O pewnym uogólnionym zagadnieniu Fouriera dla równania ‘ parabolicznego normalnego *

T. M. J

(Poznań)

O pew nym uogólnionym zagadnieniu Fouriera dla równania

‘ parabolicznego normalnego *

1. Wstęp, ШесЬ w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej będzie dany obszar Q ograniczony powierzchnią 8, spełniającą warunki La- pnnowa:

1. w każdym punkcie P powierzchni 8 istnieje płaszczyzna styczna zmieniająca się w sposób ciągły wraz z punktem styczności;

2. kąt A{ P, Q) między normalnymi w dwu dowolnych punktach P i Q powierzchni 8 spełnia nierówność Hóldera, tj.

\A{P,Q)\ < const r£Q,

gdzie rPQ oznacza odległość punktów P i Q w przestrzeni -^-wymiarowej, a wykładnik x jest pewną stałą 0 < tc < 1.

3. w otoczeniu każdego punktu P powierzchni 8 istnieje dostatecznie mała część 8P powierzchni 8 taka, że każda prosta równoległa do normal­

nej w punkcie P i przechodząca przez pewien punkt części 8P nie prze­

cina, poza tym punktem, części 8P w innych punktach.

Będziemy poszukiwali funkcji u ( A , t ) spełniającej w każdym punk­

cie { A, t) , gdzie A jest punktem wewnętrznym obszaru Q i £e(0, T], nieliniowe równanie o pochodnych cząstkowych typu parabolicznego postaci

П П

oxa uxp A-J ćx„

a , / 3 = 1

-\-t(A, t)ti(A, t) du(A, t)

F [ A , t, u { A , <)],

a w każdym punkcie P powierzchni 8 nieliniowy warunek graniczny (2) — +&{ dn p , t ) u( P, t ) = a [ P , t , u { p , t )]

di p

* Składam serdeczne podziękowanio Panu profesorowi W . Pogorzolskiemu za

podanie problemu i uwagi, których mi życzliwio udzielał podczas pisania tej pracy.

dla О < t < Т oraz warunek początkowy

(3) lim u( A, t) — 0

f— >0 dla AeQ.

Przyjmujemy następujące założenia:

1. współczynniki aaP(A, t) , ba( A, t) , c( A, t ) , gdzie AeQ~\-S, ie [0 ,T ], w dziedzinie domkniętej {£? + $ ; [0, T]} są funkcjami ciągłymi ze względu na zmienne (x17 x t1 ocn, t)\ przy czym funkcje aaP( A, t ) spełniają wa­

runek Holdera ze względu na zmienne % ,® 2 ) xn, t postaci (4) lae/»('4., t) — aap(A17 /j)! < 1^ ^i|A J) 0 < li■ < 1 ,

0 < W < 1 ,

a funkcje ba( A, t ) i c ( A, ł) — warunek Holdera ze względu na zmienne, przestrzenne postaci

(5) \ h U , t ) - b . ( A 1 , t ) \ < k ' Ą A ,

oraz

(6) \ c ( A , t ) - e ( A l , t ) \ < k " 7 ^ 1.

2. Forma kwadratowa n

m ^ aaf( A , t ) x . X f

a, /8=1

jest dodatnio określona w dziedzinie {£ ? + $ ; [0 , T]}.

3. Przyjmujemy, że funkcja F [ A , t, u] jest określona i ciągła w dzie­

dzinie { £ + # , [0 , T ] , \u\ < j R} i spełnia w tej dziedzinie warunek Holdera ze względu na i i warunek Lipschitza ze względu na zmienną u:

(8) \F[A, t, u] — F [ A 171, %]| < Jc'"reAAl + Lz \u — %|, 0 < e < l , a funkcja G [ P , t , u] jest określona i ciągła w dziedzinie {P e $ ; tc [0 , T\

N ^ R) i spełnia w tej dziedzinie warunek Lipschitza ze względu na zmienną u :

(9) |G[ P, t, u] — G[ P, t , ^i]j < Z*\u—ux\.

O funkcji g( P, t ) zakładamy, że jest określona i ciągła w dziedzinie {P e $ ; < e[0,P ]}. Nadto zakładamy, że spełniony jest warunek

(

10

^ X K t K * { J ) , T ) B ? { T ) o < — ---

1 - X K l K * { D , T ) E * x\T) r[ł4*\

ł M i

< P ,

i

gdzie T > 0, K* — sup|6r[P , t, u\\, K l = sup\F[A, t, u\\, K l =

= sup|#(P, $)|, Я = (2|Лт)-п ; К* ( В, T)j Hl°(T) — pewne określone funk­

cje (patrz (38), (57), (62)).

Symbol dujdTp w warunku brzegowym (2) oznacza wartość graniczną pochodnej transwersalnej w punkcie P powierzchni 8, czyli

du П du(A. t)

(11) ■ ^ ~ ==lim dTp A-+p . — ---, dxa

a,p=* 1

gdzie Np oznacza normalną w punkcie P powierzchni 8.

Przy przyjętych założeniach zagadnienie rozwiążemy metodą kolej­

nych przybliżeń. Rozwiązania zagadnienia będziemy szukali przy pomocy ogólnych potencjałów zdefiniowanych w pracach W. Pogorzelskiego [5] i [6].

Przyjmiemy w tej pracy, że potencjał warstwy pojedynczej wzglę­

dem równania jednorodnego (1) ma postać t

(12) U ( A , t ) = j J f r ( A , t - , Q , r M Q , r ) d Q d r ^ ) ,

0

s

gdzie Г (A, t ; Q , r ) jest rozwiązaniem podstawowym (patrz [5]) równania jednorodnego (1), gęstość <p{Q, r) jest funkcją określoną w każdym punkcie powierzchni 8 ograniczającej obszar Q i dla те [0 , P], ciągłą w dzie­

dzinie {(8 ; [0 , l 7]}, oraz że w całce ' (13) V { A , t ) =

o a

Vdet\aaP(B,

(2 Viz)n P [ P , r, u {B , r)] dBdr (2) analogicznej do potencjału ładunku przestrzennego względem równania jednorodnego (1) gęstość

(14) , D > /d e t \a t )\ я г „ „

e( B, r) = ---

--- F [ B , r, w(P, r)]

(2 V7r)n

jest określona w każdym punkcie BeQ-\-8, r e [0 , T ] ; tutaj det|a"/,(P , r)|

oznacza wyznacznik macierzy odwrotnej do macierzy współczynników

I M в, T)||.

P) Symbolem całki podwójnej będziemy oznaczali całkę powierzchniową po powierzchni (n — 1)-wymiarowej; dQ oznacza element pola w punkcie Q powierzchni.

(2) Symbolem całki potrójnej będziemy oznaczali całkę objętościową po %-wy-

miarowym obszarze Q. dB oznacza element objętości w punkcie В obszaru.

Rozwiązaniem podstawowym równania jednorodnego (1), jak wy­

kazał W. Pogorzelski (patrz [5]), jest funkcja

(15) Г ( A , t\B, x) — wB,T( A, t\B, r) + w { A , /; B, x), gdzie

n г SM>r(A B) (16) wM'x{ A , t ) Б , r) == ( « - r ) “ T ex p ^ --- —

П

(17) = у а^(Ж ,тКж0- г а) (® „ -а д ,

a,P=1

przy czym aaP( M, x ) oznaczają elementy macierzy odwrotnej do ma­

cierzy współczynników \\aaB{M , r)||, A { x x, ж2, ..., xn)eQ, В ( f Ł, |2, ...

..., in)eQ, a punkt Ж oznacza punkt ustalony obszaru Q, natomiast t

(18) w { A , t ’, B , T ) = J f f J w M’ 9{ A , f r M , e ) 0 ( M , O ‘, B, T) dMd9 , r Q'

gdzie Q' oznacza dowolny ograniczony obszar mierzalny, zawierający zbiór wewnątrz, a funkcje aap{A,t), ba( A, t) , c { A, t ) są dowolnie przedłużone na obszar Q' w ten sposób, że spełniają w Q' warunki Hól- dera (4), (5), (6), przy czym funkcja Ф ( М , 6 ; В , x) jest rozwiązaniem równania całkowego

(19) <P(A,t-,B,x) = Х\/ш\аар{А , t)\<PAił[wB’ x{А , Ц B , r)] + t ____________

+ Л J f f j / d e t ^ U , t ^ ^ l w ^ i A , Ц Ж, 0)]Ф (М , 0; В, x)dMdd,

x Q’(M)

gdzie В i x grają rolę parametrów, A = (2 Vn)~n i posiada ocenę nastę­

pującą:

const 1

(20) |Ф(^., t \ В , Г)| < у _ ту ' ^ + 2- 2/»-%

o osobliwościach rozdzielonych i słabych dla 1 —7^/2 < ц < 1, =

= inf (Л, 27г/), przy М Б i 0 ->• т.

Wynik operacji Ф, określonej równością (1) jako funkcji A i t, wy­

stępującej w równaniu (19), ma postać

П . : .

( 2 1 ) £ 4. < [ « ’ " - , ( 4 , t ; . J f , 0 ) ] = y [ a o ł U , < ) - a ^ ( J t f , 0 ) ] w ^ » ( ^ , i ; ' l f , 0 ) +

n

+ у » „ U , t; M, в) + с ( А, t)wM-\ A , f, M , 0),

a= l

gdzie

(

22

dxn

— — (t—0 )"1 2 exp

4 ( /- 0 ) ] i > -

J /8= 1

(23) a2

dxadxp [wM-e( A, <; Jtf, 9)]-

ł ; J f , 9)‘

- e v n I — ---

4 (* -0 ) .

— (t—0) 2 2 exp x

n

X [ _ 2 ( * — 9)л«^(ЛС, 9 ) + £ » ) ( * , - { , ) ( ® . - « ] >

y , <5=1

a są współrzędnymi punktu Jf.

Funkcja r ( A , t ; B , r), dana przez (15), jest określona dla każdej pary punktów A {x1, . .. , xn) i В (£x, . .. , £n) obszaru Q' i dla 0 < r < t < T i wobec nierówności

(24) \wM’r( A , P , B , r)\ < ~ Q-ns^- . - ¥L - > gdzie

(25) |w{ A, t ; В , т)| < const

(« — т)2" -1 Г«+2-4^-Л1 ’ 7ц = inf (fc, 27*/), posiada ocenę następującą:

— < /л < 1 ; 1

7ц

(26) | Г{ А, t ; В , t )| < [const г ^ л1~2 + const (i — т)гЗя+Л1~21] — X (ł — r r

X П-2 + Л1 < [D2'‘+',i - 24-T1-c i)2P'H-'‘i-2]] const

r A B

( i - т у га в *4

= K ( D , T ) const 1 h -

g t o e 1 - 2 < / i < 1 ’

a przez В oznaczono średnicę obszaru K ( D , T ) oznacza wyrażenie

w nawiasie prostym.

2. Rozwiązanie zagadnienia. Funkcji u ( A, t ) stanowiącej rozwią­

zanie zagadnienia granicznego [(1), (2), (3)] będziemy szukali w postaci t

(27) u ( A , ł ) = ffff r ( A , t ; B , x) o a

j / d e t K ^ R * t )|

(2Vń)n

F [ B , x,u(B, r)] <

*

X d B d r - f J* J*J* Г { А , ż; Q , x)<p{Q, x ) d Q d x , o «

gdzie pierwszy składnik po prawej stronie równości (27) jest całką (13) analogiczną do potencjału ładunku przestrzennego względem równania jednorodnego (1), a drugi potencjałem (12) warstwy pojedynczej wzglę­

dem równania jednorodnego (1).

Aby rozwiązać zagadnienie graniczne [(1), (2), (3)], wykażemy, że nieokreśloną funkcję y[Q, r) w równaniu (27) można tak dobrać, aby funkcja u { A , t ) spełniała warunek brzegowy (2).

Wobec twierdzenia 1 i twierdzenia 4 z pracy [6], dla funkcji u( A, t), danej w postaci (27), wartość brzegowa pochodnej transwersalnej w punk­

cie P powierzchni 8 ma postać (28) lim

A - r P

du ( A , t) dTP

d r ( P , t) B , r)

dTP ^X

X /d e t |аа^(В, r)

(2 1^71 )n F [ B , x, u( B, t )] dBdr —

( 2 ^ ) " ^ ( l C {dr{P,t-,Q,T)

2 V d * t \ < t * ( P , t ) \ ^ ' ' + ) JSJ Л Т р <p{Q, x)dQdr.

Żądając, aby był spełniony warunek brzegowy (2), otrzymamy zwią­

zek funkcyjny

d r ( P , В , r) dTP

Vclet |ааР{В, т)|

(2 \/%)n

F [ B , x, u ( B , r)j dBdr —

(2 ^тг)”

2 |/det \аР (P , t)\ 0 8

dF{P, t ; Q, x )

d¥p <p(.Q, r) dQdx+

+ g{P, t)u{P, i) = ł > u (p > *)]»

jaki muszą spełniać poszukiwana funkcja u { A, t) i nieokreślona funkcja

<p{p , t).

Rozwiązanie zagadnienia zostało więc sprowadzone do rozwiązania układu dwu równań całkowych nieliniowych Yolterry (27) i (29), z dwiema niewiadomymi funkcjami u (A, t) i cp (P, i), który, przyjmując następujące oznaczenia:

(30) (31)

A( P, t) = V,det|a4,(.P,t)l, 1

Д = (2/ i ) “ ’

(32) /, u { P , «)] = 0 [ P , t, u( P, t)]—g( P, t)«(P, ^t), możemy napisać w postaci

t

(33) u { A, t ) = -Л j f f f r { A , t - , B , T ) A ( B , T ) F [ B , T , u { B , T ) ] a B d r + 0 o

t

+ J f f r(A,i;Q,r)p(Q,T)dędT,

0 s

t

(34) < p ( P , t ) - a J J j 2 A { . P , t ) ^ ^ ^ A l A 9{ Q>r)dQdr =

O S p

= - 2Д A ( P , t ) G * [ P , t , u ( P , t ) ] - t

- 2 A M ( P , * ) / / / / аГ (Р ду Д ’ T) Л (В, t )JF[B, r, « (B , T)]dBdr.

o « p

Wobec ocen (24) i (25), obierając

(35) / - I — **, O < 0 1 < 1 ,

gdzie 0 < = inf (h, 2h', x), natomiast 0 < х < 1 jest stałą z warunku Hóldera |cosv/>0| < constrp^, jaki na powierzchni Lapunowa S spełnia cosinus kąta vPQ, funkcje podcałkowe w równaniach (33) i (34) będą miały osobliwości rozdzielone i słabe, a oceny będą następujące:

(36) \Г(А, Ц Q, r)| < K * ( D , T) const

(t_.^1— *

(36')

(37)

(37')

IГ ( А , Ц В, т)Л(В, г)I < A0 K * { D, Т) const

1-№*1 r%s+hl ’

2 A ( P , t ) d P ( P , t ; Q , r ) di p d r ( P , t; B, r)

< 2 Д

{ t - r )

Mist

dl\ A{ B, т) < Aa const

( t - r ) 1- ^ ‘ r ^ ~ {1' ei)H1 '

Roczniki P.T.M. Prace Matematyczne IV. 7

gdzie

(38) X * (D , T) = B hl~6lX1 j)4hi - ei*i)^

a h1 = inf(fr, 2h'), As oznacza kres górny funkcji (30) na powierzchni 8, Ла — w zbiorze Q.

Wobec ciągłości funkcji G [ P , t , u ] , g( P, ł ), F [ B , r , u ] , Л(В,т) i oceny jądra (37'), do równania (34), rozważanego ze względu na nie­

określoną funkcję < p {.Q, t ), stosuje się twierdzenie W. Pogorzelskiego o istnieniu rozwiązania (patrz [2]) i rozwiązując równanie (34) ze względu na <p{P, ł), otrzymamy równanie równoważne równaniu (34) w postaci

(39) < p ( P , t ) = X f r , u ( Q, r)]-

d I ^'d^ B ’ ^ A ( B , » ) F [ B , d , u ( B , { t ) ] d B d A dQ dr -

o a Q

- 2 M { P , t)G*[P, t, U(P, * ) ] - t

IIf 2Л (В’ d r ( F ’dT B ’ T > Л(В’r)B[B’T’U(B’ T ^dBdt’

0 S3 * p

gdzie jądro rozwiązujące 97*(P , t-,Q,r) jądra

(40) N - ( P , f , Q , r ) = 2Л (Р ,< )— (P: P Q- ’ T), d-Lp mającego ocenę (37), jest sumą szeregu

CO

(41) 9 l *( P ,< ; g , T ) = N 4 P , t - , Q , r ) + ^ X lS t ( P , f , Q , r )

i = l

jąder iterowanych

t (42) S t ( P , f , Q , x ) = /

x S(II)

N*o(P,t-,Q,T) = N*( P, P, Q, r), i = 0 , 1 , 2 , . . . , które począwszy od

(43)

”» = т а х И - о У - £ ( ( Т ^ У

mają ocenę następującą:

(44) \N:0+m(P ,p ,Q ,r)\ < - J ± - — l,\ n \ w = 1 , 2 ,

дх т Р Я

przy czym Г в {\дхкх) oznacza funkcję gamma Eulera, zaś (45)

natomiast

\ К ( Р , ц я , т )I < f l f ,

(46) f f J ^ d n o t .

s ■* n

Szereg (41) jąder iterowanych ma ocenę następującą:

(47) |9Г(Р,г; е , т ) | < c ; 1

{ t - r ) +

PQ V0-1

i=l

i:

a V ' 1»

JrQ

+ r ° y*(1) (< — 4- У ^{jVQ+m 9i} [<ilrE( ł e l>Cl){t— ')i°14Y

\0XKX тГЕ{т\Вгхх~\

gdzie Oj, y P \ y;0(1) są określone stałe dodatnie, a v0 dane przez (43) oznacza pierwsze jądro ograniczone.

Stosując przekształcenie Dirichleta i porządkując, równanie (39) napiszemy w postaci

(48) <p{P, t) = — A{2A( P, ł)G*[P, t, u{P, i)] + t

+ A J f j 91* (P , t ; Q, r)2A{Q, r)G*[Q, r, u{ Q, т)]йф^т} — o s

<

-Л 2/ / / / < 2 Я ( Р , г; P , 0)Л(Р, 0 )P [P , 0, u{B, ЩЛВМ, gdzie

о я

^ йГ(Р, «; P , 0)

(49) OT(P, t; B, 0) = 2Л (Р, <)--- ^ ■ +

+ A f f f ^ \ P , t - , Q, r ) 2 A( Q, r) d r(Q , r; P , 0)

dTn drdQ.

s o

Zastępując w układzie (33) i (34) równanie (34) równaniem jemu równoważnym (48), otrzymamy układ równań [(33) i (48)] równoważny układowi [(33) i (34)].

Rozwiązując układ [(33) i (48)], podstawiamy <p{P, /), wyrażoną z równania (48), do równania (33) i po zastosowaniu przekształcenia Di- ricłdeta i uporządkowaniu otrzymujemy jedno równanie z poszukiwaną funkcją u ( A , t ) w postaci

t

(50) u ( A , t ) = — A j f f V*(A, t; Q, r)2A( Q, T) G*[ Q, T, u{Q, x)]dQdx—

0 S(Q)

t

- A I I I V* [A, t\ В, т)Л(В, x ) F[ B, r, u(B, r ) ] dBdt , o

gdzie

(51) V \ [ A , f , Q , x ) =

t

= r { A , t ; Q , T ) + X f f f r ( A , t ; Q , r ) 9 t * ( Q , i ; Q , r ) d i i J Q , S($) T

t

(52) V t ( A , t ; B , r ) = Г { А , Ц В , х ) + Л$/ J r ( A , t ; Q ,т)9Я(0 ,т ;Б ,x)dx dQ.

S r

Uwzględniając (32), równanie (50) zapiszemy w postaci:

i

(53) u { A , t) = 1 J JJ V*(A, t; Q, r)2A(Q, r)g{Q, x)u(Q, x)dQdx—

o -sr

t

—я f J f V * ( A , t ; Q , r ) 2 A ( Q , x)G[Q, t , u {Q, x)]dQdx—

o s

t

- A I f f V^iA, tj B f x ) A { B 1 x ) F[ B, t , u ( B , x)]dBdx.

o

Stosując metodę kolejnych przybliżeń wykażemy istnienie jedynego rozwiązania równania (53).

W tym celu ocenimy całki:

t

(54) 3 f ( A , t ) = f f f У * ( А , { ; Q, t) 2A( Q, r)vf(Q, T ) ^ 4 Q d r ,

0 S{0)

(1 = 0 , 1) fc = 0 , l , 2 , . . . ,

t

(55) 3 ; v , ( ) = / / / / V t { A , Ц В, r ) A{ B, x)xkieiHldBdx, 0 Q

gdzie operatory Y\{A, t; Q, x) i V*(A,t', B, x) są określone równościami

(51) i (52), a v*(Q,x) oznacza funkcję ciągłą w dziedzinie domkniętej

{QeS-, Tc[0, T]}: v*0(Q, r) = g{Q, r), v*[Q, x) = 1.

Aby ocenić całki (54) i (55), znajdziemy najpierw oszacowania opera­

torów (51) i (52).

Otóż, uwzględniając nierówności (36) i (47) otrzymujemy ocenę (56) |FJ(A, Ц Q,

< K * ( D

VO —X

Ai+1y?(2>

r’AQ

у Г) ^I const

{ t - т)1-*®1"1 r% 2+hi +

4- > Al+1 «v*^2) A

_____________________i_ ro+1 *(2)

_ T\-[i-(vo+2)J0i*i] 4-

^ Z j * г r » - - l - 6 + l ) < l - 0 l ) * X - ( l - * l ) + ( A i - * l ) У*0 V T) ^

г=0

, *(2i

+ y 2 / (» + 1) у » [ ( » + 1)* в ^ Г ]}’

gdzie у*(2\ у*«, / « są to określone stałe dodatnie.

Stąd dla całki (54) otrzymujemy ocenę następującą:

(57) |3;*(A,t)| < K * ( D , T ) x

„ f v * , * * ™ , V » + .+ « [gtrEw 1xi) r +'rE (kielXl)t'+"‘»” \

х ! > Лу.« + У > я - a + W -*»r’ iim+l + b)V > ^ I

г=0

m=1

X

^i6l«l(l+*) SUp ||i*|

s ,[ o ,T ] ____

R * l ( l + к)*™

gdzie у * i y* są określonymi stałymi dodatnimi; AeQ* C Q, O* — obszar domknięty, Tc — 0 , 1 , 2 , . . .

Oznaczając funkcję w nawiasie przez H*k{t), która, jak łatwo widać, jest funkcją rosnącą i ciągłą w przedziale [0 , T] o wartościach dodatnich i przyjmuje swoje supremum dla t = T, możemy ocenę (57) zapisać w postaci

/łei*i(i+*)

(58, М Ч А , l)| < K U B , T)H*k(t) ^ ■ T K I [0.31

(i = 0 , 1), Tc = 0 , 1 , 2 , . . . Zbadamy obecnie całkę (55).

Z nierówności (37) i (47) uzyskujemy ocenę następującą:

(£ _ T)-[x-łOi«i] ( т - т Г [1_(*+,)^

(59) |3R(«, i ; B,T)| < + +

Ы rOB

+ ( т — + Д '0 + 1 _ T j - [ i - ( - o + 2 ) l » i * i l

+ /S*(1) у Д-

+

+» (f - т)1"1"1] im+x

Ш =1

( m + 1) [(m -ł-l)^ !^ ]

gdzie określone stałe p*W gą dodatnie.

Wobec oceny (59) i (36) otrzymujemy:

(60) 17? ( A , t ; S , r) | < K* (D , T )j$ ;(2)

• A Tł

+

*-0-1

A B

в1)»1- ( 1- ж1) + (й1- хх) — Хл\

+ A ”0 + 1 / S J J J

(t — ^ 0+ 2 ^ * ( 2 ^ ^ _ T ) - [ i - ( * o + » H e x * i ] ^

-im+2 (m + 2) / ,® [(m + 2)J01j<1] 1 ’ m=i

gdzie stałe /Sj<2), $ “<2>, /5*% 0*<*>2 i /S*<2> są określone, dodatnie.

Ostatecznie dla całki (55) otrzymujemy ocenę następującą:

*■0 + 2

( 6 1 ) | 3 , * * ( 4 , <)| < E*(D, T) ⁽ £ t f t f * * 1*1 4 +

* {=0

y r o+2+m (ni <ж »+w ™ \ *łei*1(1+fc)

£ x ' (1 + Т с )1- ^ Г е [( ш + 2 + Щ 0 ^ 1] f + ) fc)4^ 1 gdzie i /f* są to określone stałe dodatnie; J.ei2*C £?, A; = 0 , 1 , 2 , . . . Oznaczając w nierówności (61) funkcję w nawiasie przez Hlk(t), gdzie funkcja Hl k(t), przyjmująca w przedziale [0 , ! 1] wartości dodatnie, jest w tym przedziale ciągła i rosnąca i przyjmuje swoje supremum dla t = T, ocenę całki (55) możemy napisać w postaci

^ł0i*i(i+&)

( 6 2 ) 1 3 , - U , 1)1 < 1C(D, Т)Н?т

Wprowadzając operatory funkcyjne

h = 0 , 1 , 2 , ...

(63) Я 0 * ( А , « , м ) = - j j j 7 H A , t -,Q , T) 2 A {Q , T)g{Q, r) u (Q , r) ilQdT, o s

l

(64) Ń * ( A , t , u ) = j f f V*X(A, Ц Q, т)2Л(Q, r)G[Q, r, u(Q, r)]dQdr, o s

t

(65) Ś t ( A , t , u ) = / / / / У 2 ‘ ( А , г ; В , г ) Л ( В , г ) ^ [ В , т , « ( В , т ) ] ( г В й г

o o

oraz

o

(66) = ^ 6 t ( A , t , u )

i«0

otrzymamy równanie (53) w postaci

(67) u( A, t) = - Л Й * { А , /, u).

Uwzględniając ocenę (58) całki (54) i przyjmując Tc = 0, dla j = 0 otrzymujemy

( 6 8 ) в и р | Й ? ( 4 , ( , « ) | <K*(D,T)Ht°(t)T r— K , 0mv\u\,

[0,U

gdzie stała K% = sup |®J| oznacza kres górny funkcji g(Q, r) ciągłej w dzie­

dzinie { ^ [ O , ! 7]}.

Dla j = 1 otrzymujemy natomiast

№ 1*1 (69) fmV \ A t { A , t , u ) \ < K * { D , T ) H ? { t ) — - - E * ,

[0,T] Q*

gdzie stała E* oznacza kres górny funkcji G [ A , t , u] ciągłej w dziedzinie {Я, [0 , П [ —Ą 22]}.

Wobec oceny (62) całki (55) przy & = 0 otrzymujemy d°i*i (70) вир|Я,*(.4,*,«)1 < K * { D ,

£2% o ^

[0.21

gdzie K* oznacza kres górny funkcji F [ A , t , u ] ciągłej w dziedzinie { Q+S-, [0 , T ] ; [ - R , - R ] } .

Na mocy nierówności (68), (69), (70) otrzymujemy 2

(71) l « ( ^ M ) l <

2 T'iSlXl

2 1 л к ; к * ( 1 > , Т ) Н Г ( Т ) — —

г=1

1 - Ш 1 К * ( В , Т ) Н Т { Т )

Г£\НХ1 ł M l

rfidi*!

1 - X K * K * { D , T ) H * ° { T ) --- > 0.

ł M l

gdzie

Uwzględniając (58) przy к = 0 dla / = 0 otrzymamy 77*91*1 (72) s w p \ H t { A , t , u " ) - R t { A , t , u ' ) \ < K * ( D , T ) H T { T ) —— x

a*

[0,T ]

a dla j = l , wobec założenia (9),

X lfjsup|w" — u’ \,

rpih *1 (73) s u p ł a j ( 4 , t, u") — H*{ A, t, u')\ < K* ( D, T)H*°(T) —— X

[a%

X ZJsup|w" — u '\.

Uwzględniając natomiast (62) przy к = 0 oraz (8) otrzymujemy

A A 77*91x1

(74) 8и р|Я ?(А ,<, u " ) - B t ( A , t, %')\ < K*( D, Т)Н\\Т)—— X ii*

[ О .Г ]

X -Ł* sup \u" — u'\.

Na mocy nierówności (72), (73), (74) otrzymamy (75)

gdzie (76)

sup I —XH (A , t , u " ) ~ ( — Х)Й*{А, t , u')\ <

[o,T] a*

2 77*91x1

< T) H?° (T) —— sup Iи" — w' I,

<=1

z ? = * * + 2? .

Przystępując do rozwiązania równania (67), tworzymy ciąg kolej­

nych przybliżeń

(77) Ui (-4., t) , (-4, i ) , . . . , (-4, ^), •. • przy pomocy równości rekurencyjnych

(78) un+1{A , t) = — XH*{A, t, un), n — 1 , 2 , . . . ,

gdzie wl (A, t) jest dowolnie obraną funkcją ciągłą w dziedzinie {/2, [0 , T}}

spełniającą warunek

(79) [%U,tf)| <72.

Aby dowieść, że ciąg (77) istnieje, załóżmy, że n -tj wyraz jest ciągły i spełnia warunek

(80) K ( - < M ) I < B >

wtedy na mocy nierówności (71) wyraz następny będzie też ciągły i będzie spełniał nierówność

(81) K +1( 4 , t)\ < R ,

skoro tylko stałe zagadnienia spełniać będą nierówność

2 Tłł01*l

2 як? К * ( I) , T) В Т (Г) — — (*) 0 < ---

1 - ж ; л с * ( 1>, T) Ht ° ( T) --- ł M l

Stąd przez indukcję wnioskujemy o istnieniu ciągu kolejnych przy­

bliżeń ciągłych (77), skoro tylko spełniony jest warunek (*), który jest warunkiem (10), przyjętym w założeniach (T > 0).

Udowodnimy, że ciąg funkcyjny (77) jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny do funkcji u( A, t ) , spełniającej równanie (67) w dziedzinie { fi, (о, 21]}.

Otóż, wobec (71) i (79) oraz (10) otrzymamy

2 7^01*1

2 i k ; k *{ d , t ) h T(T) —

(82) \UZ{A) t) W1(-d, tf)| ^ 1=1 тЩх! ^ 2R.

1 - I K * 0K *(I), T) H*°( T) --- ł®i*i

Uwzględniając założenia (8), (9) oraz oceny (54) i (55) przy Tc = 0 oraz (82), otrzymamy

21 fWlH l

(83) | щ ( А , t ) - u t { A, t ) | < 2 R 2 j XLi K' { B ’ T) H* i0it)

Uwzględniając założenia (8) i (9), oceny (58) i (62) oraz (83) z pomocą indukcji matematycznej: dla n < n0—1, gdzie n0 jest liczbą naturalną spełniającą nierówność

(84) % |0i*i>Po>

przy czym p0 ™ 1,461... jest liczbą, dla której Г Е(р0) = Г ЕЫР>0), otrzy­

mujemy nierówność

(85) \un+i {A) t) un( A , t )| <

k = n — 2 2

< 2 В П ^{{ 2} № * x * ( D , r ) f l : 4(«)]J

k= 0

[(тг—l )!]*®1*1

natomiast dla n > n0 otrzymujemy nierówność (86) | un+1 ( A , t ) - u n( A, t)\ <

2

f 2 Л01*х )n-l

г № * г * (х > ,т ) я Г » ( « ) ]т г —

U=1 '

gdzie T > 0 jest stałą z warunku (10), n — 1 , 2 , . . . , n0, n0+ 1, w0+ 2, ...

Z nierówności (86) wynika, że szereg funkcyjny

którego n-ta . suma częściowa sn{ A , t) — un{ A , t), będzie bezwzględnie i jednostajnie zbieżny, a więc ciąg (77) będzie jednostajnie zbieżny w dzie­

dzinie {Q*, (0 , T]} do pewnej funkcji ciągłej u*(A, t), skoro tylko będzie spełniona nierówność (10).

Granica u*( A, t ) ciągu (77) spełnia równanie (67).

Pisząc równanie (67) w postaci

i podstawiając po lewej stronie zamiast u (A, t) granicę u*( A, t ) i uwzglę- niając (78) oraz (75) mamy

m ip\u*(A,t)-ł-kH*(A,t,u*)\ <

[O.Tl

< sup|w*(J., t) — un(A, t)i + sup [ — ЛЙ*(А, t, u ^ j ) + ЛH * ( A , г, й*)| <

skąd, wobec dowolności s, wynika, że granica u*{A, t) ciągu (77) spełnia równanie (67).

Funkcja u*( A, t ) jest jedynym rozwiązaniem równania (67). W tym celu wykażemy najpierw, że granica u*( A, t ) ciągu przybliżeń (77) nie zależy od wyboru funkcji początkowej ux{ A, t) .

00

u( A, t ) A h H * ( A , t, u) = 0

e

Istotnie, biorąc dwie dowolne funkcje ciągłe u\{A, t) i u\{A, t) speł­

niające warunek

\u\(A,t)| \u\(A,t)| <12

i tworząc przy pomocy równości rekurencyjnych (78) dwa ciągi kolejnych przybliżeń

(87) u\(A, ł), u\{A, t), u\(A, t ) , . .. , u ^ A , t ) , . .. , (88) ttJ(-M ), t), uliA i <)> •••> < ( 4 , « ) , ...

i uwzględniając założenia (8), (9) i oceny (58) i (62), z pomocą indukcji matematycznej otrzymujemy nierówność

(89) \Un+1( A , t) ^n+i{Ajt)\ <

1 {.LiUth(T)1 к=щ—1

< 2 ^ / 7 л=о

г=1

i ; [х ,* я г п о )]

i = l

2 Я£*Я’(Я, Т) ДР>(«) I,—

[>!]łei*i

dla wszelkich n ^ n 0, gdzie n0 jest liczbą naturalną z nierówności (84).

Stąd wynika, że dla wszelkich AeQ, t e [ 0, T] , lim |Un(A, t ) —ul(A, t)| = 0 ,

П —У oo

a więc że i

lim {u\(A, t) — Un{A, <)} = u1 (A, t) — u2(A, t) = 0,

П —у OO

co oznacza, że dwa ciągi przybliżeń {uln\ i {u2 n\ mają wspólną granicę lim u\{A, t) = lim u%[At t) = u( A, t).

» - > OO П —УОО

Stąd wynika już, że granica ta jest jedynym rozwiązaniem równania (67). Gdyby bowiem były dwa rozwiązania ciągłe: u*( A, t), gdzie u*{A, t) jest granicą ciągu przybliżeń (77), i u( A, t ) , to przyjmując u*( A, t ) za pierwszy wyraz i tworząc przy pomocy wzorów rekurencyjnych (78) ciąg kolejnych przybliżeń, otrzymamy ciąg funkcji równych:

йг( А, t) = й*(А, ł) — U2{A, t) = uz{A, t) = ... — un(A, t) — ...

i podobnie, przyjmując u ( A , t ) za pierwszy wyraz i tworząc z pomocą wzorów (78) drugi ciąg kolejnych przybliżeń, otrzymamy ciąg funkcji równych:

ut ( A, t) — u { A , t) = иг{А, t) = ... = un{ A , <) = ...,

a że granice obu ciągów są równe, gdyż jak dowiedliśmy, nie zależą od wyboru funkcji początkowej, więc u( A, t) = u*(A, t) w { O, t k[ 0, T]}.

Funkcja u( A, t) = u*[A, t) spełniająca równanie (67) jest rozwią­

zaniem zagadnienia granicznego [(1), (2), (3)]. Istotnie, podstawiając jedyne rozwiązanie u * { A , t) równania (67) do równania (48), otrzymamy określoną funkcję ciągłą <p(P, t) = ^*(P, t), która wraz z funkcją u*{A, t) stanowi jedyne rozwiązanie układu równań [(33), (34)], czyli [(27), (34)].

Funkcja ciągła u*(A, t) spełniając równanie (27), wobec przyjętych założeń o funkcji F [ A , t , u] i o współczynnikach aap { A , t), na mocy twier­

dzenia 7 W. Pogorzelskiego w pracy [5] i własności potencjału (12), po­

siada pierwsze pochodne względem współrzędnych xa punktu A ciągłe i ograniczone we wnętrzu obszaru zamkniętego Q* C Q.

Otrzymujemy więc, że gęstość (14) dla funkcji u*( A, t ) całki (13), analogicznej do potencjału ładunku przestrzennego względem równania jednorodnego (1), spełnia warunek Hóldera ze względu na В :

(90) \ e ( B , r ) ~ e ( B l , r ) \ < k rrr%Bl

w każdym obszarze Q* C Q, gdzie k1Y — określona stała, <5 = min(e, h), s — stała z warunku (8), h — stała z warunku (4).

Dla funkcji u { A , t ) = u*{A, t) gęstość q {B, t ) całki (13), analogicznej do potencjału ładunku przestrzennego względem równania jednorodnego (1), spełnia więc założenia twierdzenia 8 dowiedzionego przez W. Pogo­

rzelskiego w pracy [5].

Funkcja u( A, t) = u*(A, t), spełniając równanie (27), na mocy własności potencjału (12) i twierdzenia 8 W. Pogorzelskiego z pracy [5]

spełnia więc równanie cząstkowe (1), gdy AeQ* C Q, tc{0, Т].

Z równania (34) wynika od razu, że znaleziona funkcja и ( А ^ ) —

= u*(A, t) spełnia warunek brzegowy (2) dla 0 < t < T.

Wobec (90) na mocy własności potencjałów (12) i (13) (patrz [5]

i [6]), otrzymujemy z (27), że U*(A,t) spełnia warunek początkowy (3) dla A eQ* C Q.

Tym samym dowiedliśmy następującego twierdzenia:

T

. Jeżeli funkcja F [ A , t , u] w równaniu (1 ) jest określona i ciągła w dziedzinie { Ae Q + S-, te[0, T]', \u\ B} i spełnia w tej dziedzinie warunek Hóldera ze względu na A i warunek Lipschitza ze względu na zmienną щ określony nierównością (8), a funkcja G [ P , t , u ] jest określona i ciągła w dziedzinie { P e $ ; $e[0, T]; \u\ < Щ i spełnia w tej dziedzinie warunek Lipschitza ze względu na zmienną u, określony nierównością (9), funkcja g ( P, t ) zaś jest określona i ciągła w dziedzinie { P e $ ; <e[0,T]}

oraz nadto dla funkcji F \ A , t , u ], G [ P , t , u ] i g{ P, t ) spełniony jest wa­

runek (10), to w dziedzinie {&, (0 , T]} istnieje rozwiązanie u (A , t) równania

(1) spełniające warunek graniczny (2) w każdym punkcie P powierzchni S ograniczającej obszar Q, przy każdym O < < < T, oraz warunek początkowy (3) przy każdym AeQ.

Prace cytowane

[1] W . P o g o r z e ls k i, Sur le probUme de Fourier generalise, Ann. Polon. Math.

3 (1956), str. 126-141.

[2] — Własności potencjałów cieplnych w teorii równania przewodnictwa, Biu­

letyn W . A . T ., nr X X I X (1957).

[3] — Sur la solution de Vequation integrate dans le probleme de Fourier, Ann.

Soc. Polon. Math. 24 (1951), str. 5 6 -7 4 .

[4] — Les proprićUs d'une fonction de Green et ses applications aux equations ellipiique8, Ann. Polon. Math. 3 (1956), str. 46 -7 5 .

[5] — Etude de la solution fondamentale de Vequation parabolique, Riceroho di Matem. Napoli 5(1956).

[6] — Proprietes des integrates de Vequation parabolique normale, Ann. Polon.

Math. 4 (1957), str. 6 1 -9 2 .

[7] — Problemes aux limites pour Vequation parabolique normale, ibidem 4 (1957), str. 110-126.

[8] — Probleme aux limites pour Vequation pavabolique dont les coefficients dependent de la fonction inconnue, Ricerche di Matem. Napoli 5 (1956).

T. M. Е ндрыка (Познань)

О Н ЕК О ТО Р О Й О БО БЩ ЕН Н О Й З А Д А Ч Е Ф УР Ь Е Д Л Я Н ОРМ АЛЬНОГО П А Р А Б О Л И Ч Е С К О ГО У Р А В Н Е Н И Я

РЕЗЮМЕ

В этой статье доказывается существование функции u ( A, t) удовлетворя­

ющей в каждой точке { A, t ) {AeQ; te{ 0 , Т ]) нелинейному уравнению с частными производными параболического типа в виде (1), а в каждой точке Р поверхности S нелинейному условию (2) для 0 < f ^ Т и начальному условию (3) при AeQ, где duldTp обозначает трансверсальную производную (11).

Область Q ограниченная поверхностью S, удовлетворяющая условиям Ляпунова дана в эвклидовом w-мерном пространстве.

Решение задачи [(1), (2), (3)] получается при предположениях 1, 2, 3 и при

условии (10).

Т . М.

(Poznań)

ON C E R T A IN G E N E R A L IZ E D P R O B L E M OF F O U R IE R F O R A N O R M A L P A R A B O L IC E Q U A T IO N

S U M M A R Y

In this paper the function u ( A , t ) is proved to exist by using the method of successive approximations, satisfying in every point ( A , t ) {AeQ; te(0, T]) the non­

linear partial differential equation of parabolic typo in the form of (1), and in every point P of the surface 8 the nonlinear condition (2) for 0 < t ^ T, and tho initial condition (3) by AeQ, where du/dTp denotes the transversal derivative (11).

The domain Q is given in w-dimensional Euclidean space and is bounded by the surface 8 which satisfies Liapounov’s conditions.

The solution of the problem [(1), (2), (3)] is obtained with assumptions 1, 2, 3

and with condition (10).