Postawa jednostki wobec ryzyka w różnych ujęciach teoretycznych

Pełen tekst

(1)2002 w. Ilona Ćwięczek Katedra. MatemDłykl. Postawa jednostki wobec ryzyka w różnych ujęciach teoretycznych l. Wprowadzenie W s półczes n a ekonomia,jako j edna z nieli cznych nauk s poł eczn yc h , w proces ie swoj ego rozwoju w ypracowa ł a bogaty aparat matematyczny, który obecnie określa jej s trukturę t eoret ycz ną 17]. Dotyczy 10 aksjomatyzacji teorii e konomicznych w jakościowym aparacie o charakt erze mno go ściowo- t o p o logiczno-stoch astycznym, która stanowi teoret ycz n ą p od s tawę obec nej ekonomi i. Proces matematyzacj i odnosi s ię zarówno do nauki jako ca lości, jak i konkretnyc h jej dyscyplin , wy posażając j e w os iągn i ęcia z dz iedziny matematyki i budząc przy tym wie le kontro wersji . Wyróż ni a s i ę w nim trzy formy malematyzacj i: wyników poznawczych , m et odo l ogiczną oraz s trukturalną . Matematyzacj a teorii ekono mi cznej osiąg n ę ła naj wyższą metodo logicznie fo rm ę w latach 50 ., polegająq na aksjomatyzacji podstawowych d zialów e ko+ nomii. Objęła ona m.in. t eo rię preferencji , ogólnej równowagi ekonomi cznej , rynków finansowyc h, wyborów spo ł ecz n yc h. Prekursorami w tej dzi ed zi ni e by li m .in. [7]: A. Wald , O . Morgenstcrn , G. Oebreu, a także J. von Neum ann , kt óry w ce lu analizy procesów gospodarczych skon st ru ował nowy aparat poję+ c iowy teorii g ie r. Przykła d e m mate matyzacji jest niewątp l iwie teoria pre ferencji . zw iqzunu z nią teoria u ży t eczności o raz teoria ryzyka. W nini ejszym artyku le, któ ry ma charakter przeglądowy, podjęto próbę przedstawienia, w jaki sposób mode l, określo n y przez zbiór możl i wych planów działania i związany c h z tymi dzialaniami konsekwencji . przyj muje pos t ać uporlądkowanego systemu t w ierd ze ń . W szczegó l no śc i dokonano ana lizy m ożl i wych postaw,jakie podmioty gospodarcze ujaw n iają wobec ryzyka. Niezbędną ana li zę poj ęcia ryzyka i sposobów jego pomiaru przedstawi ono w dw óch ujęci ach : em piryczno-indukcyjny m i ak sjomatyczno-dedukcyj ny m . Przytoczono powszechnie stosowane miary ry zyka oraz zas adę maksymaliza-.

(2) Ifona. cji oczeki wanej użyteczności. Omów iono równ i eż własności funkcji użytecz nośc i , w szczegó ln ości jej typy odpow i adające różnym postawo m decydent ów wobec ryzyka, tj. awersji, neutralności i sk łonn ośc i do podejmowan ia ryzyka. Podjęto równ i eż próbę aksjomatyzacj i powyższych pojęć w abstrakcyjnej przestrzeni, jaką jest przestrzeń probal istyczna (n , F) i okreś l o ny w niej r ozk ład prawdopodobieństwa P. W proces ie matematyzacji przedmiot badani a przyjmuje postać modelu formalnego. Teoria u żyteczności w warunkach niepewności i ryzyka opisuje klasę takich modeli. Dlat ego też, ze wzg l ędu na dużą ich liczbę. ograni czono s i ę do anal izy teorii von Ncumanna-Morgenstcrna, przeds ta wiając jego l ogicz n ą isto t ę. W tym ko nt ekście przedstawiono rozumienie ryzyka gospodarczego op isanego za pomocą ścis ł ego aparatu matematycznego o pi e rającego s i ę na teorii u ży t ecz ności w warunkach ryzyka. W postaci aksjomatów przedstawiono stosow ne warunki dla relacji preferencji indyw idualnych p ozwa l ające skonstruować jej re p reze nt ację poprzez ocze ki waną użyteczność oraz przyjęte w literaturze przedmiotu definicje. Przytoczono także najważ niejsze w tym zakresie wyn ik i prac K.J. Arrowa, J.W. Pratta. S.A. Rossa oraz M .J . Machi ny i W.S. Neilsona a także omów iono zw iq zk i p o mi ędzy nimi w postaci warunków rów noważnyc h.. 2.. Ulęcle. emplryczno-Indukcylne. Wszelka d zia ł a l ność gospodarcza nierozerwalnie jest zwiqzana z ryzykiem. jakie podejmuje konsument, producent czy inwes tor w swy m procesie decyzyj nym . Stą d ana liza m oż liw yc h postaw . jakie podmioty gospodarcze ujawniają wobec ryzy ka. nie może pomi n ąć analizy poję.c i a ryzyka. którego jako zjawiska obiektywnego nie da s i ę. wyelim i nować z działalności gospodarczej. Samo oszacowa nie wie lkości ryzyka ma podstawowe znaczenie w podejmowaniu decyzji. któryc h konsekwencje na s tąpią w przyszłości. Pozwala to przede wszystk im ogra ni czyć ryzyko (np . na rynku finansowym przez odpowiednią konstrukcję portfela). Ana liza ryzyka z jednej strony n a l eży do bardziej dynami cznie rozwij ają cych się dziedzin nauki , a obecne , nowoczesne rozumie ni e ryzyka gos podarczego opisa ne jest za pom ocą ścis ł ego aparatu matematycznego. Z drugiej strony charakteryzuje ją różno rodność pod ej ść w postrzeganiu i defi niowaniu ryzy ka, które ma różn e znaczenie w za l eżnośc i od kontekstu. Najczęśc i ej pod pojęciem ryzy ka rozum ie s ię moż l iw ość wys tąp ien i a n iepożądanego zdarzenia (wyniku realizacji decyzji). Częs to utożsam iane jest ono wprost z prawdopodobi enstwem ponies ie ni a straty . Ryzyko definiuje s i ę ta k że jako d yspresję moż liwy c h wyników wok ó ł wyni ku oczekiwanego (np. zwrotu) lub możliwość odc hylen ia s ię przysz ł yc h wy ników (np. zysków) od wyników (zysków) oczekiwanych. Do pod stawowych ź róde ł ryzyka za li cza się zarówno czynn iki makroekonomiczne, takie jak in nacja i ogólne warunki gospodarowania, jak i czy nniki mikroekonom iczne . do których n a l eżą czynniki charakterys tyczne.

(3) wobec. dla sektora, w którym d z iała dane prze d s iębiors tw o oraz czynni ki specyficzne dla samego przedsiębiorstwa. Pow szec hni e stosowanymi narzędziami w ana lizie ryzyka są metody probalistyczne. W ujęciu probal istycznym m ożna wyróżnić dwie orientacje: jedn.], sk upiaj"C'l s ię na określen i u wielko śc i ryzyka ("porządkową") oraz drugą. która dąży do pomiaru ryzyka (.,fu nk cjonalną") . Do najczęściej stosowanych miar ryzyka nal eży wariancja, odchy lenie standardowe oraz współczynnik zm i e nn OŚCI.. Warunki ryzyka to takie, w których znane jest prawdopodobieństwo wys t ę powania poszczególnych stanów natury. Wówczas kryteria podejmowania decyzji uw zg lędniaj ą nie tylko wyniki, ale równi eż prawdopodobier'tstwa ich wyst,}pien ia. Szacowan ie ro zk ładu możliwych wyników podjętych działań jest pierwszym eta pem w procesie podejmowania decyzji. Wygodnie jest przyjąć sko kową z mi e nn'll osową. Zał óż my , że z podejmowaną decyzją związane jest ryzyko - istnieje bowiem 1/ m ożliwych wyników WI , i = I , ... ,1/ tej decyzji. Jeśl i , zgodnie z przewidywaniami, wyniki te mogą wyst,lpić z prawdopodobieństwami odpowiednio: Pl' ... ,Pn • wtedy wartość oczekiwana wyniku omawianej decyzji " wynosi E(\V) = L PiW,. Kryterium wartości oczekiwanej umożliwia decyden;. I. towi wybór taki ego wariantu działania, który pozwala maksymalizować wiclko ść oczekiwanego wyn iku. Nie uwzględnia jednak jego postawy wobec ryzyka i ma zastosowanie w wypadku osób, które w swych decyzjach opierajq się na wartoŚciach przecil:;tnych. Z badań empirycznych wynika jednak 181, że w sytuacji, gdy wielkość straty jest duża w porównaniu z posiadanymi zasobami, podejm ujący d zia ł anie nie są neutralni wobec ryzyka. W celu określenia postawy jednostki wobec ryzyka okreś la się pojęcie ekwiwalentności pewnośc i . W wypadku gry losowej jest to maksymalna wa rt ość. jaką osoba podejmująca g rę jest skłonna zapłacić za uczestnictwo w niej. Wybór pomiędzy tą wartością a podję c i em gry jest dla niej rzeczą obojętną. Powie my. że jednostka wykazuje niechęć do ryzyka,jeśl i ekwiwalent pewności dla d ziałania obarczonego ryzykiem jest niższy od oczekiwanej wartości jego wyniku. Za miarę ni cc hęci do ryzyka przyjmuje się wówczas wie l koŚć odchylenia jej ekwiwa lentu pewności od wartości oczekiwanej wyniku. R óżn ica ta okreś l a spadek wa rto ~ ści , który jest skutkiem wys t ępowania ryzyka, poni żej wartości oczekiwanej. Jej wielkość zależy od indywidualnych preferencji oraz od ska li ryzyka. Najczęściej stosowanym kryterium podejmowania decyzj i w warunkach ryzyka jest kryte rium oczekiwanej użyteczności. Po s ł ugiwan i e s i ę w analizie decyzyj nej zasadą oczekiwanej uży t ecznośc i pozwala wyce n iać re latywną wiclkość ryzyka, towarzy szącego różnym wyborom. O funk cji u żytecznośc i można pow i edzieć, że jest mi arą zadowolen ia, oce ną s ł u sz no śc i dokonanego wyboru, reprezentuje ona bowiem preferencje, które uwzględniają indyw idualne potrzeby, gusty i upodobania jednostek podejmującyc h dzia ł anie. Jej wyznaczen ie, na podstawie sposobu rozw i ązywania przez jednostkę problemów decy-.

(4) Ilona Ćwięczek. zyjnych, pozwo liłoby przew id zieć zachowanie decydenta w sytuacjach bardziej z lożon ych. Próby wyznaczenia funkcj i u żytecz n ośc i na podstawie eksperymentalnych badań zachowania s i ę inwestorów w typowych sytuacjach decyzyjnych nie przyniosły oczekiwanych rezultatów [3]. Wydaje s i ę jednak, że analiza wła s n ości różnych funkcji użyteczności może pomóc podejmujący m decyzje zg łę bić mechani zm racjonalnego wyboru. To z kole i prowad zi do odrzucenia niektórych decyzji, a w konsekwencji do zmniej szenia ryzyka. R ów ni eż z punktu wid zen ia psychol og ii klasy fikacja podmiotów gospodarczych ze wzg l ę du na stosu nek do ryzyka stanowi ważną i c i ekawą problematykę. Pomiar i wyznaczan ie funkcji użytecz n ośc i, poprzez przy po r ząd k owa ni e możliwym planom działania liczb rzeczywi stych zwanych u żytecznościa mi , pozwala upo r ządkowa ć zbiór możliwych dec yzji wedłu g preferencji konsumenta (użytecz n ość porządkowa) oraz na okrcślenie róż ni c pomiędzy możli wymi wybora mi poprzez arbitralnie wybrane punkty zerowe ( u ży teczność kardynalna). M ożna w te n sposób ustalać decyzje (wy niki dzia ła nia) o zadanej użyteczności lu b decyzje optymalne (o użyteczności największej). Fu nk cję użytecznośc i oczekiwanej można wyznacz yć za pomocą metody tzw. znorrnali zowanej gry hazardowej Uej procedurę podali von Neumann i Morgenstern). Aksjomaty i postulaty d o t yczące zachowa ń decydentów, pro wad zące do kryterium oczeki wanej użyteczności, to porównywalność i przechodniość oraz niezależność i ekwiwa lent pew nośc i. Dwa pierwsze aksjomaty dot ycz ą porządko wan ia wyników w waru nkach ryzyka. Po rów nywalność wyników pozbaw ionych czy nników ryzyka stanowi podstawę teorii ekonomii , a za łoże ni e przechodniości wskazuje na kon sekwe n cję podejmuj,}cych d zia łani e przy porównywaniu dostępnych wyn ików w stos unku do swych preferencji. N i ezależ n ość z kolei oznacza, że jeśli decydent dwa wyniki a, b , pozbawione czynnika ryzyka, preferuje w jednakowym stopniu ,jest mu o boj ę t ne, którą z gier wybierze: a o prawdopodobieństwie p i c o prawd o podobień s twi e l - p, czy b o prawd opodobień stwie p i c o prawdopodobieństwie l -p . Po s łu g ując s i ę powyższy m i aksjomatami, moż na wyprowadzić tw ierdzenie o oczekiwanej u ży tecznośc i . R ozważmy np. zbiór (portfel) aktywów o m oż liw yc h wynikach W , i = l , ... ,11 i oraz odpowiadającyc h im prawd o pod ob i e ń stwac h Pi. Po ni eważ znane są wszyst ki e W i , i = l, ... , n, oraz d la ka żdeg o W i istnieje odpo wia d ający mu ekw iwal ent pewności Ci' zate m Wj mo ż na zas t ąpić odpowied nim Ci. Z kolei dl a ka żdego Ci istnieje ekw iwalentna gra o wynikach: k i pra wd opodobieńst w i e hi oraz O i prawdopodobieństw i e 1 - hi' gdzie Ci wystąpi z prawdopodobień stwem Pi' Inwestorow i jest o b ojętne czy wybierze Ci' czy g rę, W ten sposób ka żdy zbiór aktywów moż na s prowadz i ć do dwóch wyników: k o prawdopodo-. ". bieństwie H =I. p/li oraz O o prawdopodobieństwie l /. I. I." Pi"i . Spośród dwóch j. l. zbiorów aktywów A i B, dla których prawdopodobienstwa wyniku k wynoszą odpowiednio HA' HR, bardziej preferowany jest ten , dla którego to prawdopodobieństwo jest wi ę k sze, Pozwala to s formułować d e finicję..

(5) wobec Defi1licja I. Niech Wi oraz Iii będą o kreś l one jak wyżej. Wówczas hi =u(W,) nazywa się funkcją użyteczności, a. 2." Piu (W;) jest oczekiwaną u żytecznością. i. I. Otrzymujemy zatem twierdzenie.. Twierdze1l ie J. b i eństwa. Wyrażani e. preferencji inwestora kategoriami prawdopodo-. H jest rów nowa żn e z wy rażanie m jego preferencj i przez ocze k iwaną. użytecz n ość,. co zapisujemy symbol iczni e; H =. ". I. p/Ii =. ". I. Pil/( Wi) =: U(W).. Wybór preferowanego planu d zi ał ania z zastosowani em zasady maksy malizacj i oczekiwanej uż yteczności jest identyczny z wyborem dokonanym d z i ę ki bezpoś red ni ej analizie m ożliwych wy ników. W dalszej częśc i art yk ułu anali zie poddano pewne wymogi stawiane funk cji u ży t ecznośc i , przyj muj ąc za kryteriu m u żytecznośc i zasoby decydenta w koń c u danego okresu. Zakładać będz i emy, że rozpatrywany okres jest na tyle krótki , i ż realna i nominalna wartość majątku ni e różnią się międ zy sobą . Jednym z ogra ni czeń nalożonych na funkcję u ży t ecznośc i jest jej zgodność z kon cepcj ą "im w i ęcej, tym lepiej", która orzeka, że spoś ród dwóch wolnyc h od ryzyka wyników wybierzemy ten o większej użytecznośc i . Zgodnie z powyŻSZq zasadą użyte cz ność zwiększa s i ę wraz ze wzrostem zasobów (u' > O). Druga w ł as n ość fu nkcji u żytecznośc i dotyczy zalożeń o postawach decydentów wobec ryzyka. Wy różnia s i ę trly klasy funkcji odpowiadaj ące postawom; - awersj i do ryzyka. - neutralno śc i wobec ryzyka, - s k ło nn ości do podej mowan ia ryzyka. Każdą z wymienionych postaw można zde fini ow ać pos ł ug ując się pojęc iem gry spraw ied liwej , tzn. takiej , dla której wartość oczeki wana gry jest równa jej kosztow i. Rozważmy dwi e opcje do s t ępn e graczow i w ramach takiej gry: "inwestuj" oraz "ni e inwestuj" [3]. Nie inwestuj : B. Inwestuj : A wynik. 2 O. prawdopodobieństwo. wyniku. 05 05. wynik I. prawdopodobieństwo. wyniku. l. Wartość oczekiwana opcji A wynosi E(A) = 0,5 . 2 + 0 .5 . O= I zł. Załóżmy, aby podjąć tę inwestycję, nal eży wpłacić J zl. J eś li gracz zrezygnuje z inwestycj i, zaoszczędz i zatem J z ł. Gracz, który nie jest sk ł onny do podejmowania ryzyka odrzuci t ak ą grę. Znaczy to , że preferuje on opcję "nie in westuj" bardziej niż opcję "inwest uj": U(B) > U(A). W ten sposób u( l ) > 0,5u(2) + że.

(6) Ilol/CI Cwięczek. + 0,511(0), czy li 11(1 ) - 1/(0) > 1/(2) - u(!). Ponieważ spadek u ży teczno śc i przy ewentualnej stracie jest co do wart ości bezw zg l ędnej wi ę k szy od wzrostu u ży te cz no śc i odp o wiadającego wyg ranej , inwestor c harakt e ryz ujący s i ę awer sją do ry zyka odrzuc i g rę s prawi edliwą . Wykre s fun kcji uży t ecz ności ma k sz tałt krzywej wkl ęs łej . N eu tralność wobec ryzyka oznacza, że wybór pomięd zy podjęciem czy odrzuceni em gry sprawiedliwej jest dla decyden ta oboj ę tn y (funk cj a u ży t ecz no śc i jest lini owa) . Z kol ei s kł o nn ość do ryzy ka powoduje, że wybierze on grę s prawied l iwą , g dy ż oczekiwana u żytecz n ość opcji "inwestuj " jest dla ni ego wi ę k sza ni ż opcji "nie inwestuj " (funkcja u ży tecznośc i ma k ształt krzywej wypuk łej). Osoby potrafiące o kreś li ć swoje nastawien ie do gry spra wied liwej mog ą w znacznym stopniu z mni ej szyć liczbę rozpatrywanych ryzy kownych decyzj i. Nawet j eś li ni e c h cą one precyzyjnie ok reślić swoich funkcji u ży t eczności, oczywiste jest, że zrozumi enie teori i użyteczno śc i pozwala na uproszcze ni e procesu selekcj i decyzj i.. majątek. Osoba. wykazująca. awersję. do ryzyka. Rys. I. Wykresy funk cji wobec ryzyka. majqtek. mająte k. Osoba neutralna wobec ryzyka. u ży teczności odpowiadające różnym. Osoba. wykazująca. s klonności. do ryzyka. postawom jednostki. Żród lo: (5).. Trzec ia wla s no ść funk cji u ży t ecz no śc i dot yczy założeń o zmianach preferencji decydenta (np . inwestora) wyn i kającyc h ze wzrostu pos iadanych zasobów. B ezwzg l ęd na ni ec hęć do ryzyka o kreś la zmianę wielkości inwestycji decydenta w ryzy kowne aktywa w wyniku wzrostu jego zasobów . Obli cza się ją za pomocą wzoru, nazywanego miarą Arrowa-Prana [3], [4]: A( W). = -11"( W). u'(W) ,.

(7) wobec gdzie: u'( H/), II"( H/) - w art ość pierwszej i drugiej pochodnej funkcji dla rozpatrywanego poziomu zasobów W.. uży t ecznośc i. Pochodna wyra żeni a A( H/) jest zatem wskaźnikiem pozwalającym stwierja k bezwzglę dn a niechęć do ryzyka zm ienia s i ę wraz ze wzroste m zasobów. Ostatn im wskaź niki em wpływającym na ksztah runkcji użyteczności ,.i nwestora" jest względna awersj a do ryzyka okreś l ają ca z m i anę procentowego udz i ału zasobów decydenta ulokowanych w ryzykownych aktywach w za l eż nośc i od wzrostu jego zasobów. Wz g lęd n ą niechęć do ryzyka opisuje wzór: d zić,. R(W) = - Wu"(W) = IVA (lV). u'( IV). In westor wykazuje m alejącą względną niechęć do ryzyka, gdy wraz ze wzrostem zasobów zw i ększa on jego odsetek w ryzykownych aktywach (R '( ~V) < O). Badani a d owodzą (3], że większość inwestorów wy kazuje m alej ącą bezwzg l ęd ną ni ec hęć do ryzyka oraz s t a ł ą wzg l ędną a wersję do niego. c hoć w wypadku tej drugiej nie ma takiej j ednomy ś ln ośc i . Niemniej jednak ok reś l e nie zarówno wzg l ędnej, jak i bezwzg l ędnej awersj i do ryzyka pozwala na dalsze zmniejszan ie li czby rozpatrywanych m ożl i wo śc i lub ogran iczenie zbioru fu nkcji uży t eczności re prezent ujących preferencje decydentów. Do naj częśc iej spotykanych w literaturze przedmi ot u funk cji użytecz no ści nal eżą:. fu nkcja kwadratowa postac i 1l( \V) = \V -b ~V2. funk cja logarytmiczna postaci I/ ( W') = InW, funk cj a wykład n icza postaci u( \-V) =-e-ew, funkcja wykładnicza postac i u( W) =_e2W ~ O .s . Częs t o stoso waną m i a rą ryzyka jest odc hylenie standardowe . Okre ś l a ono m i arę rozproszeni a prawdopodobieństwa m oż li wyc h wy ników (np . wyp łat ) wokól ic h wa rtości oczekiwanej. Odchylenie standardowe pozwala określi ć ca łk ow it e ryzyko (np. inwestycji), a obliczane jest według wzoru: -. o=. L" p/W, -. E(W) )'.. ; .. 1. Im. większe. jest odchylen ie standardowe. tym bardziej ryzy kowna jest inwe-. stycja. M oż na s ię zas t a na wiać, w jaki sposób pomiar ryzyka na podstawie odchyleni a standardowego wplywa na wybór właśc i wej strateg ii działania (n p. inwestycyjnej), gdy znana jest postawa decydenta wobec ryzyka. W tym wypadku cel, do reali zacji którego d ąży decydent postępując zgodnie ze swo imi preferencjam i, m oźe być re prezenlowany przez funkcję oczek iwanej wart ości i odchy le ni a standardowego. Fo rmułuje s ię więc na s tępną regu łę wyboru w warunkach ryzyka [5]..

(8) Ilona. ryzykownych strategii działa nia , jl ~ ocze kiwaną wart ość wyn ik ów (np . wielk ości wypłat), natomiast a - odchyleni e standardowe . Wówczas ogólną funkcję re prezentującą preferencje defi niuje s i ę jako U(H!) = U(jl, a ). Maksy malizacj a wartości tej funkcji umożliwia wybór optymalnej strateg ii. W św i etle kryterium oczekiwanej u ży t ec zno ści, uż y t ecz no ść ryzykownych decyzji z al eża ła od ca łego ro z kładu prawd opodobiellstwa w tym sensie , że pod uwagę brano użyt ecz no śc i wszystki ch mozli wych wyników i od powiadają ce im prawdopodobiellstwa. Z ko lei przy obecnie ro zważa nym kryt erium znaczenie mają wyłącznie parametry ro zkład u Il oraz a. Wykrese m powyzszej funkcji są krzywe obojętności, których p o loże nie i k sz tałt z al ezą od postawy jednostki wobec ryzyka. Daną krzy wą ob ojęt nośc i two rzą wszystkie te kombinacje jl i cr, dla kt órych uzy teczn ość jest taka sama. Dla wartości uzyt ec zno ści wyno sz ącej U z > Ul otrzymamy wy ższą krzywą obojętno śc i , utworzo n ą przez kombinacje j.l i a, o uż y t ecz no śc i U 2 . Niech U oznacza. funkcję uż y tecz no śc i. l'. s,. "" Osoba wykazuj:jca. awersję. o do ryzyka. Rys. 2. Wykresy runkcji preferencji dla tródło :. SI. S2. S3. ............... . ........... -. o Osoba wykazuj:jca sk t onno~ do ryzyka. różnych. postaw wobec ryzyka. 151.. Decyde nt unikaj ący ryzyka wybierze taką strategię, która przy takiej samej oczekiwanej /lo wykazuje najmniejsze ryzyko a . Będzie to zatem strategia SI' Z kolei osoba ze s kłonno śc i ą do ryzy ka wybi erze str ateg i ę S3' Jed nostka o neutralnej postaw ie wobec ryzyka bierze pod uwa gę tylko wartośc i oczekiwane. Powszechni e uważa się, że przeciętni inwestorzy wy kazują awersję do ryzyka . Racjonalnie po s t ępujący decydent wybierze zatem s po śród wszystkich możliwyc h strategii taką , która: wart ości.

(9) Postawa. . wobec. - dla danej wartości oczekiwanego wyniku wykazuje n ajniższe ryzyko, - przy danym poziom ie ryzyka wykazuje wyższą wartość ocze kiwaną wyni -. ku (wypiaty), - wykazuje zarówno wyższą wartość oczekiwaną wyniku , jak i ni ższe ryzyko (co m oże mieć miejsce tylko chwilowo).. 3.. UlęcJe. akslomatyczno.dedukcylne. W s p ółczesna. teoria u żytecz nośc i opi suje kla sę modeli kon slruowanyc h w celu formalizowan ia zac howali jednostek działających w warunkach ryzyka i ni epewnośc i , o pi e rając się na dwóch g ł ów n yc h wynikach: teorii von Neumanna- Morgenstema oraz teorii Savage'a [2]. [4]. Ponieważ g ł ów n y m ź ródł em ryzyka jest ni ez najom ość p rzysz ł ego stanu św ia t a, również konsekwencje dz i a ł ań podjętych obecnie przez jednostki dzia ł ające w takich warunkach znane będą w przysz łości. D o k onując wyboru spoś ród ryzykownyc h d zia l ań , decydent poddaje więc oceni e dające s ię przewid zieć zarówno korzystne,j ak i ni e pożądane skutki alternatywnych zac h owań. Pod s taw ę prawidłowej procedury decyzyjnej s tan ow ią zate m in fo rmacje dost ęp n e w c hwili dokonywania wyboru oraz ocena własnego stosunku do ryzyka związanego z mo ż li wymi dzialani ami. Wi ększość badań w tym zakresie op ie ra się na za ło żeniu, że relacja preferen cji indywid ualnych ~ o kre ś lona na zbiorze X m ożliwyc h wyników m oże być reprezentowana przez oczekiwa n ą u ży t eczność. W dalszej części artyk uł u przedstawiono w postaci aksjomatów stosowne warun ki na re la cj ę ~ pozwalające sko n st r uować jej re preze ntację poprzez oczekiwaną użyteczność . Przypomnijmy forma lną definicję oraz w łasno śc i relacj i preferencj i w waru nkach pozbawionych ryzyka.. Defillicja 2l6]. R e l ację ~ c X x X nazywa my relacją preferencji , jeże l i : (i)'V'X E X X ~ X, (ii ) 'V'x, y E X X .::'i Y v Y .::'i x, (i ii) 'V'x, y , Z E X X ::!I Y v Y ~ Z = x ~ Z· Zgodnie z eko n o mi cz n ą interpretacją relacji preferencji powyższe, intuicyjnie zrozu mi a ł e akcjo maty zapew niają, że zachowania jed nostek i zw i ąza n e z ni mi wybory planów działania m oż na u z na ć za racjonalne.. Definicja 3 [6]. Funk cj ę ił: X ~ R nazywamy fun kcją u ży t ecz n ośc i ,jeżel i ka żd ego x, y E X: x ~ y (::) u(x) ::!I u(y ). Ponadto przyjm uje s ię , że funk cja u ży t ecz n ośc i powinn a być dostatecznie regularna (w sensie ciągłości). W tym celu u zupe łnia s i ę aksjomaty z definicji 2 nast ę pując y m warunkiem: (iv) Vx E X zbiory {x E X : x ~ x} oraz {x E X: X ~ x} są domknięt e w X. Wtedy prawdziwe jest twierdzenie.. dla.

(10) 110110 Ćwięczek. Twierdzenie 2 16] . Niech zbió r X będzie spójny i c a ł k owic i e p r a up o rz ąd kowan y przez re ł ację pre ferencj i ::L Wtedy przy za łoże ni u (iv) istnieje c i ąg ł a funk cj a u zy tecz nośc i na zbiorze X. W naszych rozw a ża nia c h za kładać będ z i e my , że zbiór m oż liw yc h wyborów decydenta, oznaczany przez X ,jest podzbiore m zmienn ych losowych z pewnej mierzalnej przestrzeni (n , F) w mi erz a l ną p rz estrze ń wyników (Z . Z) . Definicja 4 121. Dany jest rozkład p ra wdopodobi e ń st wa P w przestrzeni (n, F). Funkcja tI : Z --t R j est ocze kiwa n ą u żytecznośc i ą rep reze n tującą re la cję .::S na X, jeze li /I 0 X == u(x ) jest ca ł kowa ln ą z m i e n ną l oso wą dla wszystkich x E X oraz R oz k ł a d. ~. y .. EIL/ (x) 1 ; EluCy)], x, J' E X. prawdopodobie rlstwa P be zpo ś re d ni o wprowadza do de fini cji elex. ment oczekiwania . O re lacj i prefe re ncji , reprezentowanej przez oc ze kiwan ą u ży t ecz n ość, mów imy, ze jest ni ezal eżn a w tym sensie , ze E [u(x)] zal eży tytko i wy ł ącz ni c od roz k ł adu x. Forma lnie relacja prefe rencji .: S c X x X jest niezaleina , jezeli x jest pre ferowane w tak im sam ym stopniu, jak y (x i y s ą w zg l ęd e m siebie obojęt n e z punktu w idzenia rel acj i ;5, ) wtedy i tylko wtedy, gdy x i y E X mają takie same rozkł ad y. Pozwa la 10 p rz yj ąć na s t ę p uj ące o kreś l e n i e.. Defillicja 5 . Dany j est ro zkł ad p rawdopcx:l o b i e ń stwa P w przestrzeni (Q, F). Niec h n oznacza zbi ór mi ar probali stycznyc h w przestrzeni wyników Z, ~1 - rozk ł ad danego x E X. Jeś l i .: S jest ni e zal eżn ą od stanu re l a cj ą prefe rencj i na A , relacj a preferencj i .: S d c n x n j est o kreś l o n a warunki em: Il x '::s " Ily ~ x .: S y dla x.y e X. Ponizej podano okreś l e n i e oraz aksj omaty g w a ra ntuj ą ce istni eni e oczekiwanej u żytec zno ści , o któryc h wspom niano w cześ ni ej . Definicja 6 [2] . Zbiór M będ z i e m y na zy wać p rzestrze ni ą " mieszanek" , je ś l i dla pe wn ych a E [O. 11 oraz x, y E M istn iej e w M j edyny e lement xay, d la którego na st ę p uj ą ce warunki s ą d la wszystkich x, y E M o raz CL, p E 10 , 11 : (i)xay =x, (ii) xay =y( I - a)x , (i ii) (xBy)a J' =x(aB )y. W de fi nicji tej "xay" m ożn a rozumi eć jako w y puk ł ą k o mb i na cję e lementów x i y : "ox + ( I - a )y". Rze czy wi ście , zbi ór roz k ład ów p rawdo pod o bi e ń stwa w pewnej mierzaln ej przestrze ni w takiej interpre tacji j est p r zes t r ze nią " mieszanek" . Aksjomat Archimedesa . Dla ka żd y ch x, y, Z E M , j eś li x ~ y i y .: S z , istni eją a i p E (O , l ), takie żexCLZ .: S y i Y 1 xPZ . Idea p o w y ż sze g o aksjomatu jest taka , że n ieza l eżn i e od tego j ak "z łe" jest x, m oż liw a j esl modyfi kacj a Z poprzez x tak , że y nada l jest pre fe ro wa ny w stopni u w yższy m ni ż wynik xaz lub jest wobec ni ego oboj ę.tn y. Dru g ą część ak sjomat u inte rpretuj e s i ę ana log icznie ..

(11) wobec. Ahjomaf ni eza leżnośc i: 'rfX,. y, Z E M. 'rfa E. [O.. 11 x ::5 Y => xaz :; yaz.. Aksjomat ten jest nazywany r ównież aksjomatem zm iany lub aksjomatem zwrotu. Jego idea została przedstawiona w pi erwszej części pracy. Pozwala to s fo rmuł ować następ uj ące twierdzenie. Twierdzel1ie 3 [2J. Załóżmy, że relacja preferencji ::5 określona jest na przestrzeni M. Relacja ::5 spe łnia ak sjomaty Arc himedesa i nie za le ż no ści wtedy i tylko wtedy, gdy relacja preferencji jest reprezen towa na przez lini ow ą funkcj ę. U: M -; R. Mówiąc. o funkcji, żc jest liniowa, mamy oczyw i śc i e na myśli to , że spe łnia ona warunek: ~x, y E M ~a E [0, I J U(xay) =aU(x) + (I - a)U(y). Rozważmy jeszcze jeden, szczególny przypadek. Niec h XII ozn acza zbiór prostyc h zmie nn ych losowych o wartościach w Z oraz no- zb iór rozk ladów ele mentów zbi oru XO. Pr zyp u ść my , że dla pewnego a E (O, I) istnieje A E F , taki że P(A) = u. Wówczas prawdziwe jest twierdzenie. Twierdzenie 4 [2J. Załóżmy, że ::5 jest ni eza l eżną rela cją preferencji na XO. Niech ::s ' oznacza re l ację preferencji okreś l o ną na noi indukowaną przez :; . :;' spe łni a aksjomat nieza l eżnośc i i Archi medesa wtedy i tylko wtedy, gdy ::5 jest reprezentowana przez oczek i waną u ży te czn ość . W dalszej części przedstawiono ana l izę postaw jednostek wobec ryzyka oraz warunki równoważne tym. które te postawy określajq. W tym celu dokonano kolejnych usta le rl. Niech Z będzie zbiorem zmie nnych losowych w R. Rozwa żmy wszystkie niezal eż n e od stanów relacje określone w Z , takje że dla każdej relacji preferencji ::5 i dla każd ego Z E Z istnieje e kwiwal ent pewnośc i Cw(Z) E R (spe łniający warunek E[u(2)] = tI[C~ (z)L gdzie u jest funk cją uży t eczności von Neumanna-Morgenste rna reprezentującą ::5 w R. Przyj mijmy następującą definicję.. Definicja 7. Relacja preferencji ::s określa si lną awersję do ryzyka,jeśli dla wszystkich Z E Z E[u(2)J < ulE(2)] , neut r alność wobec niego, gdy E [u(Z)] = = ulE(2)] oraz s kłonność do ryzyka , gdy Elu(Z)] > u[E(Z)]. Poprzez powyższą nierówność awersja do ryzyka, neutralność oraz sk ł on ność do niego są równoważ n e odpowiedn io: wk l ęs łości , liniowości i wypukło ści funk cj i użytecz no śc i von Neumanna-Morgensterna. Funkcja użyt ecz no ści mo że być np. wk l ęs ł a poza pewnymi miej sca mi i wypukła w innych . Wtedy opisuje ona awersję do pewnego ryzyka i skłon n ość w kierunku innego. M ożna oczywiście zdefin i ować lokalnie awe r sję do ryzyka w x E Rpaprzez ogranicz.enie powyższej definicji do wszystkich Z z otoczenia x . Analizując problem wyboru stosownego planu działa ni a i związanego z nim ryzyka, trudno oprzeć się próbom miary intensywności awersji do ni ego. Ujmuje to kolejne okreś l en i e. Definicja 8 [4]. Niech dane będą: u ży t eczność von Neumanna-Morgensterna u: Z ---ł R oraz premia za ryzyko p~: Z ---ł R zdefi niowana jako.

(12) Ilona p~(Z) = E(Z) - Cu(Z). Funkcja użyte cznośc i /I opi suje większą awe r sj ę do ryzyka ni ż funk cj a v,jeśl i pu(Z);;:: pV(Z) dla ka ż dego Z E Z . Dla decydenta . którego preferencje reprezentuje oczekiwana u ży te cz ność II , funkcja premii za ryzyko pU o kre ś l a, jaką najwi ększą kw o t ę jest on gotów za pł acić za mo ż liwo ść zmiany wartości ryzy ka Z. Na podstawie definicji jej wartość jest dodatnia,jeśli decydent ma awersję do ryzyka , ujemna , gdy ma do niego s kł onność i równa ze ru , j eś li jest neutralny. Używając premii za ryzy ko do mie rzenia awersji do niego, proponuje się intuicyj ne pojęcie, ze im większa jest awersja do ryzyka , tym więcej decydent jest gotów z apła c i ć za unikni ęc ie zwią z ku z danym ryzyk iem . Dla lokalnego ryzyka kryterium to stanowi c ałkowit y porządek relacj i preferencji, dla globalnego natomiast reprezent uje ono tylko porząd e k częściowy. Id eę innego kryterium porównywania postaw wobec ryzyka ujmuje kol ejne twierdzenie , które jest ró wn oważ nym kryterium pre mii za ryzyko.. Twierdzenie 5 [4]. Niech Ił oraz v będą funk cjam i u ży t ecz no śc i von Neumanna-Morgensterna na R . Wtedy na s tępujące warunki s ą rów nowa ż n e: ( i) p"(Z) ~ p'(Z) dla wszystkich Z E Z , (i i) istni eje rosnąca wkl ęs ła tran sformacja T: R ~ R , taka że Ił = T(v). Po nadt o,jeś li Ił oraz v są dwukrotnie różniczkowalne , wtedy poprzedni warunek rów n ow aż n y jest następującemu : ( iii ) - u"(x)/u'(x). ~. - v"(x)/ v'(x) dla kazdego x E R.. Wni osek /. J eże li LI jest dwukrotnie różniczkowalną funkcją u ży t ecz n ośc i von Neumanna-Morgensterna , wtedy ró wn owa ż ne są na s tępujące warunki: (i) - 1I"(x)III'(X) jest funk cj ą rosnącą, (ii) dl a wszystkich Z i Y E Z oraz a > O, je ś li Z = a + Y, to pun') ;;:: p''(Z). Funkcja - 11"(.)111'(.) znana jest w literaturze jako miara absolutnej awersji do ryzyka Arrowa-Pratla [3], tS] . Pratl jako pierw szy przed s tawił pojęc i e premii za ryzy ko oraz odkryl i udowodni I ró wnoważn ość warunków (i) i (iii) . Niezal eż ni e od Pralla funkcja ta zostala od kryta przez Arrowa i wykorzystana do analizy proble mu wyboru optymalnego portfela. Aby z ilu s trować przydatno ść miary awersji do ryzyka Arrowa-Pralla w anali zie konkretnych problemów ekonomicznych, ro zważ my wspomni any już problem wyboru optymalnego portfela. Załóżmy , ze dana jest funkcja użyteczno ści von Neumanna-Morgensterna oraz dwa walory - jeden wolny od ryzyka oraz jeden ryzykowny ze zmie nn ą stopą zysku r , E(r) > Q. Niech a"(w, r) oznacza optymalną inw esty cję w ryzykowne aktywa w stosunku do p oczą tkowej , niezmi ennej wartośc i bogactwa w. Wtedy im w i ększa awersja do ryzyka , tym mniejsze jest ryzyko " poło że nia " optymalnego portfela . Pozwala to s formuło wa ć na s t ępujące twierdzenie. Twierdzenie 6 [4] . Niech II , v będą funkcjami użyteczno śc i von Neumanna-Morgensle rna dwóch decydentów o taki ej samej warto śc i zasobu pocz ątk o wego w . Wtedy na s tępujące warunki s ą równoważne:.

(13) · wobec. (i) p"(l) ~ p''(l) dla wszystk ich Z E Z , (i i) aU(w, r)::; a'"(w, r) dla każdego IV, takiego ah(w, r). że:. = arg max E{h(w + awr)} , II = li, v.. jest dwukrotn ie różni czkowaln a, wtedy aU(w, r) > O. Dla dostatecz· nie małego ryzyka postawa wobec niego, okreś l ona poprzez indywidua ln ą awersję, jest zatem praw ie neutralna. Zasadnicze znaczenie w problemie wyboru portfela odgrywa osiągalność aktywów wolnych od ryzyka. Je ś l i aktywa takie nie są dostępne, a zamiast ni ch są osiągalne dwa ryzykowne walory, z których jeden jest bardziej ryzykowny od drugiego, wtedy przypadek większej awersji indywidualnej w sensie definicji 8 kon iecznie oznacza mniej ryzykowne po ł ożenie portfela. Definicja miary Arrowa·Pratta opiera się na za loże niu , że bard ziej ryzy· kowne po ł oże ni e jest os iąga lne . Dłat ego dla malego ryzyka uży t eczność straty skojarzona z za platą premii za ryzyko jest oceniana przez margina lną u ży tecz· ność niezmiennego bogactwa. Istnie nie wyników o nie dającym s i ę zreduko· wać ryzyku oraz fakt. że premia za ryzyko jest wyp ł aca n a w sposób jednolity wymaga, aby premia za ryzyko by ła oceniana przez ocze kiwaną margina ln ą użyteczność bogactwa. Te w łasn ości dotyczące funkcji u ży t ecznośc i mogą nie być objęte przez miarę absolutnej awersji do ryzyka, ponieważjes l to miara loka lna. Rzeczywiscie. łatwo sp rawdzi ć , że funkcja u żytecz n ości II o pi suje większą awersję do ryzyka niż funk cja v, w sensie defi ni cji 8. oraz ma niższą prem i ę za ryzyko p"(Z). Mocniejsza definicja awersji do ryzyka zapropono· wana przez S. Rossa [5] ma tę własność, że w i ększa awersja decydenta do ryzyka według tej definicji zawsze oznacza mniej ryzy kowne położenie port· fela , co ujmuje nas t ępujące o kreślenie. Je ś li li. Definicja 9 [4 ]. Niech W oraz Z będą ograniczon~mi zm iennymi losowymi w R oraz załóżmy, że dła każdego IV E Supp W, E(Z I IV} =O. Dla II = II, \I niech ph(Z, \V) będz i e zdefiniowane przez E{II(W - p)} =E{II(W + Z)}. Wtedy 1/ opi· suje większą awersję do ryzyka niż II w " mocnym" se n s i e,jeś l i pUCZ, W):::::: pV(Z, W) dla wszystkich W oraz Z. Pozwala 10 sfo rmułować kolejne kryterium oceny. która z funkcji u ży t ecz nośc i von Neumanna*Morgenstema opisuje większą awer· sję do ryzyka w postaci twierdzenia . TlVierdzenie 7 [4]. Niec h Ił oraz v będą dwukrotni e ró ż ni czkow alnymi , funkcjam i użyteczn ości von Neum anna·Morgenslema w R. Wtedy rów noważn e są n astępujące warunk i; (i) /I opisuje większą awe rsję do ryzyka niż v w sensie defi ni cj i 9, (i i) istnieje A > 0, takie że II"(X)/V"(x) ~ t.. 2: u'(y)/v'(y) dla każdego x, y E R, (i ii ) istnieje A > oraz G: R -) R, G' $: 0, G"::; 0, takie że /I = AV + G. Ponadto niech Y = W + Z, gdzie dla każdego IV E Supp W, E{Z iti} 2: O oraz ah(W, Y) = arg max E{II« I - a)W + aY)}, II = II. v. Wtedy warunek ten impli. kuje nierówn ość a~(W, Y) $ aV( W, Y) . wk l ęsłymi. °. I.

(14) Ilona. S. Ross zdefiniował również odpowiedn ie pojęcie ma l ejącej awersji do ryzyka . Porównanie postaw wobec ryzyka za pomocą dwóc h funkcji użytecz n ości przy użyciu miary zaproponowanej przez Rossa jest możliwe , gdy obie funkcje są albo wklęsle, albo wypukle. Innymi slowy, miary tej nie da się stosować, gdy jed na z funkcji prezentuje awe r sję do ryzyka, a druga s k ł o nn ość. Ponadto, w odróżn i eniu od definicji Arrowa-Pratta , zgodnie z którą utrzymywanie mniej ryzykownego położenia portfela w obecności walorów wolnych od ryzyka jest równoważ n e istnieniu w i ększej awersji do ryzyka, pojęcie większej awersji do ryzyka zdefin iowane przez Rossa ni e jest implikowane przez utrzymywanie mn iej ryzykownego położenia portfela w obec nośc i innego ryzyka. Warto równi eż wspomnieć o ujęc i u M. Machiny i W . Neilsona [41. Wymagali on i, aby decyden t o większej awersji do ryzyka był gotów zap ł a cić niezerową i większą stochastycznie premię za ryzyko w celu uniknięcia związku z danym ryzykiem w obecności innego. Formalnie niech ph(Z, HI) będzie zdefiniowane przez równość: E{h«W - p~) = E{h(W + Z)}, gdzie ~jes t nieze rową zmi enną losową oraz dla każdego IV E W, E{ZI w} = O. Wtedy jedna funkcja u ży t ecznośc i von Neumanna-Morgenstema zwana II prezentuje większą awersję do ryzyka ni ż funkcja zwana v, jeś l i pW ;?: pV. Defini cja ta jest równoważna kazdemu z na stę pujących warunków: 1I"(x)/Il'(y);::: -v"(x)/v'(y) dla każdego x, y E lO, MJ c R oraz Il(x) = ĄV(x) + C(x) dla pewnego Ą > O i niero s nącej, wkl ęsłej funk cji C. spe łniającej warunek C"(x)II'(y) s:; G'(X)II"(X) dla kazdego x,y E lO, M]. Je ś li /J oraz v preze ntują awersję do ryzyka, wtedy II opisuje w i ęk szą awersję do ryzyka niż 1', w sensie defini cj i Machiny-Neilsona , wtedy i tylko wtedy, gdy aU( W , Y):5 a''( W, Y), gdzie a, W, Z są okreś l one jak w tw ierdzeniu 7. lite ratura [ I J Dcbreu G ., Tlleory o/ Vlllue, Viley. New York 1959. [21 Duffie D., Security MarkelS. Sloc/mSlie Mode/s, Academic Press IN C, BOSlon 1988. [3J Elton EJ., Gruber M.J., Nowoc;,eslw teoria pon/e/owa i analiza papierów wartościa· wyclr, WIG-Press. Warszawa 1998. [4 J Karn i E .. SchmeidIer D., Uti/ily T/wory wilII Uncenaillly [w: l Handbook o/ /IIatlrematical Ecollomics. pod red . W. Hildenbranda, H. Sonnenscheina. vol. 4, NOrl h Holland 1991 . [5J Ku[tys J" Ryzyko, niepewlloJć i kOT/fliki w dz.ia!alnoŚci gospodarcz.ej, AE w Krakowie, Kraków [995. [61 Malawski A" Metoda aksjomatyczna IV ekonomii, Ossolineum, Wroc ław 1999. (71 Malawski A., O matematyzacji ekonomii fw: J Zarządwnie i marketing / 998, Prace Naukowe Wydziału Zarządzania AE w Krakowie, Kraków 1998. [81 Samuetson W.F. , Marks S.G ., Ekonomia m enedżerska. PWE. Warszawa 1998..

(15) wobec. The Attitude of on Individual in Relation to Risk in Oiffe rent Theoretical Approach es Modern economy is one of a few social sciences that have managed to creale a rich mathematical apparatus which defines its theoretical structure. It applies to axiomalisation of economic theories. In Ihis work we Iried 10 presenl how an economic model adopls the form of ordered system of claims. which is exempl ified by the Iheory of preferences and. connecled wit h il. Ihe Iheory of Ulilily and risk. 1t consists of Ihree parts: inlroduclion. Ihe empirical-inductive approach of an individuaJlowards risk and axiomalic-deduclive approach. [n Ihe inlroduction we Iried 10 presenl Ihe problem of malhematisalion of economic Iheories and ils main concems. Thc second part-empirical-inductive approach is a result of generaJ observations and experiences connecled with Ihc problem of choice Ihal an indi vidual faees in the condilions of high risk. It includes the crileria of assessment and choice of an aelion plan which allows proper assessmcllt of relalive risk cOllnecled wilh working in sueh condilions. 11 inc1udes: Ihe crilcrion of expectcd valuc. rule of maximizalion of prcdicled utililY. Thc third pan includes an analysis of Ncumann-Morgenslem IheOTy of predicled utility in thc condilions of high risk and shows how a given object lransforms into a forma I model in the process of malhematisalion. Ali in al I. th is part is an atlcmpt to illuSlr,lIe Ihe axiomatisation of terms in the space of probability (n. f ) wilh a cenain degree of probabilily P as defined in Ihe second pan . Wc presenled here the rcsults of works of Arrow and Pratl. Ross. Machina and Neilson..

(16)