O równaniu diofantycznym

ROCZNIKI POLSKIEGO TO W A R Z Y S TW A MATEMATYCZNEGO SER IA I : PRACE MATEMATYCZNE IV (1960)

A.

(Warszawa)

П

O równaniu diofantycznym A k Ą k = 0*

Eównania П

(

1

<P = J ? A kx p = 0 (Ak, mk całkowite Ф 0),

n

(1') ^ л кх ^ = 0

nazwijmy równoważnymi przez przekształcenie wzajemnie wymierne, jeśli istnieje przekształcenie wzajemnie wymierne w sensie G. Georgiewa [2]

» n

przekształcające fnnkcję <p w funkcję F — П Х ? 1 А кХ№ (yr - cał­

kowite). r=l fc=sl

Łatwo dowieść, że tak określona równoważność jest zwrotna, syme­

tryczna i przechodnia.

Jest również jasne, że jeżeli znane są wszystkie rozwiązania w licz­

bach wymiernych Ф 0 równania (1), to wstawiając je do wzorów odpo­

wiedniego przekształcenia wzajemnie wymiernego otrzymamy wszystkie rozwiązania w liczbach wymiernych Ф 0 dowolnego równania równo­

ważnego równaniu (1).

Georgiew dowiódł ([2], str. 216), że aby istniało przekształcenie wzajemnie wymierne, przekształcające funkcję <p w funkcję F, potrzeba i wystarcza, aby był spełniony następujący warunek:

(2) liczby XrtV = Prj'&p {г ф p) oraz r = ([xr-\-mr)]&r są całkowite, oraz żeby było

* Referat wygłoszony na posiedzeniu Oddziału Wrocławskiego PTM 3. V I.

П (3)

1955 r.

Żądane przekształcenie dane jest wówczas wzorami n

(4) = П ^Xfr’P (1 < p < n).

r = 1

Udowodnimy

T

1. Równanie (1) jest równoważne przez przekształcenie wzajemnie wymierne (4) równaniu

П

(5) 2 A kX = 0, gdzie mk = (&k, [01? ..., 0* ^ , ^*+1, 0»]).

*=i Przy tym

xp

(в) -£■

xt8 D o w ó d . Niech

n

= ( K p , в < л ) .

n

J~J ^{= $,} [ 0 i ,. .

i=l •) u 0fc+1) •••> 0»] = II

Niech liczba pierwsza q wchodzi do liczby -&k z wykładnikiem ek.

Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że ek < ek+l dla Tc = 1 , . . . . . . , n —1. Liczba q wchodzi więc do вк z wykładnikiem równym en dla Tc < n —1, a en_! dla Tc = n. Do mk = (#л, вк) liczba q wchodzi z wykła­

dnikiem równym ek dla Tc < w—1, a dla Tc — n. Do впт/тп liczba q wchodzi z takim wykładnikiem jak do m. Ze względu na dowolność q i symetrię poniższego wzoru, znaczy to, że

NWD ( Qkmlmk)\m.

Ale m\d — m i przeto równanie П

(7) m-f 2 1 £kQkmlmk = &

fc= 1 posiada rozwiązanie.

Niech (лк — odpowiada jakiemuś szczególnemu rozwiązaniu Wykażemy, że dla j Ф Tc jest

(8) т ^ к \Qjmk.

Bozróżnimy 2 przypadki:

1° Tc < n —1. W tym przypadku my|0y, g zaś wchodzi do m* z wykła­

dnikiem ek.

O równaniu diofantyeznym 47

2° к = n. W tym przypadku q wchodzi do 6j z wykładnikiem en, do m.j z wykładnikiem e}-, zatem do dzielnika z wykładnikiem ei 4" en) do dzielnej z wykładnikiem еп+ е п_ х.

W obu przypadkach q wchodzi do dzielnej z wykładnikiem niemniej- szym niż do dzielnika, co już wystarcza do prawdziwości wzoru (8).

Z (8) mnożąc przez m/ж,-mk mamy

(i Ф Щ

i, wobec (7), &кт1тк\т-\-(Akmlmk, skąd + (1 < к < n) i liczby Xrr = (pr-\-mr)l&r są całkowite. Ponieważ liczby

~ Źr (г Ф p) ,

Vp Up

na mocy określenia dr także są całkowite, spełniony jest warunek (2).

Ze wzoru (7) mamy

m = #,

jest więc spełniony i warunek (3), co kończy dowód pierwszej części twierdzenia.

Na mocy wzorów (4) i (2) mamy

4 S

f j P

f i J [ ? 8*r,s n

J~J XfP

r=

X™p X™8’

co dowodzi drugiej części twierdzenia.

Tw i e r d z e n i e

2. Równania

(

1

£ А ка& = 0

fc=l oraz

n

(9) £ A ky№ = 0 {щ całkowite Ф 0) /c=*l

są równoważne przez przekształcenie wzajemnie wymierne postaci

wtedy i tylko wtedy, gdy dla к — 1 , . . . , n

(U ) mk == hi

gdzie mk = {&k, [#a, ..., 'д'к—х i ^k+1 ? • K] ) i h = (Vki [Vn ••чЦк-1) *?fc+lł

• • •

VnD’

Mamy wówczas:

(12) SCp> Vlv

z У? ■

D o w ó d . Wobec twierdzenia 1 równanie (1) równoważne jest równaniu n

(6) =

fc = 1

a równanie (9) równoważne jest równaniu П

(13) £ A t li* = 0.

k = 1

Ze względu na zwrotność, symetryczność i przechodniość rozważanej równoważności, dostateczność warunku (11) jest oczywista. Oczywisty jest również wobec wzoru (6) wzór (12).

Aby dowieść konieczności warunku (11), założymy, że równania (1) i (9) są równoważne. Wobec tego są też równoważne równania (1) i (13) oraz (5) i (9).

Zastępując w warunkach (2): mr przez lr oraz y r przez l r mamy ir Ф V)i zatem 6r\Ar i mr\?r oraz dr\A».+ ?r, zatem Stąd

m r \ l r.

Z równoważności równań (5) i (9) wynika podobnie lr\mr. Tym samym dowód jest zakończony.

Z twierdzenia 2 wynika natychmiast twierdzenie 12 z cytowanej pracy Georgiewa [2 ].

Ze wzoru (12) mamy też

W

1. Jeśli równania (1) i (9) są równoważne 'przez przekształ­

cenie wzajemnie wymierne postaci (10), a liczby x8, y8 są większe od zera, to %pp > x8a wtedy i tylko wtedy, gdy y$> > y%8.

Zaliczmy rozwiązania {^*}

: =

, 2, równania (1) (resp.

rozwiązania {Ук\к= 1 ^, 2 ,...,т W|*=i,2.... » równania (9)) do tej samej klasy, wtedy i tylko wtedy, gdy

x'pp x[&1

xp> ~ caf1 jresp. У

П г>

9 ? Ух1 1 (1 ^ p < » ) .

O równaniu diofantyeznym 49

Pisząc ten warunek w postaci XpV jx'il

Xp> jxp

У>1УГ _ A

ylvly? I

mamy na mocy wzoru (12)

W n i o s e k 2 .

Przy przekształceniach wzajemnie wymiernych postaci (10) ustalających równoważność równań (1) i (9), każda klasa rozwiązań równania (9) przechodzi na klasę rozwiązań równania ’(1).

Załóżmy teraz, że w równaniu (1) jest (#», $i* ...■ #w_i) = 1 {n > 1).

Zatem mn — {ftn, [#x, ^ n_ x]) = 1 i na mocy twierdzenia 1 równanie (1) równoważne jest przez przekształcenie wzajemnie wymierne równaniu

(14)

n-i fc=i I

A kX ^ + A nX n =

,

którego wszystkie wymierne rozwiązania dane są wzorami

c *

X „ = tk X n = - b L --- ,

gdzie tk ( l < f e < w —1) — parametry wymierne.

Przypadek n = 2 daje jedną klasę rozwiązań równania (14), przy­

padek n — 3, wij = m2 = 1, rozpatrywany był przez L. Tchakaloffa i C. Karanikoloffa [3], przypadek n > 3 i mk — g (1 < k < n —1) — przez N. M. Basu [1], przypadek ogólny — przez T. Vijayaraghavana [4].

Dla n > 3 równanie (14) ma nieskończenie wiele klas rozwiązań wymiernych. Stąd z wniosku 2 i z uwagi, że każda klasa rozwiązań wy­

miernych równania (1) zawiera rozwiązania całkowite, wynika

Wn i o s e k

3. Jeżeli w > 3 i (#n, ...•

1, to równanie (1) ma nieskończenie wiele klas rozwiązań całkowitych.

Prace cytowane

[1] N . M. B a s u , On a diophantine equation, Bull. Calcutta Mathematical Society 32 (1940), str. 15-20.

[2] G. G e o r g ie w , O rozwiązaniu w liczbach wymiernych pewnych równań dio~

fantycznych, Prace Matematyczne 1 (1955), str. 201-238.

[ą] L . T c h a k a l o f f et C. K a r a n i k o l o f f , Resolution de V equation A xm-\-Byn =

— zv en nombres rationnels, Comptes Rendus 210 (1940), str. 281-283.

[4 ] T . Y i j a y a r a g h a v a n , The general rational solution of some diophantine

fc+i

equations of the form £ A rA r — 0, Proc. Indian Sci., Sect. A , 12 (1940), str.

2 8 4 - 2 8 9 . r=1

Roczniki P.T.M. Prace Matematyczne IV. 4

А. Шинцель (Варшава)

П

О Д И О Ф А Н ТО В О М У Р А В Н Е Н И И JT A katj* = О

fc=1

РЕЗЮМЕ

Уравнения

»

V = 2 А к х кк = ° ’

А«=1

(Ак,&к, т к целые # 0)

П

I - V ? * = о А= 1

назовём эквивалентными по бирационалъному преобразованию, если существует преобразование бирациональное в смысле Г. Георгиева ([2]) отображающее функцию ср на функцию

п п

F = f j Х»г Л AkX™k (f*r целое).

r= 1 k—1

Доказывается две теоремы:

п

ТЕОРЕМА 1. У равнение £ A kxkk ~ ® эквивалентно по бирационалъному пре-

А= 1

образованию уравнению

п

s = » .

А=1

причем mk = (дк> [#х> • • •» # * - 1 > # * +1, • • •, #»]) • ТЕОРЕМА 2. Уравнения

П П

Ц А к х кк = °> А кУкк = 0 ( % челое ф ° )

к =1 А -1

эквивалентны по бирационалъному преобразованию тогда и только тогда. когда при Тс = 1, 2 , . . . , п имеем )

(#А , д- k -1, # А + 1 , •••, ®п]) = ( % , [»7i> — , ł ? A - l, Уп] ) -

O równaniu diofantycznym 51

A. SciiiNZEL (Warszawa)

П

SUR L I Q U A T I O N D IO P H A N T IE N N E JT A kx»k = 0

fc=i

R E S U M E

Appelons les equations

n

V = Z A kx kk = 0 k = l

( A k , &k , m k entiers Ф 0),

П

Z = «

fc=l

equivalences p a r u n e tra n sfo rm a tio n b ira tion n elle s’il exist© une transformation birationnell© au sens do G. Georgiew ([2]) qui transform© la fonction (p ©n la fonction

n n

F = f ] X fr £ A kX f k ( /^ - e n t i e r s ) . r = l k = l

L ’auteur demontre les deux theorómes suivants:

n

Ti i ź o r e m e 1. In eq u a tio n £ A k x {jk = 0 est equ ivd len te p a r u n e tra n sfo rm a tio n

k=i

b iration n elle a V eq u ation

n

2 4 * ? » = 0 ok mk = (** , V , •-><>.])'

k = l

Thźoreme 2. l e s eq u a tion s

n n

S A k x kk =

°>

0 fa

°)

* = i к —l

son t equ iva len tes p a r u n e tra n sfo rm a tio n b ira tion n elle d ans ее et seu lem en t ее cas oil Von a p o u r Тс — 1 , 2 , n :

(#*> &k-1, &k+1, •••,&*,] = (Vk, [Vi> Пк-\, Пк+1> •••> *?»])•