

W transmitancji można wyróżnić 2 składowe

G (j ω) = M(ω)e^{j ϕ(ω)}= P(ω) + jQ(ω) gdzie:

P(ω) - część rzeczywista transmitancji widmowej Q(ω) - część urojona transmitancji widmowej

(37)

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona w płasz- czyźnie zmiennej zespolonej, która jest miejscem geometrycznym końca wektora transmitancji widmowej G (j ω) przy zmianach ω = 0 → ∞

Rysunek :Charakterystyka amplitudowo-fazowa

M(ω) =p

[P(ω)]²+ [Q(ω)]² ϕ(ω) = arctg Q(ω)

P(ω)

P(ω) = M(ω) cos[ϕ(ω)]

Q(ω) = M(ω) sin[ϕ(ω)]

M(ω) = P(ω) cos[ϕ(ω)] + Q(ω) sin[ϕ(ω)]

(38)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek :Charakterystyki logarytmiczne

Charakterystyki częstotliwościowe Częstotliwościowe charakterystyki amplitudowa i fazowa są przed- stawiane na dwóch oddzielnych wykresach:

charakterystyka amplitudowa L(ω) = |G (j ω)| w zależności od częstości ω ,

charakterystyka fazowa ϕ = arg G (ω) w zależności od częstości ω.

Moduł logarytmiczny (jednostka - decybel)

L(ω) = 10log10M²(ω)

= 20 log M(ω)[dB]

(39)

Opis z wykorzystaniem równań stanu

(40)

Współrzędne stanu

Współrzędne stanu to wielkości charakteryzujące zachowanie się układu dynamicznego, opisujące jego stan (np. położenie, prędkość, przyspiesze- nie).

Wektor stanu

Wektor stanu układu dynamicznego to minimalny zbiór współrzędnych stanu wystarczający łącznie ze znajomością wielkości wejściowych do okre- ślenia zachowania się układu w przyszłości.

Liczba współrzędnych stanu jest równa rzędowi równania różniczkowego opisującego obiekt.

Opis układów we współrzędnych stanu jest trudniejszy do interpretacji fizycznej niż opis w postaci transmitancji i niemożliwy do bezpośredniego określenia na drodze pomiarowej. Jest jednak wygodniejszy do celów modelowania oraz projektowania wielowymiarowych układów stero-

(41)

Równania stanu i wyjść

Do wyznaczenia odpowiedzi na określone wymuszenie jednowymiarowego układu opisanego równaniem dynamiki n-tego rzędu, należy zdefiniować początkowy stan układu, czyli n warunków początkowych (n wartości pewnych zmiennych). Pod wpływam wymuszenia wartości tych zmiennych ulegają zmianom, jednoznacznie definiując stan dynamiczny układu w dowolnej chwili.

Ogólna postać równania stanu - zmiany zmiennych stanu z n warunkami początkowymi:







dx₁(t)

dt = f1(x1, x2, . . . , xq; u1, u2, . . . , up; t); x1(t0) = x10

. . .

dxq(t)

dt = f_q(x₁, x₂, . . . , x_q; u₁, u₂, . . . , u_p; t); x_q(t₀) = x_q0

(36)

Ogólna postać równania wyjść







y₁(t) = g₁(x₁, x₂, . . . , x_q; u₁, u₂, . . . , u_p; t) . . .

y_r(t) = g_q(x₁, x₂, . . . , x_q; u₁, u₂, . . . , u_p; t)

(37)

(42)

Zlinearyzowane równania stanu i wyjść

Po linearyzacji w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego punktu pracy - {x₀, y₀}), równania przyjmują postać:

Zlinearyzowana postać równania stanu











d ∆x1(t) dt =Pq

i =1

_∂f

1(t)

∂x_i

0∆xi+Pp j =1

_∂f

1(t)

∂u_j

0∆uj

. . .

d ∆x_q(t) dt =Pq

i =1

_∂f

q(t)

∂xi

0

∆x_i+Pp j =1

_∂f

q(t)

∂uj

0

∆u_j

(38)

Zlinearyzowana postać równania wyjść











∆y₁=Pq i =1

_∂g

1(t)

∂xi

0

∆x_i+Pp j =1

_∂g

1(t)

∂uj

0

∆u_j . . .

∆yq=Pq i =1

_∂g

q(t)

∂x_i

0∆xi+Pp j =1

_∂g

q(t)

∂u_j

0∆uj

(39)

(43)

Postać macierzowa modelu zmiennych stanu

Macierzowa postać równań stanu i wyjść

X (t) = A˙ _NL(X , U, t)

Y (t) = C_NL(X , U, t) (40)

Macierzowa postać zlinearyzowanych równań stanu i wyjść

X (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t)˙

Y (t) = C (t)X (t) + D(t)U(t) (41) gdzie: A(t) ∈ R^q×q - macierz stanu, B(t) ∈ R^q×p - macierz wejść, C (t) ∈ R^{r ×q} - macierz wyjść, D(t) ∈ R^{r ×p} - macierz przenoszenia (transmisyjna).

Przejście z zapisu macierzowego do zapisu transmitancyjnego G (s) = C [sI − A]⁻¹B + D (42)

(44)

Równania stanu układów liniowych

Układ niestacjonarny

Układ niestacjonarny to układ, którego wyjście zależy wprost od czasu - parametry układu zależą od czasu.

Układ stacjonarny

Układ stacjonarny to układ, którego wyjście nie zależy wprost od czasu.

(45)

Przestrzeń stanów

Rysunek :Trajektoria fazowa - przykład

Przestrzeń stanów, przestrzeń fazowa

Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu X (t) w chwilach t tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazową).

trajektoria stanu

Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu tworzy w tej przestrzeni krzywą, zwaną trajektorią stanu układu (trajektorią fazową).

(46)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Ogólna postać równania transmitancji układu liniowego:

G (s) = b_ms^m+ b_m−1s^m−1+ · · · + b₀ s^q+ an−1s^q−1+ · · · + a0

, q > m (43)

Dzieląc licznik i mianownik (46) przez s^q

G (s) = b_ms^m−q+ b_m−1s^m−1−q+ · · · + b₀s^−q

1 + aq−1s⁻¹+ · · · + a0s^−q (44) Wprowadzając zmienną E (s) następująco

G (s) = Y (s)E (s)

E (s)U(s) (45)

E (s)

U(s) = 1

1 + a_q−1s⁻¹+ · · · + a₀s^−q (46) Y (s)

= b s^m−q+ b s^m−1−q+ · · · + b s^−q (47)

(47)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Otrzymane równania

E (s) = −a₀s^−qE (s) − · · · − a_q−1s⁻¹E (s) + U(s) (48)

Y (s) = b₀s^−qE (s) + · · · + b_m−1s^m−1−qE (s) + b_ms^m−qE (s) (49) Przyjmując fazowe zmienne stanu i równania stanu w postaci

˙

x1(t) = x2(t)

˙

x2(t) = x3(t) . . .

˙

xn(t) = e(t)











(50)

gdzie

e(t) = L⁻¹[E (s)] (51)

(48)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Po przekształceniu Laplace’a sx₁(s) = x₂(s) sx₂(s) = x₃(s) . . .

sx_q(s) = E (s)











⇒

x₁(s) = s^−qE (s) x₂(s) = s^−q−1E (s) . . .

x_q(s) = s⁻¹E (s)











(52)

Tak więc po uwzględnieniu zapisu w postaci zmiennych fazowych w przestrzeni zmiennych zespolonych S otrzymuje się

E (s) = −a₀x₁(s) − · · · − a_q−1x_q(s) + U(s) (53)

Y (s) = b0x1(s) + · · · + bm−1xm(s) + bmxm+1(s) (54) odpowiednio w dziedzinie czasu

e(t) = −a0x1(t) − · · · − aq−1xq(t) + u(t) (55)

u(t) = b x (t) + · · · + b x (t) + b x (t) (56)

(49)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Równania stanu

˙

x1(t) = x2(t)

˙

x2(t) = x3(t) . . .

˙

x_n(t) = −a₀x₁(t) − · · · − a_q−1x_q(t) + u(t)











(57)

Macierze równań stanu przyjmują postać:

A =







0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

. . .

−a₀ −a₁ −a₂ . . . −a_q−1







q×q

, B =





 0 0 . . .

1







q×1

(58)

C =

b₀ b₁ . . . b_m 0 . . . 0

1×q, D = [0]_1×1

(50)

Równania stanu - element oscylacyjny

Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω²₀

s²+ 2ξω0s + ω²₀ (59) lub w dziedzinie czasu

u(t)kω₀²= d²y (t)

dt² +dy (t)

dt 2ξω0+ y (t)ω₀² (60) Powyższy układ jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.

Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu

˙

x1(t) = x2(t)

˙

x2(t) = −ω²₀x1(t) − 2ξω0x2(t) + u(t) (61) równanie wyjścia

y (t) = kω x (t) (62)

(51)

Równania stanu - element oscylacyjny

Macierzowa postać zlinearyzowanych równań stanu i wyjść dla elementu oscylacyjnego

X (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t)˙

Y (t) = C (t)X (t) + D(t)U(t) (63) gdzie:

X (t) =

x1(t) x2(t)

, Y (t) =

y (t) , U(t) = u(t) (64)

A =

0 1

−ω²₀ −2ξω₀²

, B =

0 1

, C =

kω²₀ 0 , D = [0] (65)

(52)