27.9.2018, kl 1b
Nierówności między średnimi.
Zadanie 1. Udowodnij nierówność pomiędzy średnią geometryczną a średnią harmoniczną
√n
a1· a2· . . . · an n
1 a1+a1
2 + . . . +a1
n
.
dla liczb dodatnich a1, a2, . . . , an. Wykazać, że nierówność ta staje się równością jedyni, gdy a1 = a2 = . . . = an.
Zadanie 2. Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną nie stosując zasady indukcji. Za- miast tego udowodnij i zastosuj:
Lemat. Dane są liczby a, b, takie, że b > a i 0 < < b − a. Wówczas
(a + )(b − ) > ab.
Zadanie 3. Wyznaczyć wszystkie dodatnie rozwiązania układu równań:
x + y + z = 9
1
x+1y+1z = 1 Zadanie 4. Znajdź największą wartość wyrażeń
(a) x2(1 − x), gdzie x > 0;
(b) xy2z3(28 − 4x − 4y − 3z), gdzie x, y, z oraz 28 − 4x − 4y − 3z są dodatnie.
Zadanie 5. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi nierówność 8(a + b + c)3 27(a + b)(b + c)(c + a).
Zadanie 6. Dla danej liczby naturalnej n wyznaczyć liczby x1, x2, . . . , xn o sumie równej 1, dla których wyrażenie x1· x22· x33· . . . · xnn
osiąga wartość największą.
