Michał Majsterek Modelowanie systemów skointegrowanych. Aspekty teoretyczne

(1)

Bank i Kredyt 45(5), 2014, 433–466

Modelowanie systemów skointegrowanych.

Aspekty teoretyczne

Michał Majsterek

Nadesłany: 30 kwietnia 2014 r. Zaakceptowany: 3 września 2014 r.

Streszczenie

Analiza ekonometryczna w przypadku zmiennych niestacjonarnych wymaga zastosowania nieklasycznych technik, w przeciwnym bowiem przypadku następuje identyfikacja regresji pozornych, utrata pożądanych właściwości przez estymator parametrów czy ograniczenie możliwości ekonomicznej interpretacji otrzymanych wyników. Część prezentowanych sposobów analizy weszła już do kanonu ekonometrii, niektóre jednak, zwłaszcza techniki estymacji i weryfikacji hipotez w dziedzinie I(2), ciągle jeszcze zaliczane są do niestandardowych. W artykule pokazano standardowe kategorie ekonomiczne, jak też zasoby i strumienie w kontekście jedno- i wielowymiarowej analizy kointegracyjnej. Klasyczny podział na zasoby i strumienie okazuje się niewystarczający, zwłaszcza w przypadku analizy zmiennych I(2).

Słowa kluczowe: niestacjonarność, kointegracja, VECM, zasoby, strumienie JEL: C01 C32 C52

(2)

M. Majsterek

434 1. Wstęp

Prawie cała standardowa wiedza ekonometryczna, w szczególności metody weryfikacji hipotez staty-stycznych, przez wiele lat opierały się na przyjmowanym implicite (lub ignorowanym) założeniu, że pro-cesy stochastyczne generujące zmienne są stacjonarne. Konsekwencje niestacjonarności (w niniejszym artykule utożsamianej z przyrostostacjonarnością, tj. zintegrowaniem) dla statystycznej oceny modelu są poważne. Można wykazać (Engle, Granger 1991), że standardowo liczona statystyka t, używana za-zwyczaj jako sprawdzian w testach istotności, nie ma w przypadku zmiennych niestacjonarnych roz-kładu Studenta, ma natomiast rozkład skośny, a więc asymptotycznie niezbieżny do normalnego. Praw-dziwe wartości tego rozkładu są co do modułu znacznie większe od klasycznych wartości krytycznych testu Studenta. Posługiwanie się tymi ostatnimi często prowadzi więc do identyfikacji tzw. regresji zornych (szerzej: Granger, Newbold 1974, w literaturze polskojęzycznej szerzej mechanizm regresji po-zornej omawiali Kufel 2002 oraz Majsterek 2008, rozdział 1). Wynika to stąd, że jeżeli wartość statystyki testowej znajdzie się pomiędzy wartością prawdziwą a nominalną (wziętą z tablic rozkładu Studenta), to wówczas mylnie będzie zakwalifikowana do obszaru odrzucenia hipotezy zerowej, a więc potwier-dzona zostanie (pozbawiona uzasadnienia statystycznego) relacja przyczynowo-skutkowa pomiędzy zmiennymi.

Niestacjonarność którejkolwiek ze zmiennych może też (jeżeli między zmiennymi nie zachodzi współzintegrowanie) spowodować niestacjonarność składnika losowego, a co za tym idzie niezgodność estymatorów parametrów. W przypadku procesu niestacjonarnego wariancja składnika losowego ma bowiem tendencję wzrostową.

Celem pracy jest usystematyzowanie teoretycznych aspektów modelowania ekonometrycznego w przypadku niestacjonarności procesów stochastycznych generujących zmienne wykorzystane w modelu.

Jeszcze ćwierć wieku temu zjawisko kointegracji znane było nielicznym (Granger 1981; Engle, Granger 1987). W Polsce podwaliny tej dyscypliny stworzyli Blangiewicz i Charemza (1990). Literatura dotycząca analizy kointegracyjnej jest obecnie bardzo bogata, a wspomniana gałąź ekono-metrii dzieli się na jeszcze bardziej szczegółowe subdyscypliny. Nie sposób w jednym, nawet obszernym artykule omówić wszystkiego. Z konieczności w niniejszej publikacji ograniczono się więc do „klasycz-nej” kointegracji koncentrującej się na próbie czasowej. Ponadto założono, że główną formą niestacjo-narności jest tzw. przyrostostacjonarność (stacjonarność wokół trendu stochastycznego), przy czym wyklucza się procesy eksplodujące oraz kointegrację sezonową (szeroko zagadnienie to omawia Kotłow-ski 2006). Pomija się kointegrację ułamkową (w Polsce opisują to m.in. KwiatkowKotłow-ski i OsiewalKotłow-ski 2002 oraz Syczewska 2002). Nie przekroczono „próbkowego” paradygmatu modelowania ekonometrycznego, w związku z czym pominięto dynamicznie rozwijające się w ostatnich latach bayesowskie podejście w badaniu kointegracji, zwłaszcza w testowaniu hipotez (szerokie omówienie w pracach Domańskiego i Pruskiej 2000, Osiewalskiego 2001 oraz Szredera 1994). Nie będą podjęte również kwestie związane z kointegracją ze zmiennymi uciętymi (ang. truncated variable) lub cenzurowanymi (por. Charemza, Majerowska 2000; Grabowski 2006). W artykule nieobecne są także aspekty prognostyczne kluczowe z aplikacyjnego punktu widzenia (por. Piłatowska 2003).

Jak wskazuje tytuł, artykuł ma charakter teoretyczny. Przykładów zastosowania klasycznej (w sen-sie zdefiniowanym powyżej) analizy kointegracyjnej, również w odniesen-sieniu do polskiej gospodarki jest już jednak bardzo wiele. Coraz częstsze są również bardziej zaawansowane analizy. Przykładowo, peł-ną wielowymiarową analizę kointegracyjpeł-ną I(2) stosują (z nakładaniem odpowiednich restrykcji oraz

(3)

Modelowanie systemów skointegrowanych...

435

z uwzględnieniem związków kointegracji wielomianowej) Juselius (1999; 2004), Juselius i Vuojosevic (2003), Rahbek, Jorgensen i Kongsted (1999), a w odniesieniu do gospodarki polskiej (bez relacji kointe-gracji wielomianowej: Vostroknutova (2003), Kelm (2013) oraz Majsterek i Welfe 2013b).

Struktura artykułu jest następująca. W części drugiej omawiane są statystyczne i ekonomiczne kon-sekwencje niestacjonarności procesów generujących zmienne oraz metody testowania niestacjonarności. Skoncentrowano się na procesach z długą pamięcią, a więc tzw. przyrostostacjonarności. W części trze-ciej rozważane jest skointegrowanie procesów generujących zmienne, zarówno w przypadku jedno-, jak i wielowymiarowym. Wyróżniono przypadek, gdy w modelu występują zmienne I(2). Pokazane zostały metody estymacji parametrów relacji kointegracyjnych, a także testowania wymiaru przestrzeni kointe-gracyjnej oraz (przez dopełnienie) przestrzeni wspólnych trendów stochastycznych. W części czwartej skupiono się na ekonomicznej stronie zagadnienia. W szczególności wcześniej przeprowadzona analiza rozpatrywana jest w ogólnie znanym kontekście zasobów i strumieni. Na określenie kategorii stacjo-narnych w dziedzinie I(0) zaproponowano kategorię akcelerantów (przyrostostrumieni). Rozważania w tej części ponownie dotyczą zarówno zależności dośrodkowych (równowagi), jak i odśrodkowych szoków stochastycznych. Ostatnią część artykułu stanowi krótkie podsumowanie.

2. Niestacjonarność procesów generujących zmienne

Proces stochastyczny jest stacjonarny (Banerjee i in. 1993), jeśli łączny rozkład zmiennych losowych jest stały, tzn. dla każdego podzbioru (t1, t2, t3,...tT) zbioru t oraz dowolnego, całkowitego h takiego,

że t_i+h∈T,i=1,...,T, łączny rozkład zmiennych losowych jest stały.

Po przełożeniu tej zmatematyzowanej definicji na język ekonomiczny oznacza to, że proces sto-chatystyczny stacjonarny jest ciągiem takich samych zmiennych losowych. Założenie to jest bardzo restrykcyjne (a przez to trudne do spełnienia), w dodatku z ekonomicznego punktu widzenia wy-starczy analiza dwóch pierwszych momentów rozkładów wspomnianych zmiennych losowych. Defi-niuje się więc tzw. stacjonarność słabą, która wymaga jedynie stałości dwóch pierwszych momentów (ang. weak stationarity, second order stationarity, covariance stationarity):

= = < – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yt_i E Yt_i h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

Y_t_i μ E Y_t_i _h μ E

<

= =

[(

+

)(

+

)]

cov(

,

)

)(

(

Yt Yt E Yt h Yt h Yi Yj E _i μ _j μ _i μ _j μ t t t y y 1 = = t j t j t y 0 t t y y = ₁+ = = = = = = t t t y y y 2 1 2 t L y L) ( ) ( t t y y 1 1 t y 1 ) 1 ( s s t t y 1 ) ( 0

)

(

0 : 1 < 0 < 0 = = = = = = = = = = = H ˆ t ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ₍ ₁₎ ) ( ) ( t y y ₁ ₂ 1 p (p ,12) = t T t t t y y y y IDW 2 2 2 1 ) ( ) ( t t t y y y y VN 2 2 1 ) ( ) ( 2 2 2 s T S KPSS t 2 2 ₍ ₎ i t e S = = + + + + + 8 1 1 1 2 1 2 ₂ ₍ ₎ j T j t t t j t T w j ee e T s 9 1 ) (_j j w t t t e yˆ 0 1 yˆt 0 et ∞ ∞ σ ε ε –j t ε – – – – – – – + j t ε t ε +εt + + + + + t ε +εt +εt t t ε + + εt γ α 1 α =( 1)yt–1 – – – 1 α 2 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 α – – ) 2 ( ₁ 1 α – ) 2 ( ₁ 1 α 1 α β β β θ θ θ – – – – – – ˆ₁–1 α – – – t 1– – – 0 α t ε Θ Φ ∆ t y t y ∆ ∆ εt ∞

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

t y ∆ t y ∆ = = = = t y ∆ t y ∆ t y ∆ 2 t y ∆ ∆ t y ∆ = S s 1

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

(1a) < = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yt_i E Yt_i h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

<

= =

[(

+

)(

+

)]

cov(

,

)

)(

(

)

(

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

(1b) < = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Y_t_i E Y_t_i _h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

Yti μ E Yti h μ E

<

= =

[(

+

)(

+

)]

cov(

,

)

)(

(

Y_t Y_t E Y_t _h Y_t _h Y_i Y_j E _i μ _j μ _i μ _j μ t t t y y 1 = = t j t j t y 0 t t y y = 1+ = = = = = = t t t y y y 2 1 2 t L y L) ( ) ( t t y y 1 1 t y 1 ) 1 ( s s t t y 1 ) ( 0

)

(

0 : 1 < 0 < 0 = = = = = = = = = = = H ˆ t ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ₍ ₁₎ ) ( ) ( t y y 1 2 1 p (p ,12) = t T t t t y y y y IDW 2 2 2 1 ) ( ) ( t t t y y y y VN 2 2 1 ) ( ) ( 2 2 2 s T S KPSS t 2 2 ₍ ₎ i t e S = = + + + + + 8 1 1 1 2 1 2 ₂ ₍ ₎ j T j t t t j t T w j ee e T s 9 1 ) (_j j w t t t e yˆ 0 1 yˆt 0 et ∞ ∞ σ ε ε –j t ε – – – – – – – + j t ε t ε +εt + + + + + t ε +εt +εt t t ε + + εt γ α 1 α =( 1)yt–1 – – – 1 α 2 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 α – – ) 2 ( ₁ 1 α – ) 2 ( ₁ 1 α 1 α β β β θ θ θ – – – – – – ˆ₁–1 α – – – t 1– – – 0 α t ε Θ Φ ∆ t y t y ∆ ∆ εt ∞

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

(1c) Dla rozkładów normalnych słaba stacjonarność jest równoznaczna ze ścisłą, gdyż stałość dwóch pierwszych momentów implikuje, w przypadku rozkładów gaussowskich, stałość wszystkich momen-tów wyższego rzędu. Proces stochastyczny, który nie spełnia któregokolwiek z warunków (1a)−(1c), jest procesem niestacjonarnym.

Warto zwrócić uwagę, że w świetle przedstawionej definicji zdecydowana większość kategorii ekonomicznych jest niestacjonarna, co jest przyczyną wspomnianej niekonkluzywności standardowej analizy ekonometrycznej.

Niezależnie od trudności, jakie pociąga za sobą analiza z użyciem zmiennych generowanych przez procesy niestacjonarne (w skrócie: zmiennych niestacjonarnych), niestacjonarności procesów

(4)

stocha-M. Majsterek

436

stycznych nie należy postrzegać negatywnie. Oznacza bowiem rozwój, podczas gdy stacjonarność – marazm (wszelkie szoki innowacyjne w życiu społecznym, ekonomicznym mają przejściowy, a więc nietrwały charakter).

Przypadek, gdy zmiany mają charakter nieprzypadkowy, oznacza istnienie deterministycznej ten-dencji rozwojowej, która powoduje, że wartość oczekiwana procesu generującego zmienną jest zmien-na w czasie. Jest to tzw. trendostacjozmien-narność (ang. trend statiozmien-narity, TS). Przykładem zmiennej stacjo-narnej wokół trendu deterministycznego jest klasyczna zmienna czasowa, która często pełni funkcję aproksymanty postępu techniczno-ekonomicznego. Oznacza to, że szoki nasilające tę tendencję (rosną-cą, ale w odniesieniu do niektórych zmiennych: malejącą) mają charakter przejściowy. Trend deter-ministyczny może dobrze opisywać dynamikę zmiennej, jednak za jego pomocą nie można wyjaśnić mechanizmów zmian. Przypadek ten nie wydaje się zbyt interesujący w kontekście analizy polityki gospodarczej.

Znacznie ciekawsza interpretacyjnie jest przyrostostacjonarność (ang. difference s tationarity, DS), która występuje, gdy niestałe w czasie są drugie momenty rozkładu. Oznacza to, że wprawdzie w pro-cesie generującym zmienną nie ma zdeterminowanej tendencji do zmian (oczekiwane jest zachowanie

status quo), ale pamięć (wrażliwość) zmiennej na szoki stochastyczne jest nieporównywalnie dłuższa

niż w przypadku procesów o stałej wariancji. Oznacza to, że choć na poziomie wartości oczekiwanej nie ma tendencji do zmian, to jednak pojedynczy szok może być pierwszym impulsem tzw. trendu sto-chastycznego, który może wyrwać zmienną ze stanu równowagi. Wprawdzie wpływ tego szoku ustanie w długim (lub bardzo długim) okresie, ale w przypadku próby o standardowym horyzoncie zmienne trendostacjonarne mogą być trudne do odróżnienia od kategorii przyrostostacjonarnych. Takie wy-odrębnienie nie musi też być niezbędne z punktu widzenia estymacji lub prognozy o niezbyt długim horyzoncie. Należy tylko pamiętać, że w przypadku zmiennej przyrostostacjonarnej można się liczyć z tym, że w każdej chwili wystąpi kolejny szok stochastyczny, który może nasilić lub odwrócić dotych-czasowy trend stochastyczny. Z punktu widzenia analizy ekonomicznej przypadek ten jest jednak znacznie ciekawszy interpretacyjnie. Wydaje się również, że nie będzie błędem traktowanie trendu de-terministycznego jako szczególnego przypadku trendu stochastycznego (czyli przy założeniu niezmien-niczości kierunku szoku). Wnioski ekonomiczne mogą być ciekawsze. Przykładowo, dezinflację mającą miejsce w latach 90. oraz na początku bieżącego stulecia można traktować jako tendencję (i w próbie obejmującej tylko te lata byłoby to prawidłowe). Ciekawiej jednak interpretować ją jako wynik szoku stochastycznego trwale oddziałującego na inflację (w kierunku jej obniżenia). Właśnie taka analiza pozwala identyfikować źródła szoków.

Koncentrując uwagę na niestacjonarności w sensie trendów stochastycznych, warto zdefiniować procesy zintegrowane. Wiele szeregów statystycznych można uczynić stacjonarnymi, używając nie-skomplikowanych „filtrów stacjonaryzujących”, z których szczególną popularnością cieszy się filtr róż-nicowy. W przypadku użycia tego operatora proces wyjściowy staje się procesem sumacyjnym (zinte-growanym) w stosunku do procesu spełniającego warunki stacjonarności, o stopniu integracji równym liczbie powtórzeń operacji różnicowania koniecznych do osiągnięcia stacjonarności. Proces generujący szereg statystyczny y nazywa się zintegrowanym w stopniu d, jeśli daje się przedstawić jako stacjonarny,

odwracalny, niedeterministyczny proces ARMA po d-krotnym zróżnicowaniu (Engle, Granger 1987). Dla uproszczenia definicji zmienna y jest zintegrowana w stopniu d, jeśli jej d-ta różnica jest stacjonar-na, natomiast różnica (d – 1) jeszcze nie. Zwyczajowo szereg zintegrowany w danym stopniu d oznacza

(5)

Modelowanie systemów skointegrowanych...

437

W klasycznej literaturze przedmiotu (np. Engle, Granger 1987) przez lata koncentrowano się na porów-naniu szeregów I(0) oraz I(1). W ostatnim ćwierćwieczu coraz popularniejsza jest jednak analiza proce-sów I(2). W rzeczywistości gospodarczej bardzo rzadko spotyka się procesy I(3), dlatego nie poświęca się im zbyt wiele uwagi (zarys modelu I(3) przedstawia Majsterek 2008, podrozdział 3.11).

Wykorzystanie operatorów opóźnień i uznanie procesu białego szumu za modelowy przykład pro-cesu stacjonarnego I(0) prowadzi do następujących wniosków. Po pierwsze, najczystszym procesem I(1) jest popularny m.in. w analizie i prognozowaniu rynków finansowych (Makridakis, Wheelwright 1989), proces błądzenia losowego (ang. random walk):

< = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Y_t_i E Y_t_i _h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

<

= =

[(

₊

)(

₊

)]

cov(

,

)

)(

(

)

(

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

(2) gdzie składnik losowy jest białym szumem.

Jego rozwiązaniem względem białoszumowych szoków jest bowiem: < = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Y_t_i E Y_t_i _h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

<

= =

[(

+

)(

+

)]

cov(

,

)

)(

(

)

(

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

(3)

Wynika z tego, że zmienna o tej postaci kumuluje w sobie wszystkie zakłócenia z przeszłości, a więc tworzy się trend stochastyczny.

Ze wzoru (2) wynika też, że stacjonarne są pierwsze różnice błądzenia losowego. Przez analogię proces I(2) oznacza:

< = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yti E Yti h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

<

= =

[(

+

)(

+

)]

cov(

,

)

)(

(

Yt Yt E Yt h Yt h Yi Yj E _i μ _j μ _i μ _j μ t t t y y 1 = = t j t j t y 0 t t y y = 1+ = = = = = = t t t y y y 2 1 2 t L y L) ( ) ( t t y y 1 1 t y 1 ) 1 ( s s t t y 1 ) ( 0

)

(

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

₍₄₎ gdzie składnik losowy jest białym szumem.

Jego rozwiązaniem względem białoszumowych szoków jest bowiem: < = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yti EYti h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

<

= =

[(

+

)(

+

)]

cov(

,

)

)(

(

)

(

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

(5) lub: < = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yt_i EYt_i h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

<

= =

[(

+

)(

+

)]

cov(

,

)

)(

(

)

(

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

(6) Wiąże się to z podwójną kumulacją szoków. Oznacza to trwałość skutków szoku oddziałującego nie tylko na poziomy, ale na przyrosty oraz tempo wzrostu zmiennej. Wykorzystując odpowiednie prze-kształcenia, model (4) można zapisać jako:

< = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yti EYti h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

<

= =

[(

+

)(

+

)]

cov(

,

)

)(

(

)

(

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

(7) czyli szczególny przypadek modelu AR(2).

Uogólniając, warunkiem koniecznym (ale niewystarczającym) istnienia procesu I(d) jest generowa-nie odpowiedgenerowa-niej zmiennej przez proces autoregresyjny stopnia co najmgenerowa-niej (d).

(6)

M. Majsterek

438

W przypadku bardzo dużej liczby obserwacji własności procesu zmieniają się skokowo. Na przykład warunkiem stacjonarności procesu ARMA o postaci:

< = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yti E Yti h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

<

= =

[(

+

)(

+

)]

cov(

,

)

)(

(

)

(

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

(8) gdzie L oznacza operator opóźnień, a

< = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yti E Yti h E < = = = + + 2 2 2 _[( ₎ _] ) (Y_t_i μ E Y_t_i _h μ E < = = [( + )( + )] cov( , ) ) )( (Yt Yt E Yt h Yt h Yi Yj E _i μ _j μ _i μ _j μ t t t y y 1 = = t j t j t y 0 t t y y = 1+ = = = = = = t t t y y y 2 1 2 t L y L) ( ) ( t t y y 1 1 t y 1 ) 1 ( s s t t y 1 ) ( 0 ) ( 0 : 1 < 0 < 0 = = = = = = = = = = = H ˆ t ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ₍ ₁₎ ) ( ) ( t y y 1 2 1 p (p 1,2) = t T t t t y y y y IDW 2 2 2 1 ) ( ) ( t t t y y y y VN 2 2 1 ) ( ) ( 2 2 2 s T S KPSS t 2 2 ₍ ₎ i t e S = = + + + + + 8 1 1 1 2 1 2 ₂ ₍ ₎ j T j t t t j t T w j ee e T s 9 1 ) (_j j w t t t e yˆ 0 1 yˆt 0 et ∞ ∞ σ ε ε –j t ε – – – – – – – + j t ε t ε +εt + + + + + t ε +εt +εt t t ε + + εt γ α 1 α =( 1)yt–1 – – – 1 α 2 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 α – – ) 2 ( ₁ 1 α – ) 2 ( ₁ 1 α 1 α β β β θ θ θ – – – – – – ˆ₁–1 α – – – t 1– – – 0 α t ε Θ Φ ∆ t y t y ∆ ∆ εt ∞

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

, < = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yti E Yti h E < = = = + + 2 2 2 _[( ₎ _] ) (Y_t_i μ E Y_t_i _h μ E < = = [( + )( + )] cov( , ) ) )( (Yt Yt E Yt h Yt h Yi Yj E _i μ _j μ _i μ _j μ t t t y y 1 = = t j t j t y 0 t t y y = 1+ = = = = = = t t t y y y 2 1 2 t L y L) ( ) ( t t y y 1 1 t y 1 ) 1 ( s s t t y 1 ) ( 0 ) ( 0 : 1 < 0 < 0 = = = = = = = = = = = H ˆ t ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ₍ ₁₎ ) ( ) ( t y y 1 2 1 p (p 1,2) = t T t t t y y y y IDW 2 2 2 1 ) ( ) ( t t t y y y y VN 2 2 1 ) ( ) ( 2 2 2 s T S KPSS t 2 2 ₍ ₎ i t e S = = + + + + + 8 1 1 1 2 1 2 ₂ ₍ ₎ j T j t t t j t T w j ee e T s 9 1 ) (_j j w t t t e yˆ 0 1 yˆt 0 et ∞ ∞ σ ε ε –j t ε – – – – – – – + j t ε t ε +εt + + + + + t ε +εt +εt t t ε + + εt γ α 1 α =( 1)yt–1 – – – 1 α 2 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 α – – ) 2 ( ₁ 1 α – ) 2 ( ₁ 1 α 1 α β β β θ θ θ – – – – – – ˆ₁–1 α – – – t 1– – – 0 α t ε Θ Φ ∆ t y t y ∆ ∆ εt ∞

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

są wielomianowymi funkcjami operatora L,

odpo-wiednio, stopnia p oraz q,

jest to, że wszystkie pierwiastki wielomianu

< = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yti E Yti h E < = = = + + 2 2 2 _[( ₎ _] ) (Y_t_i μ E Y_t_i _h μ E < = = [( + )( + )] cov( , ) ) )( (Yt Yt E Yt h Yt h Yi Yj E _i μ _j μ _i μ _j μ t t t y y 1 = = t j t j t y 0 t t y y = 1+ = = = = = = t t t y y y 2 1 2 t L y L) ( ) ( t t y y 1 1 t y 1 ) 1 ( s s t t y 1 ) ( 0 ) ( 0 : 1 < 0 < 0 = = = = = = = = = = = H ˆ t ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ₍ ₁₎ ) ( ) ( t y y 1 2 1 p (p 1,2) = t T t t t y y y y IDW 2 2 2 1 ) ( ) ( t t t y y y y VN 2 2 1 ) ( ) ( 2 2 2 s T S KPSS t 2 2 ₍ ₎ i t e S = =+ + + + + 8 1 1 1 2 1 2 ₂ ₍ ₎ j T j t t t j t T w j ee e T s 9 1 ) (_j j w t t t e yˆ 0 1 yˆt 0 et ∞ ∞ σ ε ε –j t ε – – – – – – – + j t ε t ε +εt + + + + + t ε +εt +εt t t ε + + εt γ α 1 α =( 1)yt–1 – – – 1 α 2 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 – 1 α 1 α – – ) 2 ( ₁ 1 α – ) 2 ( ₁ 1 α 1 α β β β θ θ θ – – – – – – ˆ₁–1 α – – – t 1– – – 0 α t ε Θ Φ ∆ t y t y ∆ ∆ εt ∞

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

leżą na zewnątrz koła

jednostkowe-go, a proces zintegrowany w stopniu d powinien mieć d pierwiastków jednostkowych

(Cuthbertson, Hall, Taylor 1992, s. 83−86).

Przykładowo, dla procesu AR(1), przez analogię do zbieżności szeregu geometrycznego, warunkiem stacjonarności jest to, aby w procesie:

< = = – – – – – – – – – + ) μ ( ) (Yti E Yti h E

<

= = = + + 2 2 2

_[(

₎

_]

)

(

<

= =

[(

+

)(

+

)]

cov(

,

)

)(

(

)

(

∑

= t j 0

∑

= t s 1

∑

= s j 0

∑

σˆ

∑

= T t 2

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= T t 1

∑

= t i 1

∑

(9) parametr inercji był co do modułu mniejszy od jedności.

Z ekonomicznego punktu widzenia w próbie skończonej wiele procesów spełniających powyższe założenie stacjonarności zachowuje się jak procesy z długą pamięcią. Są to tzw. procesy prawie zingrowane (Banerjee i in. 1993, s. 95−98). Ze wspomnianej własności wynika możliwość stosowania te-stów statystycznych stacjonarności lub zintegrowania. Wygodnie jest analizować półokres wygaszania szoku, który jest z definicji kategorią ciągłą, a nie skokową (Juselius 2006, w literaturze polskojęzycznej analizy takie prowadzili Rubaszek i Serwa 2009). Należy odróżnić procesy prawie zintegrowane (ang.

near integrated) od zjawiska integracji ułamkowej (ang. fractional integration), która nie jest

przedmio-tem rozważań. O ile pierwsze procesy są generowane przez ARMA (AR), o tyle drugie wiążą się ze znacznie bardziej skomplikowanymi procesami ARFIMA.

W analogiczny sposób można wyróżnić procesy prawie I(2). Jednocześnie jednak w przypadku bar-dzo dużej liczby obserwacji różnice między własnościami zmiennych generowanych przez procesy I(1) oraz prawie I(2) zanikają, gdyż wraz ze wzrostem próby procesy prawie I(2) coraz bardziej przypomina-ją I(1). Wynika to stąd, że na skutek uwzględnienia procesów I(2) rozróżnia się aż trzy rodzaje składni-ków stochastycznych (por. wykres 1):

1) szoki stricte długookresowe I(2) utożsamiane w dziedzinie I(2) z trendem stochastycznym, 2) szoki średniookresowe I(1) utożsamiane przez Juselius (2006) ze stochastyczną cyklicznością

wokół trendów stochastycznych I(2), 3) szoki stricte krótkookresowe I(0).

Najważniejszym skutkiem istnienia procesów „prawie zintegrowanych” jest to, że zamiast mecha-nicznej analizy pierwiastków celowe staje się testowanie, czy proces istotnie różni się od zintegrowane-go (czyli: czy jest prawie zintegrowany, gdyż czyste procesy błądzenia losowezintegrowane-go lub I(2) nie występują w praktyce). Najprostszym testem pierwiastka jednostkowego jest test DF oparty na regresji: