Wykad 8

(1)

MECHANIKA 2

Wykład Nr 8

Drgania

punktu

materialnego

(2)

Wst

ę

p

Drgania

Okresowe i nieokresowe

Swobodne i wymuszone

(3)

Drgania okresowe –

ruch powtarzaj

ą

cy si

ę

regularnie

Drgania harmoniczne –

opisywane s

ą

sinusoidaln

ą

funkcj

ą

czasu

Wst

ę

p

W technice:

drgania spr

ęż

ystych elementów

konstrukcji: pr

ę

tów, belek, wałów,

drgania mostów, budowli itp.

(4)

Faza ruchu

okresowego

Amplituda ruchu

okresowego

(5)

r y α ω

α = ω

t

)

sin(

)

(

t

=

r

ω

t

+

α

₀

x

)

sin(

)

(

t

=

−

r

ω

2

ω

t

+

α

₀

x

&

Gdzie:

r - amplituda

ω

- częstość kątowa, rad/s

ω

t +

α

₀

– faza drgań, rad

α

0

– faza początkowa

Parametry ruchu:

)

cos(

)

(

t

=

r

ω

t

+

α

₀

x

&

x

(6)

Dla

α

_o

=

π

/2

r

ωr

(7)

Drgania swobodne punktu materialnego

Punkt materialny o masie m porusza się ruchem prostoliniowym pod działaniem siły , przyciągającej ten punkt do stałego punktu 0,

zwanego środkiem drgań.

F

ρ

(8)

2

ω

=

m c

Drgania swobodne punktu materialnego

Po podstawieniu równanie ruchu przybiera postać:

Po podstawieniu otrzymamy równanie ruchu w postaci Dynamiczne równanie tego ruchu ma postać:

-cx

F

=

(9)

Drgania swobodne punktu materialnego

Wprowadzając stałe całkowania w postaci: Rozwiązanie ogólne ma postać:

(10)

Ruch określony powyższym wzorem jest ruchem okresowym o okresie T= 2π/

ω

, częstości f = 1/T .

Otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci:

gdzie: a – amplituda drgań,

ω

t +

ϕ

– kątowa faza drgań,

ϕ

– faza kątowa początkowa drgań,

ω

– częstość kątowa drgań.

Zgodnie z wcześniejszym oznaczeniem ₌ _ω

m c

(11)

Drgania swobodne punktu materialnego

Prędkość

(12)

Drgania tłumione punktu materialnego

Przyjmiemy teraz, że drgania następują w ośrodku stawiającym

opór proporcjonalny do prędkości

_R

=

−

β

_v

=

−

β

_x

&

Siłę nazywamy siłą tłumiącą, a współczynnik proporcjonalności

β

-współczynnikiem tłumienia.

(13)

Drgania tłumione punktu materialnego

Po oznaczeniu i m c ω2 = m β n = 2

otrzymamy dynamiczne równanie drgań tłumionych w postaci: Dynamiczne równanie tego ruchu ma postać:

(14)

Drgania tłumione przy mały tłumieniu

Przypadek ten zachodzi, gdy

ω

>n. Rozwiązanie ogólne ma postać:

Zamiast C₁ i C₂ wprowadzimy nowe stałe: a oraz

ϕ

(15)

Drgania tłumione przy małym tłumieniu

W przypadku małego tłumienia punkt wykonuje drgania,

jednak dla t

→

∞ będzie x

→

0, czyli ruch nie jest okresowy.

Jednak z równania ruchu wynika, że przejścia punktu

przez położenia równowagi (x = 0) następują okresowo.

Możemy więc mówić o drganiach tłumionych o okresie T

_t

i częstości kątowej

ω

_t

, określonych zależnościami:

(16)

Okres drgań jest nieznacznie większy od okresu drgań swobodnych. Tłumienie powoduje wykładnicze zmniejszanie amplitudy drgań,

proporcjonalnie do -nt aż do całkowitego zaniku drgań.

ae

Drgania tłumione przy małym tłumieniu

(17)

(18)

Dekrement drga

ń

tłumionych

Stosunek bezwzględnych wartości amplitud drgań jest stały i wynosi

Stosunek ten nazywa się dekrementem drgań.

Logarytm

naturalny

tego

stosunku

δ

nazywamy logarytmicznym dekrementem drgań:

(19)

Drgania tłumione przy du

ż

ym tłumieniu

Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy

ω

<

n

. Rozwiązanie ogólne:

Po podstawieniu stałych całkowania w postaci:

(20)

Drgania tłumione przy du

ż

ym tłumieniu

Zmienimy jeszcze raz stałe całkowania

Równanie ruchu przybiera postać:

Ruch określony tym równaniem nie jest

ruchem okresowym.

Przy dużym tłumieniu

(21)

Krytyczne tłumienie

Poczynając od tłumienia krytycznego n =

ω

ruch punktu staje się ruchem nieokresowym.

Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy

n =

ω

.

(22)

Na punkt materialny działa dodatkowa siła wymuszająca S, okresowo zmienna wg równania

Drgania wymuszone punktu materialnego

pt H

S = sin

- amplituda siły wymuszającej.

H

pt – faza siły wymuszającej

p – częstość kątowa siły wymuszającej

p

(23)

Równanie ruchu ma postać:

Drgania wymuszone punktu materialnego

Po wprowadzeniu oznaczeń

częstość kątowa drgań swobodnych,

jednostkowa amplituda siły wymuszającej

m

c /

=

ω

m

H

h

=

/

(24)

Drgania wymuszone punktu materialnego

Całka ogólna różniczkowego równania ruchu ma postać

– jest amplitudą drgań wymuszonych:

Drgania wymuszone są sumą dwu drgań harmonicznych:

- drgań swobodnych o częstości kątowej ω

- drgań wywołanych siłą wymuszającą o częstości kątowej p

Działanie

siły

wymuszającej

wywołuje

drgania

harmoniczne,

które

nakładają

się

na

drgania

swobodne.

(25)

Amplituda drgań wymuszonych wynosi

Zjawisko rezonansu mechanicznego

ω

< p

ω

>

p

oraz dla

Amplituda drgań wymuszonych zależy od częstości drgań swobodnych, częstości siły wymuszającej oraz amplitudy siły wymuszającej.

Dla p =

ω

amplituda

(26)

a szczególne rozwiązanie

Zjawisko rezonansu mechanicznego

W przypadku gdy ogólne rozwiązanie równania

różniczkowego drgań wymuszonych przyjmuje postać :

Z równań ruchu wynika, że kiedy częstość siły wymuszającej zbliża się do częstości drgań swobodnych, to maksymalne

odchylenie punktu od położenia zerowego zmierza do

nieskończoności.

Mówimy, że zachodzi zjawisko

rezonansu mechanicznego.

ω

=

(27)

Wpływ tłumienia na drgania wymuszone

Równanie dynamiczne tego ruchu

(28)

3) dla tłumienia krytycznego, gdy , 2) dla dużego tłumienia, gdy ,

Wpływ tłumienia na drgania wymuszone

Rozwiązanie równania ruchu ma postać:

n

>

ω

n

<

ω

n

=

ω

(29)

Wpływ tłumienia na drgania wymuszone

przy założeniu, że .

W przeciwnym przypadku nie istnieje częstość rezonansowa.

Badając drugą pochodną łatwo stwierdzimy, że dla ,

występuje maksimum amplitudy.

(

ω2 − 2n2

)

≥ 0

r

p p =

Częstość siły wymuszającej osiągnie wartość wartość zwaną

(30)

Na sprężynie o współczynniku sprężystości c = 30 N/m zawieszono ciężarek o masie m = 2 kg i wprawiono w drgania harmoniczne o amplitudzie A = 20 cm. Drgania obciążnika były nietłumione, w chwili początkowej obciążnik znajdował się w położeniu równowagi. Oblicz:

a) okres T drgań obciążnika,

b) przyspieszenie obciążnika w funkcji czasu t oraz jego maksymalną

wartość,

c) jaki będzie stosunek siły F₁ działającej na obciążnik w chwili gdy

będzie on wychylony z położenia równowagi o x = 2/3A do siły F₂

działającej po upływie czasu t = 0.25 s, licząc od chwili rozpoczęcia drgań.

(31)

a)

(32)

b) Równanie ruchu harmonicznego:

m

c

=

ω

Ponieważ

, to

Po podstawieniu:

(33)

b)

Rozwi

ą

zanie

0 1 2 3 4 t, s -3 -2 -1 0 1 2 3 a t , m s 2 T = 1.62 s

(34)

c)

Rozwiązujemy równanie:

Równanie ruchu drgań:

Siła F dana jest równaniem:

Po czasie t

₁

:

Po czasie t

₂

:

(35)

Przykład 2

Przy jakiej prędkości wagonu nastąpi rezonans, jeśli wagon o

masie m = 30 Mg porusza się po szynach złożonych z odcinków l

= 24 m. Zakładamy, że każdy z czterech resorów wagonu ma stałą

c = 4·10

6

N/m.

Okres drgań swobodnych wynosi:

s

3 .

0 2π

T

=

≈

c

m

Jeśli wagon porusza się ze stałą prędkością v, to na wagon

działa siła wymuszająca o okresie:

v

T

_w

=

l

– okres uderzeń kół wagonu o

(36)

Przykład 2

Rezonans nastąpi, gdy prędkość v będzie prędkością

krytyczną, tzn.

Zatem:

Odp.:

(37)

Przykład 3

Obliczyć częstość drgań masy m = 200 kg, umieszczonej na

końcu B belki utwierdzonej w punkcie A. Belka ma długość l =

1 m. Przekrój belki jest kwadratem o boku a = 4 cm, a moduł

Younga E = 2·10

5

MPa.

(38)

Moment gnący belki:

Rozwi

ą

zanie

Równanie linii ugięcia:

(39)

Rozwi

ą

zanie

Siła grawitacji jest siłą

powodującą drgania, więc:

Zatem:

_{Częstość drgań wynosi:}

Moment bezwładności

przekroju belki:

(40)

Przykład 4

Na końcu belki utwierdzonej o długości l umieszczony jest silnik

elektryczny o ciężarze G, wykonujący n obrotów na minutę.

Obliczyć, przy jakim momencie bezwładności przekroju belki

nastąpi rezonans?

(41)

Rezonans nastąpi, gdy:

Rozwi

ą

zanie

p

ω

=

Częstość siły wymuszającej to

prędkość kątowa silnika:

Z poprzedniego zadania:

Dla drgań swobodnych, spowodowanych

ciężarem silnika:

(42)