View of Uwagi o L. Borkowskiego metodzie zerojedynkowego sprawdzania węższego rachunku predykatów

D Y S K U S J E

R O C Z N I K I F I L O Z O F I C Z N E Tom XLIX, zeszyt 1 2001

M A R E K L E C H N IA K

U W A G I O L. B O R K O W S K IE G O M E T O D Z IE Z E R O J E D Y N K O W E G O S P R A D Z A N IA W Ę Ż S Z E G O R A C H U N K U P R E D Y K A T Ó W

W roku 1959 L. B orkow ski przedstaw ił bardzo prostą, przydatną dydak­ tycznie m etodę spraw dzania wyrażeń węższego rachunku predykatów z jedn ą zmienną. Pewne korekty do tej metody wprowadził w roku 1964, a do pod­ ręcznika w łączył w roku 19911.

M ożna jednak wskazać pew ną trudność w dydaktycznym stosowaniu tej m etody. W eźm y następujący przykład:

(podwójne podkreślenie w skazuje na to, że w artość poprzednika jest założona, w ykreślenie charakterystyki w skazuje jej pustość, a podkreślenie przynajm niej jednego elem entu charakterystyki - jej niepustość). Postępując według reguł

1 Por. odpowiednio: L. B o r k o w s k i , D ydaktyczne ujęcie zerojedynkow ej m etody sprawdzania w yrażeń w ęższego jednoargum entowego rachunku predykatów , „Studia L ogica”,

11 (1961), s. 57-76; t e n ż e , Popraw ki do artykułu „D ydaktyczne ujęcie zerojedynkow ej m etody sprawdzania wyrażeń w ęższego jednoargum entow ego rachunku predykatów " , „Studia L ogica”, 15 (1964), s. 271-272, oraz t e n ż e , W prowadzenie do logiki i teorii mnogości, Lublin 1991. ( V x ) ( A ( x ) - > B ( x ) ) - > ( 3x) ( A (x)aB (x)) 1 1 1 1 1 1 i — e— & o i i o i o -i— 0— 0- 0 0 1 0 0 0

spraw dzania podanych przez Borkow skiego, dla jednego z m ożliw ych rozkła­ dów otrzym ujem y wynik pozytyw ny2; zakładając praw dziw ość poprzednika, zm uszeni byliśm y założyć pustość drugiej z klas rozkładu, a więc zbioru przedm iotów m ających własność A, a nie m ających w łasności B. W następni­ ku spraw dzanej im plikacji otrzym aliśm y 7, gdyż wśród charakterystyk klas rozkładu w ystępuje w następniku przynajm niej jedna 7, a to upow ażnia nas do wniosku, że i następnik w yrażenia jest praw dziw y. Tym czasem z odpo­ w iedniego diagram u V enna widać, że w ynik jest jednoznacznie negatyw ny. Z tego, że nie istnieją takie przedm ioty, które m ają własność A, a nie m ają w łasności B, nie w ynika wniosek, że m uszą istnieć przedm ioty m ające zara­ zem własność A i własność B. Taki w niosek m ożna przyjąć jedynie przy założeniu, że własność A nie jest „pusta” , tzn. że w ogóle jakieś przedm ioty m ające własność A istnieją.

A B

O czyw iście w podanym przykładzie każdy rozpozna wyrażenie będące na gruncie węższego rachunku predykatów odpow iednikiem praw a podporządko­ w ania teorii zdań kategorycznych: S a P —> S i P, należące do grupy tw ier­ dzeń, których obow iązyw anie zależy od przyjęcia założenia o niepustości term inów . Podobne do wskazanych trudności m ożna podać dla innych odpo­ w iedników tez teorii zdań kategorycznych z założeniem egzystencjalnym , jak np. praw a konw ersji z ograniczeniem czy trybów sylogistycznych pochodnych oraz tych, w których nazw ach w ystępuje literka p (Fesapo, Bam alip, D arapti,

2 O czyw iście jest to błąd pozorny. Borkowski bowiem, omawiając reguły sprawdzania, stwierdza, że sprawdzenia należy dokonać dla każdego z m ożliw ych rozkładów uniwersum. Jednakże przykłady, które podaje, sugerują, że wystarczy sprawdzić dane wyrażenie dla jedne­ go z m ożliw ych rozkładów (zaw sze w przykładach sprawdzany jest tylko jeden rozkład uniwer­ sum, co w praktyce dydaktycznej często prowadzi do popełniania przez studentów takich błędów jak pow yższy).

UW AGI O L. BORKOWSKIEGO METODZIE ₂₃₇

Felapton), czyli takich, których redukcja do trybów figury I wym aga zastoso­ wania conversio p e r accidens. Jasne jest też (co łatwo pokazać), że powyższe spraw dzane w yrażenie nie jest tezą węższego rachunku predykatów . Tezą w ęższego rachunku predykatów jest natom iast wyrażenie:

(Vx) (A(x) —> B(x)) a (3x) A(x) —> (3x)(A (x) a B(x)).

Pierw szą próbą uniknięcia trudności byłoby wym aganie, żeby ograniczyć stosow anie tej metody tylko do takich w yrażeń, w których kw antyfikator stoi przynajm niej raz przed wyrażeniem atom icznym . Postępując we wskazany wyżej sposób, m ożna pokazać, że „spraw dza się” następujące, jaw nie fałszy­ we wyrażenie: (Vx) (A (x)—>B(x)) —> (3x)A (x)

1 1 1

1

0 1 1

1 0

0 1 0

0

choć, inaczej niż w pierwszym z analizow anych przykładów , przy założeniu fałszyw ości następnika tej im plikacji poprzednik jej okazuje się prawdziwy, co w skazuje, że jednak im plikacja ta jest fałszywa:

(Vx) (A (x)—>B(x)) —> (3x)A (x) --- 1--- 1---

4-0— 0---

1-1 0 1-1 1-1

0 0

0 1 0

0

Problem jednak pozostaje, gdyż trudno zaakceptow ać m etodę, która „w jedn ą stronę” daje rezultat zgodny z praw dą, a w drugą stronę zawodzi. Spróbujm y znaleźć źródło tych trudności.

W przykładach podaw anych przez Borkowskiego zakładane jest, że w w yrażeniach im plikacyjnych zarów no w poprzedniku, jak i w następniku w ystępują te same funktory dw uargum entow e. S ą to więc najczęściej prawa rozkładania bądź składania kw antyfikatorów lub odpow iedniki niektórych trybów sylogistycznych. Kłopoty zaczynają się, gdy w eźm iem y wyrażenia, w których poprzedniku w ystępuje funktor im plikacji znajdujący się w zasięgu kw antyfikatora ogólnego, czyli takie, których poprzednik jest swego rodzaju odpow iednikiem zdania ogólno-tw ierdzącego, a w następniku wyrażenie ato- m iczne z kw antyfikatorem lub w yrażenie złożone za pom ocą innego funktora niż im plikacja. Im plikacja w poprzedniku jest odpow iednikiem „swego

rodzą-ju ”, gdyż jest to tak zwana słaba inkluzja, która - jak zauważył Leśniew ski - do swej praw dziw ości nie w ym aga niepustości podm iotu zdania. Zdanie „W szelki centaur ma w ąsy” jest, w edług Leśniew skiego, praw dziw e niezależ­ nie od tego czy centaur m a wąsy, czy też centaur wąsów nie ma. Jego praw ­ dziwość bowiem jest zapew niona przez fakt, że centaury nie istnieją. Dlatego Leśniew ski odróżniał tzw. funktor słabej inkluzji (wszelkie A jest B) od funktora m ocnej inkluzji (każde A jest B); tylko to drugie zdanie jest odpo­ w iednikiem zdania postaci SaP teorii zdań kategorycznych. D zieje się tak ze względu na tę własność im plikacji, iż jest ona praw dziw a, gdy jej poprzednik jest fałszywy. Jeśli rów nież i w następniku im plikacji głównej jest im plikacja, to nie ma żadnych niedogodności w spraw dzaniu, choć pozwala to np. na uznanie praw dziw ości wyrażenia:

którego praw dziw ość jest zagw arantow ana już przez to, że przy założonej pustości drugiej klasy rozkładu (II wiersz wykreślony) poprzednik im plikacji w ystępującej w następniku im plikacji głównej jest fałszywy, powodując praw ­ dziwość tego następnika niezależnie od jakichkolw iek ustaleń co do wolnej zmiennej y.

Jeśli więc mamy użyty w poprzedniku badanego w yrażenia odpow iednik zdania z funktorem słabej inkluzji, które m oże być praw dziw e ze względu na pustość zbioru przedm iotów m ających własność A, to m etoda „nie zauw aża” tego i „każe” nam w yprow adzić wniosek będący zdaniem egzystencjalnym (choć oczyw iście iloczyn zbioru pustego z dowolnym zbiorem jest równy zbiorowi pustem u).

Niestety, problem nie dotyczy tylko im plikacjii. Podobne „błędy” mamy w wypadku alternatyw y w ystępującej w poprzedniku spraw dzanej im plikacji,

(Vx) (A (x)->B (x)) -> [(V x)A (x)—>B(y)] 1 1 1 1 4---0— 0--- 1-¿ 0 1 0 0 0 0 1 0 00 np.: (Vx) (A(x) v B(x)) —> (3x)A (x) 1 1 1 1 \ 1 1 0 1 1 0 1 1 00 A

UW AGI O L. BORKOWSKIEGO METODZIE ₂₃₉

co wskazyw ałoby, że pow yższe w yrażenie jest prawem logiki. Oczyw iście nie jest to zgodne z prawdą.

Rozw iązanie problem u jest następujące. W yrażenia złożone poprzedzone kw antyfikatorem ogólnym m ogą być praw dziw e na jeden lub w iele sposobów. Na jeden sposób jest praw dziw e wyrażenie koniunkcyjne, a na w iele sposo­ bów w yrażenie alternatyw ne, im plikacyjne czy rów now ażnościow e, np. alter­ natyw a A(x) lub B(x) jest praw dziw a nie tylko wtedy, gdy obie w łasności są „niepuste”, czyli denotują niepusty zbiór przedm iotów i nie istnieją przedm io­ ty, które by nie m iały ani w łasności A, ani własności B, lecz także wtedy, gdy jedna z w łasności jest „pusta” . W yrażenia zaś złożone poprzedzone kw antyfikatorem szczegółow ym są fałszyw e na jeden sposób dla funktorów im plikacji i alternatyw y, a na wiele sposobów dla funktorów rów now ażności i koniunkcji. Jeśli więc zakładam y praw dziw ość poprzednika im plikacji, m usi­ my uw zględnić, na ile sposobów jest on praw dziw y, i następnie w szystkie te w ypadki poddać spraw dzaniu (pam iętając, że zawsze przynajm niej jedna klasa rozkładu winna być niepusta). W naszym ostatnim przykładzie m usim y więc zbadać (poza wypadkiem powyższym ) m.in.:

(Vx) (A(x) v B(x)) —> (3x)A (x)

1 1 1

1

1

1 0

1 1

1 1 1

1

-0 1 1

0

-0 1 1

0

-Przy tym ostatnim spraw dzaniu okazuje się, że przy praw dziw ym poprzedniku następnik im plikacji jest fałszyw y. W szystkich przypadków praw dziw ości poprzednika tego wyrażenia jest więc 7 (bo w szystkich klas rozkładu jest cztery, a każda m oże być pusta lub niepusta, a zatem w szystkich sposobów

rozkładu jest osiem, przy czym przynajm niej jedna m usi być niepusta). Na szczęście nie w szystkie one są m ożliw e. W naszym przykładzie liczba m ożli­ wości ogranicza się do 3; są to sytuacje:

a) alternatyw a jest praw dziw a, a żadna z własności nie jest pusta; b) alternatyw a jest praw dziw a, a pusta jest własność A (bo B(x) v 0 =

= B(x))\

c) alternatyw a jest praw dziw a, a pusta jest własność B.

Jeśli któryś z tych przypadków pom iniem y w spraw dzaniu, to m ożem y otrzy­ mać błędny wynik.

Aby skrócić spraw dzanie, m ożem y zastosować spraw dzanie nie wprost, tzn. założyć zarówno praw dziw ość poprzednika, jak i fałszyw ość następnika. Jeśli w yrażenie jest praw em logiki, to w w yniku założenia w szystkie klasy rozkładu staną się puste lub istnieje taka klasa rozkładu, co do której zakłada się, że jest pusta, a zarazem niepusta; jeśli wyrażenie nie jest prawem logiki, pozostanie jakaś klasa rozkładu niepusta, np.:

(Vx) (A(x) v B(x)) —> (3x)A (x) -4 --- 1---- 1--- h~

—1--- 1— 0--- O---- 1— wyrażenie nie jest prawem logiki

0 1 1 0

- 0 6— ---

0-(Vx) (A(x) -4 B(x)) -4 (3x)A (x)aB (x)) 4 ---- 1--- 1--- 1— i—

ł--4--- 0 0——— i—0—0- w yrażenie nie jest prawem logiki

l 0 1 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

(Vx) (A(x) -4 B(x)) —> (3x)(~A(x)vB(x)) 4--- 1---- 1--- 0 1 1 1 4— 0— 0 o—1 0 4 )

-^ 0 - 1— 1 O— 1—0—1— 1 wyrażenie jest prawem logiki 4)--- 1— 0— ---- —--- 1 4)—1 0

Poniew aż ostatnie w yrażenie jest prawem logiki, założenie o jego fałszyw ości prowadzi do stw ierdzenia, że w szystkie klasy rozkładu są puste, czyli że nie istnieje takie uniwersum , w którym to w yrażenie jest fałszyw e. Z kolei odpo­ wiednik trybu Barbara spraw dza się ze względu na to, że fałszyw ość następ­ nika wym aga, żeby niepusta była co najm niej jedna z dwóch klas rozkładu, dla której wartość w yrażenia w zasięgu kw antyfikatora wynosi 0; co do każ­

UW AGI O L. BORKOWSKIEGO METODZIE ₂₄₁

dej z tych klas zachodzi sprzeczność, tzn. głosi się, iż jest ona pusta i nie- pusta:

(Vx)(A(x) -> B(x)) a (Vx)(B(x) -> C(x)) -» (Vx)(A(x) -> C(x))

1 1 1

1 1 1

1 1 1

d—i— i--- 1—e—

e---1—o—e-d— 0— 0--- --- 0— 1— 1---1— 1— ł—

d— e— e--- e— ł— e--- 1—ę—

-¿ 0 1 1 I 1 1 1 0 0 1 1

0— i— i---1— ł— e— e---0— ł— 0

0 1

0

0 1 1

0 1 1

0 1

0

0 1 0

0 1

0

Na podstaw ie pow yższych rozw ażań wydaje się więc, iż spraw dzanie zero­ jedynkow e w yrażeń węższego rachunku predykatów należy przeprowadzać m etodą nie wprost, według reguły:

Sprawdzanie zaczynam y od założenia fałszyw ości badanej im plikacji, czyli założenia zarazem praw dziw ości poprzednika i fałszyw ości następnika im pli­ kacji. Postępujem y według reguł podanych przez Borkowskiego, zakładając niepustość (podkreślenie jednego elem entu charakterystyki) lub pustość (wy­ kreślenie charakterystyki) odpow iednich klas rozkładu. Spraw dzanie jest za­ kończone w ynikiem pozytyw nym (czyli spraw dzane wyrażenie jest tezą w ęż­ szego rachunku predykatów ), gdy:

a) w szystkie charakterystyki klas rozkładu są w ykreślone (jest to sprzeczne z leżącym u podstaw węższego rachunku predykatów założeniem o niepusto- ści uniwersum ); lub

b) stw ierdzam y istnienie takiego w yrażenia atom icznego, którem u przysłu­ guje zarazem wartość 0 i 1; lub

c) stw ierdzam y istnienie takiej klasy rozkładu, której przysługuje zarazem pustość i niepustość.

Jeżeli m ożliw ych rozkładów uniwersum spełniających założenie fałszyw o­ ści im plikacji jest więcej niż jeden, należy dokonać spraw dzenia nie wprost dla każdego z m ożliw ych rozkładów uniwersum . W yrażenie nie jest tezą w ęższego rachunku predykatów , gdy istnieje taki rozkład uniwersum , dla którego nie zachodzi żaden z trzech pow yższych punktów.

Słowa kluczowe: logika, rachunek predykatów , m etoda zerojedynkow a Key words: logie, predicate calculus, truth-table decision procedurę