Mechanika Kwantowa - kurs du»y
zestaw 8
grupa 1: poniedziaªek 5.12.2012., godz. 14:05, sala 001B
1. W atomie wodoru elektron oddziaªywuje z momentem magnetycznym powstaªym na wskutek wzgl¦dnego ruchu protonu i elektronu. Oddziaªywanie to nosi nazw¦ spin-orbita. Traktuj¡c sprz¦»enie spin-orbita jako zaburzenie
ˆ HSO= e 2 ~2 2m2 ec2 1 r3 1 ~2 ˆ L · ˆS
obliczy¢ poprawki do energii stanów 2s i 2p. Poda¢ numeryczn¡ warto±¢ poprawki w [eV] i w [cm−1].
WSKAZÓWKA: Poniewa» oddziaªywanie spin-orbita jest diagonalizowane przez f. falowe w bazie caªkowitego kr¦tu j, nale»y najpierw skonstuowa¢ takie funkcje, a potem policzy¢ odpowiednie elementy macierzowe.
ψn=2l=0,m=0 = 1 2a0 3/2 2 − r a0 e−2a0r Ym=0 l=0 (θ, ϕ) = R20(r)Yl=0m=0(θ, ϕ), ψn=2l=1,m = √1 3 1 2a0 3/2 r a0 e−2a0r Ym l=1(θ, ϕ) = R21(r)Yl=1m (θ, ϕ).
2. Oznaczamy stany wªasne spinu |±i = |1/2, ±1/2i. Stan |si = α |+i + β |−i jest unormowany.
• Obliczy¢
h~σi = hs| ~σ |si gdzie ~σ = (σx, σy, σz) .
Wykaza¢, »e h~σi jest wektorem jednostkowym.
• Pokaza¢, »e stan |si jest stanem wªasnym operatora ~n · ~σ do warto±ci wªasnej 1, gdzie ~n jest odpowiednio dobranym wektorem jednostkowym. Znale¹¢ ~n. • Pokaza¢, »e warto±¢ oczekiwana w stanie |si operatora ~n0 · ~σ, gdzie ~n0 jest
dowolnym wektorem jednostkowym, wynosi ~n0 · ~n.
• Przy pomocy macierzy jednostkowej i macierzy ~σ skonstruowa¢ operator rzu-towy P+ na stan |+i , P− na stan |−i, oraz operator rzutowy Pn na stan |si.
Operator rzutowy, to operator który z dowolnego stanu wybiera tylko skªadow¡ wzdªu» tego stanu (np. P+|+i = |+i , P+|−i = 0).
• Obliczy¢ P2
3. W do±wiadczeniu Sterna-Gerlacha wi¡zka atomów o momencie magnetycznym ~ µ = −gJµB 1 ~ ~ J
przechodzi przez obszar, w którym niejednorodne pole magnetyczne ma gradient wzdªu» osi o kierunku ~n. Siªa dziaªaj¡ca na atomy dana jest wzorem
~
F = (~µ · ~∇) ~B.
Zakªadaj¡c, »e ~n = ~nz = (0, 0, 1), oszacowa¢ jaki procent cz¡stek odchyli si¦ w
dodatnim i ujemnym kierunku osi z przyjmuj¡c, »e
• wi¡zka atomów jest spolaryzowana wzdªu» osi z, tzn. 100% jest w stanie wªa-snym sz do waro±ci wªasnej ~/2;
• wi¡zka atomów jest niespolaryzowana, tzn. »e 50% atomów jest w stanie |1/2, 1/2i i 50% w stanie |1/2, −1/2i;
• wi¡zka atomów jest spolaryzowana wzdªu» osi x, tzn. 100% jest w stanie wªasnym sx do waro±ci wªasnej ~/2.
