z wykładu prof. Wisły

1

470 Szeregi Fouriera

funkcji

2

π

_-okresowych

Jeśli f :<−π,π >→R jest funkcją bezwzględnie całkowalną na przedziale >

−

<

π

,

π

(w sensie właściwym lub niewłaściwym), to istnieją współczynniki Fouriera (a_n), (b_n) funkcji f względem układu trygonometrycznego.

Pytania:

Kiedy szereg Fouriera

∑

∞ = + + 1 0 ) sin cos ( 2 k k k kx b kx a a jest zbieŜny?

Jaki jest wzór na sumę szeregu

∑

∞ = + + 1 0 ) sin cos ( 2 k k k kx b kx a a ?

Czy ( cos sin ) ( )

2 1 0 x f kx b kx a a k k k + = +

∑

∞ = ?

Całka Dirichletta

Jeśli f :R→R jest funkcją bezwzględnie całkowalną na przedziale <−

π

,

π

> to −

n ta suma częściowa szeregu Fouriera funkcji f w punkcie x0∈<−

π

,

π

> względem układu trygonometrycznego przedstawia się wzorem

∫

₋ + ₋− = π π

π

u x du x u n u f x S_n ) ( sin 2 ) )( sin( ) ( 1 ) ( 0 2 1 0 2 1 0 .

Całkę tę nazywamy całką Dirichletta. Punkt x0 jest punktem osobliwym całki

Dirichletta. Funkcję ) ( sin 2 ) )( sin( 0 2 1 0 2 1 x u x u n u − − + →

nazywamy jądrem Dirichletta.

Dowód

Wzór na

n−

t

ą

sum

ę

cz

ęś

ciow

ą

funkcji

2π

-okresowej

Jeśli f :R→R jest funkcją bezwzględnie całkowalną na przedziale <−

π

,

π

> i π

2 -okresową, to n−ta suma częściowa szeregu Fouriera funkcji f w punkcie

R

x₀∈ względem układu trygonometrycznego przedstawia się wzorem

∫

+ − − + = π

π

0 2 1 2 1 0 0 0 sin 2 ) sin( )] ( ) ( [ 1 ) ( dt t t n t x f t x f x S_n .

2

Dowód

Zasada lokalizacji Riemanna

Jeśli f :R→R jest funkcją bezwzględnie całkowalną na przedziale <−

π

,

π

> i π

2 -okresową, to zbieŜność szeregu Fouriera funkcji f w punkcie x₀∈R

względem układu trygonometrycznego zaleŜy wyłącznie od wartości funkcji f

przyjmowanych w otoczeniu punktu x0.

Dowód

Wzór na

n−

t

ą

sum

ę

cz

ęś

ciow

ą

funkcji

2π

-okresowej 2

Niech f :R→R będzie funkcją bezwzględnie całkowalną na przedziale <−

π

,

π

> i 2π -okresową. Oznaczmy przez A zbiór punktów ciągłości funkcji f ,

    ∉ + + − ∈ = A x x f x f A x x f x S 0 0 0 0 0 0 gdy 2 ) 0 ( ) 0 ( gdy ) ( ) ( ,

i niech

ϕ

(x₀,t)= f(x₀ −t)+ f(x₀ +t)−2S(x₀). Wtedy n−ta suma częściowa szeregu Fouriera funkcji f w punkcie x₀∈R względem układu

trygonometrycznego przedstawia się wzorem

∫

+ + = π

ϕ

π

0 2 1 2 1 0 0 0 sin 2 ) sin( ) , ( 1 ) ( ) ( dt t t n t x x S x Sn .

Punkt t=0 jest punktem osobliwym tej całki.

Dowód

Kryterium Diniego

Niech f :R→R będzie funkcją bezwzględnie całkowalną na przedziale <−

π

,

π

> i 2π -okresową. Szereg Fouriera funkcji f względem układu trygonometrycznego jest zbieŜny w punkcie x₀∈R do sumy S(x₀), gdy całka

∫

h dt t t x 0 0, )| ( |ϕ jest zbieŜna dla pewnego h>0.

Dowód

Całki w kryterium Diniego

W kryterium Diniego występują następujące całki:

∫

h − + + − dt t x f t x f t x f 0 0 0 0 ) ( ) 2 ( )| ( | gdy S(x0)= f(x0),

3

∫

h − + + − − − + dt t x f x f t x f t x f 0 0 0 0 0 ) ( ) ( 0) ( 0)| ( | gdy 2 ) 0 ( ) 0 ( ) ( 0 0 0 + + − = f x f x x S .

PowyŜsze całki są zbieŜne, gdy zbieŜne są całki:

∫

h − − dt t x f t x f 0 0 0 ) ( )| ( | ,

∫

h + − dt t x f t x f 0 0 0 ) ( )| ( | gdy S(x₀)= f(x₀),

∫

h − − − dt t x f t x f 0 0 0 ) ( 0)| ( | ,

∫

h + − + dt t x f t x f 0 0 0 ) ( 0)| ( | gdy 2 ) 0 ( ) 0 ( ) ( 0 0 0 + + − = f x f x x S .

Definicja

Funkcję f :<a,b>→R nazywamy przedziałami róŜniczkowalną na <a,b>, gdy istnieje skończony podział a=a₀<a₁<...<a_p =b przedziału <a,b> taki, Ŝe funkcje fk:<ak−1,ak >→R zdefiniowane wzorem

    = − < < = + = − ₋ k k k k k-k k a x a f a x a x f a x a f x f gdy ) 0 ( gdy ) ( gdy ) 0 ( ) ( ₁ 1 1

są róŜniczkowalne na przedziale (ak−1,ak) i na końcach tego przedziału posiadają pochodne jednostronne.

Przykład

Funkcja f(x)=[x]−x jest przedziałami róŜniczkowalna na kaŜdym przedziale

> <a,b .

Kryterium dla funkcji przedziałami ró

Ŝ

niczkowalnych

Niech f :R→R będzie funkcją bezwzględnie całkowalną na przedziale <−π,π > i 2π -okresową. JeŜeli dodatkowo funkcja f jest przedziałami róŜniczkowalna na

> −

< π,π , to szereg Fouriera funkcji f względem układu trygonometrycznego jest zbieŜny w kaŜdym punkcie x0∈R do sumy S(x0).

Dowód

Warunek Lipschitza

Mówimy, Ŝe funkcja f :(a,b)→R spełnia warunek Lipschitza w otoczeniu punktu )

, (

0 a b

4 α | | | ) ( ) ( | f x0 +t − f x0 ≤L t

dla wszystkich | t|<δ takich, Ŝe x0 +t∈(a,b).

Uwaga

JeŜeli funkcja f :(a,b)→R spełnia warunek Lipschitza w otoczeniu punktu )

, (

0 a b

x ∈ ze stałą 0<α ≤1, to jest ona ciągła w punkcie x0.

Kryterium Lipschitza

Niech f :R→R będzie funkcją 2π -okresową. JeŜeli funkcja f spełnia warunek Lipschitza w otoczeniu punktu x₀∈R ze stałą 0<α ≤1, to szereg Fouriera funkcji f względem układu trygonometrycznego jest zbieŜny do sumy f(x₀), tzn.

∑

∞ = + + = 1 0 0 0 0 ( cos sin ) 2 ) ( k k k kx b kx a a x f . Dowód

Posta

ć

zespolona szeregu trygonometrycznego

Niech f :<−π,π >→R będzie taką funkcją, Ŝe dla kaŜdego n≥0 istnieją całki oznaczone

∫

−

π

π f(x)cosnxdx i

∫

−

π

π f(x)sinnxdx. Wtedy szereg Fouriera dla funkcji f względem układu trygonometrycznego przedstawia się wzorem

∑

+∞ −∞ = k ikx ke c , gdzie

∫

₋ − = π π π f x e dx c_k ( ) ikx 2 1 dla k =0,±1,±2,... Uwaga 0 0 2 1 a c = , ) ( 2 1 k k k a ib c = − , dla k =1,2,..., ) ( 2 1 k k k a ib c = ₋ + ₋ , dla k=−1,−2,...,

gdzie a0,b1,a1,... są współczynnikami Fouriera dla funkcji f względem układu trygonometrycznego.