Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Mirosław Sobolewski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW
9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzie ´n 2011
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzie ´n 2011 1 / 14
Definicja
Macierz A = [aij] ∈Mn×n(R) nazywamydiagonaln ˛aje´sli dla ka˙zdej pary ró˙znych indeksów i, j,(tzn. i 6= j), aij =0, tzn. gdy
A =
a11 0
. ..
0 ann
Przykład
Macierze diagonalne
1 0 0 0 3 0 0 0 6
,
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 5 0
0 0 0 −1
Definicja
Macierz A = [aij] ∈Mn×n(R) nazywamydiagonaln ˛aje´sli dla ka˙zdej pary ró˙znych indeksów i, j,(tzn. i 6= j), aij =0, tzn. gdy
A =
a11 0
. ..
0 ann
Przykład
Macierze diagonalne
1 0 0 0 3 0 0 0 6
,
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 5 0
0 0 0 −1
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzie ´n 2011 2 / 14
Twierdzenie
Niech ϕ : V → V b ˛edzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V , za´s A = v1, . . . ,vn niech b ˛edzie baz ˛a V . Wówczas M(ϕ)A jest diagonalna
⇔ ka˙zdy wektor bazy A jest wektorem własnym endomorfizmu ϕ. Przy tym, je´sli A jest diagonalna to aii jest warto´sci ˛a własn ˛a odpowiadaj ˛ac ˛a vi, tzn., ϕ(vi) =aiivi.
Dowód:na tablicy
Przykład
Niech endomorfizm ϕ : R2→ R2, b ˛edzie okre´slony przez ϕ((x1,x2)) = (x1− 3x2,x1+5x2).
m(ϕ)st =
1 −3
1 5
, wϕ=det
1 − λ −3 1 5 − λ
= (1−λ)(5−λ)+3 =, λ2− 6λ + 8 = (λ − 2)(λ − 4), sk ˛ad warto´sci własne λ1=2, λ2=4.
Wyznaczamy podprzestrzenie własne:
V(2):
−1 −3
1 3
·
x1 x2
=
0 0
⇔ x1= −3x2, czyli V(2)= {(−3x2,x2)|x2∈ R} = lin((−3, 1))
V(4):
−3 −3
1 1
·
x1 x2
=
0 0
⇔ x1= −x2, czyli V(4)= {(−x2,x2)|x2∈ R} = lin((−1, 1))
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzie ´n 2011 4 / 14
Przykład
cd. Układ A = ((−3, 1), (−1, 1)) jest baz ˛a R2, M(ϕ)A=
2 0 0 4
, gdy˙z ϕ((−3, 1)) = 2(−3, 1) + 0(−1, 1), ϕ((−1, 1)) = 0(−3, 1) + 4(−1, 1)
Twierdzenie
Niech α1, . . . , αk oznacza k ró˙znych warto´sci własnych endomorfizmu ϕ :V → V przestrzeni liniowej V , za´s A1, . . . , Ak niech stanowi ˛a k takich liniowo niezale˙znych układów wektorów z V , ˙ze je´sli v nale˙zy do Ai to ϕ(v ) = αiv , dla i = 1, . . . , k . Wówczas układ A powstały z
poł ˛aczenia układów Ai w jeden jest liniowo niezale˙zny.
Przykład
cd. Układ A = ((−3, 1), (−1, 1)) jest baz ˛a R2, M(ϕ)A=
2 0 0 4
, gdy˙z ϕ((−3, 1)) = 2(−3, 1) + 0(−1, 1), ϕ((−1, 1)) = 0(−3, 1) + 4(−1, 1) Twierdzenie
Niech α1, . . . , αk oznacza k ró˙znych warto´sci własnych endomorfizmu ϕ :V → V przestrzeni liniowej V , za´s A1, . . . , Ak niech stanowi ˛a k takich liniowo niezale˙znych układów wektorów z V , ˙ze je´sli v nale˙zy do Ai to ϕ(v ) = αiv , dla i = 1, . . . , k . Wówczas układ A powstały z
poł ˛aczenia układów Aiw jeden jest liniowo niezale˙zny.
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzie ´n 2011 5 / 14
Wniosek
Niech V – n-wymiarowa przestrze ´n liniowa, ϕ : V → V – endomorfizm, α1, . . . , αs ∈ R wszystkie (parami ró˙zne) warto´sci własne
endomorfizmu ϕ. Wówczas:
(i) Je´sli v1. . . ,vs ∈ V oraz dla i = 1, . . . , s zachodzi ϕ(v ) = αiv to układ v1, . . . ,vs jest liniowo niezale˙zny.
(ii) dim V(α1)+. . . + dim V(αs) ≤dimV .
(iii) dim V(α1)+. . . + dim V(αs)=dimV ⇔ istnieje baza przestrzeni V zło˙zona z wektorów własnych endomorfizmu ϕ ⇔ endomorfizm ϕ ma w pewnej bazie macierz diagonaln ˛a.
Uwaga: Jako baz ˛e w cz ˛e´sci (iii) powy˙zszego twierdzenia wystarczy wzi ˛a´c układ powstały z poł ˛aczenia baz poszczególnych V(αi). Przykład
Niech endomorfizmϕ : R3→ R3b ˛edzie okre´slony wzorem ϕ((x1,x2,x3)) = (2x1+x2,3x2+x3,2x3).
Przykład (cd) M(ϕ)st =
2 1 0 0 3 1 0 0 2
wϕ =det
2 − λ 1 0
0 3 − λ 1
0 0 2 − λ
= (2 − λ)(3 − λ)(2 − λ) = (2 − λ)2(3 − λ). Warto´sci własne: 2,3.
V(2):
0 1 0 0 1 1 0 0 0
·
x1 x2 x3
=
0 0 0
,x2=0, x3=0, V(2)= {(x1,0, 0)|x3∈ R} = lin((1, 0, 0))
V(3):
−1 1 0
0 0 1
0 0 −1
x1 x2 x3
=
0 0 0
,x1=x2,x3=0,
V(3)=lin((1, 1, 0)). dimV(2)+dimV(3)=1 + 1 = 2 6= 3 =dim R3. Zatem dla ˙zadnej bazy A przestrzeni R3macierz M(ϕ)A nie jest diagonalna.
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzie ´n 2011 7 / 14
Wniosek
Niech V przestrze ´n liniowa, dimV = n. Je´sli endomorfizm ϕ : V → V ma n ró˙znych warto´sci własnych to istnieje w V baza zło˙zona z wektorów własnych ϕ.
Definicja
Mówimy, ˙ze macierz A ∈ Mn×n(R) jestdiagonalizowalna, je´sli A jest podobna do macierzy diagonalnej nale˙z ˛acej do Mn×n(R), tzn. je´sli istnieje taka macierz odwracalna C ∈ Mn×n(R), ˙ze macierz C−1AC jest diagonalna.
Twierdzenie
Macierz A ∈ Mn×n(R) jest diagonalizowalna ⇔ dla endomorfizmu ϕ : Rn→ Rn zadanego warunkiem M(ϕ)st =A istnieje baza przestrzeni Rnzło˙zona z wektorów własnych endomorfizmu ϕ.
Ponadto, je´sli A jest tak ˛a baz ˛a to dla C = M(id )stA macierz C−1AC jest diagonalna.
Przykład 1. Macierz
A =
1 −3
1 5
jest diagonalizowalna. Endomorfizm ϕ((x1,x2)) = (x1− 3x2,x1+5x2) ma dwie warto´sci własne 2 oraz 4. Wyliczyli´smy V(2)=lin((−3, 1)), V(4)=lin((−1, 1)). Dla A = ((−3, 1), (−1, 1)) przyjmuj ˛ac C = M(id )stA mamy
D =
2 0 0 4
=M(ϕ)A=M(id )AstM(ϕ)ststM(id )stA =C−1AC, za´s
C =
−3 −1
1 1
oraz C−1=
−1/2 −1/2 1/2 3/2
.
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzie ´n 2011 9 / 14
Przykład 2. Macierz
2 1 0 0 3 1 0 0 2
nie jest diagonalizowalna, bo dla endomorfizmu ϕ : R3→ R3, okre´slonego przez
ϕ((x1,x2,x3)) = (2x1+x2,3x2+x3,2x3)nie ma bazy R3zło˙zonej z wektorów własnych ϕ.
Zastosowanie Niech
A =
1 −3
1 5
.
Poda´c wzór na An. Stosuj ˛ac oznaczenia przykładu 1. mamy A = CDC−1, An= (CDC−1)n=CDnC−1=
C ·
2 0 0 4
n
· C−1=
−3 −1
1 1
2n 0 0 4n
−1/2 −1/2 1/2 3/2
=
2n−1(3 − 2n) 3 · 2n−1(1 − 2n) 2n−1(2n− 1) 3 · 2n−1(2n− 1)
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzie ´n 2011 11 / 14
Twierdzenie
Je´sli wielomian charakterystyczny wM macierzy M stopnia n ma n ró˙znych pierwiastków to macierz M jest diagonalizowalna.
Przykład macierzy
1 0 0 1
wskazuje, ˙ze niekoniecznie na odwrót.Uwaga: Macierz A = [aij] ∈Mn×n(R)nazywamy macierz ˛a symetryczn ˛a, je´sli aij =aji czyli A>=A.
Twierdzenie
Macierze symetryczne s ˛a diagonalizowalne. Przykład
Macierz
1 0 2
0 −1 0
2 0 4
jest symetryczna, wi ˛ec jest diagonalizowalna
Twierdzenie
Je´sli wielomian charakterystyczny wM macierzy M stopnia n ma n ró˙znych pierwiastków to macierz M jest diagonalizowalna.
Przykład macierzy
1 0 0 1
wskazuje, ˙ze niekoniecznie na odwrót.
Uwaga: Macierz A = [aij] ∈Mn×n(R)nazywamy macierz ˛a symetryczn ˛a, je´sli aij =aji czyli A>=A.
Twierdzenie
Macierze symetryczne s ˛a diagonalizowalne. Przykład
Macierz
1 0 2
0 −1 0
2 0 4
jest symetryczna, wi ˛ec jest diagonalizowalna
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzie ´n 2011 12 / 14
Twierdzenie
Je´sli wielomian charakterystyczny wM macierzy M stopnia n ma n ró˙znych pierwiastków to macierz M jest diagonalizowalna.
Przykład macierzy
1 0 0 1
wskazuje, ˙ze niekoniecznie na odwrót.Uwaga: Macierz A = [aij] ∈Mn×n(R)nazywamy macierz ˛a symetryczn ˛a, je´sli aij =aji czyli A>=A.
Twierdzenie
Macierze symetryczne s ˛a diagonalizowalne.
Przykład Macierz
1 0 2
0 −1 0
2 0 4
jest symetryczna, wi ˛ec jest diagonalizowalna
Przykład Macierze A =
1 0 0 −1
oraz B =
0 −1
1 0
nie s ˛a podobne, gdy˙z maj ˛a ró˙zne wielomiany charakterystyczne. Macierze C =
1 0 0 2
oraz D =
2 1 0 1
s ˛a podobne, gdy˙z sa diagonalizowalne i maj ˛a te same warto´sci własne z tymi samymi krotno´sciami. Macierze E =
0 1 0 0
oraz F =
0 0 0 0
maj ˛a te same wielomiany
charakterystyczne, a zatem te same warto´sci własne (z krotno´sciami), ale nie s ˛a podobne. F jest diagonalizowalna, E – nie.
Twierdzenie
Je´sli macierze A i B s ˛a podobne, i macierz A spełnia po podstawieniu za X równanie anXn+an−1Xn−1+ · · · +a1X + a0I =0, gdzie
an,an−1, . . . ,a0∈ R, to B spełnia równie˙z to samo równanie po podstawieniu za X .
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzie ´n 2011 13 / 14
Przykład Macierze A =
1 0 0 −1
oraz B =
0 −1
1 0
nie s ˛a podobne, gdy˙z maj ˛a ró˙zne wielomiany charakterystyczne. Macierze C =
1 0 0 2
oraz D =
2 1 0 1
s ˛a podobne, gdy˙z sa diagonalizowalne i maj ˛a te same warto´sci własne z tymi samymi krotno´sciami. Macierze E =
0 1 0 0
oraz F =
0 0 0 0
maj ˛a te same wielomiany
charakterystyczne, a zatem te same warto´sci własne (z krotno´sciami), ale nie s ˛a podobne. F jest diagonalizowalna, E – nie.
Twierdzenie
Je´sli macierze A i B s ˛a podobne, i macierz A spełnia po podstawieniu za X równanie anXn+an−1Xn−1+ · · · +a1X + a0I =0, gdzie
an,an−1, . . . ,a0∈ R, to B spełnia równie˙z to samo równanie po podstawieniu za X .
Przykład
Macierz ˛a obrotu o k ˛at π/2 w bazie standardowej jest M =
0 −1
1 0
. Mo˙zemy sprawdzi´c, ˙ze spełnia ona równanie X2+I =0. Natomiast macierz N =
√
2/2 −√
√ 2/2
2/2 √
2/2
(macierz obrotu o k ˛at π/4) nie spełnia tego równania. Macierze M i N nie s ˛a wi ˛ec podobne.
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzie ´n 2011 14 / 14