Schematisering van scheepsconstructies ten behoeve van trillingsberekeningen

IA

V.

Lab.

v.

Scheepsbouwkunde

Technische Hogeschoal

Delft

Technisch wetenschappelijk

Onderzoek

Plededeling

an fief i.oboratoriUni

1100t Technische

_Mecanica

_{van do}

Aid. Werle0gbouwkunde

_{der T. H.}

DELFT

or, 2 I 8

Symposium: Scheeps- en vliegtuigtrillingen")

Schematisering van scheepsconstructies ten behoeve van

trillingsberekeningen

door dr. ir. J. G. Lekkerkerker,

Lab. voorTechnische

Summary: Schematizing of ship hulls in vibration analysis.

A classical method of schematizing a ship hull in order to

determine natural frequencies and vibration modes consists in replacing the ship hull by a one-dimensional beam model.

The mechanical properties of the ship hull are thus reduced

to bending stiffness, shear stiffness, torsion stiffness, and mass

per unit length, each as a function of the axial coordinate. The stiffnesses are determined for an adequate number of

cross-sections, applying elementary beam theory. The

numeri-cal treatment of this beam model offers no difficulties. The

use of an electronic digital computer is about indispensable.

Graphical methods are obsolete. Now taking as an example the important vertical vibrations it is shown that the beam model described is inadequate for the higher modes. Some modifications are treated, bearing in the first place on the

influence of shear lag in decks and bottom, and secondly on the influence of vertical displacements of the double bottom

relative to the sides of the ship hull. The former effect is important if the wave-length of the vibration mode is com-parable with the breadth of the ship. In an appendix it is

shown that in the 4-node vertical vibration the effective

width of the double bottom is only about 60% of the actual

width. The relative displacements of the double bottom seem to be important since the bottom carries the main part of the mass, viz, the cargo and the virtual added mass of water, so

that the vibrating system must be looked upon as a sprung

mass system.

Inleiding

Deze voordracht is gewijd aan een aantal moeilijkheden en mogelijkheden, die zich voordoen bij de bepaling van de

eigentrillingsgetallen en de bijbehorende trillingsvormen yan een scheepsromp, zoals die zijn bepaald door de stijfheids- en massaverdeling. lk zal geen poging ondernemen het vraagstuk

der scheepstrillingen in /0 geheel te behandelen en

bijvoor-Gehouden voor de Sectie voor Mechanica met de Afdeling Luchtvaartwetenschappen van de Kon. Ned. Vereniging voor Luchtvaart en de Afdeling voor Werktuig- en Scheepsbouw van het K.I.v.I. op 31 mei 1965 te Delft.

Mechanica T.H.D.

629.12.011:621-752

beeld met ingaan op de aard der exciterende lcrachten,

af-komstig van de schroef en van de vrije lcrachten van de

hoofd-motor. lk stel slechts vast, dat men (d.w.z. de ingenieur, de

scheepsbouwer) geinteresseerd is in zowel de grootte van de eigenfrequenties als in de bijbehorende trillingsvormen en wel

bij verschillende beladingstoestanden. Men zal trachten

er-voor zorg te dragen dat de frequenties der ecciterende

lcrach-ten niet samenvallen met de verschillende eigenfrequenties

van de scheepsromp. Maar aLs dat niet lukt clan kan men de excitatie door de hoofdmotor toch nog wel onderdruldcen en wel door een juiste balancering. Voor het geven van een ba-lanceringsadvies is het noodzalcelijk de trillingsvorm te ken-nen. Men moet er dan voor zorgen, dat de vrije lcrachten zo-danig zijn dat de trillingsvorm met wordt aangestoten.

Ik zal mij beperken tot verticale trillingen en aan de hand daarvan een aantal aspecten van het trillingsvraagstuk, die

de eigenlijke inhoud van deze lezing zullen vormen, toelichten.

Een extra complicatie van de horizontale trillingen is dat ze gekoppeld zijn met de torsietrillingen, op grond van het feit dat in het algemeen resultante van de traagheidslcrachten niet aangrijpt in het dwarskrachtenrniddelpunt, speciaal dear waar rich luiken bevinden.

Klassiek balkmodel

Het schip is uiteraard een ingewildcelde cirieclimensionale

con-structie, ontoegankelijk voor een exacte berekening. Men zal dan ook bij de oplossing van het gestelde vraagstuk trachten deze constructie te schematiseren tot een hanteerbaar model. Daarbij zullen natuurlijk fouten geintroduceerd worden.

Het eerste model, zoals dat tot voor tien jaren algemeen ge-bruikelijk was, is wat ik zal noemen het klassieke ballcmodel.

Hierbij wordt het schip vervangen door een balk met

buig-stijfheid El en massa per eenheid van lengte m, die beide een functie zijn van de langscoordinaat x [1].

De buigstijfheid El vindt men door telkens I gelijk te

stel-len aan het traagheidsmoment van de scheepsdoorsnede in 0 13

het overeenkomstige punt. Men bepaalt in een praktisch ge-val het traagheidsmoment in 20 of 30 verschillende punten, trekt daar een vloeiende krornme door en heeft clan het ver-loop van de buigstijtheid van de balk.

De massa is samengesteld uit de massa van het schip met

toebehoren, de lading en de zogenaamde virtuele massa van het meetrillende water. Het bepalen van de eigenfrequenties en trillingsvormen van een dergelijk balkmodel levert weinig

moeilijkheden op. Er was oorspronkelijk een grafische

me-thode voor ontwikkelcL Met het toenenend gebruilc an

elek-tronische rekenmachines is deze than verr:d: door

meriekemethoden.

Een bezwaar van het MAde is ,dat:xle .vervorfaing door

dwarskrachten, dus de afschuiving, niet in relcening wordt ge-bracht. Er zijn dan ook correctiefactoren ingevoerd, bijvnor4:0 beeld de correctiefactor van Prohaska, waarmede de

gevon-den eigenfrequentie moet worgevon-den vermenigvuldigd om de

juiste eigenfrequentie te verkrijgen [2]. Deze factor is niter-aard steeds kleiner dan 1 (want het schip is slapper dan zoals beschreven wordt door uitsluitend de buigstijfheid) en is af-hankelijk van de geometric van het schip.

Een bezwaar dat tegen deze gang van zaken kan worden

aangevoerd is dat weliswaar de eigenfrequentie Oaten wij ho-pen : goed) wordt gevonden maar dat niet de inilloed van de afschuifvervorming op de tralingsvorm wordt gevonden, en U hebt reeds gezien, men is genteresseerd in beide, zowel.de eigenfrequentie als de trillingsvorm.

Een tweede bezvvaar, dat minstens zo ernstig is, is dat de methode in feite alleen maar opgaat voor de tweelcnoops ling. Bij de hogere trillingsvormen, de 3- en de 4-knoops tril-ling, wordt de afschuiving zo belangrijk (op de duur

belang-rijker dan de vervorming door buiging), dat het principieel onjuist is, om te spreken van een correctie op de

buigver-vorming.

Er moge nog worden opgemerkt, dat bij dit ballcmodel de rotatietraagheid is verwaarloosd. Het blijkt, dat dit maar een geringe fout oplevert, een fout die beneden 1 % van de eigen-frequentie

Balkelementen met elastische scharnieren

Een veel beter model dan het zojuist beschreven klassieke

balkmodel is het volgende. Het schip wordt vervangen door een aantal (bijvoorbeeld 40) balkelementen die ik voorlopig

nog even onvervormbaar denk en die met elkaar verbonden zijn door elastische scharnieren. In fig. 1 is dit model

sche-matisch weergegeven.

De elasticiteit van de scharnieren is bepaald door de buig-stijfheid van het schip. Men kan dan volgens een bekend re-cept [3,41 de elasticiteit van de scharnieren bepalen, zodanig,

Fig. 1. Ba1kelementen met elastische schamieren.

Fig. 2. Het Model na vervorming.

0 14

dat dit model, wat de vervorming door buiging betreft, zo goed mogelijk de vervorrning door buiging van het echte

schip met zijn confirm verlopende buigstijfheid volgt.

De massa van het schip wordt geconcentreerd gedacht in de

scharnieren: Gediscretiseerd tot puntmassa's. Een gevolg is

dat de dwarslcracht over de lengte van elk balkelement con-stant is. Men kan nu rekening houden met de afschuifstijfheid

door -deze balkelementen niet als onvervormbaar te

be-schouwen, maar door aa.n elk element een vervormbaarheid

oder invloed van dwarskrachten toe te lcennen. Men

be-hiertoe de gemiddelde afschuifstijfheid van het overeen-

-kbinstige scheepsgedeelte (eigenlijk: het gemiddelde van de reaproke afschuifstijfheid).

De aard van de vervorrning is weergegeven in fig. 2. Elk

,element heeft een hoelcverdraaiing ondergaan, maar behalve dat ook een afschuiving. In fig. 2 is dit schematisch aangeduid

door elk oorspronkelijk rechthoelcig element als

parallelo-gram te tekenen.

Het numerieke proces voor het bepalen van de

eigenfre-quenties van dit model is thane geheel bekend en biedt geen moellijkheid. Er wordt of gewerkt volgens een iteratiemetho-de of volgens een methoiteratiemetho-de die wel zeer geschikt is voor een elektronische rekerunachine, namelijk een matrixmethode uit-gaande van vante.voren bepaalde invloedsgetallen. Dew me-thoden zijn volledig ontwikkeld, de eerste in het laboratorium

voor Technische Mechanica [3] de laatste bij het instituut T.N.0.-IWECO [5]. Voor een nog steeds ernstige moeilijk-heid is men echter geplaitst bij het vormen van het model.

Ik zal dit aan de hand van enige voorbeelden toelichten. Daar-bij zal bovendien blijken, dat het zeer de vraag is of speciaal bij de hogere trillingsvormen het beschreven model adequaat

is.

Buigstijfheid

Ik deed in het voorafgaande voorkomen, aLsof het bepalen

van de buigstijfheid uitsluitend neerkwam op het bepalen van

traagheidsmomenten van een groot aanta1

scheepsdoorsne-den. Maar het is wel duidelijk dat de veronderstelling dat de

buigspanning lineair verdeeld is (volgens Mz11) lang niet altijd

opgaat. Een eerste verbetering, zij het dat het nog altijd een

ruwe werkwijze is, wordt verlcregen door steeds na te gaan of het voor sommige gedeelten van een doorsnede niet evident is dat zij moeten worden weggelaten bij de bepaling van het traagheidsmoment. Een paar voorbeelden mogen dit

verdui-delijken.

Fig. 3 toont een schematisch aangegeven scheepsgedeelte. Rechts een gedeelte met ruimen, waarvan tevens het boven-aanzicht met de luiken is weergegeven en links een gedeelte van de brug. Van beide gedeelten is ook een doorsnede

gete-kend. Van de brag zijn het boven het hoofddek (A-dek)

ge-legen B-dek en het daarboven gege-legen dek, het C-delc,

aange-geven. Via de huid zullen wel buigspanningen in het B-dek

worden ingeleid. De weg naar het C-dek is echter via de door

vele deuren en ramen verzwakte verticale wand, of via de

frontplaat van de brag. De buigspanningen in het C-dek zul-len derhalve zeer klein zljn. lk zie nog af van de complicatie

door de aanwezigheid van de motorschacht. 1k zou bier

ge-neigd zijn, alles wat zich boven het B-dek bevindt, niet mede te rekenen. De lengte van de brag speelt bier echter ook een rol.

Een ander voorbeeld ii het gearceerde deel van het hoofd-dek dat zich bevindt voor en achter het luik..Het weglaten van

Cdek

Bdek

Adek

(hoofdckek)

Fig. 3. Schematisch aangegeven scheepsgedeelte.

dit gearceerde deel is een ruwe wijze van in rekening brengen van de zogenaamde insteekdiepte van een open U-ligger (dat

is de, doorsnede van het schip ter plaatse van het luik) in een gesloten doosligger. Het is duidelijk dat de buigspanning niet direct voor en na het luik over de voile breedte van het

hoofd-dek verdeeld is volgens cr MO. Het zou aan te bevelen zijn,

eens berekeningen uit te voeren, die leiden lamnen tot

ver-antwoorde vuistregels in dit verband.

Waar zich twee luilchoofden naast elkaar bevinden is er

een d.00rlopende middenbalk. Dat is veelal een zware

koker-ligger en die is alleen daar, waar het hoofddek vol' is,

ver-bonden met de huid. Het kan zich voordoen, bijv. bij een

ho-gere trillingsvorm (3-knoops, 4-Icnoops), dat de bovenrand

van! de huid afvvisselend positieve en negatieve rek vertoont.

Omdat de korte stukjes hoofddek gemakkelijk kunnen af-schuiven, zal de middenbalk deze afwisselend positieve en negatieve relc niet volgen. Dit heeft de eigena,ardige

con-sequentie, dat de rniddenbalk bij de 2-knoops trilling wel en bij de hogere trillingen niet meegenomen moet worden.

Der-Fig. 4. Verloop van de buigspanning, rekening houdend met 'shear lag'.

halve moet by de 2-knoops trilling met een ander traagheids-moment worden gerekend dan bri de 3- en 4-Icnoops trilling. Dit effect dat de middenbalk achterblifft bij de hind door-dat het dek afgeschoven wordt is een verschijnsel, bekend on-der de naam 'shear lag'. Het ligt nu voor de hand, eens na te gaan of zich een soortgelijk verschijnsel voordoet bij de dub-bele bodem. Vervangt men gemakshalve de -bodem door een

overal even dildce plaat dan leert een berelcening aan een

plaatstrip die langs de ranaen door wisselende schuifkrachten is belast, dat de vervormingen vanaf de rand naar het midden afnemen en wel des te sneller naarmate de golflengte kleiner

is 2). Bij de 4-knoops trilling waat de halve golflengte

an-derhalf a tweemaal de breedte van het schip is, vindt men op deze wijze dat slechts 60% van de bodemdoorsnede effectief in rekening mag worden gebracht, d.w.z. men kan de bodem-plaat vervangen door een bodem-plaat waarvan de breedte 60% be-draagt van de werkelijke, maar wa,arin de buigspanning dan wel verondersteld kan worden te zijn als volgens de elemen-take ballcentheorie. Men spreekt van de meedragende breedte.

Het verloop van de buigspanning is geschetst in fig. 4.

Het effect is zelfs nog groter als men rekening houdt met het feit, dat de bodem in het midden zwaarder is uitgevoerd

(kielplaat en middenzaathout).

Afschuifstufheid

U ziet dus dat in het algemeen ten gevolge van

schuifkrach-ten de buigspanningen niet lineair verdeeld zijn, zoals zou volgen nit de hypothese van Bernoulli. Indien hier wel van

uitgegaan wordt (eventueel na weglating van enige delen der doorsnede) dan volgt nit een bekende evenwichtsbeschouwing

het verloop van de schuifspanningen ten gevolge van een

dvvarskracht D,

DS

T =.

_bI

Hierbij is aangenomen, dat de schuifspanningen r

gelijk-matig over de plaatclikte b zijn verdeeld. S is het statisch mo-ment van eon bepaald deel van de doorsnede, waarvan de be-paling bij gesloten dunwandige doorsneden wel eens enig

re-kenwerk kost, en I is het traagheidsmoment van de gehele

doorsnede. Eon ballcelement ter lengte dx zij belast door eon

dwarskracht, ten gevolge waarvan er vervorming door af-sehuiving plaatsheeft. Stel de (gemiddelde!) verticale

ver-plaatsing df gelijk aan

,

D ,

dj =

ux,

P

dan kan /3 warden opgevat als de afschuifstijfheid.

D verricht een hoeveelheid arbeid, gelijk aan het halve pro-dukt van kracht en weg, iDdr

De in het ballcelement opgehoopte vormveranderingsarbeid is

fT2

-fd-- dFdx.

Hierin is dFeen oppervlakte-element van de doorsnede, de integraal strekt zich uit over de gehele doorsnede, G is de glij-dingsmodulus en r is de schuifspanning ten gevolge van D. Aangezien doze vormveranderingsarbeid gelijk is aan de door D verrichtd arbeid, geldt

f

D2

2/3 2G

Met behulp van deze gelijkheid kan )3 warden bepaald.

Uiteraard faalt deze methode wanneer het effect van

shear lag in rekening gebracht wordt. U zult nog zien hoe

hiervoor een oplossing ken warden gevonden.

Aantasting van het balkmodel

Met wat tot nu toe is uiteengezet, is het vroegere balkmodel

aangetast, en wel in zoverre, dat voor de verschillende tril-lingsvormen, de 2-, de 3-, de 4-knoops trilling, telkens

uit-gegaan moet warden van eon ander traagheidsmoment en eon andere afschuifstijfheici, waarbij ik op dit moment nog in het

midden laat hoe die afschuifstijfheid moet worden bepaald

als men rekening houdt met shear lag. Dit heeft eigenaardige

consequenties. Denkt U rnaar eons aan de iteratiemethode.

Wanneer men bijvoorbeeld de 4-knoops trilling wil berekenen clan gaat men uit van eon aangenomen doorbuiging en moet

Fig. 5. Balkelement ter lengte dx, belast door eon

dwarskracht D.

Fig. 6. Balk met verend opgehangen massa's.

die clan reinigen van de (al of niet genormeerde) 2- en 3-knoops trillingsvorm. Maar dat zijn natuurlijk niet de

wer-kelijk optredende trillingsvormen, maar eon fictieve 2- en 3-lcnoops trilling, namelijk berekend met de stijfheidsverdeling die behoort bij de 4-knoops trilling.

Jets dergelijks doet zich trouwens ook voor bij de virtuele

massa van het meetrillende water. De grootte daarvan is

af-hankelijk van de trillingsvorm en bij de 4-knoops trilling moot men met een kleinere massa rekenen dan bij de 3-knoops tril-ling waarbij de virtuele massa op zijn beurt weer kleiner is dan bij de 2-knoops trilling.

Eon minstens zo belangrijke aantasting van het ballanodel als ten gevolge van shear lag is gelegen in het feit dat de

door-sneden van het schip niet onvervormbaar zijn. De

verschil-lende delen van eon scheepsdoorsnede zullen bewegingen ten opzichte van elkaar uitoefenen. En het meest interessant is de extra doorbuiging van de dubbele bodem ten opzichte van de

huid. Immers de dubbele bodem draagt eon zeer groat deel

van de massa: Eon deel van de lading on voor eon groat deel de virtuele massa van het meetrillende water.

De betekenis van deze verende ophanging van eon gedeelte van de massa aan de rest van het schip kan gemaldcelijk war-den geillustreerd met het volgende voorbeeld. Beschouw eon balk met eon massa m per lengte-eenheid on daaraan verend opgehangen massa's ter grootte m' per lengte-eenheid (fig. 6).

Het is duidelijk, dat als de veren oneindig stijf zijn, de

eigenfrequenties van het systeem gelijk zijn aan die van eon balk met massa m m' per lengte-eenheid. ICrijgen de veren

nu eon eindige stijfheid, dan wordt elke eigenfrequentie

ge-splitst in eon lagere en eon hogere. Bij de lagere trillen de balk en de massa's in fase, bij de hogere in tegenfase. De verlaging is bij grate golflengten klein maar wordt belangrijker naarmate de golfiengte ldeiner wordt (dus bij hogere trillingsgetallen).

Het feit dat de voor schepen berekende eigenfrequenties bij

de 2-1cnoops verticale trilling redelijk overeenstemmen met

gemeten waarden, terwijl de berekende hogere eigenfrequenties

steeds to groot zijn (de eigenfrequenties van de 4-knoops

tril-ling is meestal 10% a 15% te hoog) zou hierdoor verklaard kunnen warden. Ten einde de belangrijkheid van de lokale

bodemtrillingen vast to leggen, verdient het aanbeveling, bij eon aantal schepen desbetreffende verplaatsingsmetingen uit to voeren. Het schip zou dan geexciteerd moeten worden en er

zou met verplaatsingsopnemers moeten warden nagegaan, wat de verplaatsingen zijn van verschillende punten van de

dubbele bodem. Berekeningen hieraan zijn uiterst gecompli-ceerd, maar er wordt bij het N.S.P. in Wageningen thans aan-dacht aan besteed. Uit de zeer uitgebreide bibliografie gevoegd bij de lezing 'Shipboard Vibration Research in the U.S.A.'door E. F. Noonan (Proc. International Ship Structures Congress,

Delft, 20 24 juli 1964) blijkt dat ook in de Verenigde

Sta-ten enig onderzoek is gewijd aan doze materie.

Er zouden natuurlijk meer bezwaren aangevoerd kunnen warden tegen het balkmodel en tegen het model bestaande

uit balkelementen en elastische schamieren, maar de twee

ge-noemde bezwaren, samenhangend met het effect van shear

lag en het effect van lokale bodemtrillingen zijn mijns inziens

wel de belangrijkste. Voordat men zich nu verder gaat

ver-diepen in nog weer andere verfijningen, zoals het effect van de rotatietraagheid, al moot ik hier wel opmerken dat dit wel be-langrijk zou lamnen411wanneer het gaat om de rotatietraag-heid van eon hoge opbouw, zoals de brug of de masten, lijkt het van belang, to trachten eon aanvaardbaar model to vinden, waarmede de genoemde effecten lcunnen warden verrekend.

lic moon dan ook met beter te kunnen doen dan deze

Fig. 7. Het plaatmodel.

schouwing te besluiten met een suggestie tot zo'n model dat toeganlcelijk is voor normale berekeningsmethoden. Het

mo-del dat ik op het oog heb, is een verticale plaat met

rand-gordingen (zie fig. 7).

Deze plaat komt overeen met de verticale huid van het

schip: Het oppervlak van de randgorclingen F1 en F2 is gelijk

aan het oppervlak van de meedragende breedte van

respec-tievelijk het hoofcblek en de dubbele bodem. Die oppervlak-ken zijn dus verschillend voor verschillende trillingsvormen.

Fig. 7 toont tevens het zijaanzicht. De lengte komt overeen met de lengte van het scheepsgedeelte dat wordt gerepresen-teerd. Het voor- en het achterschip zullen op deze wijze waar-schijnlijk moeilijker zijn te schematiseren. Van deze scheeps-gedeelten is echter de vervormbaarheid minder belangrijk dan van het middengedeelte.

De plant wordt massaloos verondersteld. De gordingen

hebben massa's ml, resp. m2. Een gedeelte van de ondermassa kan Verend worden opgehangen en op die mauler kan het

ef-fect van de lokale bodemtrillingen in rekening worden ge-bracht. De veerconstanten zijn niet overal hetzelfde. Ter

plaatse van een waterdicht schot zullen de veren bijvoorbeeld oneindig stijf zijn.

De berekening is in principe als volgt te voeren : Men gaat uit van harrnonische bewegingen, dat vvil zeggen, langs de

bo-venrand en de onderrand treden verplaatsingen op die har-monisch met de tijd verlopen, en men onderwerpt de

oplos-sing van de differentiaalvergelijking voor de plant aan de nu

op te stellen randvookwaarden, waar onder meer de

traag-heidskrachten van de massa's mi en m2 een rol in spelen. Om-dat de plant niet overal even (la en even hoog is, zal dit

waar-schijnlijk met alders dan langs numerieke weg kunnen

ge-beuren.

Ten opzichte van het ballcmodel heeft dit plaatrnodel nog enige bijkomende voordelen:

I. Door de verdeling van massa onder en boven zegt het iets "neer over de plants waar de massa rich bevindt.

Er wordt niet a priori uitgegaan van een lineaire

buig-spanningsverdeling.

Zonder extra moeite is de rotatietraagheid in rekening te

brengen.

Speciaal voor de hogere trillingsvormen mag verwacht

wor-den, dat dit model het echte schip beter besclutft dan het

balkmodel.

Literstuur

TODD, F. H., Ship Hull Vibration, Edward Arnold Ltd., Loidon

(1961).

PROHASKA, C. W., Bulletin de l'Association Technique

Mari-time et Aeronautique, 46 (1947), 171-215.

Kocu, J.J., Enige toepassingen van de leer der eigenfuncties op

vraagstukken uit de Toegepaste Mechanica, dissertatie Delft

(1929).

BrezENo,C.B. und R. GRAMMEL, Technische Dynamik, 2.

Auf-lage, ICap. HI, 19. Springer Verlag, Berlin/Gottingen/Heidelberg

(1953).

DE VRIFS, J., Numerical calculation of vertical hull vibrations of ships by `Discretizing' the vibration system, Studiecentrum

T.N.O. voor Scheepsbouw en Navigatie, Rapport no. 58 S (1964).

Fig. Al. De langs zijn randen belaste pleat.

Appendix

Het effect van shear lag in de dubbele bodem is aan te

tonen

aan de hand van het geidealiseerde geval clat de bodem een

ho-mogene vlalcke plant is. Langs de randen zij een

cosinusvor-mig verlopende verplaatsing voorgeschreven. Ann de in fig. Al

getekende plant (clikte 6, elasticiteitsmodulus E, constante van

Poisson v) moeten dienovereenkomstig de volgende

rand-voorwaarden worden opgelegd langs boven- en onderrand.

(A11

1.thlry=.0,

=1/ CO3 CC ./.1

Hierin is u de verplaatsingscomponent in x-richting a

wordt wel aangeduid als het golfgetal. De halve golflengte van het vervormingspatroon, overeenkomend met de afstand tus-sen de knopen van de trillingsvorm van het schip, is dan

= itc 1A21

Wanneer vervorming door schuifkrachten wordt verwaar-loosd, zal de normaalspanning cr. constant zijn over de breed-te van de plant. Het gedrag is dan breed-te vergelijken met dat van een stag. Bij de in fig. 2 getekende staaf is het oppervlak van de doorsnede gelijkgesteld aan dat van de halve plaatbreedte, zodat de belastendelcracht per lengte-eenheid, T, te vergelijken

is met de aan de plaatrand aangrijpende kracht per lengte-eenheid -ryx 5. Indien bij de in fig. Al getekende staaf een

verplaatsing in langsrichting U. OCOSCC.7

(A3)

F. dh

6

Fig. A2. De door langskrachten belaste staaf.

1.

h

is voorgeschreven, dan volgt uit een eenvoudige berekening de daarvoor vereiste kracht

E Cr a2tr h cos az _(A61

De normaalspanning in de doorsnecle is daarbij

-Eria sin az ₁₅₅₁

De randvoorwaarden (Al) leveren in de plaat de spannings-verdeling

all/ aX ..ihz h

Elia [2 cosh a h Or h sinh h co,h oir_sinl t ,

coshah

Friaa h sinh a h

[

asit_i_itLta

'r1 =- --Z--- s'" " ..h2 a h 'ash (21 - CO3/1

co]

Ofr

Eua

COSl

[a

alcosh h cash a h sinh a h sinh ay sinh czy

cosh2 ah coshah

Van de juistheid van daze oplossing overtuigt men zich door te verifieren dat in de eerste plaats aan de

evenwichts-vergelijkingen3)

=0,

Br,/ ory

0,

Or ay

is voldaan, en in de tweede plaats aan de

aansluitingsvoor-waarde3)

=.0 (A8)

Door in (A6) de waarden y =

±h

in te vullen, wordt

ge-von den

_{

0-,= o

crx = Et; a sin ax

De eerste randvoorwaarde (Al) is this bevredigd. Dat ook

aan de tweede randvoorwaarde is voldaan, is in te zien door te letten op de betrelcking

Ex=17= 7 ( it%-145.1 CA101

Kortheidshalve wordt de eerste formule (A6) geschreven ali

Ili=[-Elia sin a si g( y,ah (Alt)

0.25 \0.l5 ah=0,4n (46) 1Coth) (491

-h

-ooh o.sh h y

Fig. A3. De functie g, welke het verloop vana over de breedte van de pleat weergeeft, voor twee waarxden van het

golfgetal.

3) Zie bijv.S. TB10SHENKO,Theory of Elasticity, 2nd ed. formules

(19) en (24).

Het verloop van de functie g, weergegeven in fig. A3 geeft

can indruk van het verloop van az over de breedte van de

plant en wel voor twee waarden van het golfgetal ot. Uit daze

figuur bfijkt dat bij de waarde cch = 0,4-rr, overeenkomend

met een halve golfiengte die gelijk is aan 1,25 maal de plaat-breedte 2h, de waarde van az in het midden tot op een vierde

is gereduceerci.

De waarde van rvz = r de randen

y = ± h

frdijkt te

zijn

rifty.±1.t [Eiics2hcos a.r] /fah) , rad. 111

tf,

m h 1 ; [colsh2ah + cosinhossh°' hhahi

Fig. A4. De functie f, welke de meedragende breedte geeft,

aLs functie van het golfgetal.

Fig. A4 geeft de grootte vanf (cch) als functie van het golf-getal. Noor eindige waarden van de halve golfiengte blijkt

f

kleiner dan 1 te zijn. Hieruit volgt dat de benodigde

schuif-lcracht tangs de rand van de plant kleiner is dan in het geval

van de staaf (verg. ook formule A4). Dit hangt uiteraard

sa-men met het afnesa-men van naar het midden van de plant.

De waarcle vanf (cch) iskleiner naarmateochgroter en dus de

halve golflengte kleiner is.

Ten einde can indruk van de belangrijkheid van dit effect te verkrijgen, neme men in gedachten can schip met een.

lengte-breedteverhouding 8 en een trillingsvorrn waarvan de halve

.golflengte ongeveer can vijfde is van de scheepslengte. Dit is het geval bij een 4-knoops trilling. De waarde vanethis

daar-bij ongeveer 0,3. Tr. Uit fig. A4 is af te lezen dat de benocligde

schuifkracht in dat geval 0,6 maal de schuifkracht is die

ge-vonden wordt als men uitgaat Van de veronderstelling dat

constant is. Dit wordt wel aldus uitgedrukt dat de

meedra-gende breedte van de plant bij deze golflengte 0,6 maal de

to-tale breedte is. Uit fig. A4 is derhalve deze meedragende

breedte aLs functie van het golfgetal af te lezen.

(412) OA 0.6 OA 0,2

-...\\

0 18 DE INGENIEUR / JRG. 78 / NR. 4 I 28 JANUAR! 1966 0.2 TC 0A it 0.6 It 0.8 It it _a