M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

ZADANIA

.

POZIOM PODSTAWOWY

25KWIETNIA2020

Z

1

Liczba log√3₃9 jest równa

A) 4 B) 6 C)√3 D) 1₄

Z

2

Je ˙zeli 37% liczby a jest równe 148 i 25% liczby b jest równe 148, to

A) a−b =192 B) a−b =168 C) b−a =192 D) b−a =168

Z

3

Jedn ˛a z liczb spełniaj ˛acych nierówno´s´c (1−₁₇x)(₋5_x−2 x) >0 jest

A)₋5 B)₋3 C)₋17 D)₋9

Z

4

Liczba√3 _2p2√3 _{2 jest równa}

A) 2 B) 212 C) 234 D) 20

Z

5

Para liczb x= 1₂ i y= −1₃ jest rozwi ˛azaniem układu równa ´n      2a3x+6ay=1 4x+3ay=3a2 6a3x+12y =7a3 dla A) a=2 B) a = −2 C) a= −1 D) a= 1₂

Z

6

A) jedno rozwi ˛azanie: x =2 B) jedno rozwi ˛azanie: x = −2

C) dwa rozwi ˛azania: x = −2, x = −4 D) dwa rozwi ˛azania: x =2, x =4

Z

7

Funkcja f(x) = x2−ax+1 przyjmuje warto´sci mniejsze ni ˙z−3 dla

Z

8

Rysunek przedstawia wykres funkcji f zbudowany z 6 odcinków.

x

y

A) dokładnie jedno rozwi ˛azanie. B) dokładnie dwa rozwi ˛azania. C) dokładnie trzy rozwi ˛azania. D) niesko ´nczenie wiele rozwi ˛aza ´n.

Z

9

Najmniejsz ˛a warto´s´c w przedziale _h−4,₋3_i funkcja kwadratowa y = 2(x+2)2−5

przyj-muje dla argumentu

A)−4 B)−3 C)−2 D)−5

Z

10

Punkt A = (a, 3)le ˙zy poni ˙zej prostej okre´slonej równaniem y= 3₄x+6. St ˛ad wynika, ˙ze A) a<0 B) a >−4 C) a< 33

4 D) a>0

Z

11

W ci ˛agu arytmetycznym (an), okre´slonym dla n > 1, dane s ˛a dwa wyrazy: a1 = 31 oraz a_{18 = −}19. Suma osiemnastu pocz ˛atkowych wyrazów tego ci ˛agu jest równa

A) 102 B) 108 C) 105₁₇1 D)−171

Z

12

K ˛at α jest ostry oraz wiadomo, ˙ze sin α·cos α= 1₄. Warto´s´c wyra ˙zenia cos α+sin α jest równa

Odcinek AB jest ´srednic ˛a okr˛egu o ´srodku O i promieniu r. Na tym okr˛egu wybrano punkt C, taki, ˙ze|∡_{ABC| =}75◦ (zobacz rysunek).

A

O

B

C

Pole trójk ˛ata AOC jest równe A) r2 2 B) r 2 4 C) r 2√₁₅ 16 D) r2

Z

14

Wyra ˙zenie (₍x_x2−₊y_y2₎2)2, gdzie x+y 6=0 jest równe wyra ˙zeniu

A)(x+y)2 B)(x−y)4 C) x_x−₊y_y D) x2−2xy+y2

Z

15

Trapez ABCD podzielono przek ˛atn ˛a AC na dwa trójk ˛aty. Punkty O i S s ˛a ´srodkami okr˛e-gów wpisanych w trójk ˛aty ACD i ABC, a odcinek OS przecina przek ˛atn ˛a AC w punkcie K (zobacz rysunek). Stosunek długo´sci okr˛egów o ´srodkach O i S jest równy 3₅, a odcinek OS ma długo´s´c 24.

A

B

K

O

S

C

D

Z

16

Podstaw ˛a graniastosłupa prostego czworok ˛atnego ABCDEFGH jest kwadrat ABCD o po-lu 4 (zobacz rysunek). Obj˛eto´s´c graniastosłupa jest równa 8√6. Miara k ˛ata AEC jest równa

H

A

_B

E

D

G

F

C

α

Z

17

Ci ˛agiem geometrycznym o ilorazie₋1₂jest ci ˛ag okre´slony wzorem A) an = −1₂ · (−2)−n B) an =2·  1 2 −n C) an = −1₂ ·2−n D) an = −₂1n

Z

18

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f . Na wykresie tej funkcji le ˙z ˛a punkty A_{= (−}2, 2)i B = (4, 5). +1 -3 -5 -1 +3 +5 x -5 -1 +1 +5 y +3 -3 +2 +2 -2 -2 -4 +4 +4 -4 A B

Obrazem prostej AB w symetrii wzgl˛edem pocz ˛atku układu współrz˛ednych jest wykres funkcji g okre´slonej wzorem

Punkt P = (−37, 58), przekształcono najpierw w symetrii wzgl˛edem osi Ox, a potem w symetrii wzgl˛edem osi Oy. W wyniku tych przekształce ´n otrzymano punkt Q. Zatem A) Q= (37,−58) B) Q= (−37, 58) C) Q= (58,−37) D) Q= (−58, 37)

Z

20

Suma długo´sci wszystkich kraw˛edzi czworo´scianu foremnego jest równa 12 cm. Pole po-wierzchni całkowitej tego czworo´scianu jest równe

A)√3 B) 9√3 C) 8√3 D) 4√3

Z

21

Liczba ró ˙znych warto´sci parametru a, dla których prosta ax+y+1=0 jest prostopadła do prostej x+ay+1=0 jest

A) równa 0 B) równa 1 C) równa 2 D) wi˛eksza od 2

Z

22

Punkt A = (2,−4)jest wierzchołkiem sze´sciok ˛ata foremnego ABCDEF wpisanego w okr ˛ag o ´srodku S_{= (−}1,₋1). Pole tego sze´sciok ˛ata jest równe

A) 54√3 B) 9√6 C) 27√3 D) 18√6

Z

23

Dany jest zestaw danych: 12, 8, 19, x, 16, 25, gdzie x jest pewn ˛a liczb ˛a całkowit ˛a. Mediana tego zestawu danych nie mo ˙ze by´c równa

A) 14 B) 17,5 C) 13,5 D) 16,5

Z

24

Liczba 99991 jest liczb ˛a pierwsz ˛a. Liczba dzielników naturalnych liczby 99991991_{jest równa}

A) 1982 B) 990 C) 991 D) 992

Z

25

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych{21, 22, 23, . . . , 49, 50}losujemy jedn ˛a liczb˛e. Prawdo-podobie ´nstwo wylosowania liczby podzielnej przez 6 jest równe

Z

26

Funkcje f(x) = 2x−m+1 i g(x) = −9x2+6xm−m2 maj ˛a wspólne miejsce zerowe.

Ob-licz m.

Z

27

Na boku AB trójk ˛ata ABC wybrano punkt D w ten sposób, ˙ze odległo´sci punktów A i B od prostej CD s ˛a równe (zobacz rysunek). Wyka ˙z, ˙ze trójk ˛aty ADC i BDC maj ˛a równe pola.

A

B

C

Z

29

Wyka ˙z, ˙ze dla ka ˙zdej liczby a>0 i dla ka ˙zdej liczby b >0 prawdziwa jest nierówno´s´c

1 √_a + 1 √ b > 4 √_a +√b.

W trapezie równoramiennym ABCD krótsza podstawa CD ma długo´s´c równ ˛a 6 i jest równa wysoko´sci trapezu. Długo´s´c dłu ˙zszej podstawy AB jest równa długo´sci przek ˛atnej trapezu. Oblicz pole tego trapezu.

6

A B

C D

Z

31

Punkty A= (8,−11)i B = (10, 3) s ˛a ko ´ncami ci˛eciwy okr˛egu o ´srodku S. Napisz równanie

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych losujemy jedn ˛a liczb˛e. Oblicz praw-dopodobie ´nstwo zdarzenia A polegaj ˛acego na tym, ˙ze wylosowana liczba jest podzielna przez 4 oraz ma dwie cyfry nieparzyste.

Z

33

W ci ˛agu geometrycznym {a₁, a₂, . . . , a₉, a_10} iloczyn wyrazów o numerach parzystych jest równy−243, a iloczyn wyrazów o numerach nieparzystych jest równy 7776. Wyznacz ostat-ni wyraz tego ci ˛agu geometrycznego.

Długo´s´c kraw˛edzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworok ˛atnego ABCDS jest równa 12 (zobacz rysunek). Kraw˛ed´z boczna tworzy z wysoko´sci ˛a tego ostrosłupa k ˛at α taki, ˙ze tg α=

3

√

7. Oblicz obj˛eto´s´c tego ostrosłupa.

A

B

C

D

S

O

12

α