wyklad 4 (K.Fialkowski) (doc)

MASY NEUTRIN

Możliwości wprowadzenia masy:

1. Masa Diraca: człon w Lagrangianie postaci 'MD _L' h.c. R      D L , gdzie ’ to

macierze kolumnowe (mogą zawierać nie tylko znane neutrina z SM, ale i „sterylne”), a MD _to

(niediagonalna, zespolona ?) macierz mieszania, którą można wyrazić przez diagonalną m i dwie unitarne jako _{ VmU}

MD . Wtedy    i i i i D _m L , gdzie   i ki iL kL U  '  _.

Zatem neutrina o określonej masie są kombinacjami neutrin o określonym „zapachu”, zachowana jest tylko całkowita liczba leptonowa  

i Li

L .

Masy Diraca dla 3 neutrin to najprostsza wersja (R w SM nie

oddziałują) ale trudno zrozumieć tak małe wartości mas, jakie są w danych. 2.Masa Majorany: człon w L to

. . ' ) ' ( 2 1 c h MM _L C L M _{    } L , gdzie _{( )' C ' , ( )'  '}T_C1 L C L T L C L     , a C to macierz sprzężenia ładunkowego C TC  CT C , 1     .

(Macierze  to 4 macierze Diraca,

Można udowodnić, że (MM₎T_{= M}M_.

Zatem do diagonalizacji wystarczy jedna macierz unitarna _MM _UMM_U i

   i i i i M _m 2 1

L , gdzie pole neutrina o masie

mi spełnia warunek Majorany iT C

i

i  C

   i

„lewe” pole o określonym zapachu wyraża się przez pole o określonej masie  

i ki iL kL U 

 ' .

Tym razem neutrino nie ma żadnej liczby leptonowej, jest „całkowicie neutralne”, czyli tożsame antyneutrinu 3. Ogólniej: masa Diraca i Majorany. W kolumnie „lewych” pól oprócz 3 neutrin także 3 prawe sprzężone, bo

C L T C R  C    (1 )  2 1 )

( 5 . Wtedy człon masowy

jest sumą członów „lewego” i „prawego” Majorany oraz członu Diraca: ' ) ' ( 2 1 . . 2 1 ) ( 2 1 L M D C L C R M R R L D R L M L C L M D M c h M M M                   L gdzie ostatnia macierz ma wymiar 66

(wszystkie macierze są zespolone, a Majorany symetryczne).

Diagonalizacja wymaga też macierzy 66, tak pola „lewe”, jak i sprzężone prawe wyrażają się przez 6 pól o określonych masach.

Teraz możliwe wyjaśnienie „hierarchii mas” przez „mechanizm huśtawki”. Jeśli M 0

L

M , to dla 1 zapachu przy .

.c h m _{R L}

D _   _

L (z masą rzędu mas

kwarków) i ( ) . . 2 1 c h M C R R M R     L (z masą

„spoza SM”: MMGUT) dostaniemy

        M m m MD M 0 , a po diagonalizacji m M m M M m m M m m M M m            2 / 4 2 / / 2 / 4 2 / 2 2 2 2 2 2 1

Zatem jeśli oprócz „zwykłego” (z SM) mechanizmu Higgsa generującego masy rzędu mas kwarków mamy inny, zmieniający L o

2 i generujący masy rzędu mas

unifikacji, to jedno z neutrin przez mieszanie uzyskuje masę o wiele

rzędów poniżej „zwykłej”. Kąt

mieszania jest dany z

tg2=2m/M<<1. Dla 3 generacji będą

3 małe masy (jak chcą dane) i 3 bardzo duże masy (nieobserwowalne obecnie, mogą pomóc w asymetrii barionowej Wszechświata).

Niezerowe masy neutrin i ich mieszanie prowadzą do oscylacji.

Np. po rozpadzie  powstaje neutrino elektronowe, które jest kombinacją neutrin o określonej masie. Ogólnie dla neutrina o kreślonym zapachu (lub

sterylnego) mamy i i U i     . Po czasie t stan taki to i i t iE i iHt t i e U e   _   _  _  , gdzie ). ( ) 2 /( 2 2 2 2 2 i i i i p m p m p p m E      Rejestrując neutrino

przez jego oddziaływanie wybieramy zwykle znów stan o określonym zapachu. Prawdopodobieństwo, że dostaniemy stan ' to kwadrat

amplitudy . ) 1 ( ) ( 2 2 2 / ' ' ' 2 1          i E L m i i i i e U U P_ _ _{  } Oscylacje

pojawią się, jeśli dla choć jednego i mamy 2 / 1

1 

mi L E . Dla zachowanego CP i

mas Diraca U=U*, a dla mas Majorany U=U*, zależnie od CP

neutrina. Przy mieszaniu 3 neutrin w macierzy mieszania 3 kąty i 1 faza, np. dla UD                      cos cos ... ... sin cos ... ... sin sin cos cos cos 13 23 13 13 12 13 12 13 i e gdzie ... wynikają z unitarności.

Można pokazać, że dla mas Majorany

UM_=UD_S(_{), gdzie} ik i ik i e S () (1) . Zatem amplituda przejścia ma taką samą parametryzację, badanie oscylacji nie pozwala odróżnić neutrin Diraca i Majorany.

Najprostsze oscylacje: dla 2 neutrin w próżni, tylko 1 kąt mieszania w U,

) 2 cos 1 ( 2 sin 2 1 ) ( 2 2 ' E L m P_ _     dla ’, a dla

„przeżycia” P( )1P( _'). Stąd nazwa

„oscylacje”. Ich długość to

] [ [MeV] m 48 . 2 4 _{2 2 2} 0 eV m E m E L       .

W rzeczywistych sytuacjach rozmycie energii dla dużych odległości może skasować człony oscylujące, tylko  mierzalne (np. w P()).

Mieszanie i oscylacje inne w materii (Wolfenstein, Michiejew, Smirnow). Skoro dla różnych zapachów różne przekroje czynne, różna propagacja. Dla amplitudy prawdopodobieństwa znalezienia zapachu  w chwili t A(t)

mamy     '( 0 1) ' '( ) ) (     _{H H A t} t t A i .

) 2 / ( ' ) ( 2 ' 0 ' 0 p m p E U E U H H i i i i i i           

Elementy H1 dla NC takie same dla

wszystkich zapachów, więc tylko CC odróżnia e (tylko e są w materii).

(H1)ee2GFe. Dla 2 neutrin             cos sin sin cos U , a cały H=              A m m m A m p     2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 4 1 2 2 2 2 gdzie A2 2G_F_ep.

Z diagonalizacji wartości własne Em

1,2= 2 2 2 2_{cos2 ) ( sin2 )} ( 4 1 _{ }  m A  m  i kąt mieszania z A m m m        2 cos 2 sin 2 tan ₂ 2 .

Zatem w oscylacjach mamy

) cos 1 ( 2 sin 2 1 ) ( 2 ' E L Pm _ _ m _{ } m   gdzie m m m _{E E} E  ₂  ₁  , a długość korelacji to

2 2 2 2 0 ) 2 sin ( ) 2 cos ( 4    m A m p Lm    

 Oczywiście dla A=0

wyniki jw., ale ogólnie mogą być

bardzo różne, np. dla

A=m2_cos2m_{/4 niezależnie od}

.

Jeśli gęstość zmienna (ale powoli), przybliżenie adiabatyczne daje (po długich rachunkach) dla „przeżycia”

2 / )] 0 ( 2 cos ) ( 2 cos 1 [ ) ( m m e e x P      gdzie 0 to punkt

produkcji, a x punkt „opuszczenia materii”. Jeśli neutrina powstają w bardzo gęstej materii, to zwykle znak obu kątów różny i P<1/2

To jedno z możliwych tłumaczeń deficytu neutrin słonecznych.