KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI

KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI

Laboratorium

Mechaniki Technicznej

Ćwiczenie 5

Badanie drgań liniowych o jednym stopniu swobody

2 Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych pojęć związanych z układem drgającym o jed- nym stopniu swobody oraz nabycie umiejętności teoretycznego i eksperymentalnego wyzna- czania jego parametrów (częstości drgań swobodnych oraz współczynnika tłumienia) i cha- rakterystyki amplitudowej.

1 Drgania liniowe o jednym stopniu swobody

1.1 Drgania swobodne bez tłumienia

Na rysunku 1 przedstawiono model fizyczny liniowego układu drgającego jednym stopniu swobody bez oporów ruchu i bez wymuszenia. Składa się on z punktu materialnego o masie m połączonego z nieruchomą ostoją liniowym elementem sprężystym o współczynniku spręży- stości k [N/m].

Rysunek 1. Swobodny układ drgający bez tłumienia.

Równanie dynamiczne ruchu układu z rysunku 1 wynika z II prawa Newtona i ma nastę- pującą postać:

0

mx kx  (1)

lub

2 0

x x

 , (2)

gdzie ^{2 k}

  m.

Poszukiwanym rozwiązaniem równania różniczkowego (1) lub (2) jest funkcja x(t), czyli równanie ruchu drgającego punktu. Rozwiązanie to ma postać:

 

1cos 2sin

x t C t C t (3)

lub

 

sin

 

x t  A  t (4)

gdzie stałe C1, C2 (w przypadku postaci (3)), A i β (w przypadku postaci (4)) wyznacza się z warunków początkowych x(0) i x₀ x(0)x . Rozwiązanie to posiada następujące parame-₀ try:

 częstość drgań własnych ^k

  m [s ], ^-1

 okres drgań własnych T ²

  [s].

3 1.2 Drgania swobodne z tłumieniem

Na rysunku 2 przedstawiono model fizyczny liniowego układu drgającego jednym stopniu swobody z tłumieniem i bez wymuszenia. Składa się on z punktu materialnego o masie m połączonego z nieruchomą ostoją liniowym elementem sprężystym o współczynniku spręży- stości k [N/m] oraz tłumikiem liniowym o współczynniku c [N·s/m].

Rysunek 2. Swobodny układ drgający z tłumieniem.

Równanie dynamiczne ruchu układu z rysunku 2 przedstawia się następująco:

mx cx kx   0 (5)

lub

2 2 0

x hx x

  , (6)

gdzie 2h c

m, ^{2 k}

  m.

W dalszej części rozważamy przypadek tłumienia słabego (podkrytycznego), gdy spełnio- ny jest następujący warunek

kr 2

c c  km lub h .  (7)

Wtedy rozwiązanie równania różniczkowego (6) ma postać

 

^ht



1cos 2sin



x t e^ C t C t (8)

lub

 

0 ^htsin

 

x t A e^  t (9)

gdzie stałe C1, C2 (w przypadku postaci (8)), A0 i β (w przypadku postaci (9)) wyznacza się z warunków początkowych x(0) i x₀ x(0)x . Rozwiązanie to posiada następujące parame-₀ try i własności:

 częstość drgań własnych tłumionych  ²h² [s ], ^-1

 okres drgań własnych tłumionych T_d ²

  [s],

 umowną amplitudę drgań własnych tłumionych A t( ) A e0 ^ht [m], i jest przedstawione na rysunku 3.

4

Rysunek 3. Drgania swobodne tłumione układu o jednym stopniu swobody.

Zauważmy, że logarytm umownej amplitudy drgań tłumionych jest liniową funkcją czasu

 

₀

lnA t lnA ht (10)

przedstawioną na rysunku 4.

Rysunek 4. Zależność logarytmu amplitudy drgań tłumionych od czasu.

Cechą charakterystyczną drgań swobodnych tłumionych jest osiąganie kolejnych maksi- mów (minimów) An i An+1 oddalonych od siebie o tzw. okres drgań tłumionych Td (zob. rysu- nek 3) i pozostających w stałej proporcji co do wartości. W związku z tym można wprowa- dzić pojęcie dekrementu tłumienia

  

¹



1 1

hTd

n

n t

A x t e

A_ x t T

   

 (11)

lub logarytmicznego dekrementu tłumienia

ln hT_d

    . (12)

Logarytmiczny dekrement tłumienia można więc zidentyfikować mierząc dwie kolejne mak- symalne (minimalne) wartości wychylenia i przedział czasu pomiędzy chwilami ich wystę- powania. Następnie można go użyć go do wyznaczenia z równania (12) współczynnika tłu- mienia h lub współczynnika tłumienia wiskotycznego c = 2hm.

0 ht

A e^

5

Należy zwrócić uwagę, że wartości ekstremalne (minima lub maksima) są co do wartości bezwzględnej nieco mniejsze od aktualnej chwilowej umownej amplitudy drgań A t( ) A e₀ ^ht, ale pozostają one cały czas w stałej proporcji do A t( ). Jeśli by przeprowadzić przez wartości ekstremalne krzywą eksponencjalną (analogiczną do umownej amplitudy drgań), to miałaby ona postać A t( )A e₀ ^ht. Po z logarytmowaniu otrzyma się lnA t

 

lnA ht₀ , czyli liniową funkcję czasu o takim samym współczynniku kierunkowym (ht) jak w równaniu (10), ale przebiegającą nieco niżej niż prosta na rysunku 4 (lnA t

 

lnA t

 

). Można tę własność drgań tłumionych wykorzystać do bardziej precyzyjnego wyznaczenia współczynnika tłu- mienia h, znajdując współczynniki funkcji liniowej opisującej logarytm zmierzonej ekspery- mentalnie serii amplitud (wartości ekstremalnych) wychylenia Ai w chwilach czasowych ti. Metoda ta zostanie wykorzystana podczas ćwiczenia laboratoryjnego.

1.3 Drgania wymuszone z tłumieniem

Na rysunku 5 przedstawiono model fizyczny liniowego układu drgającego jednym stopniu swobody z tłumieniem, wymuszonego siła harmoniczną. Składa się on z punktu materialnego o masie m połączonego z nieruchomą ostoją liniowym elementem sprężystym o współczynni- ku sprężystości k [N/m] oraz tłumikiem liniowym o współczynniku c [N·s/m] i poddanego działaniu harmonicznej siły wymuszającejP t( )P₀sint.

Rysunek 5. Układ drgający z tłumieniem wymuszony siła zewnętrzną.

Równanie dynamiczne ruchu układu z rysunku 3 przedstawia się następująco

0sin

mx cx kx P    t (13)

lub

2 2 sin

x hx x q t

  , (14)

gdzie 2h c

m, ^{2 k}

  m, q ^P0

 m .

Rozwiązanie równania różniczkowego (13) składa się z dwóch części

 

1

 

2

 

x t x t x t , (15)

gdzie x1(t) jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego (bez siły wymuszającej), na- tomiast x2(t) jest rozwiązaniem szczególnym równania pełnego. Rozwiązanie x1(t) reprezentu- je drgania swobodne i zależy od warunków początkowych. Gdy w układzie występuje tłumie- nie, drgania te z czasem zanikają; proces zanikania drgań nazywamy procesem przejściowym.

Po pewnym czasie pozostają jedynie drgania związane ze składnikiem x2(t) – są to ustalone drgania wymuszone mające postać

   

2 sin

x t a  t , (16)

i posiadające następujące parametry

6

 amplitudę



^{2 2}



^{2 4 2 2}

a q

  h 



  [m],

 kąt przesunięcia fazowego  arctan ₂²h ₂

 

  .

Zauważmy, że w przypadku braku tłumienia (h=0) i częstości ω siły wymuszającej równej częstości α drgań własnych układu, wyrażenie na amplitudę a drgań wymuszonych traci sens (pojawia się dzielenie przez zero). Wówczas rozwiązanie przyjmuje inną postać i amplituda rośnie nieograniczenie w czasie. Stan ten nazywa się rezonansem i zachodzi dla    _r  , gdzie _r jest częstością rezonansową siły wymuszającej. W rzeczywistych układach zawsze występuje jakiś rodzaj nieliniowości oraz dyssypacji energii, które ograniczają amplitudę. W szczególności tłumienie h ogranicza maksymalną wartość amplitudy a, która występuje dla częstości siły wymuszającej mniejszej niż częstość . Zależność amplitudy drgań od czę- stości siły wymuszającej nosi nazwę charakterystyki amplitudowej lub wykresu rezonanso- wego.

Na rysunku 6 przedstawiono przykładowe przebiegi względnej amplitudy a x (gdzie _st

2 0

xst q  P k jest wychyleniem statycznym) w funkcji względnej częstości siły wymu- szającej   , dla różnych wartości względnego tłumieniah  .

Rysunek 6. Charakterystyka amplitudowa wymuszanego harmonicznie oscylatora linio- wego z tłumieniem.

2 Stanowisko laboratoryjne i model matematyczny badanego układu

Podczas ćwiczenia laboratoryjnego wykorzystywane jest stanowisko przedstawione na rysunku 7. Może ono służyć do badania drgań o wielu stopniach swobody, jednak po zablo- kowaniu odpowiednich wózków stanowi układ drgający o jednym stopniu swobody. Wózki są wymuszane bezwładnościowo za pomocą sterowanych silników krokowych wyposażonych w tarcze z masami umieszczonymi w pewnej odległości od osi obrotu. Pomiar położenia wóz- ków odbywa się przy użyciu czujników Halla. Sterowanie silnikami i obserwacja położenia wózków odbywa się w systemie wykorzystującym sprzęt National Instruments i oprogramo- wanie LabView.

7

a) b)

Rysunek 7. Stanowisko badawcze drgań: widok ogólny (a) i zbliżenie na wózek użyty podczas badania drgań o jednym stopniu swobody (b).

Rysunek 8. Model fizyczny badanego układu.

Model fizyczny badanego układu przedstawiono na rysunku 8, a jego różniczkowe równa- nie ruchu ma postać (prawo ruchu środka masy)

C 0

mx  cx kx  , (17)

gdzie x jest położeniem wózka, x - położeniem środka masy C całego zestawu drgającego o _C masie m. Położenie środka masy można przedstawić jako

C Cw

x  x x , (18)

gdzie x jest położeniem środka masy zestawu drgającego w układzie lokalnym wózka. Po _Cw uwzględnieniu (18) w (17) otrzymuje się

mx cx kx    m x . Cw (19) Położenie względne środka masy zestawu drgającego można wyrazić następująco



n



0 n



e Cwe



Cw

m m c m c x

x m

  

 , (20)

gdzie m jest masą ciężarka umieszczonego na tarczy silnika powodującego jej niewyważe-_n nie, c jest położeniem w układzie lokalnym wózka środka masy części wyważonej zestawu ₀ drgającego o masie m m _n, natomiast c x_e _Cwe jest odpowiednim położeniem w układzie lokalnym środka masy ciężarka m . Składniki _n c i 0 c są pewnymi stałymi, natomiast e

Cwe sin

x e t. (21)

Uwzględniając (21) w równaniu (20) i różniczkując je dwukrotnie otrzymuje się

8

2sin

Cw mn

x e t

m  

   , (22)

gdzie przyjęto, że prędkość kątowa silnika  jest stała. Po podstawieniu równania (22) do (19), równanie różniczkowe ruchu układu drgającego (model matematyczny) przyjmuje na- stępującą postać

2sin

mx cx kx m e   n  t. (23) OznaczającP m e₀  _n ², równanie to przyjmuje postać identyczną z równaniem (13). Ampli- tuda siły wymuszającej P może być interpretowana jako siła bezwładności masy niewywa-₀ żenia mn, związana z jej ruchem względem wózka po okręgu o promieniu e.

3 Wymagania wstępne

Przed przystąpieniem do ćwiczenia wymagana jest znajomość zagadnień przedstawio- nych w rozdziałach 1 i 2 oraz tematu „drgań punktu materialnego” występującego na wykła- dzie przedmiotu „Mechanika techniczna II”.

4 Przebieg ćwiczenia i sprawozdanie

Zadaniem studentów jest doświadczalne wyznaczenie współczynnika tłumienia i charak- terystyki amplitudowej rzeczywistego układu drgającego przedstawionego w rozdziale 2. Sto- sując się do wskazówek prowadzącego i wykorzystując arkusz sprawozdania, należy wykonać kolejne zadania:

1. Uzupełnić cel ćwiczenia.

2. Obliczyć częstość własną drgań układu dla podanych parametrów.

3. Wytrącić układ z położenia równowagi i zarejestrować przebieg drgań swobodnych tłumionych. Odczytać z wykresu i zapisać kolejne wartości ekstremalne wychylenia i odpowiednie punkty przejścia wychylenia przez wartość zerową oraz odpowiadające im chwile czasowe. Dokonać stosownych obliczeń i wyznaczyć okres oraz częstość drgań swobodnych tłumionych oraz współczynnik tłumienia (w tym ostatnim przy- padku stosując metodę najmniejszych kwadratów).

4. Przeprowadzić badanie eksperymentalne, mierząc amplitudę drgań wymuszonych dla różnych częstości wymuszenia. Dokonać stosownych obliczeń oraz wykonać odpo- wiednie wykresy amplitudowe.

5. Przeanalizować wyniki i zapisać odpowiednie wnioski.

Literatura

1. J. Awrejcewicz: Mechanika. WNT, Warszawa 2007.

2. Z. Towarek: Mechanika ogólna. Zagadnienia wybrane. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2004.

POLITECHNIKA ŁÓDZKA

Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki Łódź, dnia . . .. . .

Nr Imię i nazwisko Nr albumu

1 2 3 4 5 6

Nr grupy

LABORATORIUM

MECHANIKI TECHNICZNEJ II

Temat: Badanie drgań liniowych o jednym stopniu swobody ⑤

Podpis prowadzącego

. . .

2

Cel ćwiczenia:

1. Układ drgający

Rysunek. 1 Model fizyczny badanego układu drgającego.

Równanie ruchu układu przedstawionego na rysunku 1:

gdzie:

m = 8.98 kg –masa całkowita ciała drgającego, k/2 = 3422 N/m – stała jednej z dwóch sprężyn, c – stała tłumienia [N·s/m],

x – przemieszczenie masy (x=0 odpowiada położeniu równowagi) [m], P(t) – zewnętrzna siła wymuszająca [N],

ω – częstość siły wymuszającej [rad/s],

P0= mn e ω² [ N ] – amplituda siły wymuszającej [N], mn e = 0,01975 kg∙m,

mn- masa niewyważenia, e- promień niewyważenia.

Częstość własna układu k

  m [
^ ]

2 m

k k 2

c

x

( ) 0sin P t P t

0 T 

3 2. Badanie drgań swobodnych (P(t)=0)

Stosując się do wskazówek prowadzącego, wytrącić układ z położenia równowagi i zarejestrować przebieg w czasie drgań swobodnych w specjalnym programie stworzonym środowisku LabView. Następnie naszkicować schematyczny wykres i zaznaczyć punkty kolejnych wartości ekstremalnych Ai bezwzględnej wartości wychylenia występujących w chwilach czasowych ti (i=1,.., n) oraz punkty Pi (i=1,.., p), odpowiadające przecięciom wartości zerowej przez wychylenie w chwilach czasowych tPi (i=1,.., p) – tak jak to pokazano na rysunku 2. Początkowe punkty A1 i P1 oraz wartości całkowite n i p ustalić z prowadzącym. Odczytać z wykresu wartości odpowiednich amplitud Ai i odpowiadających im chwil czasowych ti (i=1,.., n) oraz wartości tP1 i tPp. Wyniki zapisać w tabelach i wykonać wskazane obliczenia.

Rysunek. 2 Sposób wyznaczenia kolejnych punktów Ai i Pi. Szkic przebiegu drgań swobodnych:

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

x [ mm ]

t [ s ]

4 I. Okres Td i częstość λ drgań swobodnych tłumionych - na podstawie pomiarów

II. Współczynnik tłumienia h

i t [s] i A [mm ] i lnA _i ti² t_ilnA _i

tP1[s]

tPp[s]

p

2 1

1

Pp P

d

t t

T p

 

 [s]

2 Td

  [rad/s]

Współczynniki zależności ln Aln A ht₀

11 2 1 12

lnA0 S S S S D

 

1 2 12

S S nS

h D

  [1/s]

1 1

n i i

S t







2 1

n ln

i i

S A







11 2 1 n i i

S t







12 1

n ln

i i

i

S t A







11 12

D n S S

Stała tłumienia c i tłumienie krytyczne 2

c hm[N/s]

kr 2 kr

c  h m[N/s], gdzie h_kr  

5 Zależność ln A t otrzymana eksperymentalnie i wg równania

 

lnAln A ht₀

3. Badanie drgań wymuszonych

Stosując się do wskazówek prowadzącego zarejestrować eksperymentalną amplitudę ae drgań wymuszonych dla różnych częstości siły wymuszającej (wyrażonej jako częstotliwość f0

impulsów z generatora sterującego silnikiem krokowym). Ilość punktów pomiarowych i ich rozłożenie ustalić z prowadzącym. Zwrócić uwagę, aby jeden punkt pomiarowy odpowiadał wartości ekstremalnej amplitudy. Wyniki zapisać w tabeli, wykonać odpowiednie obliczenia i sporządzić wykresy.

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

ln A'

t [s]

6 Wzory do obliczeń:

1. Prędkość obrotowa silnika n f z ₀ , gdzie z = 12800 - parametr silnika krokowego.

2. Częstość kołowa silnika (wymuszenia)2 n .

3. Amplituda siły wymuszającejP m e₀  _n ², gdzie:m e_n 0,01975 kg m 4. Współczynnik wymuszeniaq P m ₀

5. Teoretyczna amplituda drgań wymuszonych (przy założeniu braku tłumienia)a q ²² 6. Ugięcie statyczne x_st q ² P k₀

f [Hz] 0 ^{ae [mm]} n [Hz ] ω[rad/s] ω/α ω²

[rad/s²] P [ N ] q [m/s²] a [mm] ⁰ x^st

[mm] a x ^{e st} a x st

7 0

5 10 15 20 25 30 35 40

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

a

_e

[mm]

a [mm]

ω/α

8 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

a

_e

/x

_st

a/x

_st

ω/α

9 4. Wnioski