6. Asymptotyczne własności estymatorów

Statystyka matematyczna

6. Asymptotyczne własności estymatorów

Ćw. 6.1 Pokaż, że ciąg {ˆθ_n}, gdzie

θˆ_n : (0, ∞)ⁿ→ (0, ∞), θˆ_n(x₁, . . . , x_n) = exp



− n

x₁+ . . . + x_n



,

jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym.

Ćw. 6.2 Pokaż, że

λ = − lnˆ 1 − ]{1 ¬ i ¬ n : Xi > 0}

n

!

jest mocno zgodnym estymatorem parametru λ w rozkladzie Poissona P(λ).

Ćw. 6.3 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu N (0, θ). Uzasadnij asymptotyczną normalność estymatora parametru θ postaci

T (X₁, . . . , Xn) = 1 n

n

X

i=1

X_i².

Ćw. 6.4 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu Cauchy’ego C(0, θ). Zbadaj asymptotyczną normalność estymatora

T (X₁, . . . , X_n) = 1 n

n

X

i=1

1_(a,∞)(X_i)

funkcji g(θ) = P_θ(X₁ > a), gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą i wyznacz jego asympto- tyczną wariancję.

Ćw. 6.5 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu P oiss(λ). Uzasadnij, że 2√

n(^qX¯_n−

√λ) ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny.

Statystyka matematyczna

6’. Asymptotyczne własności estymatorów Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 6’.1 Niech X₁, . . . , X_nbędzie próbą losową prostą z rozkładu wykładniczego E(λ). Pokaż, że estymator ˆg(X1, . . . , Xn) = _2n^{1 Pn}

i=1

X_i² jest mocno zgodnym estymatorem wariancji rozkładu E(λ).

Zad. 6’.2 X₁, X₂, . . . , X_njest próbą prostą z rozkładu Poissona P (λ). Zbadaj, dla jakich a ∈ R\N

θˆ_n= n +^Pn_k=11_{2}(X_k) n − a

jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2)?

Zad. 6’.3 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu N (θ, 1). Pokaż, że estymator

T (X₁, . . . , X_n) = 1 n

n

X

i=1

1_(−∞,a](X_i), a ∈ R

funkcji g(θ) = P_θ(X₁ ¬ a), dla ustalonego a jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczną wariancję.

Zad. 6’.4 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego E(λ). Uzasadnij, że estymator parametru e^−λ postaci

T (X₁, . . . , T_n) = exp



− 1 X¯_n



jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczną wariancję.

Zad. 6’.5 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu 0-1 z parametrem p. Pokaż, że esty- mator

T (X₁, . . . , X_n) =

n

P

i=1

X_i+ 3

n + 5

parametru p jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczną wariancję.