dr Jan Malinowski Łódź, 01.10.2018 r. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna
zadania:
1. Masy jabłek (pojedynczych sztuk) mają rozkład N(10g, 4g), zaś masy pomarańczy N(20g, 1g). Wolontariusze robią paczki świąteczne, pakując do każdej po 2 jabłka i po 4 pomarańcze. Jaka musi być wytrzymałość pakietów, aby co najmniej 95% paczek było całych.
2. Zmienna losowa x określona na przedziale 0 – 1 ma funkcję gęstości f(x) = Cx(1-x)
Narysuj dystrybuantę tego rozkładu;
ile wynoszą: średnia, wariancja, mediana, moda, współczynnik asymetrii i eksces dla tego rozkładu.
3. Pewien wybitny uczony skonstruował przyrząd, który buczy gdy mierzona wartość wynosi mniej niż 4.62 i gwiżdże, gdy jest ona poniżej 4.83. Podczas wykonanych 10000 pomiarów przyrząd zabuczał 1591 razy i zagwizdał 3080 razy. Zakładając, że wyniki pomiarów mają rozkład normalny, oceń jego parametry.
4. Stwierdzono, że w Burundii rozkład wzrostu mężczyzn jest N(167, 13) – mierzone w cm, zaś kobiet N(174, 16). Jak często będzie się zdarzać, że w losowo dobranej parze kobieta będzie wyższa od mężczyzny?
4b. Przy warunkach z zadania 10, jak często będzie się zdarzać, że z dwu losowo spotkanych na rynku mężczyzn drugi będzie wyższy od pierwszego?
5. Wykonano 2000 pomiarów czasu życia pewnej cząstki,
uzyskując średni wynik 1,3897⋅10-18 s. Oceń błąd tej wartości średniej.
6. W laboratorium A wykonano 2000 pomiarów czasu życia pewnej cząstki otrzymując średnią 1,3897⋅10-18 s. W laboratorium B średnia z 6000 pomiarów wyniosła 1,3701⋅10-18 s. Czy różnica między tymi pomiarami jest istotna statystycznie?
7. W roku 1983, instytut UDP stwierdził, że zawartość papki drzewnej w kiełbasie ułańskiej ma rozkład normalny o średniej 28,6% o odchyleniu standardowym 3,2%. Tymczasem znany z tendencyjności dziennik burundyjski podał, że w stu zbadanych przez jego kontrolerów próbkach kiełbasy znaleziono 26 z zawartością poniżej 27% i 33 z zawartością powyżej 32%. Czy zachodzi istotna sprzeczność pomiędzy obydwoma informacjami.
8. Ankieta przeprowadzona w lipcu wśród 500 losowo wybranych osób pokazała, że 46% z nich popiera prezydenta. Analogiczna ankieta przeprowadzona w listopadzie dała wynik 52%. Rzecznik prasowy prezydenta na tej podstawie twierdzi, że poparcie dla prezydenta wzrasta. Czy słusznie?
9. Norma przewiduje, że średni brojler opuszczając tuczarnię powinien mieć masę 3,5 kg. Kontrolerzy zważyli 4 losowo wybrane brojlery, otrzymując wyniki: 2.2, 2.4, 2.8, 3.7 kg. Jaki wniosek wypływa z tych danych?
10. Nominalna nośność windy osobowej wynosi 2000 kg. Wiadomo, że średnia masa obywatela jest 68.9 kg, a odchylenie standardowe rozkładu ich mas – 12.3 kg. Na ile osób należy ustalić maksymalną ilość pasażerów, aby przy losowym ich doborze prowadziło to do przekroczenia nośności nominalnej nie więcej niż raz na 10000 przypadków.
18. Wiadomo, że wyniki pomiarów rypendancji obarczone są błędem gaussowskim, zależnym od użytego do pomiarów przyrządu. 20 pomiarów przyrządem firmy Rohn & Sun dało w wyniku średnią 2,6 i odchylenie standardowe 0,3, zaś 13 pomiarów przyrządem marki Raduga dało średnią 2,9 i odchylenie standardowe 0,6. Czy otrzymane wartości średnie różnią się od siebie istotnie?
37. W ramach unowocześniania produkcji tabletów wprowadzono nowe klawiatury. Dla partii 500 sztuk wykonano zestawienie ilości działających jeszcze bez żadnej naprawy po upływie danego okresu: po 1 miesiącu 343 po 9 miesiącach 16 2 250 10 7 3 160 11 7 4 95 12 5 5 60 13 2 6 45 14 2 7 35 15 1 8 25 16 0
Czy można twierdzić, że czas bezawaryjnej pracy tabletu jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym?
32. Ilość uschniętych roślin na 5 jednakowych grządkachwynosiła 2, 6, 4, 9, 8. Czy usychanie ma charakter czysto przypadkowy?
Metody Monte Carlo
1. Zastosuj metodę odwracania dystrybuanty dla losowania liczb losowych z rozkładu; f(x) = A xn gdzie n – całkowite, np. n=2
2. Zastosuj metodę odwracania dystrybuanty dla losowania liczb losowych z rozkładu eksponencjalnego.
