Streszczenie
W artykule zaproponowano sposób wykorzystania prostej metody monitorowania procesów, jakim jest karta kontrolna Shewharta residuów, do wykrywania istotnych, nielosowych, zmian w zachowaniu si procesu opisywanego niestacjonarnym szere-giem czasowym.
Słowa kluczowe: niestacjonarne szeregi czasowe, karta kontrolna Shewharta, detekcja niestabilnoĞci
Wprowadzenie
Jedną z najbardziej poĪądanych cech wielu procesów jest ich stabilnoĞü. Istnieje wiele sposo-bów okreĞlania stabilnoĞci procesów. Na przykład, w przypadku procesów produkcyjnych przez stabilnoĞü rozumie siĊ to, Īe parametry procesu (np. parametry wytwarzanych w tym procesie wy-robów) mogą zmieniaü siĊ w sposób przypadkowy wokół pewnej wartoĞci docelowej, przy czym rozkład prawdopodobieĔstwa opisujący te zmiany nie podlega zmianom w czasie. Nietrudno zau-waĪyü, Īe rozumiany w ten sposób proces stabilny nie musi byü procesem o poĪądanych własnoĞciach. Na przykład, proces odznaczający siĊ duĪą, ale stałą w czasie, losową zmiennoĞcią mierzonych charakterystyk bĊdzie procesem stabilnym, ale na pewno wymagającym poprawy.
Do badania stabilnoĞci procesów wykorzystuje siĊ metody statystyczne. Pozwalają one stwier-dziü, czy zaobserwowane zmiany wartoĞci mierzonych parametrów są czysto przypadkowe, czy teĪ za tymi zmianami nie stoi jakaĞ konkretna przyczyna, w terminologii statystycznego sterowania procesami (SPC) nazywana przyczyną wyznaczalną (ang. assignable cause). NaleĪy tu podkreĞliü, Īe wykorzystanie metod statystycznych słuĪy jedynie do wykrywania rozregulowaĔ monitorowa-nych procesów lub teĪ do oceny ich, rozumianej w sensie statystycznym, zdolnoĞci (ang. capability). Wszystkie czynnoĞci naprawcze muszą mieü swój konkretny wymiar „technologiczny”, a metody statystyczne słuĪą w tym przypadku do weryfikacji, czy załoĪone cele zostały osiągniĊte.
NajczĊĞciej stosowaną w praktyce statystyczną metodą weryfikacji stabilnoĞci procesów jest zaproponowana w latach trzydziestych zeszłego stulecia karta kontrolna Shewharta. Jej działanie jest bardzo proste. Na podstawie obserwacji procesu (mogą to byü wyniki pomiarów okreĞlonych charakterystyk lub parametry opisujące pobrane z procesu próbki), o którym zakładamy, Īe jest sta-bilny, szacujemy redni poziom procesu (wartoĞü Ğrednią uzyskanych wyników pomiaru) oraz jego zmienno, mierzoną np. jako odchylenie standardowe monitorowanych wielkoĞci (indywidualne wyniki pomiarów, parametry mierzonych próbek). Na podstawie tak wyznaczonych charakterystyk wykreĞlamy lini centraln karty (odpowiadającą wyznaczonej wartoĞci Ğredniej lub wartoĞci do-celowej) oraz jedną lub dwie linie kontrolne, umieszczone w odległoĞci trzech odchyleĔ standardowych od linii centralnej. W najprostszym i najczĊĞciej stosowanym, przypadku o rozregu-lowaniu monitorowanego procesu Ğwiadczy pojawienie siĊ obserwacji poza wyznaczonymi liniami kontrolnymi.
Analizując własnoĞci zdefiniowanej powyĪej karty kontrolnej Shewharta zazwyczaj zakłada siĊ, Īe mierzone charakterystyki monitorowanego procesu są statystycznie niezalene, a ich rozkład prawdopodobieĔstwa jest rozkładem normalnym. Gdy załoĪenia te są spełnione, to pojawienie siĊ fałszywego sygnału alarmowego (tzn. sygnału wygenerowanego przez proces stabilny) jest bardzo małe i wynosi 0,0027 dla przypadku karty z dwiema liniami kontrolnymi i 0,00135 dla przypadku karty z jedną (dolną lub górną) linią kontrolną. Praktycy czĊĞciej posługują siĊ inną charakterystyką karty kontrolnej, jaką jest Ğrednia długoĞü przebiegu ARL (ang. Average Run Length), która podaje oczekiwaną liczbĊ pomiarów procesu pomiĊdzy kolejnymi sygnałami alarmowymi. W przypadku fałszywych alarmów wielkoĞü ta, oznaczana ARL0, wynosi, odpowiednio, 370,4 dla karty z dwiema liniami (granicami) kontrolnymi oraz 740,8 dla karty z jedną linią kontrolną.
Dobrze zaprojektowana karta kontrolna powinna odznaczaü siĊ małą czĊstoĞcią wystĊpowania fałszywych alarmów oraz szybkim czasem reakcji na rozregulowania monitorowanego procesu. Niestety, w przypadku karty kontrolnej Shewharta wymagania te są w sposób istotny wzajemnie sprzeczne. Okazuje siĊ, Īe szybka reakcja na rozregulowanie procesu wystĊpuje dopiero wtedy, gdy Ğredni poziom procesu ulegnie zmianie o ok. trzy odchylenia standardowe wykreĞlanej na karcie charakterystyki. W przypadku koniecznoĞci uzyskania szybszej reakcji na mniejsze rozregulowania, konieczne jest stosowanie innych kart kontrolnych, takich jak karta sum skumulowanych (CUSUM) lub karta wykładniczo waĪonej Ğredniej (EWMA). BliĪsze informacje na ten temat moĪna znaleĨü w fundamentalnej ksiąĪce Montgomeryego [8] lub – w ograniczonym zakresie – w ksiąĪce Hryniewicza [4].
Jak juĪ wspomniano, karty kontrolne Shewharta znalazły powszechne zastosowanie w monito-rowaniu dyskretnych procesów produkcyjnych, gdzie ich podstawowe załoĪenia są czĊsto spełnione. Z biegiem czasu zaczĊły one byü stosowane w monitorowaniu procesów ciągłych (np. procesów chemicznych), a takĪe w innych obszarach, takich jak finanse, zdrowie itp. Okazuje siĊ, Īe w wielu takich zastosowaniach wymienione powyĪej podstawowe załoĪenia (niezaleĪnoĞü, roz-kład normalny) nie są spełnione, co w rezultacie prowadzi do tego, Īe charakterystyki zaprojektowanych w sposób „podrĊcznikowy” kart kontrolnych są istotnie róĪne od załoĪonych. Ciekawe informacje na ten temat moĪna znaleĨü w pracy Hryniewicza [5], który pokazał, Īe wpływ na charakterystyki karty ma nie tylko siła zaleĪnoĞci pomiĊdzy kolejnymi pomiarami, ale równieĪ rodzaj tej zaleĪnoĞci. Szersze informacje na temat konstrukcji kart kontrolnych dla danych zaleĪ-nych (skorelowazaleĪ-nych) moĪna znaleĨü we wspomnianej juĪ ksiąĪce Montogomerego [8].
Zdecydowana wiĊkszoĞü prac poĞwiĊconych kartom kontrolnym oparta jest na załoĪeniu, Īe proces stochastyczny (szereg czasowy) opisujący wyniki pomiarów jest procesem (szeregiem) sta-cjonarnym. ĝcisłe definicje stacjonarnoĞci moĪna znaleĨü w fundamentalnej monografii Boxa i Jenkinsa [5]. PrzystĊpny opis moĪna takĪe znaleĨü w monografii Kozłowskiego [7]. WaĪną infor-macją praktyczną jest to, Īe przypadku procesów (szeregów) stacjonarnych wartoĞü oczekiwana i odchylenie standardowe opisywanej przez dany proces wielkoĞci pozostają stałe w czasie. Nie-trudno jednak zauwaĪyü, Īe w wielu praktycznych przypadkach monitorowane procesy nie są stacjonarne. Najprostszym uzasadnieniem niestacjonarnoĞci procesu jest wystĊpowanie w nim pew-nego trendu, który moĪe byü deterministyczny lub stochastyczny. W ogólnym przypadku, analiza procesów niestacjonarnych moĪe byü bardzo trudna. W niniejszej pracy, ze wzglĊdu na jej zastoso-waniowy charakter, ograniczymy siĊ wyłącznie do prostych przypadków, gdy obserwowany proces moĪna monitorowaü wykorzystując kartĊ kontrolną Shewharta. Konstrukcja takiej karty bĊdzie opi-sana w kolejnym punkcie niniejszej pracy. Przykład numeryczny jej zastosowania w monitorowaniu notowaĔ giełdowych zostanie przedstawiony w punkcie 2 pracy.
1. Karta kontrolna Shewharta do monitorowania procesów niestacjonarnych
Jak juĪ wspomniano we Wprowadzeniu, w literaturze przedmiotu poĞwiĊconej statystycznemu sterowaniu procesami o zaleĪnych obserwacjach zdecydowana wiĊkszoĞü rozpatrywanych przypad-ków dotyczy procesów stacjonarnych. JednakĪe jedno z najbardziej popularnych narzĊdzi SPC, karta kontrolna Shewharta dla residuów, moĪe byü stosowana takĪe w przypadku procesów niestacjonarnych.
ZałóĪmy, Īe dysponujemy wynikami n kolejnych obserwacji, x1,…,xn, monitorowanego pro-cesu. Przyjmijmy, Īe kolejna zaobserwowana wartoĞü jest realizacją zmiennej losowej zdefiniowanej w nastĊpujący sposób
ܺାଵൌ ݂ሺݔଵǡ ǥ Ǥ ݔሻ ߝ, (1)
gdzie εjest zmienną losową o zerowej wartoĞci oczekiwanej. O ciągu zmiennych losowych ߝଵǡ ǥ
zazwyczaj zakłada siĊ, Īe są wzajemnie niezaleĪne i mają jednakowy rozkład (np. normalny). Gdy załoĪenie to nie jest spełnione (np. gdy wariancja zmienia siĊ w czasie) analiza danych staje siĊ znacznie bardziej skomplikowana i w niniejszej pracy nie bĊdzie rozpatrywana.
Dla procesów opisanych zaleĪnoĞcią (1) Alwan i Roberts [1] zaproponowali kartĊ kontrolną Shewharta dla residuów, obliczanych zgodnie z zaleĪnoĞcią
ܼାଵൌ ܺାଵെ ݂ሺݔଵǡ ǥ Ǥ ݔሻ. (2)
Z analizy wzorów (1) – (2) wynika, Īe residuum definiowane wzorem (2) jest róĪnicą pomiĊdzy kolejną obserwacją a jej wartoĞcią przewidywaną, wyznaczoną za pomocą funkcji ܼାଵכ ൌ ݂ሺݔଵǡ ǥ Ǥ ݔሻ. GdybyĞmy znali dokładną postaü funkcji f(.), to residua dane wzorem (2) miałyby ten
sam rozkład co zmienne losowe ε. Alwan i Roberts [1] przyjĊli, Īe zmienne losowe ߝଵǡ ǥ są wza-jemnie niezaleĪne i mają jednakowy rozkład normalny o zerowej wartoĞci oczekiwanej. Przy takim załoĪeniu klasyczna karta kontrolna Shewharta, stosowana tym razem dla residuów, a nie dla obser-wowanych wartoĞci monitorowanego procesu, ma wszystkie własnoĞci znane z podrĊczników statystycznej kontroli jakoĞci. Niestety, sprawa komplikuje siĊ, gdy postaü funkcji f(.) jest estymo-wana z danych. W takim przypadku kolejne residua są wzajemnie skorelowane, co znacznie komplikuje problem właĞciwej konstrukcji karty Shewharta. Informacje na ten temat moĪna znaleĨü w pracy Hryniewicza i Kaczmarek-Majer [6].
W przypadku gdy monitorowane dane opisane są procesem niestacjonarnym powstaje funda-mentalne pytanie o to, co naleĪy rozumieü pod pojĊciem „proces stabilny”. W dalszej czĊĞci pracy za proces stabilny bĊdziemy uwaĪaü proces, którego kolejne zaobserwowane obserwacje róĪnią siĊ od ich wartoĞci przewidywanych w sposób czysto przypadkowy. NaleĪy tu jednak mocno podkre-Ğliü, Īe w przypadku skomplikowanych funkcji trendu zachowanie monitorowanego procesu, uznanego za stabilny zgodnie z powyĪszą definicją, moĪe byü, w potocznym tego słowa znaczeniu, wyraĨnie niestabilne.
1.1. Karta kontrolna dla residuów wykorzystująca predykcjĊ za pomocą metody Ğredniej ruchomej (MAV)
Zagadnienie wyznaczania funkcji trendu ݂ሺݔଵǡ ǥ Ǥ ݔሻ moĪna traktowaü jako klasyczne
zagad-nienie wyznaczania funkcji regresji. W najprostszym przypadku do wyznaczania funkcji trendu moĪna wykorzystaü metodĊ regresji liniowej, opisaną w kaĪdym podrĊczniku statystyki i zaimple-mentowaną w kaĪdym arkuszu kalkulacyjnym. W przypadku prostych zaleĪnoĞci nieliniowych moĪna skorzystaü np. z kreatora wykresów programu MS Excel. Korzystając z tego kreatora two-rzymy wykres punktowy i dodajemy do niego liniĊ trendu wraz z wyĞwietlonym na wykresie wzorem opisującym liniĊ trendu oraz współczynnikiem dopasowania R2. JeĞli wartoĞü współczyn-nika dopasowania jest dostatecznie duĪa, np. nie mniejsza od 0,7, to wyĞwietlone równanie moĪe byü wykorzystane do predykcji wartoĞci nastĊpnej obserwacji. W przypadku bardziej skompliko-wanych zaleĪnoĞci naleĪy skorzystaü z metod nieparametrycznej regresji, opisanych np. w ksiąĪce Hastiego i in. [3].
W przypadku wystĊpowania skomplikowanych trendów, podobnych do przypadku rozpatrywa-nego w nastĊpnym punkcie niniejszej pracy, korzystanie z zaawansowanych metod statystycznych wymaga wykorzystania specjalistycznego oprogramowania. Alternatywą moĪe byü wykorzystanie Ğredniej przesuwnej (ang. Moving average (MAV)), definiowanej jako
ݔାଵ௩ ൌଵ
σୀଵݔିାଵ, (3)
gdzie k nazywane jest okresem Ğredniej przesuwnej. Wówczas kolejne residua wyznaczane są ze wzoru
ݖାଵൌ ݔାଵെ ݔାଵ௩ǡ ݊ ൌ ݇ǡ ǥ. (4)
Wyznaczone ze wzoru (4) residua moĪemy wykorzystaü do konstrukcji karty Shewharta. Wykorzystanie Ğredniej przesuwnej do obliczania residuów ma swoje zalety i wady. Niezaprze-czalną zaletą jest jej prostota oraz moĪliwoĞü odtworzenia funkcji trendu o skomplikowanych kształtach. NaleĪy tu jednak pamiĊtaü o „wygładzającym” charakterze Ğredniej przesuwnej. Zasto-sowanie zbyt krótkiego okresu k pogarsza jakoĞü predykcji. Z kolei, zbyt duĪa wartoĞü k uniemoĪliwia uwzglĊdnienie krótkookresowych zmian trendu.
Karta kontrolna Shewharta dla residuów wykorzystujących Ğrednią przesuwną ma teĪ inną istotną wadĊ. Rozregulowanie procesu, polegające na zmianie poziomu procesu, moĪe byü wychwy-cone tylko w momencie jego wystąpienia lub bezpoĞrednio po tym. PóĨniej funkcja predykcyjna, jaką jest Ğrednia przesuwna, „dopasuje siĊ” do nowego poziomu procesu.
1.2. Karta kontrolna dla residuów dla przyrostów wartoĞci procesu
Innym sposobem radzenia sobie z procesami niestacjonarnymi jest transformacja danych, pole-gająca na wyznaczaniu róĪnic pomiĊdzy kolejnymi obserwacjami
݀ൌ ݔെݔିଵ. (5)
Okazuje siĊ, Īe w wielu przypadkach spotykanych w praktyce tak uzyskany proces jest w przy-bliĪeniu procesem stacjonarnym. Dzieje siĊ tak zwłaszcza wtedy, gdy funkcjĊ trendu moĪna dobrze aproksymowaü funkcją kawałkami liniową.
W niniejszej pracy rozpatrzymy przypadek, gdy wartoĞci przyrostów procesu opisane są pro-cesem autoregresji rzĊdu k. W takim przypadku funkcja trendu ma postaü
݂ሺ݀ଵǡ ǥ Ǥ ݀ሻ ൌ ܾଵ݀ ܾଶ݀ିଵ ڮ ܾ݀ି. (6)
Parametry b1,…,bkmoĪna najlepiej estymowaü korzystając z algorytmu Burga. Potrzebne jed-nak jest do tego specjalistyczne oprogramowanie. Prostszą metodą jest rozwiązanie układu równaĔ Yule’a-Walkera ݎଵൌ ܾଵ ܾଶݎଶ ڮ ܾݎିଵ ݎଶൌ ܾଵݎଵ ܾଶ ڮ ܾݎିଶ ڮ ݎ ൌ ܾଵݎିଵ ܾଶݎିଶ ڮ ܾ (7)
gdzie ri, i = 1,…,k jest współczynnikiem autokorelacji rzĊdu i, wyznaczanym ze wzoru ݎൌ σ ൫ௗିௗ൯൫ௗశିௗ൯
ష సభ
ሺିሻ σసభ൫ௗିௗ൯మ
, (8)
przy czym n jest liczbą obserwacji w próbce róĪnic wykorzystywanych do estymacji, a ݀ jest wartoĞcią Ğrednią róĪnic di w tej próbce. WartoĞci funkcji autokorelacji moĪna w prosty sposób obliczyü wykorzystując narzĊdzie „Korelacje” w analizie danych programu Excel. Z kolei, układ równaĔ (8) moĪna rozwiązaü korzystając z narzĊdzia „Solver” tego programu. Po zidentyfikowaniu modelu autoregresji dla róĪnic, tzn. oszacowaniu wartoĞci parametrów b1,…,bk,, wyznaczamy resi-dua ze wzoru
ݖାଵൌ ݀ାଵെ ܾଵ݀ ܾଶ݀ିଵ ڮ ܾ݀ିǡ ݊ ൌ ݇ǡ ǥ. (9)
Wyznaczone w ten sposób wartoĞci wykorzystujemy do konstrukcji karty Shewharta, na której bĊdziemy nanosili wartoĞci residuów wyznaczonych jako róĪnice pomiĊdzy wartoĞciami di i ich wartoĞciami przewidywanymi obliczonymi ze wzoru (6).
Analizując przebiegi na karcie Shewharta dla róĪnic naleĪy pamiĊtaü, Īe badamy na niej stabil-noĞü procesu dla róĪnic. Tak wiĊc zidentyfikowane rozregulowania bĊdą dotyczyły przypadków zbyt duĪych zmian wartoĞci monitorowanego procesu. W takiej sytuacji przesuniĊcie poziomu pro-cesu nie wykryte w momencie powstania lub bezpoĞrednio po tym, moĪe nie byü wykryte w póĨniejszym czasie. Jest to konsekwencja wspomnianej w poprzednim podpunkcie własnoĞci „dopasowywania siĊ” modeli predykcyjnych do napływających danych.
2. Przykłady zastosowania proponowanej metody
Rozpatrzmy dane dotyczące notowaĔ akcji mBank na warszawskiej giełdzie w ostatnich dwu miesiącach 2016 r., przedstawione na rys.1. PobieĪna analiza przebiegu notowaĔ w czasie wskazuje na jego niestacjonarnoĞü. Wniosek ten moĪna potwierdziü stosując odpowiednie testy statystyczne opisane np. w monografiach [2] i [7].
JeĪeli do analizy tych danych zastosujemy kartĊ Shewharta dla residuów, w której dla celów pre-dykcji wykorzystano Ğrednią przesuwną o okresie 5, to odpowiadający im przebieg na takiej karcie przedstawiono na rys.2. Widaü na nim wyraĨnie, Īe wahania notowaĔ tego papieru wartoĞciowego wokół jakiejĞ linii trendu są w miarĊ stabilne za wyjątkiem jednego punktu. Patrząc na rys.1 moĪemy zauwaĪyü, Īe dotyczy on „odbicia” ceny akcji od doĞü niskiego poziomu. Widaü tu wyraĨnie na
czym w tym przypadku polega niestabilnoĞü: „odbicie” było wiĊksze niĪ moĪna by było to przewidzieü.
Rysunek 1. Notowania akcji mBank w kocu 2016 r ħródło: opracowanie własne.
Rysunek 2. Karta kontrolna residuów dla notowa akcji mBank ħródło: opracowanie własne.
Rysunek 3. Wykres rónic w kolejnych notowaniach akcji mBank ħródło: opracowanie własne.
Ğ Ŷ Ă Ă Ŭ Đũ ŝ EƌƐĞƐũŝ + + Z Ğ Ɛŝ Ě Ƶ Ă ǁ ŵ Ž Ě Ğ ůƵ ĐĞ Ŷ EƌƐĞƐũŝ + + Z ſ ǏŶ ŝĐ Ğ Đ Ğ Ŷ Ă Ŭ Đũ ŝ EƌƐĞƐũŝ
Jak widaü, obserwujemy stabilne zachowanie tego procesu, który moĪe byü opisany procesem autoregresji czwartego rzĊdu o parametrach (-0,141 -0,061 -0,149 0,117). JeĞli tak zidentyfikowany proces wykorzystamy do konstrukcji odpowiedniej karty residuów, to uzyskamy przebieg przedsta-wiony na rys.4. Łatwo zauwaĪyü, Īe przebieg pokazany na rys.4 potwierdza nasze wnioski, które wyciągnĊliĞmy analizując kartĊ Shewharta przedstawioną na rys.2.
Rysunek 4. Karta kontrolna residuów dla rónic w notowaniach akcji mBank ħródło: opracowanie własne.
Podsumowując przeprowadzoną powyĪej analizĊ moĪna sobie zadaü pytanie, czy zauwaĪona niestabilnoĞü w przebiegu notowaĔ akcji mBank wynika z przyczyn, które moĪna przypisaü temu konkretnemu bankowi, czy teĪ jest powiązana ze zjawiskami dotyczącymi zachowywania siĊ GPW w koĔcu 2016 r. W tym celu przenalizowaliĞmy dane obliczone w postaci ilorazów cen akcji mBank do odpowiednich wartoĞci indeksu giełdowego WIG20.
Rysunek 5. Wykres wska nika cena mBank / notowanie WIG20 ħródło: opracowanie własne.
+ + + Z Ğ Ɛŝ Ě Ƶ Ă ǁ ŵ Ž Ě Ğ ůƵ ƌ ſ njŶ ŝĐ ĐĞ Ŷ EƌƐĞƐũŝ Ğ Ŷ Ă ͬt /' Ϯ Ϭ EƌƐĞƐũŝ
Wyniki tych obliczeĔ zostały przedstawione na rys.5, a odpowiednie róĪnice dla tak obliczo-nych wskaĨników na rys.6. Okazuje siĊ, Īe przedstawione na rys.6 róĪnice opisane są prostym procesem autoregresji pierwszego rzĊdu o współczynniku autoregresji równym -0,262. Mamy wiĊc do czynienia w tym przypadku z danymi praktycznie nieskorelowanymi, co moĪe wzmacniaü wnio-ski uzyskane z analizy odpowiedniej karty Shewharta.
Rysunek 6. Wykres rónic wska nika cena mBank / notowanie WIG20 ħródło: opracowanie własne.
Rysunek 7. Karta kontrolna residuów dla wska nika notowa akcji mBank ħródło: opracowanie własne.
W celu sprawdzenia w jakiej mierze zaobserwowana niestabilnoĞü jest związana z zachowa-niem siĊ akcji mBank przeanalizujmy odpowiednie karty Shewharta. Na rys.7 przedstawiony jest przebieg dla rozpatrywanego wskaĨnika z wykorzystaniem Ğredniej przesuwnej dla celów predykcji, a na rys.8 przedstawiony jest przebieg karty Shewharta residuów dla kolejnych róĪnic obliczonego wskaĨnika. Z analizy tych wykresów wynika, Īe niestabilnoĞü notowaĔ akcji mBank tylko w nie-wielkiej mierze (patrz rys.7) była uzaleĪniona od zachowania siĊ notowaĔ na GPW. Potwierdza to w sposób zdecydowany analiza przebiegu przedstawionego na rys.8.
+ + Z ſ ǏŶ ŝĐ Ğ Đ Ğ Ŷ Ă ͬt /' Ϯ Ϭ EƌƐĞƐũŝ + + Z Ğ Ɛŝ Ě Ƶ Ă ǁ ŵ Ž Ě Ğ ůƵ ĐĞ Ŷ Ă ͬt /' Ϯ Ϭ EƌƐĞƐũŝ
Rysunek 8. Karta kontrolna residuów dla rónic wska nika notowa akcji mBank ħródło: opracowanie własne.
3. Podsumowanie
W pracy przedstawiono prostą metodĊ badania stabilnoĞci procesów niestacjonarnych. Za nie-stabilne uznano takie procesy, które w pewnych momentach czasu zachowują siĊ w istotny sposób inaczej od tego, czego moĪna by było siĊ spodziewaü analizując ich dotychczasowe zachowanie. Do wykrywania tak okreĞlonych niestabilnoĞci zaproponowano wykorzystanie dwu rodzajów karty kontrolnej residuów Shewharta. W pierwszym przypadku, porównywano wartoĞci zaobserwowane z ich przewidywanymi wartoĞciami uzyskanymi metodą Ğredniej przesuwnej. W drugim przypadku, do analizy wykorzystano róĪnice pomiĊdzy kolejnymi wartoĞciami obserwowanego procesu, a prze-bieg ich zmian w czasie modelowano za pomocą procesu autoregresji. Zaproponowaną metodĊ zweryfikowano na przykładzie rzeczywistych danych giełdowych.
+ + Z Ğ Ɛŝ Ě Ƶ Ă ǁ ŵ Ž Ě Ğ ůƵ ƌ ſ ǏŶ ŝĐ ĐĞ Ŷ Ă ͬt /' Ϯ Ϭ EƌƐĞƐũŝ
Bibliografia
[1] Alwan L., Roberts H., Time-series modeling for statistical process control, Journal of Business & Economic Statistic, v.8 (1988), 87–95.
[2] Box G.E.P, Jenkins G.M., Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i sterowanie, PWN, Warszawa 1983 (ostatnie, zmienione i rozszerzone, wydanie w jĊz. angielskim, 2015). [3] Hastie T. Tibshirani R, Friedman J., The Elements of Statistical Learning. Data Mining,
Inference, and Prediction. Springer, Berlin 2009.
[4] Hryniewicz O., Nowoczesne metody statystycznego sterowania jakoci, Omnitech Press, Warszawa, 1996.
[5] Hryniewicz O., Monitoring of short series of dependent observations using a XWAM control chart, w: Frontiers in Statistical Quality Control 10, H.-J. Lenz, W. Schmid, P.-T. Wilrich (Red.), Springer, Berlin 2012.
[6] Hryniewicz O., On the robustness of the Shewhart control chart do different types of dependencies in data, w: Frontiers in Statistical Quality Control 12, S. Knoth, W. Schmid (Red.), Springer, Berlin 2017 (w druku).
[7] Kozłowski E., Analiza i identyfikacja szeregów czasowych, Politechnika Lubelska, Lublin 2015.
[8] Montgomery D.C., Introduction to Statistical Quality Control, 6th Edition, J.Wiley, New York 2009.
SIMPLE METHOD FOR DETECTION OF INSTABILITIES IN BEHAVIOR OF PROCESSES
Summary
In the paper we have proposed a simple method for monitoring of processes – a Shewhart control chart for residuals – for detection of significant and non-random instabilities in the behavior of processes described by non-stationary time series. Keywords: non-stationary time series, Shewhart control chart, detection of instabilities
Olgierd Hryniewicz
Instytut BadaĔ Systemowych PAN
WyĪsza Szkoła Informatyki i Zarządzania w Warszawie Wydział Informatycznych Technik Zarządzania e-mail: hryniewi@ibspan.waw.pl
