Wykad 3

Wykład III

Granice funkcji

:

f

R



A



R

,

A



przedział

A

x

₀



,

f



określona w



₀

,

₀

  

\

₀ 0

x

x

x

S

_x











Definicja 3.1 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji)

 





 





















    

f

x

g

x

x

f

x

g

x x D x x x f

)

(

:

lim

₀ 0 0 0 0







x

₀

x



x



U



x

₀

,





 

x



g





f



f

   

x





g

,



Inaczej:

 

   

 





















    

f

x

g

x

U

f

x

x x D x x ot U g ot x x f 0 0 0

:

lim

 

x

K

ot

U

x













 

x

M

ot

U

x













Granice niewłaściwe:









g

x

₀

 

 























    

f

x

g

x

k

f

x

g

f D x R K x

lim

₀

 

x

x

M

f

 

x

K

f

f D x R M R K x

lim











_



_



_







Def. 3.2. (definicja Heinego granicy funkcji)

 

 



x

x

f

 

x

g



g

x

f

_n n n n x x D x x x n f n











     

:



lim

lim

lim

₀ 0 0

K

M

x

Definicja 3.3 (granice jednostronne) granica lewostronna:

f

 

x

g

_{ }



x

x

f

 

x

n

g



n n n x x D x x x n f n











      



lim

lim

lim

₀ 0 0 granica prawostronna:

f

 

x

g

_{ }



x

x

f

 

x

n

g



n n n x x D x x x n f n











      



lim

lim

lim

₀ 0 0 granice specjalne: 1)

lim

sin

1

0









 2)

lim

1

1

0









 

e

3)

lim

ln



1



1

0











 Przykład 3.1 a)







e

x

x x





  1 1 0

1

lim

_

_

_

uzasadnienie:

 



x

R

x





x



xn

e

n n n n n





_





_





1

1

lim

0

lim

ogólnie:

 

_x



_f

 

_x



 

_e

f

f x x x x x















_

  1 0 0

1

lim

0

lim

b)





 













                ? 2 ) sin ( sin 1 2 0 2 0 1 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 lim 1 cos 1 lim cos lim x x e x x x x x x x x x        _     _{ }      ?:=

lim

2

sin

2

2 0























_x

x

x



2



2 ₂ 0

1

cos

lim

2 2

e

e

x

x x





 

na podstawie definicji Heinego granicy funkcji

c)



 

_x

x

1

sin

lim

0

Podejrzewamy, że ciąg nie ma granicy.





n

x

_n

2

2

1

_

_

1

2

sin

2

2

sin















 



n









n

x

_n

2

2

1





Niech

0

2

2

1



 







  n n

n

x













 

2

1

2

sin

1

sin





 











 





n n n

n

x

x

f





0

1



 





n n

n

x



 

x

_n



sin

 

n



n

 







0

f



 

 

_x

x

f

x

x

f

x

x n n n n n n n n

₁

sin

lim

0

lim

0

1

lim

0

0         



















 









 



x

x

sin

Podstawowe twierdzenia dotyczące granic funkcji

Twierdzenie 3.1 (podstawowe własności granic funkcji)

Z definicji Heinego granicy funkcji i odpowiednich twierdzeń dotyczących granic ciągów wynikają następujące własności:

(działania arytmetyczne) Jeżeli:



g

f ,

określone w sąsiedztwie punktu

x

₀

 

₁

 

₂ 0 0

lim

lim

f

x

g

g

x

g

x x x x











2 1

, g

g

granice właściwe 1°



   



_{1 2} 0

lim

f

x

g

x

g

g

x x







2°

   

_{1 2} 0

lim

f

x

g

x

g

g

x x







3°

 

 

1₂ 0

lim

g

g

x

g

x

f

x x



Twierdzenie 3.2 (twierdzenie o 3-ch funkcjach) Z.

U



ot

 

x

₀



h

g

f

,

,

określone na

U

\ x

 

₀  x

f

     

x

g

x

h

x

U x







 \ 0

 

x

h

 

x

g

f

x x x x

lim

 ₀



lim

 ₀



T.

g

 

x

g

x x

lim

 ₀



Przykład 3.2 Oblicz:

x

x

x

sin

lim

  Ogólnie:

Z twierdzenia o 3-ch funkcjach wynika następująca własność:

Jeżeli lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 = 0 g-ograniczona w otoczeniu 𝑥0 ⇒ lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 ∗ 𝑔(𝑥) = 0

krótko: lim

   

_{ 0} 0 0 0      ogr x x x x f x g x

     

x

g

x

h

x

f





g

g

g

0 x x xx₀ 0 x x

0

0

0

  x x   x

x

x

x

x

1

sin

1

_

_



W przykł. 3.2.:

 0

sin

1

lim

0







  ogr x

_x

x

Definicja 3.4 (ciągłość w punkcie)



f

określona w otoczeniu punktu

x

₀



f

ciągła w ₀

 

 

₀ 0

lim

f

x

f

x

x

x x





 inaczej:



f

ciągła w

 

 

































0 0 0

3

lim

2

1

0

x

f

g

g

x

f

D

x

x

x x f Ciągłość jednostronna:



f

lewostronnie (prawostronnie) ciągła w

 

 































    0 ) ( 0 0

3

lim

2

1

0 0

x

f

g

g

x

f

D

x

x

x x x x f Przykład 3.3

Zbadać ciągłość w punkcie

x



2

w zależności od

m

.

 





















2

dla

2

dla

1

1

2 1

x

m

x

e

x

f

x

 

m

f





2

1

 

 





 



      





































          R m x x x x x

x

f

e

x

f

e

x

f

x x 2 0 2 2 2 2

lim

1

1

1

lim

lim

0

1

1

lim

lim

2

0 2 1 0 2 1













- dla

m



0

f



lewostronnie ciągła w punkcie

x



2

- dla

m 1



f



prawostronnie ciągła w punkcie

x



2

Definicja 3.5 (ciągłość na zbiorze)



f

ciągła na zbiorze ciągła zbioru X tzw. (jeżeli jest ciągła w każdym punkcie)

Wniosek 3.1



1

Suma, różnica, iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągła. Iloraz funkcji ciągłych jest funkcja ciągłą pod warunkiem, że mianownik jest różny od 0.



2

Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Własności funkcji ciągłych – c.d.

I. (twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku)



f



ciągła w

x

₀, określona w

U



ot

 

x

₀



f

 

x

₀



0

 



0





 0 1

 

0

 

0

1











 

x

f

U x x ot U 0 x by

f

była ciągła w

x



2

II. (własność Darboux)



f



C

 _a,b



f

 

a



f

 

b

, niech

c



liczba pomiędzy

f

 

a

i

f

 

b





 

x c f b a x  



( , ) 0 0

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym przyjmuje wszystkie wartości pośrednie.

Definicja 3.6 (ograniczenie funkcji)





f

1

ograniczona z góry na zbiorze

X

f

 

x

M

X x R M









 

:





f

2

ograniczona z dołu na zbiorze

X

f

 

x

m

X x R m









 

:

0 x x₀ 0 x a _b c

Przykład 3.4

 

x

e

x

f



 

2

1

x

x

g





Definicja 3.7 (kresy funkcji)

 

 

_{ }





























   





M

x

f

M

x

f

x

f

M

X x X x X x 0

2

1

:

sup

(czyt. supremum po

x

należącym do

X

z

f

 

x

)

1 x y 0 inf   x R x e

funkcja nie osiąga kresu dolnego

x

e

y



y x 1 2 1 x y 



1



 

0 1 max



1



1 sup  2     2   _R x f x R x x

 

 

_{ }





























   





m

x

f

m

x

f

x

f

m

X x X x X x 0

2

1

:

inf

(czyt. infimum po

x

należącym do

X

z

f

 

x

)

III. (twierdzenie Weierstrassa)

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym osiąga swoje kresy.

   

f

 

x

 

f

 

x

f

 

x

 

f

 

x

C

f

b a x b a x b a x x b a , 2 , 1 , , ,

inf

sup

2 1   













Rachunek różniczkowy funkcji 1-ej zmiennej

Niech

f



określona na

U



ot

 

x

₀ ,



x

₀



h





U





 

h

x

f

h

x

f

₀





₀ – iloraz różnicowy Definicja 3.8 (pochodna) Jeżeli





 

h

x

f

h

x

f

h 0 0 0

lim









to powiemy, że funkcja

f

jest różniczkowalna w punkcie

x

₀

i wartość tej granicy



0



 

0

 

₀

0

lim

f

x

h

x

f

h

x

f

h









 nazywamy pochodną funkcji w

punkcie

x

₀. y x



x h



f ₀

 

x0 f 0 x _{h x0}_h



x0 h



f

 

x0 f   n l 

Interpretacja geometryczna pochodnej:

 

x

tg



f



₀







kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie



x

₀

,

f

 

x

₀



i dodatnim kierunkiem osi

0

X

Wniosek 3.2

 

0

 

0 0



:

y

f

x

f

x

x

x

l









– prosta styczna do wykresu w punkcie

 



x

0,

f

x

0



Prosta do niej prostopadła nazywa się prostą normalną:

 

_{ }

₀



0 0

1

:

x

x

x

f

x

f

y

n











Definicja 3.9 (różniczkowalność na przedziale)

f

– różniczkowalna na

U



f

– różniczkowalna w każdym punkcie

x



U

 

x

f

x

X

f



:







Tw. 3.3 (działania arytmetyczne na pochodnych)

Z:

f ,

g

– różniczkowalne w

x

₀ T: 1)



f

g



R





 





 , – różniczkowalna w

x

₀



f

g

  

x

0





f



 

x

0





g



 

x

0















2)



f



g



– różniczkowalna w

x

₀

   



f

x

0

g

x

0





f



   

x

0

g

x

0



f

   

x

0

g



x

0







3)

g



0

w pewnym

U



ot

 

x

₀













g

f

– różniczkowalna w

x

₀

 

 

   

_

_{ }

_

2

   

0 0 0 0 0 0 0

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f



_

























D: 2)

   







 



   



 



  



  



   





 

 





  

  

 

   

x

g

x

f

   

x

g

x

f

h

x

g

h

x

g

x

f

h

x

g

h

x

f

h

x

f

h

x

g

x

f

h

x

g

x

f

h

x

g

x

f

h

x

g

h

x

f

h

x

g

x

f

h

x

g

h

x

f

x

g

x

f

x g x f h h h

































































































    



 



 





 



 



0 0 0

lim

lim

lim

 





 

h

x

f

h

x

f

x

f

h 0 0 0

lim











 

 

 

0 0 0

lim

x

x

x

f

x

f

x

f

x x









 – drugi wzór na pochodną