Postępy Astronomii nr 3/1961

POSTĘPY

A S T R O N O M I I

C Z A S O P I S M O

P O Ś W I Ę C O N E U P O W S Z E C H N I A N I U

W I E D Z Y A S T R O N O M I C Z N E J

PTA

T O M I X — Z E S Z Y T 3

1 9

6

1

W A R S Z A W A • L I P I E C - W R Z E S I E Ń 1961

SPIS TREŚCI ZESZYTU 3

ARTYKUŁY

S. G r z ę d z i e l s k i , W ybrane aspekty molekularne hydromagnetyki kosmicznej, Rozdział I I ... 117 M. K a m i e ń s k i , Akceleracja i deceleracja w ruchach komet okre­

sowych układu S ł o n e c z n e g o ... 137 A. G. P a c h o l c z y k , Powstawanie ramion spiralnych w Galaktyce

a mechanizm magnetograwitacyjnej n ie stab iln o ści... 147 A. K r u s z e u i s k i , Powstawanie galatyk ui świetle hipotezy

Ambar-c u m i a n a ...157

Z PR A C O W N I I O B S E R W A T O R IÓ W

S. P i o t r o w s k i , Morfologia ramienia Oriona w okolicy gwiazdo­ zbioru K a s io p e i... ... 163 K. M. K o s s a c k i . Magnetograwitacyjna niestabilność nieskończone­

go jednorodnego ośrodka lepkiego i o skończonym przeuiodnict- uiie, znajdującego się pod działaniem sił Coriolisa . . . . 169

7. I.ITF.RATI'RY N M KOWF..I

A. B i s k u p s k i , Rozwartość hipotetycznego pierścienia Jowisza . . 171 J. C w i r k o-G o d y c k i, Obserwacje neutralnego wodoru w dużych

szerokościach g a l a k t y c z n y c h ... 173 S. G r z ę d z i e l s k i , Nowy układ współrzędnych galaktycznych . 177 A. G. P a c h o l c z y k , Nowa próba wykrycia międzygutiazdowego pola

magnetycznego poprzez efekt Zeemana 21 c m ... 179 A. G. P a c h o l c z y k , O frontach fal magnetodźwiękowych w niejed­

norodnych o ś r o d k a c h ... ... 181

KRONIKA

Dwumetrowy teleskop zwierciadlany Akademii Nauk NRD . . . 183 L. C i c h o w i c z , Konferencja poświęcona obserwacjom sztucznych

P O L S K I E T O W A R Z Y S T W O A S T R O N O M I C Z N E

POSTĘPY

ASTRONOMII

K W A R T A L N I K

T O M I X — Z E S Z Y T 1

1 9

6

1

W A R S Z A W A • I - I P I E C - W R Z E S I E Ń 1961

KOLEGIUM REDAKCYJNE

Redaktor Naczelny: Stefan Piotrowski, Warszawa

Członkowie: Józef Witkowski, Poznań Włodzimierz Zonn, Warszawa

Sekretarz Redakcji: L udoslaw C ichow icz, W arszawa

A dres R ed ak cji: W arszaw a, ul. K oszykow a 75 O bserw atorium A stronom iczne P olitechniki

P r i n t e d i n P o l a n d

P aństw ow e W ydaw nictw o N aukow e O ddział w Łodzi 1961

W ydanie 1. N akład 417 -f 133 egz. A rk. w yd. 4,5, ark . druk. 4,75. Papier

piśm ienny kl, 111, 70 g 70x 1 0 0 . O ddano do d ru k u 25. VIII. I%1 r. D ruk uk o ń ­ czono w sierp n iu 1961 r. Zam. n r 211. L - l l . C ena zł 10,—

Z akład G raficzny PWN Łódź, ul. G d ań sk a 162

Wybrane aspekty molekularne hydronmgnetyki kosmicznej

S T A N I S Ł A W G R Z Ę D Z I E L S K I Rozdział U

MIKROSKOPOWE UZASADNIENIE PODSTAWOWYCH ZWIĄZKÓW Pełny opis mikroskopowy gazu wymagałby znajomości stanu ruchu każdej molekuły w każdym momencie czasu; nadto znać należy potencjał oddziaływa­ nia dla każdego rodzaju m olekuł. Jakkolwiek to drugie żądanie może być w pewnych przypadkach — przynajmniej w przybliżeniu spełnione, zadośćuczy nić pierwszemu — niepodobna . Dlatego też uważa się, że najprecyzyjniejszym opisem, jaki w praktyce można osiągnąć, jest podanie funkcji rozkładu prędkoś­ ci, czyli funkcji opisującej częstość występowania wszystkich rodzajów mo­ lekuł, istniejących w badanym układzie, w różnych elementach przestrzeni fa­ zowej. W układach nie znajdujących się w stanie równowagi funkcja ta zaLeży na ogół od czasu.

Statystyczny charakter funkcji rozkładu przesądza zastosowanie do układów dostatecznie liczn ych . Ilość molekuł każdego rodzaju w małym elemencie prze­ strzeni geometrycznej (tak małym, by zmiany parametrów makroskopowych na przestrzeni elementu były do zaniedbania) musi być dostatecznie wielka, żeby był sens uprawiania statystyki prędkości.

Funkcja rozkładu ulega zmianom w czasie w wyniku dwu procesów: prze­ m ie szczania się molekuł w przestrzeni geometrycznej oraz zmianie prędkości molekuł (przemieszczanie w przestrzeni prędkości). Pierwszy efekt jest rezul­ tatem mikroskopowych (indywidualnych) prędkości molekuł; drugi — wynikiem przyspieszeń, jakim podlegaj ą molekuły na skutek działania s ił. Siły te dla wy­ gody opisu dzielimy na dwa rodzaje: siły od molekuły najbliższej (lub od mo­ lekuł najbliższych — do tego rodzaju zaliczamy siły działające w czasie zde­ rzeń lub bliskich spotkań) oraz siły pochodzące od układu jako całości (np . natężenie pola magnetycznego wywołanego przez prądy płynące w plazmie). Ewentualne siły zewnętrzne zaliczamy również do drugiego rodzaju.

Załóżmy, że potrafimy formalnie wyrazić zmianę funkcji rozkładu jako wy­ nik działania powyższych czynników . Otrzymujemy zatem równanie opisujące zachowanie się funkcji rozkładu prędkości w przestrzeni i czasie. Właściwy zapis i rozwiązanie tego równania w konkretnych fizycznych kontekstach jest właśnie podstawowym zadaniem teorii kinetycznej gazów.

Niestety, w przypadkach, gdy układ nie znajduje się w stanie równowagi (np. gdy w gazie występują przepływy) trudności rachunkowe w tylko nieco

118

Stan isław G rzęd zielsk i

bardziej skomplikowanych s y tu a c ja c h s ą — przynajmniej dotąd — nie do poko­ n a n i a . Od dawna też k l a s y c z n ą drogą p ostęp ow a n ia było rozw iązyw an ie nie wprost równania na funkcję rozkładu, l e c z równań otrzymanych z niego poprzez odpowiednie u śre d n ia n ia . T en s p o s ó b p o stępow an ia ma z r e s z t ą g ł ę b s z e u za­ sadn ien ie f i z y c z n e .

W ielk o ścią, która n a j c z ę ś c i e j w ystępuje w pomiarach fizycznych j e s t nie sa m a funkcja rozkładu, le c z j e j kolejn e momenty, takie ja k : g ę s t o ś ć m asy d a­ nego elementu, jego średnia p ręd k o ść, en ergia wewnętrzna itd. Tym więc co na

o g o ł in teresu je fizyka j e s t nie tyle zachowanie s i ę funkcji rozkładu co zacho­ wanie s ię momentów . P rzeto z a m i a s t najpierw rozw iązyw ać równanie na funkcję rozkładu a potem je u śred n iać, można najpierw uśrednić równanie a potem je rozw iązyw ać, n ap otykając już teraz na stosunkow o niew ielkie trudności for­ m aln e. C eną ja k ą trzeba p ła c i ć z a to udogodnienie j e s t mniej głębokie rozumie­ nie z ja w is k a i m ożność zgub ien ia pewnych efektó w .

Tą w łaśn ie drogą p o s z ł a c a ł a k l a s y c z n a teoria hydro- i gaz o d y n am ik i. T ą też drogą w z a s a d z i e ro z w ija s ię d o ty c h c z a s teoria dynamiki plazm y, a z w ł a s z ­ c z a j e j a stro fiz y c z n e z a s t o s o w a n ia . J e ż e l i więc w ro z d z ia le n in iejszym będzie mowa o równaniu na funkcję rozkładu p rę d k o ści, to będzie ono nie tyle narzę­ dziem badan ia układów plazmowych, co punktem w y jś c ia do otrzymania uśred­ nionych równań na odpowiednie momenty w an a lo gii do k l a s y c z n e j gazodynam i­ k i . Pewne bezpo średnie wnioski z równania na funkcję rozkładu p rędkości d y s ­ kutowane będą w r o z d z ia le następnym wraz z wnioskami uzyskanym i z an a lizy równań uśrednionych .

Rów nanie B oltzm anna. F u n k c ja rozkładu d la plazmy powinna o p isy w ać

równoczesny rozkład w p rzestrz en i fazow ej elektronów, jonów i molekuł neutral­ nych. J e ż e l i założym y, ja k to czynić będziemy w d alszy m c ią g u , że plazm a j e s t całk ow icie zjonizow ana i że w sz y stk ie jony m ają tę sa m ą m asę — to funkcja rozkładu pręd kości będzie z a l e ż a ł a od rozkładu elektronów i jonów. J e ż e l i z a ło ­ żymy d alej — a uczynić to można z pewnymi z a strzeż en ia m i — że p ołożen ia in­ dywidualnych jonów i elektronów nie s ą skorelow ane, to z a m ia st łą c z n e j funkcji rozkładu obu rodzajów c z ą s t e c z e k otrzymamy dwie funkcje rozkładu: d la elek­ tronów i dla jonów, k a ż d a s p e ł n i a ją c a odpowiednie równania ,

Dla u p ro sz c z e n ia wywodów, d a l s z e ro z w aża n ia będziemy przeprow adzać d la funkcji rozkładu pręd kości elektronów nie w y p isu jąc e x p lic ite in dek su e . R o z­ w ażania d la jonów p rz e b ie g a ją zupełnie a n a lo g ic z n ie .

Funkcję rozkładu p rędkości / definiujemy żądaniem by i l o ś ć elektronów w elem encie p rzestrzeni geom etrycznej d^x o środku w punkcie T i o prędkoś­ cia ch zawartych w elem en cie p rzestrz en i p rędkości d3w o środku w punkcie

W, w ynosiła w momencie c z a s u t

f (rj w, t) d 3x d 3tv

J e ż e l i gaz elektronowy będzie wpływał przez otwór do p ustego n aczyn ia, to początkowo funkcja f będzie niejednorodna ze w zględu na współrzędne po­ ło ż e n ia i nieizotropowa ze w zględu na p ręd k ości (rys . 6 i .E lek tron y na sku tek

Wybrane a s p e k t y hydrom agnety ki k o s m i c z n e j

119

p o sia d a n ia indywidualnych prędkości (m ikros­ kopowych) b ę d ą s i ę p rzem ieszczać (dyfuzja w prz e strz e n i położeń) a prędkości b ę d ą s i ę zm ieniać dzięki d z ia ła n iu s i ł makroskopo­

wych (zewnętrznych i wewnętrznych — d y ­ fu zja w prz e strz e n i prędkości) oraz dzięk i działaniu s i ł mikroskopowych (zd erzen ia lub ogólniej bliskie s p o tk an ia).

Dyfuzja w prz e strz e n i <położeń będzie s ię opisyw ać wyrażeniem

d f Rys. 6. Niejednorodny i nieizotropowy “w---- , rozkład prędkości gazu w początkowej 9 a:i

fazie wpływu do naczynia

z a ś dyfuzja w przestrzeni prędkości — wyrażeniem

m 3 w.

gdzie uj ( i " 1,2,3) j e s t indyw idualną p rę d k o ś c ią elektronu a Fj - polem s i ł ma­ kroskopow ych; zakładamy przy tym, że powtarzający s i ę indeks o z n a c z a sumo­ wań i e od i “ 1 do i " 3; m j e s t m asą elektronu.

P o s t a ć wyrazu zderzeniowego zależy od założeń jak ie uczynimy odnośnie charakteru bliskich spotkań. W s z c z e g ó ln o ś c i dla układu złożonego z molekuł jednego rodzaju, uleg ający ch spotkaniom binarnym, wyraz zderzeniowy ma postać:

I f { f'f'0 ~ f Q up dp de (1)

w t /zd

e dzie iv — U> oznacza prędkość względną molekut „bombardujących” v vv stosunku do „bombardowanych",

/ ' = f ( r i w ', t)

fę> * f Wq, ^q, ł)

f “ /('T 0

f Q m f<rQ wę t)

a p i f s ą współrzędnymi biegunowymi na p ła s z c z y ź n ie prostopadłej do iT i prze­ chodzącej przez molekuły „bom bardow ane” p o sia d a ją c e przed zderzeniem po­ ło żen ie T i prędkość równą w; molekuły „ b o m b a rd u ją c e ” p o s ia d a ją przed zde- rżeniem położenie Tq i prędkości Wq. P o zderzeniu odpowiednie prędkości wy­ n o s z ą i u>'q\z w ią z e k między prędkościami przed i po zderzeniu wynika z praw zachow ania pędu i energii w c z a s i e zderzenia . Całkowanie w (1) odbywa s i ę po c a łej p ła s z c z y ź n ie prostopadłej do iT (po w s z y s tk ic h parametrach zderzenia)

120 S ta n isła w G r z ę d z i e l s k i

i po w szy stk ich prędkościach molekuł „bom bardujących” u ^ . C a łk a (1) daje zmianę ilo śc i molekuł w punkcie r i o prędkości Ti, w ynikłą ze zderzeń z w s z y s ­ tkimi innymi m olekułam i. Wyprowadzenie (1) zn a le ź ć można w podręcznikach fizyki s ta ty sty c z n e j .R ów nanie na funkcję rozkładu prędkości z wyrazem z d erze­ niowym p o staci (1) nosi nazwę równania Boltzm anna.

W ogólności równanie na funkcję rozkładu prędkości elektronów ma więc po s ta ć

i

£ . Wi*L >RK.(1L)

JM)

(

2

)

3 t d x i m 9Wf \ d t / x d . e . V p V r i . i .

gdzie wyrazy po prawej stronie o p is u ją efekt zderzeń elektronów z elektronami i elektronów z jo n a m i. J a k wiemy, plazma s p o ty k an a w s y tu a c ja c h astro fiz y c z ­ n y c h j e s t na ogół plazm ą indywidualną ( p o r . r o z d z .1) o dominującej roli zderzeń binarnych (z z a s trzeżen iam i odnośnie p rz e d z ia łu parametrów zderzenia d < p < h, por. rozdz. I). Z tego względu opis wyrazów zderzeniowych przy po­ m ocy c a łek p o sta c i (1) j e s t dobrą aproksym acją. J e s t to naw et le p s z a aproksy­ macja niż mogłoby s i ę z początku wydawać. Okazuje s i ę bowiem, że z formalne­ go punktu widzenia przybliżanie zderzeń o parametrze zderzenia zawartym w p rzedziale d < p < h przez kombinację rów noczesnych, n ie z a le żn y c h , małych odchyleń (postępowanie prowadzące do t z w . równania F okkera — Plancka) j e s t równoważne sekw encji n astę p u ją c y c h po s o b ie n ie z a le żn y c h , małych spotkań binarnych.

P r z e j ś c i e od opisu mikroskopowego do opisu makroskopowego w s e n s i e hy­ drodynamicznym — w najogólniejszym zn a c z en iu , te go słow a — j e s t równoważne pewnemu procesowi granicznemu mającemu na celu „ u c i ą g l e n i e ” ośrodka. Warto zauw ażyć, że jakkolwiek istn ie je duża formalna zb ieżn o ść między sposobem za­ pisu równania na funkcję rozkładu w przypadku gazów niezjonizowanych i plaz­ my, to jednak proces „ u c i ą g l a n i a ” w obu przypadkach zaw iera nieco inny s e n s fiz y c z n y .

Rozpatrzmy najpierw przypadek gazów n iezjonizow anych. P rz y p rz e jśc iu od opisu mikroskopowego do makroskopowego za k ła d a s i ę im p lic ite , że g ęsto ść przestrzenna molekuł n ro ś n ie do n ie s k o ń c z o n o ś c i, a masy m m aleją na tyle szybko, że iloczyn ram j e s t s t a ł y . P rz y p rz e jśc iu tym w sz y stk ie w ielk o ści ma­ kroskopowe takie jak: g ę sto ść energii, strumień c ie p ła itd. p o z o s ta ją w ielkoś­ ciami skończonymi . Dla kompletności rozw ażań n a le ż y j e s z c z e założyć, co s ię d zieje z parametrami mikroskopowymi gazu w tego rodzaju procesie granicznym. N ajłatw iej to uczynić przyjmując pewne założenia odnośnie „ ś r e d n i c ” mole­ k u ł 8 . „ Ś re d n ic a ” ta opisuje pewną efektyw ną s k a lę oddziaływania pola s i ł indyw idualnej molekuły i równa się średnicy geometrycznej tylko dla modelu kul bilardowych. Tak więc n8* będzie miarą o d stęp stw a gazu od gazu doskonałego, a l / n 8 J j e s t rzędu średniej drogi swobodnej.

P r z e j ś c i e graniczne n -*

0

?można teraz wykonać na trzy różne sposoby: 1. Z ak ład am y , że n8* “ const ; wówczas l / n S J -+0. Otrzymujemy gaz o u s ta ­ lonym o d stęp stw ie od d o sk o n ało ści i o znik ającej średniej drodze swobodnej, opisywany przez równanie E u lera k la sy czn ej hydrodynamiki.

Wybrane aspekty molekularne hydromagnetyki kosmicznej 121

2. Zakładamy, że n S 1 = const.; wówczas raS3 -*0. Otrzymujemy gaz dosko­ nały o skończonej drodze swobodnej opisywany przez równanie Boltzmanna.

3. Zakładamy, że n § a -*0; wówczas również i n S * -»0.

Otrzymujemy gaz doskonały o znikającej częstości zderzeń. Ruch każdej mo­ lekuły zależy tylko od s ił makroskopowych (free flow).

Każde z powyższych przejść granicznych charakteryzuje się podstawową cechą — zanikiem „ziarn isto ści” ośrodka (n -*"•). Mamy więc zawsze do czynie­ nia z kontinuum, jakkolwiek o różnych własnościach.

Odmiennie ma się sprawa

w przypadku plazm y. Nieostrożne

X * „uciąglenie” może zgubić

całąkla-+ +■ + + sę zjawisk, np. drgań elektrosta­

tycznych plazmy.

Rozważmy płaskorównoległą

warstwę plazmy o gęstości n jonów i n elektronów na cm’ . Załóżmy, że jony s ą nieruchome i przesuńmy warstwę elektronów o odcinek * w prawo (rys. 7). Pojawi się wów­ czas warstwa ładunku przestrzen­ nego o gęstości s równej —n.

Ładu-Rys. 7. Jednowymiarowy model drgań elektro­ statycznych gazu elektronowego

nek ten wytworzy pole elektryczne o natężeniu in n ^ s x = \vncex. Je ­ że li zaniedbamy ruch termiczny i zderzenia elektronów, to równanie ruchu pojedynczego elektronu będzie miało postać

mx = 4 nneix.

Elektron będzie zatem wykonywał drgania harmoniczne o częstości kołowej (3)

i n n e 2 kT/m

const. gdzie h jest długością Debye’ a (por. rozdz .1).

Zauważmy teraz, że wyrażenie

h

nh1— =■ liczba niemianowana A

gdzie A jest średnią drogą swobodną (por .rozdz . I).

Żądając, by n -* żądamy by bądź A -> w - otrzymujemy wówczas plazmę o znikającej częstości zderzeń, bądź h -* 0, co prowadzi do c^, -»«*>i zgubienia efektów związanych z drganiami plazmowymi. Je ś li chcemy uwzględnić zarówno efekty zderzeniowe jak i drgania plazmy (h/A ma być w ielkością skończoną) to

nieogra-122 Stanisław Grzędzielski

niczenie. Całkowite usunięcie „ziarn isto ści” i uzyskanie doskonałego konti­ nuum jest w przypadku realnej plazmy niem ożliwe. Interpretacja równania Boltzmanna jako równania opisującego kontinuum sprowadzała się dla gazów niezjonizowanych do stosunkowo niezbyt drastycznego założenia doskonałości gazu; w przypadku plazmy prowadzi do znacznie bardziej przykrych konsek­ wencji: zgubienia efektu zderzeń lub efektu drgań związanych z ładunkami przes­ trzennymi.

Momenty funkcji rozkładu prędkości. Jak już wspominaliśmy w opisie ma­

kroskopowym, stan gazu opisuje się przy pomocy kilku parametrów (momentów funkcji rozkładu) utworzonych przez uśrednienie charakterystyk mikroskopowych po dostatecznie małych a dostatecznie licznych elementach przestrzeni fizycznej.

Zdefiniujemy obecnie owe momenty, które w dalszym ciągu będą podstawą procesu uśredniania równania Boltzmanna.

\lome nt zerowego rzędu:

n(T, t) - f f d% w (4)

ma sens fizyczny gęstości (np. elektronów) w przestrzeni geometrycznej. Moment| pierwszego rzędu

/* x 1 r

(5)

m~ J wi f di w

ma sens średniej prędkości elektronów (analogicznie dla jonów).

Jeżeli prędkość każdego elektronu rozłożymy na prędkość średnią i prędkość odpowiadającą agitacji termicznej

W ( “ V { + U i; u j j “ V f ( 6 ) (gdzie kreskal u góry oznacza wartość średnią),to zdefiniować możemy moment drugiego rzędu mający sens tensora ciśnienia kinetycznego

ifi.. (r~, t) " mj~ Uf U j f d3 w “ nm «,• U j. ^ ^

Tensor ten reprezentuje strumień /-tej składowej pędu w t'-tym kierunku., Jest symetryczny i posiada 6 niezależnych składowych. Je że li rozkład prędkości jest izotropowy, to korelacje - 0 dla i * a u2 - u2 - u2 .Ślad iJj.. tensora

• 1 z 3 ij ' ij

jest skalarem, którego wartość dla izotropowego rozkładu prędkości wynosi 3p, gdzie p jest skalarnym ciśnieniem.

Innym momentem drugiego rzędu jest średnia energia kinetyczna elektronów (łąc znie traktowana translacja całości i agitacja termiczna) równa

i

r

1

— muif Wj f d3w. 2

Wybrane aspekty molekularne hydromagnetyki kosmicznej 123

Qijk&t *) “ rnf u^uju^fdjw - nm-uiuju^. (8) Na przykład

fd,w

jest wektorem opisującym podwojony strumień energii kinetycznej agitacji ter­ micznej jednostki objętości w kierunku i-tym. W analogiczny sposób tworzyć można dalsze, wyższe momenty.

Jak wiadomo, znajomość wszystkich momentów funkcji rozkładu równoważna jest znajomości samej funkcji rozkładu. Ponieważ operowanie nieskończoną ilo śc ią momentów jest niemożliwe, w praktyce ograniczamy się do badania kilku pierwszych momentów funkcji rozkładu; przy czym, im więcej weźmiemy mo­ mentów, tym opis będzie bardziej precyzyjny.

0 f

Ze względu jednak na wyraz u j --- w równaniu Boltzmanna (2), ilość

mo-9

*.

mentów jaka wystąpi w uśrednionych równaniach będzie zawsze większa od ilości równań. Dla zamknięcia układu należy zatem uczynić jakieś dodatkowe założenie . W klasycznej hydro- i gazodynamice zwykle ograniczamy się do dwu pierwszych równań powstających z uśrednienia równania (2), zawierających trzy pierwsze momenty: n, i j , (od zerowego do drugiego w łączn ie). Dodatkowym

założeniem pozwalającym zamknąć układ jest założenie skalarności ciśnienia i określenia jego wartości przez rozważania natury termodynamicznej.

W przypadku plazmy, je ś li dyskutować tylko problemy dynamiki, również wy­ starcza w zasadzie ograniczenie do trzech pierwszych momentów. Jednakże czę­ sto się zdarza, że owa prosta metoda zamykania układu równań zawodni : ciśnie­ nie w sposób jawny nie jest skalarem i nie daje się wyznaczyć z rozważań czy­ sto termodynamicznych. Wtedy należy sięgnąć do momentów wyższego rzędu, operować trzema równaniami powstałymi z uśredniania równania (2) a zamknię­ cia dokonać poprzez jakieś założenie odnośnie momentu rzędu wyższego niż c iś ­ nienie, — założenie słabo się odbijające na stanie ruchu plazmy . Oczywiście, je śli nie ograniczamy się do problemów czysto dynamicznych, lecz interesują nas takie zjawiska w plazmie jak dyfuzja, przewodnictwo cieplne, lepkość it d . — operowanie momentami czterech pierwszych rzędów staje się regułą. Z tych właśnie względów uśredniania równania Roltzmanna będziemy dokonywać przy użyciu momentów czterech pierwszych rzędów.

Uśrednianie równania Boltzmanna. Niech A (w ogólności tensor) będzie fun­ k cją współrzędnych położenia T, współrzędnych prędkości Tt poszczególnych elektronów i czasu t. Przez wartość średnią wielkości A w danym punkcie prze­ strzeni położeń będziemy rozumieć wyrażenie

124 Stan isław G rzęd zielsk i

Pomnóżmy równanie (2) przez A i przecałkujmy po c a ł e j przestrzeni pręd­ k o ś c i . Otrzymamy

f A - ^ d3w + f A u i - ^ d 3w + d 3w - f 4 — ) d iw

dt 3sj m \ć)t

f d A

gd z ie ) I o p i s u je łą c z n y efekt zderzeń elektronów z elektronami i elektronów t e * 4

z jo n a m i. W dalszy m cią gu wyraz zderzeniowy będziemy z a w s z e p i s a ć w tej sym­ b o liczn ej p s t a c i .

O z n a c z a ją c przez /„ /a, -/j i £ kolejne wyrazy w powyższym równaniu otrzymu­ jemy: a Z ) A - ___ b A /, “ — [Afd^w—f — / dju) m — («/4) —n ---3t d t dt d t / j = — f A u t f d i - f - O - i A w ^ f d jW ^ - Y (n-Awi ) - n - w i ^r-3 *j

gdzie sk o rz y sta liśm y z faktu n i e z a l e ż n o ś c i wpółrzędnych uj i aj. /, sp ro w a d z a s ię do sumy trzech całek p o sta c i

r r ^ f . \ . ,

J J IJ"---dwl \du>J d w

3

m 9 dwi / C a ł k u ją c p rzez c z ę ś c i całkę w n a w ia sie uzyskujem y

-74- (M

a

*..

* ^ i \ m J

j e ż e l i d la w -ł0*0 funkcja rozkładu f d o s ta t e c z n ie szybko m aleje do z e r a . W rezu l­

t a c i e __________

a

F' A

Is = - n

Ź

-Dla wielu oddziaływ ań nieelektrom agnetycznych s i ł a nie z a le ż y do p rędkości; w s z c z e g ó l n o ś c i za ch o d zi to dla s i ł graw itacyjnych. Można w ó w c z as s i ł ę /j wy­ c ią gn ą ć przed operator pochodnej w wyrażeniu na /3. Rozpatrzmy jednak przypadek s z c z e g ó ln ie ważny d la plazmy, kiedy s i ł y makroskopowe m ają charakter s i ł y Lo» rentza, za le ż n e j — ja k wiadomo — od p r ę d k o ś c i.

Zakładam y w ięc, że

Wybrane aspekty molekularne hydromagnetyki kosmicznej 125

gdzie q j e s t ładunkiem elektronu w jed n o stk ach elektrom agnetycznych, "jTi odpowiednio n atężeniam i mikroskopowych pól elektrycznego i magnetycznego n iezależn y ch od w (również w j.e.m .) a o z n acza jednostkow y te n so r zupełnie antysymetrvczny.

d F j d w j

Mamy więc = ijk k = ? £ ilk ^ k , d w f dwi

cz = 0 i analogicznie dla p o zo stały ch składowych. d w l

Otrzymujemy w ięc, że dla typowych s i ł w ystępujących w plazmie

Fi dA

m d w ;

Porównując uzyskane wyrażenia na 11 . . . / 4 uzyskujemy uśrednione równanie postaci

d , ^ d A d ,

r ,

d A F i d A r a d t j

/ ns

— (n.A) - n . — + - — ( n . A w ) -n . Wt— - n = f A — d :)w. ( 11)

dt dt dx. dx. m dw,- dt ,

l l l 2 a

Mając ogólną p o sta ć (11) równania pow stałego przez u śred n ian ie (2) możemy uzyskać równania na odpowiednie momenty p o d sta w ia ją c na A kolejne tensory ze względu na w^.

Połóżmy A = 1 . Z (11) otrzymujemy n atychm iast

(n v • ) = f ( j i ) dsw = 0 (12) dt dx{ J \ dt / zA

je ż e li założyć, że zderzenia nie powodują zmiany ilo śc i elektronów. J e s t to w pełni spełnione j e ś l i wykluczyć procesy jo n iz a c ji i rekombinacji. W przy­ padkach kiedy jo n iz a c ja zderzeniowa j e s t is to tn a , wyraz po prawej stronie (12) opisywałby np. tempo jo n iz a c ji.

Połóżmy z kolei A = mwj . Wyrazi drugi i czwarty po lewej stronie równania (11) zn ik ają ze względu na n i e z a le ż n o ś ć współrzędnych wj i t. Wyraz pierwszy równa s i ę

d dv: d d i d

- f i (n m Vj ) = n m - f t L + v f J f i n m ) = - v j ^ U m t ; - ) gdzie sk o rzy staliśm y z równania cią g ło śc i (12).

126

_{Sta n i s ł a w G r z ę d z i e ls k i}

J e ż e l i w w y r a z ie trzecim sk o r z y sta ć ze związku (6) to

d

____

fi d

__

dv ■ ć) d

— (nrn WjWi) = -— (nmv^vj) + — (nm uiU:)= nm vt — > + Vj — (n m v i ) + —

° x i i d x i d x i d x i

g d zie znów s k o r z y sta liśm y z d efin icji (7) tensora c i ś n i e n i a k in e ty c z n e g o . Dodając otrzymane wyrażen ia na wyrazy pierwszy i piąty otrzymujemy, że suma ich w ynosi

P o z o s t a j e o s z a c o w a n i e p ią te g o wyrazu po prawej stron ie zwią zku (11). Z ak ład ając , że s i ł y F • s ą sumą s i ł lo r en tz o w sk ic h i s i ł p och od z ących od po­ ten cjału gra witacyjn ego

(13)

i z a u w a z y w s z y , ze

otrzymuje na wyraz piąty w yrażenie

- nq ( t j + Łjik vi S k ) + n m dtf

dxi

g d z ie w uśrednianiu znów s k o r z y s ta liś m y ze zw ią zku (6). U z y s k a liś m y w ię c o s t a t e c z n i e równanie p ostaci

,im

6r+

Vi d5v'

'

/Ja) -

^ ^ +

pi

(l4)

Jest to równanie ruchu dla gazu elektronowego pod wpływem s i ł y Lor entza s i ł grawitacyjn ych, s i ł c i ś n i e n i a oraz s i ł „ t a r c i a ” o gaz jonowy. I’en ostatn i rodzaj s i ł reprezentuje w równaniu (14) wyraz P^-, który pojawił s i ę d zięki wyrazowi zderzeniowemu po prawej stronie (2):

Wybrane aspekty molekularne hydromagnetyki kosmicznej 127

P.- = f m Wj\—~ ) ds w.

I

J

l \ d t

/*d

Połóżmy teraz A = mu^uj = m (ui,- — i>,-) (Wj - t>j). Oznaczmy kolejne tensory jakie powstają z kolejnych wyrazów po prawej stronie równania przez A-j, B^j,

wobec definicji (7).

A' i ~dt

3‘i = ~ nm P"{(l,‘ł;/) “ J t {wiVi + wi vĄ =

ze względu na niezależność u>,- i t i związek (6).

d₁ s r i * 1 ^ II _nm “ 1“ / vk

+

dxk nm u^ujh^ I

gdzie skorzystaliśmy z definicji tensora strumienia ciepła (8)

~5

D .. = -nm • (vk + Ul) -— («,•«.•) = - nm u^-— (w,ił;) = — nm u/(ui

’ ox. 1 dx, > dxi.

du — nm u, u

k ’ dxL

Ze względu na związek (6) i niezależność współrzędnych wi i x^, pierwszy

dv-wyraz w ostatnim wierszu równa się nm i w rezultacie

128 S ta n is ła w G r z ę d z i e l s k i

P o z o s ta je j e s z c z e obliczenie / / - . Załóżmy, że makroskopowe s iły

F k

s k ła d a ją s ię z s i ł

F°k

n ie z a le żn y c h od prędkości i gił

Fk

lorentzowskich. Policzmy najpierw przyczynek do

H-j

pochodzący od s i ł

F k.

Otrzymujemy wyra­ żenie

n Fk ^ w i ~ v i ) _{* ' 7 du>k} (wi ~ _{1 1} + (wi ~ vi> _{1 1 d w k 1} “ w/ ^ =₁

o d v i d i>:

=

n Fk[(w. - Vj) (Si k

--- ) + ( » , - -

v{)

(

Sjk

- — —)] = 0 ,

dwk

du>k

gdzie korzystaliśm y z n ie z a le ż n o ś c i średnich prędkości t>t- od indywidualnych

wk; bik

j e s t symbolem Kroneckera.

Przyczynek do //•• da d z ą wiec tylko s iły z a le ż n e od prędkości (składowa siły L o ren tza pochodząca od pola magnetycznego). Kładąc zatem

^ k ~ 9 £klm wl Bm mamy

3

11 i j = » ? £ * / « B m u>i— (wi W j - w t V j - V j U ) j + t 'j t y ) = = + w l w i 8 j k '~ v i Wl S i k ~ l ' i w l 8 j k = = 6 m t i i l m ~ v l v i> + £ j l m ~ Vl Vi )] '

J e ż e li uwzględnimy teraz wynikający z (6) zw iązek

w l w j = v l v j + *»/“ /• to uzyskujemy o s t a te c z n ie / / - postaci

Wybrane aspekty molekularne hydromagnełyki kosmicznej 129

G ru p u jąc o d p o w ie d n io u zy sk a n e w y ra że n ia na tensory ,. . . otrzym ujem y z (11) tzw . rów nan ie przep ły w u c ie p ła (lu b rów nan ie przep ły w u e n e r g ii, w zg lę d n ie

rów nan ie p rze p ły w u c iś n ie n ia k in e ty c zn e g o )

, d d d v k d dv t d v .

(

r

’

*1

ł

v */«►«ł

q m ^ i Im &Ij Hm +£ jlm '/ 'li^ m ) = = / m (w . _ „ ) (m», - ) d }w. (15J ' X

Dwa pie rw sze w yrazy w n a w ia s ie po lew ej stro n ie rów n an ia (15) są po prostu po chod ną ś le d c z ą ten sora c iś n ie n ia ; trze c i wyraz w n a w ia s ie o p is u je zm ia ny c iś n ie n ia je d n o s tk i o b ję to ś c i w y n ik a ją c e ze zm ia ny ilo ś c i elektronów w 1 cm ’ (efekt ś c iś liw o ś c i ga zu elektronow ego); wyraz czw arty o p is u je dopływ lu b od pływ c ie p ła do je d n o s tk i o b ję to ś c i: je s t przeto m iarą n ie a d ia b a ty c z n o ś c i prze p ły w u; w yrazy p ią ty i s z ó s ty (sy m etryczny ten sor D - ) u w z g lę d n ia efekty d y fu z ji c iś n ie n ia , c z y li energ ii w ew nętrznej w yw ołanej is tn ie n ie m gradie ntów p rę d k o ś c i; siódm y je s t efektem p o la m a g n e ty czn e g o . Wyraz po praw ej stro­ nie ró w n a n ia (15) zd a je sp raw ę z w yrów nyw ania s ię c iś n ie ń , a zatem i energii w e w n ę trzn e j, m ię d zy gazem elektronow ym i jonow ym na skutek zde rzeń.

P rzy w yp row adzan iu rów nań (12), (14), i (15) za punkt w y jś c ia s łu ż y ło rów ­ nanie B o ltzm a n n a w p o s ta c i (2) u w z g lę d n ia ją c e j efekty zderzeń typu elektron- elektron i elektron-jon. G dybyśm y m ie li do c z y n ie n ia z gazem zło żo n y m z je d ­ nego ty lk o ro d zaju m o le k u ł (w p la z m ie co praw da to nie ma m ie js c a , le c z zd a rza s ię c z ę s to w przypadk u g a zó w n ie z jo n iz o w a n y c h ), to w yrazy zde rzen io w e wy­ s tę p u ją c e w praw ych stron ach zw ią z k ó w (14) i (15) m u s ia ły b y z n ik n ą ć , p o n ie ­ w aż z d e rz e n ia m ię dzy m o le k u ła m i tego sam ego ro d z a ju nie m ogą p r z y ło ż y ć n etto ża d n e j s iły do elem entu o b ję to ś c i an i z m ie n ić je g o e n e rg ii. R ó w n a n ia (12), (14) i (15) byłvby w ó w czas form alnie n ie z a le ż n e i od m ikroskopow ego stan u ga zu i od ro d za ju s ił ja k ie w y w ie ra ją na s ie b ie m ole ku ły p o d c z a s b lis k ic h sp o tk a ń (zd e rze ń ). J e s t to k o n s e k w e n c ja praw za c h o w a n ia m asy, pędu i en erg ii w a k c ie zd e rze n ia in d y w id u a ln y c h m o le k u ł.

J e ż e li mamy m ie s z a n in ę g a zó w ele ktro no w eg o i jo n o w e g o , to ró w n a n ia (1 2 ), (14) i (15) w y r a ż a ją zac h o w a n ie m asy, pędu i energii k a żd e g o z gazów sk ła d o w y c h , z u w zg lę d n ie n ie m o d d z ia ły w a n ia c z y n n ik ó w zew nętrzn ych w

stosun-130 S ta n i s ł a w G r z ę d z i e l s k i

ku do danego gazu. N a jc z ę ś c ie j tym czynnikiem zewenętrznym j e s t w łaśnie drugi z gazów. W tym rozumieniu układy równań (12), (14) i (15) z a p i s a n e dla gazów elektronowego i jonowego o p isu ją rów nocześnie sp rz ę ż e n ia między oboma gazami. E x p lic ite sp rę ż e n ia te w yrażają s i ę poprzez wyrazy zderzeniowe, zdeterminowane przez warunki lokalne im p licite — poprzez siły L o re n tz a w y stę ­ pujące w wyrażeniu na Fj i zdetermi n o w a n e ' przez momentalny stan c a ł e g o układu. Ten drugi typ sprzężeń stanow i w łaśnie o bogactw ie zja w isk w dynamice plazmy i j e s t c h a ra k tery s ty czn ą ce c h ą gazów zjonizow anych.

Układ równań (12), (14) i (15) nie j e s t układem zamkniętym, bowiem ilo ś ć w ystępujących momentów j e s t w ię k s z a od ilo ś c i równań. W sz c z e g ó ln o ś c i moment najw yższego rzędu występuje w równaniu (15) w p o sta c i diwergencji te n s o ra strum ienia ciep ła (--- Q,-.^).Prostym sposobem zam knięcia układu

dxk

równań j e s t zało żen ie znikania tej diw ergencji. Sprowadza s i ę to do ro zw aża­ nia przepływów adiabatycznych. Inny sp o só b po leg ać może na przybliżonym ok reślen iu wartości diw ergencji Q poprzez parametry makroskopowe. Na przy­ kład p o d c z a s przebiegu frontu uderzeniowego przez ośrodek międzygwiazdowy przepływ b ędzie skrajnie niead iab aty czn y (tzn. prawie izotermiczny) ze względu na dużą wydajność procesów chłodzenia gazu. Wówczas w artość divQ można o k re ś lić , przyjmując, że tempo chłodzenia w mechanizmie zderzeniowego po­ b udzania nisko leżący ch poziomów metatrwałych określone j e s t przez lokalną w artość temperatury kinetycznej i g ę s to ś c i. Z an ied b an ie subtelnych efektów odchyleń od rozkładu maxwellowskiego j e s t tu w p e ł r i uzasad n io n e.

Równania dynamiki plazmy. Dynamika plazmy o g ran icza s i ę c z ę s to do analizy zachow ania trzech pierw szych momentów a zatem do dwu pierwszych równań zachowania: masy (12) i pędu (14). O dnośnie c iś n ie n ia zakłada s i ą w konkretnych sy tu a c ja c h , że j e s t skalarem , b ą d ź przyjmuje s i ę pewną prostą , , h e u ry s ty c z n ą ” p o sta ć : np. w przypadku s iln e g o pola magnetycznego można p rzy jąć, że te n so r c iś n ie n ia redukuje s i ę do wyrazów na przek ątn ej, z których dwa (odpow iadające kierunkom prostopadłym do linnii s i ł pola magnetycznego) s ą sobie równe.

Wychodząc z równań (12) i (14) otrzymamy równania dynamiki plazmy w p o s ­ taci n a jc z ę ś c ie j używanej. O puszczam y obecnie n o ta c ję tensorow ą. Indeksy i będą s i ę odnosić do jonów, e — do elektronów. Zakładamy w d a lsz y m ciągu całkow itą jo n iz a c ję .

Wprowadzimy teraz pewne w ielkości makroskopowe o d n o sz ą c e s ię do plazmy jako c a ło śc i:

g ę s to ś ć masy

p = + ne me '■1D'

Wybrane aspekty molekularne hydromagnetyki kosmiczne j 131

gęstość ładunku przestrzennego

gęstość prądu (y.e.m.)

.

neJe)

(18)

i związana z tym prędkość dyfuzji gazu jonowego względem gazu elektronowego

c i

Ze związków (17) i (18) wyrazić można prędkości gazu elektronowego i jonowego w funkcji prędkości makroskopowej i gęstości prądu

_ ni mi + neme ___ J

e M ' n;+me) mi+me ene

_+ n: m: +n m. m, ->

= ■ * / \ ” + - s H ---— i * n,(m,+fne) mi+me e n ,'

(19)

Z równań ciągłości (12) zapisanych dla gazów jonowego i elektronowego otrzymujemy przez odjęcie równania zachowania ładunku

-- + div 7 = 0

dt 1

zaś przez pomnożenie odpowiednio mj i me oraz dodanie, — równanie zachowania masy (równanie ciągłości) dla plazmy jako całości

Użyteczną formułą jest wyrażenie zmian gęstości gazu jonowego i elektro­ nowego poprzez p, v i j. Uzyskujemy to eliminując t/{ oraz ve z układu równań (12), (17) i (18):

132 Stanisław G r zęd ziels ki

dni div(pt?) me e ~dT “ “ ~mi+ me “ m|.+me 7 (livi

(20)

dng div(p3) nij c . ^

dt mi+me mi+me e V’

Otrzymane powyżej związki opierają s ię na wykorzystaniu równania (12). D ołączenie związków postaci (14) napisanych dla gazu jonowsgo i elektrono­ wego, pozwala na otrzymanie równania ruchu dla plazmy jako c a ło śc i oraz równania o kreślająceg o przepływ prądów w plazm ie, czy li tzw. uogólnionego prawa Ohma (można je również traktować jako równanie na względną dyfuzję obu składowych gazów).

Równania (14) napisane dla gazów jonowego i elektronowego mają postać

n»m‘(^ +

T^grad)^

=-^-(E ^ ) -

ni migrad f - d iv ^ .+

P ie

^21)

<5 e

ne me ( — + t^grad)t?e --- —( g + ^ e x^ ) — ne me 8 ra<ty’~ ^iv<Ae + ^ e i

Ot c

gdzie

P ie

je s t pędem uzyskanym przez jony — liczonym na jed nostkę o b jęto ści i czasu — na skutek zderzeń z elektronam i, a

P

e - — odpowiednią w ie lk o ścią

dla elektronów. Z trzeciego prawa Newtona mamy ?,-e + P ej = 0 . W ielkości

i

P e -

reprezentują wyrazy zderzeniowe po prawej stronie równań (14)

zapisanych dla gazów jonowego i elektronowego.

Równanie ruchu dla plazmy wyprowadzimy w założeniu że n; _ n^. Poniew aż w sy tu acjach astrofizycznych |n,- — ne \ « ne (por. rozdz. III), ewentualne różnice w g ęsto ściach od b ijają s ię na stanie ruchu plazmy w całkow icie za- niedbywalnej mierze (w ogólności in aczej rzecz s ię ma je ś l i chodzi o przepływ

prądów — por. n iżej).

D odając stronami równania (21) i (22) otrzymujemy

ne + ne [ml (*Jigrad)^i + 'ne ^ e g rad^ e l =

dt *- -*

e -t- -¥ ~n

Wybrane a s p e k t y moleku la rne hydrom agnety ki k o s m i c z n e j 133

K orzystając ze związków (19) wyrażamy ^ [ ( t ^ g r a d ) ^ + me (t?e grad)t;e w p o sta c i

(mi + me) & gra(l) ^ + — ■ 6 — (— grad]—- mi +me e \ne ) ne otrzymując s zu k an ą p o s ta ć równania ruchu:

d

- >

P ( ^ + V gra(l) V = J' X B - p g ra d p - div (ipi + tf/e ) +

_ IHlUk c* (j*grad) — (23)

mi +me c ne

Wyrazy jło prawej stronie opisują: s iły elektrom agnetyczne wywołane przepływem prądu j w polu Zf, siły graw itacyjne, siły c i ś n i e n i a oraz siły dodatkowego c iś n ie n ia związanego z istnieniem prędkości dyfuzji; tensory ifn i ifje zo stały bowiem określone w układach zw iązanych ze środkiem c ię ż k o śc i odpowiednio gazu jonowego i gazu elektronowego, a oba te układy p o ru sz a ją s i ę względem układu związanego ze środkiem c ię ż k o śc i plazmy jako c a ło ś c i. W ogólności po prawej stronie równania (23) mogą j e s z c z e w ystępow ać inne dodatkowe siły.

Wyprowadzając równanie przepływu prądu nie będziemy z a k ła d a ć równości ra,- i ne . Założenie tak ie byłoby bowiem równoważne zaniedbaniu klasy zjawisk związanych z istn ien iem ładunków przestrzennych — a w ięc np. drgań elektro­ staty c z n y c h plazmy. Z aniedbyw ać n a to m ia st będziemy wyrazy rzędu me/ m { w gt0. sunku do jed n o śc i; odpowiada to utożsam ianiu (je ś li chodzi o prądy) środka c ię ż ­ kości plazmy jako c a ło ś c i ze środkiem c ię ż k o ś c i gazu jonowego.

Różniczkując po c z a s ie zw iązek (18) otrzymujemy

c d f

3%

d*e J ni

dnp

----- - n---- — n --- + v;---— e •

e dt 1 dt ed t ldt e dt

Dwa pierw sze wyrazy po prawej stronie powyższego związku wyrażamy z równań ruchu (21) i (22), mnożąc je odpowiednio p rzez mg i m,- oraz odejmując stronami; prędkości v- oraz vg w wyrazach (vi grad) t/J i (i?e grad) ~ve eliminujemy przy pomocy związków (19); przy pomocy tych samych związków eliminujemy v- i ~v£ z wyrazów trzeciego i czwartego, natom iast pochodne czasow e g ę s to ś c i wy­ rażamy ze związków (20). Po elementarnych ale nieco uciążliw ych przeróbkach, grupując odpowiednio wyrazy, uzyskujemy sz u k a n ą p o sta ć uogólnionego prawa Ohma

134 Stanisław Grzędzielski

C 1 i —> O ; . —► C —► C TTl 1

---- 7 T- =g + — f x B ---- -- x S + — div xfje +— — grad) -L +

ne e 1 dt ne ene ’ ene r e ng es ' 8 ng -*■ J P p{\ grad)— + (]" gradl -- 1 n \ n / c ^ cJ '"e e J m r f e ---- — , div ( p v ) --- — ś e e i e2n m. e *

gradfj?--- t? rfit) (ó v ) ---p (v grad) "v

n m n ' nemi c mp a: — n c

2

m„ „ mi c +--- — t?(pt> g r a d ---- e )--- (pv div ; --- f div 7 ). (24) e*e m. n e , , e / 1 e

Rów nanie to określa zmianę gęstości prądu jako wynik d z ia ła n ia następujących czynników:

— p i e r w s z y w i e r s z —

przyłożonego (zewnętrznego w stosunku do danego elementu) pola elektrycznego, pola elektrycznego indukowanego przez ruch plazm y w poprzek lin ii s ił pola magnetycznego,

różnicy średniej prędkości jonów i elektronów w stosunku do lin ii s ił pola, c iśn ie n ia gazu,

dodatkowego c iśn ie n ia wynikłego z istn ie n ia prędkości dyfuzji; — d r u g i w i e r s z —

zderzeń elektronów z jonam i; je s t to wyraz dysypatywny prowadzący do wy­ dzie la n ia s ię ciepła Jo u le ’ a podczas przepływu prądu,

zmian gęstości masy plazm y, transferu! prądu przez strumień masy,

dodatkowej dyfuzji wynikłej z is tn ie n ia gradientu strum ienia masy; — t r z e c i w i e r s z —

d z ia ła n ia s ił grawitacyjnych na ładunek przestrzenny,

zmian ładunku przestrzennego wywołanych efektami śc iś liw o ś c i plazm y, transferu ładunku przestrzennego przez strumień masy;

— c z w a r t y w i e r s z —

zmian strum ienia ładunku wywołanych przez gradient ładunku przestrzennego, zmian strum ienia ładunku wywołanych ś c iś liw o ś c ią samego ładunku przestrzen­ nego,

zmian dyfyzji ładunku przestrzennego wynikłych z jego ś c iś liw o ś c i.

Dwa ostatnie wiersze o p is u ją efekty zw iązane z ładunkiem przestrzennym. W wielu zagadnieniach dynam icznych rola ich je s t drugorzędna. Mogą natom iast być niezwykle istotne w niektórych problemach n ie s ta b iln o ś c i, fal uderzenio­ wych i drgań o małych am plitudach.

Wybrane aspekty molekularne hydromagnetyki kosmicznej 135 W dotychczasow ej a n a liz ie zagadnień dynamiki plazm y nie stosuje s ię równań (23) i (24) z uw zględnieniem w szystkich wyrazów. Na ogół wprowadza s ię daleko idące upraszczające zało żenia.

W pierwszym rzędzie zn a le źć należy ja k ą ś prostą, p rzy bliżo ną postać wy­ razu dysypatywnego (zderzeniowego) w (24) operowanie dokładną p o sta cią — opartą wprost na wyrazie zderzeniowym (1) w równaniu Boltzm anna je s t zbyt kłopotliw e.

Najprostszym założeniem odnośnie mechanizmu zderzenia je s t przyjęcie, że średnio w każdym zderzeniu elektronu z jonem , elektron traci średnią nad­ wyżkę prędkości ~v — vy ja k ą posiada gaz elektronowy w stosunku do gazu jonowego. Zatem średnia| zmiana prędkości elektronu wynosi w czasie zderze­ n ia ATfg = . J e ż e li elektron w jednostce czasu zderza s ię v razem z jonem, to zmiana pędu elektronów lic zo n a na jednostkę o bjęto ści i czasu wynosić będzie

P ei = -P ie = ne^me = nevme “

^e)-Wprowadzając teraz odporność 17 (równą odwrotności przewodnictwa elektrycznego

o) zdefiniow aną zw iązkiem

r, = — h i (j.e .m .), (25)

en j

otrzymujemy

Drugim istotnym uproszczeniem je s t z a ło ż e n ie —przy zachowaniu oczyw iście należnej ostro żności—skalarności c iś n ie n ia . Dla n . = ng, <//■ = ipe = P/ 2 i odpo­ w iednie diwergencje sprowadzają s ię do gradientów c iśn ie n ia skalarnego: z n ik a ją również wyrazy zależne od ładunku przestrzennego. Je ż e li nadto przyj­ miemy, iż ruchy makroskopowe są na tyle wolne, że można zaniedbać wyrazy rzędu v J, j 1 i jv to otrzymujemy równanie ruchu (23) i uogólnione prawo Ohma (24) w postaci spotykanej w znanej monografii S p i t z e r a pośw ięconej fizyce plazm y:

136

S ta n i s ł a w G r z ę d z i e l s k i

W hydromagnetyce kosmicznej dokonuje s i ę j e s z c z e d a lsz y c h uproszczeń; zaniedbuje s i ę przyczynek do prądów pochodzący od s i ł c iś n ie n ia i s ił pola m agnetycznego, jak również zmiany czasow e prądów nie pochodzące od prze­ m ieszczeń plazmy jako c a ło ś c i. Z równania (27) otrzymuje s i ę wówczas związek

r / f

=T

+ v x B (28)

który w przypadku znikania ruchów makroskopowych sprow adza s i ę do k la s y c z ­ nej p o sta c i prawa Ohma:

A K C E L E R A C J A I D E C E L E R A C J 4

W RUCHACH KOMET OKRESOWYCH UKŁADU S ŁONECZNEGO

M I C H A Ł K A M I E Ń S K I

W listopadzie 1818 r. funkcjonariusz Obserwatorium Astronomicznego w Marsylii, P o n s , odkrył pewną kometę. Zauważyć należy, że była to jedna z 37 komet, które zostały odkryte przez tego niestrudzonego „łow cę komet” . Obliczeniem orbity tej komety, która następnie otrzymała definitywne oznacze­ nie „komety 1819 I ” , zajął się młody asystent obserwatorium Berlińskiego, J . E n c k e (1791—1865). Stosownie do przyjętego w astronomii zwyczaju, zało ży ł najpierw, że ta kometa zakreśla naokoło Słońca drogę paraboliczną. Wkrótce jednak musiał odrzucić to założenie, gdyż jej orbita wyraźnie odchylała się od paraboli. Ostatecznie ku swemu zdumieniu znalazł że kometa biegnie po elipsie. Faktem tym był E n c k e bardzo zdziwiony, tym bardziej gdy okazało się, iż ta elipsa jest bardzo niewielka: w aphelium dochodzi zaledwie do 4,1, a więc nie sięga nawet do odbity Jow isza. W perihelium natomiast podchodzi bardzo blisko, 0,04 do orbity Merkurego. Lecz co najwięcej zdumiało E n c k e g o, to jej nadzwyczajnie krótki czas obiegu naokoło Słońca, wynoszący zaledwie 3,3 lat

Ponieważ była ona dość jasna, więc E n c k e zaczął przeglądać stare rocz­ niki, starając się znaleźć, czy i kiedy mogła ona być widziana w przeszłości. Wkrótce wykrył, że była już odkryta i obserwowana po raz pierwszy w roku 1786 przez M e c k a i n a , w roku 1795 przez K a r o l i n ę H e r s c h e l . Ponadto w roku 1805 odkrył ją — niezależnie od poprzednich jej ukazań się — P o n s w Marsylii. Gdy E n c k e zestawił do tablicy obliczone elementy trzech po­ przednich pojawień się tych komet i wyznaczył chwile ich przejść przez peri­ helium, wówczas wykrył, że za każdym ich powrotem do Słońca, czas obieguP naokoło niego skraca się (oczywiście po uwzględnieniu już perturbacyj w jej ruchu). Otrzymał mianowicie wynik następujący:

Ok.okresu 1786-1795 P = 1208, 11 dni 1795-1805 P = 1207, 88 " 1805-1819 P = 1207, 12 »

Następne ukazania się tej komety przepowiedziane bardzo dokładnie przez E n c k e g o na lata 1822 i 1825 w zupełności potwierdziły skracanie się czasu obiegowego tej komety. A więc jednego tylko prawa grawitacji Newtona nie wystarczało do obliczenia osobliwości ruchu tej komety. Osobliwość tę wyraził E n c k e analitycznie dodaniem dwóch wyrazów — przyspieszeń w postępowym

138

MichaC Kamieński

ruchu komet: AM — w anom alii średniej, oraz An — w średnim je j ruchu d z ie n ­ nym. Poniew aż okres obiegu był bardzo b lis k i 1200 dniom, w ięc E n c k e p rzyjął

M = Mo + na (t - tQ) + 2<5 M + AM

n = nQ + £ S n + A n

gdzie 28/lf, SSn są perturbacjami graw itacyjnymi w ruchu komety za okres

t — tQ wyrażany w dniach. Zaś

A M =

(

— —

V

t - t = t

'

1200

/ ,

0

D la w spółczynnika 2R E n c k e z n a la z ł +60" d la całego 1200-dniowego obiegu komety. Innymi słowy:

AM = + CP.Q00041 r1

An = + .O'!000082 r

W ten sposób czas każdego jej obiegu na początku XIX stu le c ia skraca się b lisk o o 2,5 godziny.

To samo zjaw isko akceleracji c zy li przyspieszenia je j ruchu dziennego było zauw ażone i przy następnych je j ukazaniach s ię w latach 1829, 1832, 1835, 1838, 1842, 1845, 1848, 1852, 1855, 1858, przy czym w spółczynnik przy­ sp ieszenia pozostaw ał prawie bez zmiany — był b lis k i 60”.

Gdy fakt akceleracji został w ten sposób ostatecznie stw ierdzony, E n c k e dla jego objaśnie nia wysnuł hipotezę istnie nia międzyplanetarnego ośrodka, który będąc bardzo rozrzedzonym nie okazuje wpływu na ruch ciężk ich mas planetar­ nych,ale staw ia opór takim subtelnym ciałom jakim i są komety. O tó ż na pierwszy rzut oka takie tw ierdzenie wydaje się paradoksalnym — m ianow icie, opór ośrod­ ka pow inien by o p óźniać ruch komety. Jednakże przy istn ie n iu oporu ośrodka następuje supremacja s iły graw itacyjnej S łońca, kometa spada nieco ku niemu, a więc zw iększa się jej średni ruch dzienny, co z kolei powoduje skracanie się czasu jej obiegu naokoło Słońca.

D alsze badania ruchu tej komety, dokonowane w ciągu następnych lat, a w szc ze g ó lno śc i zaś badania kilkunastu lat ostatnich, nie potw ierdziły hipo­ tezy E n c k e g o O kazało się bowiem, że w iele b liże j prawdy był pogląd, wy­ pow iedziany w owym czasie przez genialnego F. B e s s e l a (1784—1846). Z za d z iw ia ją c ą zaite in tu ic ją w ypow iedzałi o p in ię , że anom alie w ruchu ko­ mety Encke (i ewentualnie — możliwe u innych komet) są wynikiem reakcji c ia­ ła komety na wyrzucone przez nią masy m aterii. Masy te mogą być nie tylko gazotoe ale i pyłowe — a to zgodnie z p ó ź n ie js z ą teorią T. B r e d i c h i n a (1831 —

A k c e le r a c ja i d e c e l e r a c ja w ruchach ko m e t o k res o w ych

139

1904) o powstaniu anomalnych warkoczy komet. Do tej opinni B e s s e 1 a powróci­ my j e s z c z e niżej, a to ze względu na najnow sze poglądy w tej dziedzinie.

Po śm ierci E n c k e g o , teoria ruchu tej komety, która już otrzymała nazwę „K o m eta E n c k e ” (chociaż sam E n c k e z c e c h u ją cą go sk rom nością, zaw sze ją nazywał , , Kometą P o n s a ” ), z a ją ł s i ę pułkowski astronom E m i l von As t e n . Obli czył on na nowo perturbacje jej ruchu dla okresu 1818—1875, potw ierdzając z jaw isk o p r z y s p ie s z e n ia , a ta k że obliczył wiekową zmianę mimośrodu. Okazało s i ę przy tym, że o bserw acje tej komety w roku 1871 gwałtownie odchylały s i ę od teorii opartej na obserw acjach w latach 1818—1868, co o z n a c z ało raptowną zmianę w spółczynnika a k c e le rac ji. Jakkolw iek masy niektórych p la n e t (Merku­ rego i J o w isz a ) przyjęte przez A s t e n a były niezbyt dokładne, to jednak ta niedokładność odgrywała m n iejszą rolę przy tak wielkiej a k c e le ra c ji komety.

Po śm ierci A s t e n a teorią tej komety z a ją ł s i ę młody uczony O s k a r B a c k l u n d (1846—1916), Szwed z pochodzenia. Za środki wyasygnowane mu przez znanego szw edzkiego inżyniera — przem ysłow ca N o b l a , zorganizował przy P e te rs b u rs k ie j Akademii Nauk Biuro Rachunkowe, gdzie zo sta ły poddane rew izji lub na nowo obliczone perturbacje w ruchu komety Encke od początku 1819 r. aż do r. 1891. Wyniki tych obliczeń zawarte w szereg u Memoarów przed­ stawionych w różnym c z a s ie do publikacji Akademii Nauk, stan o w ią poważny tom o k ilk u se t stronach. Od roku 1871 do r. 1914 były ponadto obliczane efeme­ rydy do każdorazowego uk azan ia s i ę tej komety. T aka energiczna d z ia ła ln o ś ć B a c k l u n d a spowodowała w roku 1900 uchw ałę P e te rs b u rg s k ie j Akademii Nauk, której członkiem z o s ta ł B a c k l u n d o nadaniu komecie E n c k e podwójnego imienia — „kom ety E n c k e -B a c k lu n d ” . Obecnie je dnak ta podwójna nazwa utrzymuje s i ę tylko w Związku R adzieckim ; natom iast astronomowie w szy stk ich innych krajów nazyw ają ją „ k o m etą E n c k e ” .

Jednak olbrzymia ilo ś ć pieniędzy i pracy włożona przez B a c k l u n d a i jego współpracowników najpierw w P e te rsb u rg u a potem w Pułkowie {dyrektorem obserwatorium w. Pułkowie z o s t a ł B a c k l u n d w roku 1895 i p ia sto w a ł tę god­ n ość aż do śmierci w rok!u| 1916) nie przyniosła d o s ta te c z n ie dokładnych wy­ ników. P ra c e i badania B a c k l . u n d a nie s ą wolne od wielu przeoczeń i błędów; ponadto nie miał on z dolności dydaktycznych, wskutek czego jego uczniowie i w spółpracownicy z tru d n o ścią dawali sobie radę z obliczeniam i. Głównym błędem B a c k l u n d a a potem jego n astęp có w w badaniu tej komety — I d e i s o ­ n a i M a t k i e w i c z a było niepow tarzanie i niepoprawianie obliczonych per­ turbacji planetarnych po wprowadzeniu poprawek do system ów elementów. P o ­ prawki te były nieraz d o ś ć duże i n iew ątpliw ie wpływały na dokładność przyjętych perturbacji. Autor n in ie jsz e g o artykułu, jako młody astronom w obserwatorium pułkowskim, przez s z e r e g lat brał udział w o b liczen iach perturbacji ruchu komety Encke i już wówczas — aczkolw iek młody i mało doświadczony — miał pewne z a s tr z e ż e n ia co do techniki wykonania rachunków prowadzonych pod kierownictwem O. B a c k l u n d a . Można r z e c , że cechował je brak dokładnej kontroli — a nawet, s i verbis audacia detur — pewnego rodzaju b e z tr o s k i s to ­ sunek do k o n ie c z n o śc i wykonania tej kontroli. Jako jeden z jaskraw ych przy­ kładów służy przypadek n astę p u ją c y ; przygotowując obliczenie efemerydy ko­ mety dla jej ukazania s i ę w r. 1911, B a c k l u n d p rz e p is a ł system elem entów

140 M ichał Kam ieński

z oryginalnych arkuszy perturbacji na arkusz, na którym powinny były być do­ konane obliczenia samej efemerydy. Popełnił przy tym szczególny błąd, prze­ pisując kąt mimośrodu i myląc się o całe 10 . Gdy po odnalezieniu komety ukazała się ona w znacznej odległości od obliczonego miejsca, wówczas B a c k l u n d dla objaśnienia tej różnicy wysnuł szereg dziwnych przypuszczeń (A.N .4518), nie starając się znaleźć błędu w podstawowym systemie elemen­ tów. Lecz wkrótce uważny i doświadzony badacz ruchów kometarnych A.C.D.

C r o m m e l i n odrazu spostrzegł błąd B a c k l u n d a (A .N .4539), przez co wszel­ kie hipotezy B a c k l u n d a stały się zbędne.

Mimo niedokładności rachunków B a c k l u n d a , wpływ akceleracji komety Encke na jej położenie był tak w ielki, że wyprowadzone przez niego współ­ czynniki 9( akceleracji okazały się bliskie rzeczywistości. Te współczynniki podaje S a m u e l M a k o w e r z Instytutu Astronomii Teoretycznej w Leningradzie w postaci tablicy (Ma ko w er, 1954).

Tablica współczynników wiekowej akceleracji komety Encke

Okres

dl

Autor 1819-1858 60" B a c k l u n d 1858-1868 50 II 1868-1894 42 II 1894-1904 29 II 1904-1914 22,5 II 1924-1934 23 I d e 1 s o n 1931-1937 15 Ł u c z i c z 1931-1947 16 II 1937-1951 12 M a k o w e r 1941-1951 6 II

O przyczynach zmienności akceleracji powiemy niżej. Po śmierci B a c k l u n ­ da, badaniami ruchu komety Encke zajął się M a t k i e w i c z , który rozpoczął je jeszcze za życia B a c k l u n d a . Lecz jakieś złowieszcze fatum zaciążyło nad tymi pracami Matkiewicza. Dzięki pewnemu roztargnieniu i nieobliczaniu dla kontroli — perturbacyj różnymi metodami, popełnił fatalny błąd we wzorze na podwójne całkowanie. Dzięki temu obliczane przez niego efemerydy komety były błędne — np. w r. 1931 odchylenia obliczonych miejsc od zaobserwowanych dochodziły do 2° w rektascenzji. Wszystkie więc obliczenia M a t k i e w i c z a dla długiego okresu 1921—1938 okazały się błędne.

Dopiero w ciągu lat ostatnich w Instytucie Astronomii Teoretycznej w Lenin­ gradzie przystąpiono do ponownych obliczeń perturbacji w ruchu komety Encke, od r. 1819 aż do naszych czasów. Pierwsze prace dokonane przez S. Ma k o we - ra, a odnoszące się do ruchu komety za okres 1937—1951—1954, cechuje nad­ zwyczaj wielka dokładność, gdyż błąd średni fi przedstawienia jednego normal­ nego miejsca wynosi zależnie £ =+l".5, a więc. 3 razy mniejszy, niż u B a c k- l u n d a . A znaleziona przez niego z perturbacji tej komety masa Merkurego

Akceleracja i deceleracja w ruchach komet okresowych 141

je s t bardzo b lisk a najlepszym wyznaczeniom tej masy: M =l:6400000, K l e m e n s 1949, z ruchu perihelium Ziem i M=l:6120000, R a b e — z perturbacji ruchu Erosa. Ja k że odbiega on[atod wartości masy Merkurego:

1:9700000 podanej przez B a c k l u n d a — na skutek błędnych jego obliczeń i rozw ażań.

Drugą kometą, u której akceleracja ruchu je s t dobrze stwierdzona, jest kometa Brooks. N ajlep sze prace w tej d zie dzinie zaw dzięczam y A. D. D u b i a g o niedawno zmarłemu profesorowi Uniwersytetu w K azaniu. Z zestawień jej ukazań w okresie 1889—1910 D u b i a g o w yznaczył przyspieszenie w jej śre­ dnim ruchu dziennym:

\n- +0V000005391

roku 1922 kometa ta podeszła do Jo w is za na bardzo m ałą odległość, 0.08 co wywołało olbrzymie zmiany w je j elementach. Z opracowań dalszych 4 ukazań się tej komety w okresie 1925—1946 D u b i a g o zn a la zł

A n= +0’.’000003876

a w ięc dość b lisk ie do poprzedniego. D u b i a g o je s t zdania, że pow iązanie ze sobą ukazania s ię komety Brooksa w okresie 1889—1910 z jej ukazaniam i s ię w okresie 1925—1941 nie będzie chyba m ożliw e.

W swej pracy O wiekowym przyspieszeniu ruchu komet okresowych (1948) D u b i a g o przytacza je szc ze wyniki swych badań nad decelaracją kometyPons- Winnecke, za okres 1858—1886. B yła ona badana poprzednio przez H a e d t l a , lecz D u b i a g o przerobił i udokładnił te badania otrzymując w wyniku błąd średni £ przedstaw ienia jednego normalnego m iejsca:

£ - +4V86

Wartość ta jest dość znaczna, co zdaniem autora dowodzi konieczności pod­ dania rew izji w szystkich obliczeń perturbacji i wyprowadzenia na nowo m iejsc normalnych.

D u b i a g o otrzymał dla wiekowej deceleracji tej komety w spółczynnik A n = -0'.'000000212 na 1 dobę

a więc bardzo b lisk i do w spółczynnika deceleracji w ruchu komety P /W olf I. W głównej pracy autora nad ruchem komet P /W o lf I, opublikowanej w ,,A c ta Astronoinica” w r. 1933, było udowodnione ponad w szelką w ątp liw ość, że w średnim ruchu dziennym n tej komety, a w ięc — i w je j anom alii średniej M, zachodzą wiekowe deceleracje Ara, AM które w okresie 1884—1919, można wy­ razić wzorami:

M = Mo + n0(t~t0)+lgU+\M, A4/=-0" 00000021 (t- t0 )2

n = +• An, Ara=—0"00000042 (t—ta )

O tóż wzory te — zarówno jak analogiczne wzory C n c k e g o i B a c k l u n d a — w łaściw ie nie p rzedstaw iają istoty zjaw isk a, gdyż niew ątpliw ie akceleracja i deceleracja d z ia ła ją znacznie siln ie j w okolicy perihelium komety. \ jednak te interpolacyjne wzory p ozw alają przedstaw ić w szystkie 50 m iejsc normalnych komety Wolf I w okresie 1884—1919 zaw ierających 1888 obserw acji, z ogromną dokładnością, gdyż błąd średni S przedstaw ienia jednego m iejsca normalnego wynosi zaledw ie.

142

Michał Kamieński

£ = + 1 ".77 .

W 1922 r. kometa Wolf I podeszła do Jo w isza na m inim alną odległość A = 0.1247 w dniu wrzesień 27.10. Na skutek je j 5 m iesięcznego przebywa­ nia w sferze oddziaływ ania Jo w isza , elementy je j orbity uległy ogromnym zm ia­ nom. Okres je j obiegu naokoło Słońca w ydłużył s ię z 6,25 lat do 8,33 lat, odległość za ś w perihelium q wzrosła z 1,61 do 2,45. To też nie udaje s ię p ow iązać ukazań s ię tej komety w okresie 1884—1919 z jej następnymi uka- zaniam i s ię w okresie 1925—1958 o ile chodzi o n a jw y ższą dokładność przedsta­ w ienia m iejsc normalnych.

Prowizoryczne o b lic ze n ia autora w ykazały, że deceleracja w ruchu komety w tym drugim okresie je j ży c ia nie zn ik n ę ła , lecz zm n iejszy ła s ię prawie cztero­ krotnie i wyraża s ię wzorami

n = - 0!'00000012 ( t - t )

O

7

u

= -o." 00000006

U-t0y

gdzie ja k i poprzednio, t —10 powinno być wyrażane w dniach, zaś tQ oznacza tutaj drugą głów ną epokę początkow ą t0 = 1925 lip ie c 12,5.

Je s t rze czą ciekaw ą, że w spółczynnik deceleracji zm n iejszył s ię blisko odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odleg ło ści komety od Słońca w perihelium . R zeczyw iście w ówczas byłoby:

A n _{= -0."00000042/— i}

\2 ,4 5

a więc Jbyłby bardzo b lisk i pierwotnemu znaczeniu. Z m n iejszenie nie oznacza w cale o sła bien ia d z ia ła ln o śc i Słońca na głowę i jądro komety, lecz stw ierdza fakt zm n iejszenia wpływu jego sumarycznego prom ieniow ania na zm n iejszoną — na skutek zmiany o dleg ło ści — pozorną pow ierzchni ą głowy komety.

Szczegółowe wyniki tych obliczeń będą podane wkrótce w „ A c ta Astro- nom ica” .

Pew na c z ę ś ć danych n iniejszeg o artykułu była podana przez A .D. D u b i a g o . We wspomnianym wyżej artykule z r. 1948 p isze on m. in. (przek ład polski):

,,W artykule, który opublikowałem w r. 1942, wykazałem , że odchylenia od graw itacyjnej teorii w ruchach komet okresowych są nie w yjątkiem , lecz re gułą” .

I dalej: ,,P o ukazaniu się prac K a m i e ń s k i e g o stało s ię wiadomym, a obecnie stwierdzono zupełnie n ie z b ic ie , że istn ie je i wiekowa akceleracja i wiekowa deceleracja w ruchach komet” .