Asymptotyczne własności rozwiązań równania parabolicznego

Pełen tekst

(1)549 w. Sławomir Śmiech. Asymptotyczne własności rozwiązań równania parabolicznego 1. Wprowadzen ie Celem niniejszej pracy jest przedstawieni e kilk u twierdzeń d otyczących zac h owań rozw i ązań równania parabol icznego, gdy czas zmierza do nieskoń czoności. Praca zos tała podzie lona na dw ie części. Pierw sza dotyczy funkcji o kreś l o n yc h w pewnych podzbiorach Rn x R, druga zaś przedstawia twierdzenia dotyczące funk cji określonych w pewnym podzbiorze R x R. Dowody tw i erdzeń oparte są na zasadzie maksim um dla równania parabolicz nego. W ostatn iej części artykułu przedstawiono pewne potencjalne zastosowa nia omówionych twi erdzeń w ekonomii. Podajmy najpierw kilka definicji i twierdzeń, z których będzi e m y korzystae. Niech D będz i e ograniczonym obszarem w Rn x R zawartym międ zy hiperprzest rzeniami t = O i t = T , gdzie T> O. Oznaczmy przez 15 domknięc i e obszaru D. Przez S będz i e my rozumieć brzeg D , dla klórego t -:F- O. Dojesllo brzeg obszaru D, dla którego t =O. Niech r = Do u S. J eś li obszar D jest walcem postac i Q x (O, 7)(Q - ograniczony obszar wRn), wtedy przyjmujemy oznaczenia: Q= Q x (O, 7) , Do = Q x {O}, S =aD. x (O. 7) , r = Do u S. Będ zie my rozważać równanie paraboliczne postac i: L[u]. ()lII. n. =I.}L_ I aij(x,tl aX ax ' j. g~ zie. ma:. au. n a ll +Lbi(X, I),---+C(X,I)U-~=j(X,I), I . I. j. vt. VX j. funkcje ai,i> bi> c,fs ą ograni czone . c ią g łe i s pe łniają. a ,· =a .. , I.J. J.I. •. :Ęa , {x,t)aa . >O. I.i '" I. I,J. 'J. dla. (I ). n astępujące założe . •. La~>O.. /_1. Defin icja J, R ozwiąza n ie m problemu brzegowego dla równania ( l ) w obszarze D z nas t ęp uj ący mi warunkami:.

(2) Stawomir Śmiech. ul t : o =9(x), IIls =ę(x, I) nazywa my fu n k cję u(x, I) c i ąg ł ą w obszarze D i spe łniającą równanie ( l) w punktach obszaru D i pow yższe warunki na r, gdzie ę(x), \II(x, I) są zadanymi fu nkcjami c i ąg ł ymi.. _ Twierdzenie J [l, s. 8]. Niech funkcja u(x, l). będzie ciąg ła. w obszarze. D. pos iada c iąg łe pochodne występujące w operat orze L i spe łnia nierównośc i L[1I1 ~ O w O/r. przy czym c(x, t) < M dla ustaloncgo M. Załóżmy , że II(X, l) ~ O na r. Wtcdy u(x, l) ~ O w D. Twierdzenie 2 rI . s. 10J. Niech II(X, t) będzie ciągła w obszarze i5 i niech speł nia w DJT równanie (I), gdziej(x, l) < N. Niech [u(x, I )Jr'~ 1/1 i c(x, l) $ Co < O. Wtedy D zachodzi: luCx, 1)1. ~ max{~, m}.. W dalszej części artykułu będziemy rozważać liniowe równanie paraboliczne ni ejednorodne w warstwie L = lO, l l X R+ postaci:. = a(x, I)U;.r + b(x, I)U~ + c(x, t)u - li; =J(x, t). L[II]. (2). lub jednorodne. Lflll = a(x, I)U;.r + b(x, t)u~ + c(x, t)U - II; = O, gdzie a(x. t), b(x, t), c(x, t) są funkcjami ograniczonymi i c iągłymi.. (3). Definicja 2. Mów imy, że funkcja u(x, t) jest regu larna w L,jeśli jest c ią g ła w L. posiada pierwszą pochodną względem l , oraz drugą pochodną względem x wewnątrz L. Twierdzenie 3 (zasada maksimum) t3, s. 177J. J eże li w równaniu : L[lI] = a(x, t)u;.r + b(x, I)U~ + c(x, I )U - II; =f(x. t) współczynnik c(x, t) i funkcja J(x, t) s pe l niają wewnątrz L ni erówności: C(X. l) < O,fix, t) 2': O, (j{x, t) :5 O). a u(x. t) jest rozwiązan i em równania (2). regularnym w L , to przy dowolnym dodatnim T < co funk cja II(X, t) nie os i ąga na. zb iorze (O, l) x [O. 7l kresu górnego dodatniego (lub kresu dolnego uje mnego).. 2 . Pnypadek. rozwiązania określonego. w warstwie [O, 1]. Twierdzenie 4. Przypu ść my , że istnieje funkcja V(X. l) regularna w - V(x, I) > O w. L,. - LI VJ:5 O wewnątrz L, - lim V(x, t). =O jednostajnie względem x E. ID, 1].. X. R+. L, taka że:.

(3) w!aSllości. Niech /leX, t) warunki:. I ... będzie rozwiązaniem. równania (3) , regu larnym w L i s pe ł nia . jącym. łim Zakładamy X E. 11 (0 . r) = O, lim 11( 1. t) = O.. ponadto . że c(x, l) ~ O. Wtedy lim. li (x , l). (4) = Ojednostajni e dla. 10 , l] . Dowód. Niech 8 > O. Rozwa ż m y u(x, I). gdzie k jest li czbą. funk cj ę. =u(x, I) -. postaci:. li - kV(x, I),. dodatnią, k t órą późni ej okre ś limy .. Mamy:. L[ii] = L[u] - L[Ii] - L[kV] = -e(x. l)ii - kL[V]. ~. O.. (5). Z zal oże nia (4) wy nika istnieni e 1'0, takiego że 11'(0 , 1)1 < li,. 11'( 1, II. < li,. (6). dla t ~ 'IQ. Dobi eramy k, aby: u(x, t) < Odla x E lO , l ] (s up !l1I(X, 1)1: = M dla (x, I) E ({O) X [O, To]) u ({ ł) x [O, To]) u ([O. l] x {O}), min IV(x, 1)1: =//I dla (x, I) E ({O) x [O, Tollu({ l } x [O , To]) u ([O. l] x {O» - kresy le są os ią gane. ponieważ fu nkcje u(x, 1), V(X./ ) s ą c ią g le, a powyższy zbi ór jest zwart y). Niec h: k:=. ~~. Mamy teraz u(X, I ) = II(X, l) - K8 - kV(x, t) =. =u(x , I) -. li - 2M V(x I). m'. ~M. - li - 2' ..{ V(x, "'1 m. 1» )~ - M. - li < O.. Marny zatem. uex. O) < O, dla x E. [0, l] i U(O, l) < 0 , u(l, l) < 0 , d ł a. Ze wzorów (6) i (7) wynika: uCO, t) < 0 , u(J , I) < Odla l ~ To, uex, O) < 0 , dla x. E. t ~. To.. [0, l l.. Korzystamy z twierdzeni a (3) (przyjm ujemy j(x, l) = -c(x, 1)0 - kL[V] z którego wynika, że: u(x, t) ~ O w L. tzn . u(x, I) ~ - Ii + kV(x, I) dla (x, I) E L. Dow iedziemy. (7). (8) ~. O). (9). również , że. u(x, I) ~ - li - kV(x , t) dla (x, I) E Roz waż my funk cję. L.. ( 10). postaci: ~(x, t) = u(x, t) +. o + kV(x. t) ,. dla o> O, k > O (odpowiednio dobranych poprzednio dla u.. pó ź ni ej ).. Obliczamy podobnie jak.

(4) SIl/lVomir Smiech. L[iI]. = c(x, t)o + kL(V) ~ O.. °. Mamy ponadto: u(O, t) > O, u( l , l) > O, dla f > To, u(x, O) > (przy dostateczni e dużym k). Korzystamy z twierdzenia 3 (przypade k f(x, I) = c(x, 1)& + + kL(V) $ O) i otrzymujemy u(x. t) ~ O dla (x. t) E. L.. Mamy zatem. /leX, r) $ 8 + kV(x, t), ~ 0- kV(x, t).. ( II ). I/(x, t). Z tego wynika , że. L.. ( 12). Poni eważ. lim V(x, r) =Ojednostajnie dla x E [O, I], więc dla. każdego () > Oistnie-. je T l , taki. że. II/(x, t)1 ~ O+ kV(x, t) dla (x, t). V(x, t) <. Ze wzorów ( 12) i ( 13) wynika. E. kO dla t> T l ·. (13). na s tępująca ni e równ ość:. III(x, t)1 < 28dla ( >T1 ·. (14 ). Dla dowolnej liczby 8 > O istnieje zatem Tl , takie że jeś l i t > Tl , to l/l(x, 1)1 < 2(), co oznacza, że lim /l(x, () =O jednostajn ie względem x E [0, l]. Twierdzenie 4 zostalo udowodnione. W twierdzeniu 4 zak ład a li śmy iSlnien ie funkcji V(x, (). J eśli poczynimy pewne dodatkowe za łoże nia , o k aże s ię m ożl i we skonstruowanie żądan ej funkcji. Konstrukcjajuf/kcji V(x, t). Niech ,,(x, I) > ao > O, b(x, t) $ B wewną tr z L dla pewnego 8 > O, K jesl dowol n ą li cz bą dod atnią. Ro zw a ż m y rozwiązan i e z(x) równania różniczkowego zwyczajnego ( 15). "oZ" + Hz' + K = O. (klóre jesl regularne dla x E (O, ID. C hce my. aby 10 rozwiązan i e s pełniało ,(x) > O d la x J eś li. to. E. [O, 11 ,. ,'(x). rozw ią zan i e będ z ie spe łnia ć. ~. następują ce. O,. wszystkie. ,"(x). ~. warunki:. O dla x. E. (O, I) .. (1 6). p o wyższe za ł ożenia, 10. a(x, r}z"+b(x, r)z'+ c(x, t)z $ aoZ"+ Bz'=- K dla XE (O, 1), 1 >0. ( 17). By wyznaczyć sujemy ogó l ną. rozwiązanie z(x). równan ia ( 15), które ma własność (16), zapirównan ia w na s tępuj ącej postaci:. p os tać ro zw iązania.

(5) wlasl/oici rozwiązQli .... z(x). -Bx )- BKx + CI' =- Coexp ~. I. z'(x). ( 18). I. Beo exp ~ -B x)- B' K =~. Pods taw i ając. otrzymujemy. tlx) = w i ęc z'(x) ~. ~. °. [expl:'. (I -. X)) -. 1[.. dla x E (O, I). l"(X). =- ~ exp[~ (I Qo Qo. X)) <. o.. dlax E (O, I) . Wprow adzając w ( 18). ostatecznie otrzymamy: z(x). =-. z(x). Ka8 20. (Ta B)ex p(-B ao exp a;; B ), a;; x )- BK x + BK(2 + li. exp. KaB2o exp(-Qo8)( 1 = __. ( 8 x))+ 2 -8K - -8K x> O.. exp - -. ao. Mam y zatem po dobraniu wspólczynników Co' CI funk cję z(x) s pełniają c ą wa runki ( 15), maj ącą wła s no ść ( 16). Ponadto z(x) jest ogran iczona w prze· dziale rO, l] ( poniewa ż jest funkcją c iągłą , a przedzia ł domknięty jest zbiorem zwartym). Wprowadzimy: ( 19) V(X. t) = l (x)e"" . gdzie A jest. li czbą dodatnią, którą. odpowiednio dobierzemy . Obli czmy. e}.' = L[V] = a(x, t) z" + b(x, t) z' + c(x, t) z + Az.. Ze wzoru ( 17) wynika. nierówność :. e" L[V] S Al(X) - K . Po nieważ. (20). z(x) jest ograniczona w przedziale [O, l] , wię c istnieje lo > 0, takie że. lo> max z(x) . .lł. 10.1].

(6) Slawomir Smiech Podstawiamy. K A:= 210 i po wstaw ieniu do (20), otrzymujemy. e" L[V] 5. °. => L( V) < 0,. we wnętrzu L. Z drugiej strony V(x, t) > O w L na mocy ( 16) i ( 17). Pokażem y, że lim V(x, t) Ojednostaj nie d la x E [O, I]. Ponieważ funkcja z(x) jest ogran iczo-. =. ,--. na,. więc niech M: =. max z(x). Mamy 'r/E > ""10.1]. °. 3T> 0, takie. że: CM $ ~. dla I > T.. d la t > T. Mamy zatem jednostajną zb ie ż no ść. V(x , t) spe łn iającą założe n ia tw ierdzenia 4 przy pewnyc h dodatkowych za l ożeniac h . D owiedliśmy zatem na s tęp ujące twierdze nie. V(x, t) = z(x)e-M $ Me-Al $. E,. Skonst r uowa l i ś my w i ęc fu nkcję. Twierdzel1ie 5. Niech współczy n n iki równani a (3) będą ciągle wewnątrz L, a(x, t) ~ ao > 0, c(x, t) $ O, a b(x, t) n iech będzie ogra ni czona wewnąt r z L. Niech /leX, t) będzie rozwiązaniem równania (3), regularnym w L i spe łniają cym warunek: li m 11(0.1) = 0,. ,-lim 11(1, l) =O. ,--. W tedy lim II(X, t). ,--. Rozważmy. =O jednostajnie d la x E. [0,1] .. równanie liniowe typu parabolicznego postaci:. LI [V] = a(x)v;x + b(x)vx + c(x)u- v; =f(x). (2 1). i przyjm ijmy, że współczynniki i funkcjaJ(x) są ciąg łe w przedzia le [O, l]. Niech po nadto aCx) > O i c(x) $ O dla x E [O, I]. Z twierdzenia 5 wnioskujemy n astępujące twierdzenie.. Twierdzenie 6. N iec h v(x, t) będ zie rozwiązaniem równania (21), regularnym wewnątrz warstwy L i spe ł n i ający m warunki: !i m v(O, 1)= l0'. Niec h w(x). ,--. będz i e rozwiązan i e m. !im 1'( 1,1)= / ,.. równania. różniczkowego. a(x)w"+ b(x)w" + c(x)w. (22) postaci :. =f(x).. (23). Niech w(x) będz i e regularne w przed ziale [O. 1] i niech s peł ni a warunki: ,1'(0) = lo, wtedy lim v(x, t). ,--. w( l ) = I ,.. =w(x) jed nostajnie wzg l ęde m x E. (24) [O. I]..

(7) wlasllośc;. Dowód. Dla dowodu wystarczy zauwa żyć, że funkcja u(x, t) =v(x, t) - w(x) stanowi ro zw iązani e regularne w L równania jednorodnego LII VJ = O. Marny zate m z twierdzen ia 5 następujące rów n ośc i :. 0= lim u(x, t)= lim v(x,t)-w(x),. ,....... z czego wy nik a,. że. ,........ lim v(x, t) = wCx) jednostaj ni e dla x. 3 . Przypadek rozwlqzanla 0= Q x R.. określonego. E. [O, 1] .. w cylindrze. Twierdzellie 7. Niech funk cja u(x, t) bę dzi e rozwiązanie m probl emu brzegowego dla równania ( I) w cy lindrze Q = Q x (O, 00) z granicznym warunkiem 111,= O.. (25). Niech c(x, t) < - Co < O, gdzie Co > O,.f{x, t) -? O dla t -t + 00 jednostajnie wzg l ę dem x. Wtedy u(x, t) -t O dla t -t + 00 jednostajnie wzglę d em x. Dowód . W ce łu przeprowadzenia dowodu za uwa ża m y przede wszystkim , u(x, t) jest ograniczone dla wszystkich x i t ;:: O, Izn.ll/(x. t)1 s: M . Wynik a 10 z twierdzenia 2. Mamy ud owodni ć. że spe łnio ne są za łoż e n ia tego twierdzenia. Funkcjaflx, t) jest ograniczona z z ał oże nia , jako że jest jednostajnie zbi eż n a do ze ra. W szczegó ln ośc i istnieje N, takie żef(x, t) < N. Na l eży poka zać, że l/l(x, t)l s: III , gdzie III > O. Mamy ll/(x, t)ls =O, lI(x, f)Do =9(X). Funkr cja Q(x) jest c i ąg ł a i zeruje s i ę na brlegu Do ( po niewa ż u(x, f) jest c iąg ł a i zeruje się na brzegu Do, a u(x, t)l.{:\, =ę(x», więc mu si być ogran iczona 19(x)1 < m, dla x E Do' Mamy w ięc: lu(x, t)lr s: m. Ponieważ c(x, f) < -Co < O, lo l/l(x, t)1 < M dl a pew nego M . Weżmy dowolne E > O i dobierzmy takie T, aby lItx, f)1 < E Co dla I> T. Dobór takiego T jest m oż liw y dzięki jednostajnej zb i eż nośc i do zera funkcji j. R ozważ m y funkcje postaci: wix, t) = Mr .(r-7) + E±U(X, t). że rozwiązan i e. Ta funkcj a jest nie uj emna dla 1= T. Mamy bowiem w.t.(x, 7)= M+ E± Il(X, 7) s: M +E ±U(X,t). J eś li. na S spe łniony jest warunek (25) , to w.t.(x, 1)l s > O dla t> T. Dla t > T mamy L[w.t.] =M L(ro11 - n) + E c ±f$. M ri,-n(co + c) - E Co + tri < O.. Z twierdzenia 2 wy nika , że W±"2: O dla t> T. tzn.. Itt(x, 1)1$. E+ Mero(T -I) < 2E . dla 1 > TI(E). Twierdzenie 7. zos tało. udowodnione.. Twierdzenie 8. Niech funkcja u(x , l) będ z i e ro zw ią zan i em rów nania ( I) w cyl indrze Q. Zakładamy ponadto , że IIls = O. oraz że j{x, t) -t O dla t -t 00.

(8) Sławomir Śmiech. jednostajnie względem x. Wtedy II(X, t) -t 0, dla t -t 00 jednostajnie względem X E. Q,. Dowód. Przedstawmy niewiadomą funkcję II(X, t) z równania (I) w pasiaci II(X, I); v(x, I)<I>(X), gdzie ,,(x) > O, Obliczmy: LlII];Llv<l>]. :i: a '(~<I>+. i.} .. 1 I .). 0' $. dX,~Xj. iJx,~Xj. v+~~+ ~~) + dX; dX dX dX j. +:i: b ( ~Ó v+ ~v, <1»+ c(ov) _ ~v ''' 1. ;. i. uX,. uX,. j. <1>;. ol. :i:a~+:i:b~+ Ll,,] v - ~ i,j. I. I ,). ox,iJxj. Otrzymaliśmy nowe równanie L[V] = leży sprawdz i ć. j. i. 1 I. f.. dX;. dl .. Q. Aby móc. zastosować twierdzenie 7, na-. operatora L muszą być ograniczone (współczy nnik Q;.j =a i . j , więc o ile 4l(x) > 0, to zał ożen ia do tyczące Qi,j wszystkie. założeni a. W spółczy nniki. są spełni one). Aby lo zachodziło , trzeba aby musi być. rÓ7.na od zera (aby. można było. :!., była. przez. ograni czona. Ponadto $(x). nią dzielić) .. Potr/..eba. również,. aby. ,LlQl " ' k' ' wspo'I czynni'k przy II rowny -,,- by I mniejszy od zera. Fun k'cJ'}, tora spcIma. te. warunki jest np. funkcja:. 1- ""'.. ,,(x);. gdzie a > O. Bez straty ogó ln ośc i moż na za ł o~yć, żex l < O (gdyby tak nie było, to ro zważa l ibyśmy funkcję $(x) = l - ea(.r, - .< ,) , gdzie 1 = SUp(X1E O}). Przy takim okreś l e niu funkcji 4l(x) mamy < CI < $(x). dla wszystkich x E O (ponieważ Q jest obszarem ograniczonym).. x. °. _(I-ae Clx; - O. ~. ,. WięC. l -t. poe h~ dne k'lerun kowe Obilczmy. są. lU. ,. l,. gdy i = gdy i :I:- l ,. ' Mamyoezywlscle .. ' j(x. t) O d ogramczone. ę(x) -t ,g Y. OD.. L[$). =-a ll a 1e«<1 -. b1ae""'1. + c( 1 -. e"-'1). < O,. dla dostatecznie dużego a w ca ły m O. Sprawdzi li śm y więc za łożenia twierdzenia 7, otrzymujemy zatem v(x, t) -t O, gdy t -t OD . Mamy u(x, t)$(x) -t O. gdy l-t OD jednostajnie dla x E O..

(9) wlasności. 4. Przykłady moillwych parabolicznego. zastosowań równań. typu. Równ ania ró żni cz k owe cząstkowe, w tym równania typ u parabolicznego, szerokie zastosowa ni e w naukach przyrodniczych . Funkcje będące rozw i ązaniem tych rów nań o pi s ują różn o rodn e zjaw iska fi zyczne, takie jak np . przewodze nie ciep ł a. S łu żą do modelowania zac howa ni a obiektów fizyki kwantowej. Również nauki spo ł ecz n e na coraz w i ększą skal ę ko rzys t ają z dokonall w różnych dziedzinach matematyki. W związku z coraz większym i wymaganiami użytkowników rynków finansowych pow stają nowe instrumenty, takie jak opcje czy kontrak ty terminowe. Konkurencja w dziedzinie ubezpieczeó wymusza na towarzystwach ubezpieczeniowych u życie bardziej skomplik owanyc h narzędzi, dokładniejszych prognoz, aby coraz lepiej gospodarować pos iadany m kapitał em. Przy kład em praktycznego wykorzystani a teorii równan różniczkowych cząs tkowyc h w e konomii jest równanie Blacka-Scholesa, należące do klasy równań parabolicznych . Równan ie to opisuje zmia n ę wartości opcji kupna w czasie zw iązan ą z fluktuacja mi cen instrumentu pierwotnego. Twierdzenia zawarte w niniejszym artykule mo ż na tak że wykorzys tać do mode lowania pewnych procesów ekonomicznych. J eś l i bowiem o k aże s i ę , że przebieg jakj egoś procesu gospodarczego lub zachowani e jaki egoś in strumen tu fin ansowego m oże b yć op isywane za pomocą funkcji będącej rozwiąza ni e m równania parabo licznego, a przy tym można u zasad ni ć za ł oże ni a dotyczące waru nków brzegowych, to będzie moż na przewidywać zachowanie op isywanych obiektów w dłu giej perspektywie. Tw ierdzenia dOl yczące asy mptotycznych zachowill1 funk cj i mogą t akże s łu żyć do weryfikowania poprawn ośc i wykorzystywanego modelu matematycznego w praktyce. znajdują. l ite ratura fI] llin A .M .. Kalasznikow A.C., Olejnik O.A., L/II/owe rowllan/a drugiego rzędu /ypu parabolicznego (oryginal w jęz. rosyjskim), Moskwa 1962. {21 Jajuga K., Ku ziak K" Markowski P .. Inwes/)'cjefllwl/sowe , Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław 1997. [3] Krzyżański M., Rownania r6iniclkowe cząstkowe rzędu drugiego, t. I , PWN. Warszawa 1957 . (4J Krzyżańsk i M .. Sur I'al/ure as)'mplotique de~· solu/ioflS d' equatiolJ d/ll)'pe-parabolique. Bulletin de I' Academie Polonaise des Sciences. Kraków 1956. 15] Weron A .,Weron R " Iniynier/aflna/zsowa, WNT , Warszawa 1999. f6] Życl kows k i K" Wycena opcji: rozszerzenie modelu Blacka-Scholesa . In:i/f/lmemy pochodne, Wyd . Universitas, Kraków 1997..

(10) Sławomir Smiech. Asymptotic Pro perty of the Solution of Parabolic Equation. This paper prtsents some asymplolic propeny oflhe solUlion of equation: tru) =. •. L. CFu' au (lll + L bj(x, t) - + c(x, t)1I - - = j{x, t ). a.r/iri ,., DX, (lI. Ul j (X' I ) - q . ,'. This anicie chamcteril'.es propenies of the homogeneous equation's solut ion in the product spOlce 10. II x R. and in subsets or R' x R. The proofs result from the maximum principle ..

(11)