WPŁYW SIŁY PIEZOELEKTRYCZNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ KOLUMNY NIELINIOWEJ Z PRĘTEM PIEZOCERAMICZNYM J

38, s. 175-182, Gliwice 2009

WPŁYW SIŁY PIEZOELEKTRYCZNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ KOLUMNY NIELINIOWEJ Z PRĘTEM PIEZOCERAMICZNYM

JACEK PRZYBYLSKI, KRZYSZTOF SOKÓŁ

Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail: jacek.pr@imipkm.pcz.czest.pl

Streszczenie. Układ badany w niniejszej pracy składa się z dwóch członów, z których jeden wzdłuż określonej długości jest prętem piezoceramicznym.

Elementy konstrukcji połączone są przegubem i sprężyną rotacyjną o sztywności C. Obciążenie zewnętrze kolumny wywołane jest poprzez przyłożoną osiowo siłę skupioną P. Ze względu na nieliniowość geometryczną układu rozwiązanie przeprowadzono metodą małego parametru. Prezentowane wyniki dotyczą wpływu położenia przegubu, sztywności sprężyny rotacyjnej i siły piezoelektrycznej na częstość drgań własnych układu.

1. WSTĘP

Prowadzone w ostatnich latach badania konstrukcji inteligentnych z zastosowaniem piezoaktuatorów ceramicznych dotyczą min. możliwości sterowania własnościami dynamicznymi i statycznymi układów mechanicznych, przy czym duża część prac jest skoncentrowana na aktywnym tłumieniu drgań oraz profilowaniu kształtu lub ugięć smukłych układów prętowych. Większość badanych układów stanowiły konstrukcje złożone ze struktury nośnej i zespolonych z nią elementów piezoceramicznych. W grupie tej mieści się praca Thompsona i Loughlana [1], którzy badali eksperymentalnie wyboczenie kolumny wspornikowej z zamocowanymi obustronnie elementami piezoceramicznymi. Przez wygenerowanie w piezoceramikach sił ściskających i rozciągających kompensowali ugięcie kolumny wywołane obciążeniem zewnętrznym. Kandagal i Venkatraman [2] postulowali zastosowanie piezoceramików zamocowanych symetrycznie względem osi belki do tłumienia jej drgań poprzecznych. By zwiększyć możliwość kontroli kształtu i ugięć, Chaudhry i Rogers [3] zaproponowali inną konfigurację układu struktura-aktuator w postaci belki z dyskretnie zamocowanym prętem piezoceramicznym. Wykonując badania teoretyczne i doświadczalne, wykazali, że przemieszczenia belki w postulowanym układzie były o 40% większe w stosunku do układu z piezoceramikiem zespolonym z belką. Lalande i in. [4] badali relację siła-przemieszczenie w piezoaktuatorze typu Moonie, który stanowi układ nieliniowy złożony z dwóch prętów symetrycznie zamocowanych dyskretnie względem dodatkowego pręta piezoceramicznego. Pręt piezoceramiczny w układach geometrycznie nieliniowych może służyć do wstępnego sprężenia takich układów. Jak wykazano w pracach Meada [5]

i Przybylskiego [6], częstości poprzecznych drgań własnych układów nieliniowych są łatwe do korygowania przez wprowadzenie wzdłużnej siły sprężającej.

W niniejszej pracy bada się wpływ siły piezoelektrycznej generowanej w pręcie piezoceramicznym, stanowiącym element kolumny złożonej, na częstość drgań własnych i siłę krytyczną układu.

2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

2.1. Siła wzdłużna generowana przez pręt piezoceramiczny

W1(x1,t), W2(x2,t) W3(x3,t)

x1, x2

x3

Pręt piezo (2) E2, J2, A2

Pręt (3) E3, J3, A3

Pręt (1) E1, J1, A1

C P

l3

l₂ l1

pręt

człon (1) - rura

(E3I3, E3A3, r3A3)

(E₁I₁, E₁A₁, r1A1)

(E2I2, E2A2, r2A2)

człon (2) pręt - piezo

a) b)

Rys.1. Model badanego układu (a), schemat ugiętych osi (b)

Na rys. 1a przedstawiono model kolumny wspornikowej, której pręt (2) jest elementem piezoceramicznym połączonym z prętem (3) za pomocą przegubu i sprężyny rotacyjnej o sztywności C. Przegub ze sprężyną reprezentuje w modelu połączenie konstrukcyjne obu prętów. Pręt (1) jest zamocowany dyskretnie do pozostałych elementów konstrukcji. Wybór układu będącego przedmiotem niniejszych rozważań jest uzasadniony tym, że pręty piezoceramiczne są produkowane w określonych rozmiarach i kształtach. Mogą one pełnić funkcję elementu sprężającego układ niezależnie od swojej długości, stąd proponuje się takie rozwiązanie konstrukcyjne, w którym pręt piezoelektryczny stanowi jedynie fragment jednego z członów nośnych. Cały układ obciążony jest siłą skupioną P przyłożoną w miejscu połączenia prętów (1) i (3). Pręty mają długości odpowiednio l1, l2, l3.

W celu wyznaczenia relacji pomiędzy przyłożonym napięciem i generowaną w układzie sprężającą siłą rezydualną definiuje się energię potencjalną P w następującej postaci:

2 3

1

11 11

2 2

1 2

1 W - W

=

P

å ò ò

= W W

d E D

d _{i z z}

i

i i

i

e

s (1)

gdzie naprężenia normalne, odkształcenia, przemieszczenie elektryczne Dz wywołane polem elektrycznym Ez definiowanym jako iloraz napięcia V przez grubość piezoelektryka hp są wyrażone prze następujące związki

1 11 1 1

11 e

s =Y s²₁₁ =Y₂e²₁₁-e₃₁E_z s³₁₁ =Y₃e³₁₁

i i i i

dx x dU ( )

11=

e D_z =e₃₁e¹₁₁+x₃₃E_z (2a-e) Wielkości występujące w powyższych wzorach to: e31 - efektywna stała dielektryczna [C/m²], ξ33 - efektywny współczynnik przenikalności elektrycznej ośrodka [C/Vm].

Po przyrównaniu pierwszej wariacji energii potencjalnej do zera i przeprowadzeniu niezbędnych operacji całkowania i obliczania wariacji, przy założeniu stałej wartości potencjału elektrycznego, otrzymuje się

³ _{2 0}² 0

1 0

2 2

0

= ú-

ú û ù êê

ë

é -

=

P

å ò

=

l i

l

i i i

i l

i i

i i

i U dx F U

dx U U d

dx A dU Y

i i

d d

d

d (3)

Wielkość oznaczona przez F to siła piezoelektryczna zdefiniowana jako:

F =be₃₁V (4)

gdzie b to szerokość piezoceramika. Na podstawie równania (3), przy założeniu, że przemieszczenie wirtualne δUi(xi) w przedziale 0áx _iál_i jest dowolne i niezależne, otrzymuje się trzy równania różniczkowe drugiego rzędu na przemieszczenia wzdłużne. Rozwiązanie zagadnienia oraz analiza naprężeń w poszczególnych segmentach prowadzi do wzoru opisującego rezydualną siłę wzdłużną R, której wartość zależy od siły piezoelektrycznej F, relacji między długościami poszczególnych prętów kolumny, jak również wzajemnej relacji między sztywnościami na ściskanie składowych układu. W przypadku kolumny współosiowej siła rezydualna w członie (1) jest równa co do bezwzględnej wartości sile w segmentach (2) i (3) członu drugiego:

3 -1

1 2 2 31 2 3

2

1 ÷÷

ø çç ö

è

= æ

=

=

=

å

=

i i i

i

A Y

l A

Y V l be R R R

R (5)

2.2 Drgania poprzeczne układu

Zagadnienie drgań poprzecznych kolumny trzyelementowej opisują poniższe równania:

E_iJ_iW_i^IV(x_i,t)+(S_i±R)W_i^II(x_i,t)+r_iA_iW&&_i(x_i,t)=0 i =1,2,3 (6) gdzie siła wzdłużna Si jest definiowana następująco:

÷÷

ø ö çç

è æ

úû ê ù

ë é

¶ + ¶

¶ - ¶

=

) 2

, ( 2 1 ) , (

i i i i

i i i i

i x

t x W x

t x A U

E

S (7)

Rozwiązania równań (6) muszą spełniać następujące warunki brzegowe:

( )

,

( )

, 0

1 0 0 1

1

1 1 = 1 =

= x=

I

x W x t

t x

W ₂

(

₂^,

)

_{0 2}

( )

₂^, ₀ ⁰

2

2₌ = ^I _x= =

x W x t

t x W

( ) ( )

3 3 1

1 ,

, _{3 3}

1

1 x l

I l x

I x t W x t

W ₌ = ₌

( ) ( )

3 3 1

1 ,

, _{3 3}

1

1 x t x l W x t x l

W ₌ = ₌

( )

_{2 3}

( )

_{3 0}

2 x ,t _x2=l2 =W x ,t _x3=

W

( )

,

( )

, 0

3 3 1

1 3 3 3 3

1 1 1

1JW^II x t _x=l +E JW^II x t _x=l = E

( )

,

( )

,

(

,

)

0

3 3 1

1 1

1 1 1 3 3 3 3

1 1 1

1J W^III x t _x=l +PW ^I x t _x=l +E J W ^III x t _x=l = E

( )

2^,

(

2

) ( )

2 2^,

[

3 3 3

( )

3^, 0

(

2

) ( )

3 3^, ₀

]

⁰

2 2

2J W ^III x t _x2_=l2 + S -RW ^I x t _x2_=l2 - E J W ^III x t _x3₌ + S -RW ^I x t _x3₌ = E

(

2^,

)

_{2 2}

[

3

(

3^,

)

₃ 0 2

(

2^,

)

_{2 2}

]

⁰

2 2

2J W ^II x t _{x =l} +CW ^I x t _x= -W ^I x t _x=l =

E

(

3^,

)

₃ 0

[

3

(

3^,

)

₃ 0 2

(

2^,

)

_{2 2}

]

⁰

3 3

3J W ^II x t _x= +CW ^I x t _x= -W ^I x t _x=l =

E (8a-l)

Przemieszczenia wzdłużne U_i(x_i) spełniają warunki ciągłości na granicach przedziałów:

( )

0 ₂

( )

0 0

1 =U =

U U₂

( )

l₂ =U₃

( )

0 U₁

( )

l_1` =U₂

( )

l₂ +U₃

( )

l₃ (9a-c) Dalsze rozważania prowadzi się po wprowadzeniu wielkości bezwymiarowych w postaci:

l d_i = lⁱ ,

2 2J E c_b = Cl ,

2 2 1 1

2

J E J E p_d Pl

= + ,

2 2 1 1

2 31

J E J E

Vl v be

= + ,

2 2

3 3

J E

J r_w = E _,

1 1

2 2

J E

J r_m = E

l x_i

i =

x , t =Wt,

l t x w_{i i} Wⁱ( ⁱ, )

) ,

(x t = ,

l t x u_{i i} Uⁱ( ⁱ, )

) ,

(x t = ,

i i

i i i

J E

l A ⁴

2 r

w =W . (10a-k)

Do rozwiązania problemu zastosowano metodę małego parametru e, zgodnie z którą przemieszczenie poprzeczne^w_i

( )

^{x ,}_i ^t , przemieszczenie wzdłużne^u_i

(

^{x ,}_i ^t

)

, siłę wzdłużną

( )

^t

ki oraz częstość drgań w i-tego pręta rozpisuje się w szeregi potęgowe _i

( )

,

( )

, ( ^{2 1})

1 2 1

1

2 +

= - - +

=

å

^{N N}

n n i n

i w O

w x t e x t e

( )

, ( )

( )

, ( ^{2 1})

1 2 2 0

+

=

+ +

=

å

^{N N}

n

n i n i

i u u O

u x t x e x t e

( ) ( )

^{( 2 1)}

1

2

2 +

=

+ +

=

å

^{N N}

n

n i n io

i k k O

k t e t e ( ^{2 1})

1

2 2 2 2

0

2 +

=

+ +

=

å

^{N N}

n i n

n i

i

w e w

O

e

w

(11a-d) Wielkości rozwinięte zgodnie z równaniami (11) wprowadza się do równań ruchu (6), sił wzdłużnych (7) i warunków brzegowych (8) i (9). Następnie grupuje się wyrazy przy tych samych potęgach małego parametru e , co prowadzi do otrzymania nieskończonych ciągów równań ruchu i sił wzdłużnych wraz z odpowiednimi ciągami warunków brzegowych.

Rozwiązanie zaprezentowane w niniejszej pracy otrzymano na podstawie układu równań przy małym parametrze w potędze pierwszej.

3. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Po opracowaniu programu obliczeń numerycznych na podstawie przyjętego modelu matematycznego, w celu określenia wpływu wybranych parametrów geometrycznych układu niesprężonego na jego własności dynamiczne, przystąpiono do zbadania pierwszej częstości i postaci drgań poprzecznych w funkcji obciążenia zewnętrznego. Wszystkie wykresy wykreślono we współrzędnych bezwymiarowych (por. (10a-k)). Przyjmując identyczną sztywność na zginanie każdego z prętów, zerową siłę sprężającą układ oraz zmieniając położenie przegubu, wykreślono krzywe opisujące relację bezwymiarowa siła zewnętrzna (pd) – częstość (

i i

i i

J E

l A i i

2 4

2 r

w =W ) i wyznaczono odpowiadające im postacie drgań układu. Rys. 2 i 3 przedstawiają zależność pomiędzy obciążeniem zewnętrznym a częstością drgań przy różnych położeniach przegubu i sztywności sprężyny rotacyjnej cb.

0.0

1.0

2.0

3.0 4.0 5.0

0.0 1.0

2.0

3.0

4.0

ω

Cb =100 pd - ω

Cb =10 Cb =1 Cb =0 pd

Rys.2 Krzywe częstości drgań kolumny przy zmianie sztywności sprężyny (pozostałe dane d2 = 0.5, v = 0 rm = 1, rw = 1)

0.0 2.0 4.0

0.0 ω 1.0 2.0 3.0 p_d

Cb =100 pd - ω

Cb =10 Cb =1

Cb =0

3.0 1.0

Rys.3 Krzywe częstości drgań kolumny przy zmianie sztywności sprężyny (pozostałe dane d2 = 0.7, v = 0, rm = 1, rw = 1)

Tabela 1 Pierwsze postacie drgań (d2 = 0.7, v = 0, rm = 1, rw = 1, pd = 1)

ζi

wi(ζi)

ζi

wi(ζi)

wi(ζi)

ζi

wi(ζi)

ζi

cb = 10 d2 = 0.7

c_b = 1 d2 = 0.7

cb = 100 d2 = 0.7 cb = 0 d2 = 0.7

Na osi rzędnych, osi obciążenia zewnętrznego, zaznaczono punkty odpowiadające siłom krytycznym układu. Siła krytyczna jest silnie zależna od sztywności sprężyny rotacyjnej w przegubie, a najwyższa sztywność sprężyny nie odpowiada maksymalnemu obciążeniu krytycznemu. Przy sztywności sprężyny rotacyjnej cb > 10, niezależnie od położenia przegubu, zmiana wartości częstości drgań i sił krytycznych jest nieznaczna. Prosta przecinająca krzywe częstości z rys. 3 na poziomie obciążenia pd = 1 wyznacza punkty, którym odpowiadają pierwsze postacie drgań pokazane w tabeli 1. Mimo takich samych sztywności na zginanie obu członów, przy dwóch niższych wartościach sztywności sprężyny (cb = 0, 1), kształty ugięć poszczególnych prętów odpowiadające pierwszej postaci drgań różnią się, co determinuje zróżnicowanie obciążeń krytycznych układu. Przy sztywności sprężyny o wartościach większych od cb = 8 linie ugięć obu członów w pierwszej postaci pozostają identyczne, a siły krytyczne przyjmują bliskie sobie wartości.

Wyniki obliczeń numerycznych w zakresie częstości drgań własnych układu z uwzględnieniem siły piezoelektrycznej zaprezentowano na rys. 4, 5 i 7. W przypadku układu złożonego z członów o tej samej sztywności na zginanie z przegubem umieszczonym symetrycznie i wzmocnionym sprężyną o sztywności cb = 10 przyłożenie napięcia o tej samej wartości niezależnie od kierunku pola elektrycznego powoduje zmniejszenie częstości drgań własnych i obciążenia krytycznego (rys. 4). Przy mniejszej wartości sztywności sprężyny i położeniu przegubu poza środkiem kolumny, wprowadzenie siły rezydualnej koryguje przebieg krzywych częstości drgań i wartości obciążenia krytycznego w zależności od kierunku pola elektrycznego (rys. 5). W efekcie nośność kolumny może być determinowana przez wartość i kierunek pola elektrycznego, co zobrazowano na rys. 6. Na rys. 7 przedstawiono krzywe częstości drgań w funkcji rosnącego napięcia przy różnym poziomie obciążenia zewnętrznego. Przy większej wartości siły zewnętrznej utrata stateczności układu następuje przy niższym napięciu.

v = 0 v = 1.5 vcr

pd - ω

0.0 1.0 2.0 3.0

±

ω pd

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Rys.4 Krzywe częstości drgań własnych kolumny przy różnym napięciu v (pozostałe dane d2=0.5, cb=10 rm=1, rw=1)

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

0.0 1.0 2.0 3.0

4.0 v = 0

v = 1.0 vcr

v = -1.0 v_cr pd - ω

ω pd

Rys.5 Krzywe częstości drgań własnych kolumny przy różnym napięciu v (pozostałe dane d2=0.7, cb=1, rm=1, rw=1)

-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 4.0

p_cr

v d2 = 0.7 pcr - v

d2 = 0.5 6.0

Rys.6 Wpływ napięcia na nośność kolumny, przy różnych położeniach przegubu (pozostałe dane cb=1, rm=1, rw=1)

0.0 2.0 4.0 6.0

0.0 4.0 8.0 12.0

pd = 2 pd = 0 pd = 1 v - ω

ω v

Rys.7 Zmiana częstości drgań własnych układu w funkcji przyłożonego napięcia przy różnej wartości siły zewnętrznej (pozostałe dane d2=0.7, cb=10, rm=1, rw=1)

4. WNIOSKI

Celem niniejszej pracy było określenie wpływu siły generowanej przez pręt piezoceramiczny na częstość drgań kolumny trzyprętowej obciążonej siłą zewnętrzną P o stałym kierunku działania. Po przeprowadzeniu badań numerycznych i analizie otrzymanych wyników można stwierdzić, że:

• istnieje taka wartość sztywności sprężyny rotacyjnej łączącej pręty kolumny, powyżej której zarówno częstość drgań układu jak i jego wyboczeniowa siła krytyczna zmienia się w sposób niezauważalny. Efekt ten występuje powyżej sztywności cb = 8;

• położenie przegubu ma istotny wpływ na nośność konstrukcji. Przesuwanie przegubu od miejsca utwierdzenia w górę kolumny dla małych wartości sztywności sprężyny cb

powoduje zmniejszenie sił krytycznych. Przy cb większym od 8 zmiana jest minimalna. Wraz ze zmianą położenia przegubu zmieniają się częstości drgań układu;

• wygenerowanie w pręcie piezoceramicznym dodatkowej siły poprzez przyłożenie doń napięcia ma znaczący wpływ zarówno na siły krytyczne jak i częstość drgań własnych;

• w zależności od zwrotu wektora pola elektrycznego istnieje możliwość redukcji lub zwiększenia częstości drgań układu;

• im dłuższy element piezoceramiczny wchodzący w skład badanego układu, tym mniejsza wartość napięcia potrzebnego do sterowania własnościami statycznymi i dynamicznymi kolumny;

• niezależnie od wartości siły zewnętrznej obciążającej układ istnieje taka wartość siły piezoelektrycznej, przy której częstość drgań kolumny spada do zera.

Otrzymane wyniki mogą być wykorzystane przy projektowaniu konstrukcji inteligentnych takich jak złożone kolumny lub belki z dodatkowym prętem piezoceramicznym.

Praca została wykonana w ramach projektu badawczego Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego N N501 117236, oraz badań własnych BW 1-101/204/07/P

LITERATURA

1. Thompson S., Loughlan J.: The active buckling control of some composite column strips using piezoceramic actuators. “Composite Structures” 1995, 32, p. 59-67.

2. Kandagal S.B.,Venkatraman K.: Form factors for vibration control of beams using resistively shunted piezoceramics. “Journal of Sound and Vibration” 2004, 274, p.

1123-1133.

3. Chaudhy Z.,Rogers C.A.: Enhancing induced strain actuator authority through discrete attachment structural elements. “AIAA Journal” 1993, 31, p. 1287-1292.

4. Lalande F., Chaudhry Z.,Rogers C.A.: A simplified geometrically nonlinear

approach to the analysis of the Moonie actuator. “IEEE Transactions on ultrasonic, ferroelectric and frequency control” 1995, Vol. 42, No. 1, p. 21- 27.

5. Mead D.J.: Free vibration of self-strained assemblies of beams.” Journal of Sound and Vibration” 2002, Vol. 249, No. 1,p. 101-127.

6. Przybylski J. Drgania i stateczność dwuczłonowych układów prętowych wstępnie sprężonych przy obciążeniach niezachowawczych. Częstochowa: Wyd. Pol.

Częst. 2002. Seria Monografie, Nr 92.

INFLUENCE OF THE PIEZOELECTRIC FORCE ON VIBRATION FREQUENCY OF A GEOMETRICALLY NONLINEAR COLUMN

WITH A PIEZOCERAMIC ROD

Summary In this work the problem of natural vibrations of the geometrically nonlinear column which loses its stability via divergence has been presented. The system considered in this work consists of two members, from which one is composed of two rods joined together by a pin strengthen by a rotational spring.

One of the rods is made of piezoceramic material. The external load is axially applied to the column. Due to the geometrical nonlinearity, the solution to the problem was made by using the perturbation method. Presented results concern the influence of the joint localisation, the spring stiffness and the piezoelectric force on the natural vibration of the system.