Vraagstukken over vectoranalyse en differentiaalmeetkunde

VRAAGSTUKKEN

OVER

VECTORANAL YSE

EN

o

IFFER ENTIAALMEETKUNDE

door

Dr. R.

J.

Wille

en

Dr. G. W. M. Kallenberg

Derde druk, 1965

DELFTSCHE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ N.V. - DELFT

Bibliotheek TU Delft p 0921 3656

1111111111111

C 160054

BLJ DE EERSTE DRUK

De bedoeling van het eerste deel van deze vraagstukken verzameling is oefenmateriaal te verschaffen aan de studenten van de Technische Hogeschool, die zich voorbereiden op het tentamen of examen in de vectoranalyse. In het tweede deel vindt men vraagstukken over de dü-ferentiaalmeetkunde, die. in het bijzonder bestemd zijn voor de twee-dejaarsstudenten in de geodesie.

De vraagstukken zijn zoveel mogelijk systematisch gerangschikt en sluiten aan bij de op de colleges behandelde onderwerpen. Daardoor is het mogelijk de stof te repeteren aan de hand van deze vraagstukken-verzameling.

Aan het eind van het boek vindt men de antwoorden van de opgaven en tevens een lijst van formules betreffende de vectoranalyse.

Delft, september 1957. De samenstellers: Dr R. J. Wille

Dr G. W. M. Kallenberg

BIJ DE TWEEDE DRUK

Behoudens enkele geringe wijzigingen en de opname van examenopgaven over vectoranalyse, komt deze druk overeen met de eerste.

No. a - 9 PRIJS FL 7.50

HANDLEIDINGEN Bil HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT ONDER REDACTIE VAN DE

VECTORANALYSE

HOOFDSTUK I

Algebra, Differentiaal- en Integraalrek~ming voor Vectoren Par. 1. Oefeningen met de Definities.

1. Geef de definitie van :

le. ~,~, [~,~, ~l, ~ x ~ (ook meetkundig) . 2e. grad ~, div ~, rot ~.

3e. V ~ , V • ~, V x ~, 6 ~, 6 ~.

2. Als v en w vectoren zijn die functies zijn van een parameter l. , bewiJs dan ~ dat

d d! dw dÀ (! . ~)

=

dÀ . "!! + v . dÀ d dv dw dÀ (! x "!!) = dÀ x "!! + ! x dÀ 3. Bewijs: le. a x b = - (~ x ~). 2e. ~ x (~ x ~) = (~. ~) ~ - (~. ~) ~. 3e. ~ • (~x~) = [~,~,~]. 4e. (a x b) . (c x d) = (b • d) (c • a) - (b. c) (d. a). 5e.

r~t (~-

x

~)-= (~.V);

-

~

di;

~

t

(~.V) ~ ~ ~ ~iv ~

• 6e. grad (~ . ~) = ~ x rot ~ + (~. V) ~ + ~ x rot ~ + (~. V ) ~ • 4. Bewijs:

le. grad i) 'I' = ~ grad 'I' + 'I' grad ~. 2e. div ~ ~

=

grad ~. a + ~ div ~. 3e. rot ~ ~ = grad ~ x ~ + ~ rot ~. 4e. diva x b = b • rot a - a . rot b.

5. Bewijs: 1 r le. grad

r

·

= -

r3 ot>' 2e. 64>(r)

=

ot>" + 2 - . _r 3e. div r = 3. 4e. rot r

=

O. 6. Bewijs:

le. div rot a

=

O. 2e. rot grad ot

=

Q.

6

-3e. rot rot ~

=

grad div.~ - 6 a. 4e. div (grad ot> x grad op)

=

O. 7. Bewij s voor ~ = const.:

le. V (~ • !!) = (~ • V ) b + a x rot b 2e. V (~ • !:. ) = ~.

3e. (~ . V ) r = a. 8. Bewijs:

le. grad (!:. -~) (!:. - !!)

=

2!: - ~ - !! (~, !! = const.). 2e. div (~ - ~) x (E - ~) = 0 (~, ~ = const.).

9. Bewijs:

le. a rot o[>!! + !!. rot ot> ~

=

0[> (~ • rot!! + !!. rot ~) . 2e. a rot!!

=

!! . rot ~ (als!! = ot>~).

10. Bewijs, dat grad «I> loodrecht staat op het oppervlak ot>

=

constant en de grootte gelijk is aan de normale afgeleide : : op dit opper-vlak.

Par. 2. Vraagstukken over de stellingen van Gauss en Stokes.

1. Formuleer:

1e. De stelling van Gauss. 2e. De stelling van Stokes.

I 2. 1e. Bewijs met behulp van de stelling van Gauss:

.r

grad ({) dV = / ~ ({) dS .

3.

V

s

f

rot ~ dV =

f

~ x ~ dS.

V

S

2e. Bewijs met behulp van de stelling van Stokes:

I

~ x grad ({) dS =

I (()

d!: .

S C

.r[(~xV) x~]dS = .r(d!:X~).

S C

Gegeven is het vectorveld v = x2i + y2zj + yzk.

Controleer de stelling van Gauss (divergëntiestëlling) voor dit veld en voor de kubus 0

<

x, y, z

<

R door zowel de volume-integraal als de oppervlakteintegraaÏ te berekenen.

Gegeven zijn de vectoriele functies v (x, y, z) en w (x, y, z), terwij I bovendien gegeven is dat rot - w = 0 in elk püiit.

1e. Als S een gesloten oppervlak is, en V het door Somsloten deel van de ruimte, bewijs dan dat

.r

~. rot ~ d V =

I

~. ~ x ~ dS.

V

S

Hierbij is ~ de buitenwaarts gerichte eenheidsnormaalvector. 2e. Als bovendien gegeven is dat v in elk punt van S loodrecht

op S staat, en als p = rot v de kentallen Pi (x, y, z) P2 (x, y, z) en p

3l

x, y,

z)

heeft, bewijs dan dat

(Pi(x,y,z)dV=O 0=1,2,3).

~

5.

6.

8

-Controleer de stelling van Stokes (rotatiestelling ) voor het vec-torveld v = xi + xj + xk en het halveboloppervlak x 2 +y 2 + Z2 = 4; z

>

0, door zowelde oppervlakteintegraal als de lijnintegraal langs de rand te berekenen.

Van een vectorveld v (x, y, z) is gegeven, dat overal (dus ook in de oorsprong) rot v

=

0 en v. r

=

0, waarbij r de

radius-vector is (dus r

=

xi-+ YJ + zk). -

-le. Uit welke

st~llin;

VOl; dat -

f

B v . d!: alleen afhangt van

A

-A en B, en niet van de integratieweg? En hoe volgt dan, dat v de gradient is van een scalaire functie?

- B

2e. Bereken

f

v. dr, als 0 de oorsprong is en B willekeurig. 0

-3e. Bewijs dat! = Q. in elk punt.

7. le. Als cp (x, y, z) =

~

ln (x2 + y2 + Z2), bewijs dan dat

f

t:.cpdV =

f

n. r - 2 - dS,

V S r

waarbij Veen gedeelte van de ruimte is, dat de oorsprong niet bevat, S het omsluitende o.p,pervlak, ~ de buitenwaartse eenheidsnormaal in een punt van het oppervlak, en r de

ra-diusvector.

-2e. Bewijs dat de formule ook geldig blijft als V de oorsprong wel bevat (sluit eerst een bolletje om de oorsprong uit, en laat de straal daarvan tot nul naderen) .

Par.3. Gemengde opgaven.

1. Vier vectoren a, b, c en ~ (alle van Q. verschillend) voldoen aan de betrekkilig -

-~ x {~ x (~ x ~)}

=

~ x {~ x (~x ~)}

Toon aan dat dan minstens aan een der volgende voorwaarden voldaan moet zijn:

le. a en b evenwijdig; 2e.

c

en d evenwijdig;

~

2.

3.

le. Als rot ! = Q., bewijs dan dat grad I! I 2 = 2 (!. grad) !.

2e. Als r 2 = x2

+ y2 + Z2, bepaal dan alle functies f (r) waar-voor div grad f ( r )

= O.

Gegeven is het vectorveld v = a x r, waarbij a een constante vector is en r de radiusveëtor van de oorsprong naar P (x, y, z ) . Verder beschouwen we het stuk oppervlak van de cylindermantel x2 + y2

= c

2

, gelegen in het eerste octant tussen de vlakken

z

=

0 en z

=

c. Controleer de stelling van 8tokes voor dit vec-torveld en dit stuk oppervlak, door zowel de oppervlakteintegraal als de lijnintegraal langs de rand te berekenen.

4. De scalaire functie f (x, y, z) heeft continue tweede partiele afge-leiden in een gebied G. Het gesloten oppervlak 8 en het daardoor omsloten volume V liggen geheel in G. De buitenwaartse een-heidsnormaalvector op 8 wordt met ~ aangeduid.

le. Bewijs, dat uit de stelling van Gauss volgt: ( fn. grad f dS

= (

(I

grad f

I

2 + f t. f) dV .

'8 - :V

2e. Als f in het gehele gebied G voldoet aan t. f = 0, en als bo-vendien f

=

0 in elk punt van 8, bewijs dan dat ook f

=

0 in elk punt van V.

3e. Als f (x, y, z) en g (x, y, z) in het gehele gebied G voldoen aan t. f = IJ. g, en als bovendien f = g in elk punt van 8, be-wijs dan, dat ook f = g in elk punt van V.

5. le. Als ~ (x, y, z) een scalaire functie en ! (x, y, z) een vecto-riele functie is, bewijs dan dat

div (~!) = ! . grad ~+ ~div !.

2e. Als 8 een gesloten oppervlak is, en V h~t daardoor ingesloten volume, terwijl v in elk punt van 8 aan 8 raakt, bewijs dan (met behulp van het voorgaande) dat

V· ( !. grad div ! dV

S

O.

6. Het vectorveld ! (x, y, z) is gegeven door

!

=

{a 2

(x2

+ y 2 )

h.

+ {b 2 (y 2 + z 2 )}

i

+ {c 2 (z 2 + x2 ) } ~ •

Controleer de stelling van Gauss voor dit vectorveld en voor de kubus 0

S

x, y, z

S

R, door zowel de volumeintegraal als de

- - ~- - - ,....-..

10

-oppervlakteintegráal afzonderlijk te berekenen. 7. De vergelijking van vlak TT luidt in normaalvorm

ax + by + cz + d = O.

De gesloten, zichzelf niet doorsnijdende kromme C ligt geheel in TT. Bewijs dat de absolute waarde van de kringintegraal

( (bz - cy) dx + (cx - az) dy + (ay - bx) dz

·

c

gelijk is aan twee maal de oppervlakte van dat gedeelte van TT dat

door C omsloten wordt.

8. le. Als v (x, y, z) een vectoriele functie is, en f (x, y, z) een sCáläire functie, bewijs dan dat

rot (i!)

=

frot ! + grad f x !.

2e. De bewering dat rot (fv) = f rot v, is gelijkwaardig met de bewering dat v in elk punt loodrecht staat op het door dat punt gaande niveauvlak van f(x,y,z}. Bewijs dit.

9. le. Als v ( x, y, z) een vectoriele functie is, en c is een constan-te veëtor, bewijs dan dat

div (! x ~) = ~. rot !.

2e. Als S een gesloten oppervlak is, en V is het door Somsloten gedeelte van de ruimte, bewijs dan dat

r

~. rot! dV =

r

c. n x v dS.

'V

·s

Hierbij is n de buitenwaarts gerichte eenheidsnormaalvector; ~ en ! als-in het vorige onderdeel.

3e. Als bovendi~n gegeven is, dat! in elk punt van S loodrecht op S staat, en als!: = rot! = w

₁

.!

+ w

21.

+ wa~' bewijs dan dat

r

wi dV

=

0

·V (i

= 1,2,3).

Par.4. Stelling van Green.

1. Formuleer de stelling van Green.

3.

~ 2

=

r 2 (r is de afstand van ~en punt tot de oorsprong), terwij I

het gebied een bol om de ·oorsprong met straal Ris.

Bereken zowel de volume integraal als de oppervlakteintegraal. Neem voor de stelling van Green

~l

=

!

en

~

= ~,

waarbij

~

r 2

een harmonische functie is en r de afstand van een oppervlakte elementje tot een punt P is. Toon aan dat de oplossing van

l:l 4J

=

0 ge lijk is aan:

~(P)=-~ r~~(!) dS+~ r!~~dS.

41T g on r 41T gron

4. Voor een harmonische functie ~ geldt, dat op een boloppervlak om de oorsprong met straal I de waarde gelijk is aan 0, terwijl

: =

1 op dit boloppervlak. Bereken q, ( 0 ) •

Par.5. Veldlijnen.

1. Bepaal de veldlijnen van het veCtorveld :

!

=

a(y - z)

!

+ a(z - x)

i

+ a(x - y) ~.

2. ie. Een vectorveld ~ heeft constante grootte. Bewijs, dat

(~ • V ) ~ = - ~ x rot ~.

2e. Wat kan men van de veldlijnen zeggen, als bovendien rot a dezelfde richting heeft als ~?

3. Het vectorveld v kan geschreven worden als ! = p grad q, waar p en q scalaire-veldfuncties zijn.

Gevraagd wordt:

ie. te bewijzen dat v . rot v = 0;

2e. in het speciale geval waarin p = r n , q = z (r = lengte van de voerstraal uit de oorsprong) rot v te berekenen; 3e. aan te geven hoe de veldlijnen van rot! verlopen.

Par.6. Overgang op bolcoördinaten en cylindrische coördinaten.

1. le. Toon aan, dat grad q, een vector is loodrecht op het opper-vlak ~ = const. ter grootte o~, de richtingsafgeleide langs

on de normaal van dit oppervlak.

2.

12

-2e. Toon aan, dat de component van grad <IJ in de richting ~ ge-lijk is aan : ' de richtingsafgeleide langs s .

.

is

a . dS 1e. Toon aan, dat div ~ = lim - V

-v-a

2e. Toon aan, dat de component van rot ~ in de richting!!. gelijk

.

. .Ic

~.

dE.

lS aan: hm S ' S-o

waarbij C een enkelvoudig gesloten kromme is in een vlak loodrecht op n, 0 de oppervlakte door C ingesloten en C

overeenkomstig!!. doorlopen wordt.

3. Toon aan, dat voor het lijnelement in. bolcoBrdinaten geldt: ds z = drz + rZdg Z + rZsin z g dl/>z, waarbij r de straal, g de poolhoek en I/> de lengte voorstelt.

4. Toon aan, dat

~ 1 ~ 1

grad 4- = Clr ~ r + r

äg

~ g + r sin g

5. Zij ~

=

ar ~ r + a g ~ g + a I/> ~I/> •

Toon aan, dat

1e. div

~

=

rzs~g {Cl~

(ar rZsing) +

à~

(agr sin g) +

+

à~

(alb r) } .

2e. rot

~

=

r2S~g

{äÖ

(alb r sin g)

à~

(ag r)}

~r

+

1 {Cl à . . }

+ rs~g ol/> (ar) - or (alb rsmg) ~g +

1 { à à }

+ r

är

(ag r) - à g (ar) ~

lP •

6. Druk de componenten van een vector in bolco~rdinaten

ar' a g resp. a t/l _{uit in de componenten ax ' ay} , _{a z ·}

a= XZ i+ yz j_-f(~+y2)k.

- -f(x2 +y2) - -f(x2 +y2) -

-1e. Bepaal ar' a O' al/!'

2e. Bereken in bolcoBrdinaten diva. 3e. Bereken in bolcoBrdinaten rot a.

8. Gegeven het scalaire veld <p = x2 + y2 + Z2 .

Bereken in bolcoördinaten : 1e. grad <p

2e. ~ 4> •

9. Druk het lijnelement uit in cylindrische coördinaten r, 0 en z.

10. Druk de componenten van een vector in cylindrische coördinaten a , a_{r ..} M a uit in de componenten a , a , a . _{z x y z}

11. Toon aan, dat

1 grad.if.

=

ël4> e r + 1 O:P ël4>

e. 'If or _

r

00 ~ 0 + oZ ~z .

12. Toon aan, dat

. 1 0 Cl 0

1e. dlV

!!:

=

r {

or (arr) + 00 (aO) + oz (azr)}.

1 { 0 0

2e. rot

!!:

=

r

00 (az) -

äZ

(aOr) } ~ r +

+

~

{

o~

(aOr) -

o~

(ar) }

~z

.

13. Gegeven: al = 0, a

_o

=

r,

Bereken:

a

=

O.

Ie. rot a. 2e. diva.

14. Gegeven: ~ = x i + y

i

14

-Ie. Druk ~ in cylindrische co~rdinaten uit. 2e. Bereken div ~ in cylindrische co~rdinaten. 3e. Bereken rot ~ in cylindrische coBrdinaten. 15. Gegeven: 41 = 0 r, 0

<

0

<

fT ; r

>

O.

Toepas singen Par. 1. Mechanica.

1. Op een lichaam werkt een kracht F van de grootte 2 en een koppel

g

1 ! van de grootte 3. Kies de oörsprong op de werklijn van !

en het assenstelsel zo, dat de positieve x-as en F resp. de posi-tieve y-as en

g

dezelfde richtingen hebben. Vervang! en

g

door een schroeving.

1e. Bepaal de vectorvergelijking van de schroefas. 2e. Bereken de spoed.

3e. Controleer de resultaten aan de hand van een figuur. 2. Op een lichaam werkt een kracht ter grootte P langs een rechte

door het punt (0,0,1) evenwijdig aan de x-as. Een tweede kracht ter grootte 3 P werkt langs een rechte door het punt (1,0, 0) en heeft richtingscosinussen (0 ~

! )

, 5' 5 • Vervang de krachten door een schroeving.

1e. Bepaal de vectorvergelijking van de schroefas. 2e. Bereken de spoed.

3. Twee krachten ter grootte Presp. Q werken langs twee rechten waarvan de loodrechte afstand r is en die een hoek ginsluiten. Toon aan, dat de absolute waarde van de spoed gelijk is aan

PQr sin g

p2 _{+ Q2 +}

2PQ cos g

indien men de krachten vervangt door een schroeving.

4. Twee krachten ter grootte Presp. Q werken langs twee elkaar loodrecht kruisende rechten. Vervang de krachten door een schroeving. Toon aan, dat de verhouding van de afstanden van de schroefas tot de werklijnen der krachten gelijk is aan Q2 : p2 • 5. Een massapunt met massa m bevindt zich in een krachtveld gelijk

aan - k !:., waarbij k constant is.

1e. Toon aan, dat het veld rotatievrij is.

16

-6. Een massapunt met massa m bevindt zich in een krachtveld kr

- ;-, waarbij k constant is. r

le. Toon aan, dat het veld rotatievrij is.

2e. Bepaal de potenWHe energie, indien de potenWHe energie op afstand a van de oorsprong nul is.

7. Een lichaam roteert om de oorsprong en heeft een hoeksnelheid w. Toon aan, dat voor de snelheid van een punt geldt:

.

r

=

w x r 8. Een lichaam roteert om de oorsprong.

le. Gegeven is, dat de som G van de momenten van de krachten t.o.v. de oorsprong loodrecht staat op de hoeksnelheid ~ Toon aan, dat de kinetische energie constant is.

2e. Gegeven is, dat de som G van de momenten van de krachten t.o.v. de oorsprong loodrecht staat op de som h van de mo-menten van de impulsmomo-menten t.o.v. de oorsprong. Toon aan, dat de grootte van

!!

constant is.

9. Het assenstelsel Oxtytz' roteert met een hoeksnelheid w om 0 in het assenstelsel Oxyz. Toon aan, dat voor elke 'vector

a.

in Oxyz

(in Ox'y'z' met ~I aangeduid) geldt:

-i

=

i'

+ (IJ x a'

10. Een punt P beweegt in een plat vlak met constante hoeksnelheid wom O. Als de toename van de versnelling per tijdseenheid

vol-1 2

gens OP gericht is, bewijs dan, dat r

=

3"

r (IJ •

Par.2. Potentiaaltheorie.

1. Bepaal:

le. De gravitatiepotentiaal van een massapunt met massa m. 2e. De electrostatische potentiaal van een positieve puntlading + e. 3e. De magnetostatische potentiaal van een "vrije" noordpool van

de sterkte m.

4e. De snelheidspotentiaal van een vloeistof, die met een constan

2. Bereken de potentiaal van een homogeen met massa belegde cir-kelschijf x2

+ y2

=

a 2, Z

=

0, massadichtheid p, in een wille...; keurig punt (0,0, z) van de z-as.

3. Wat kan men van de veldlijnen zeggen, indien 1e. diva = o.

2e. rot

a

= o. 4. Toon aan, dat

1e. Een massapunt met massa m een bron van veldlijnen is van de sterkte - m .

2e. Een elektrische puntlading met lading + e een bron van veld-lijnen is van de sterkte + e .

5. Toon aan, dat voor een rotatievrij veld met potentiaal 4> de ver-gelijking van Poisson geldt:

6.p = - 4 fT p, waarbij p de ruimtelijke dichtheid van de verdeel-

-de bronnen voorstelt.

6. Toon aan, dat de potentiaal in een punt P van een dipool met mo-w. r

ment w gelijk is aan -

=-:::r ,

waarbij

!:

de vector is die van P

- r

naar de dipool gericht is.

7. Een (niet gesloten) oppervlak S is belegd met een normaal ge-richte dipoollaag met constante dichtheid T. Vanuit een punt P

kijkt men tegen de negatieve zijde van de dipoollaag aan. De rand van S wordt onder een ruimtehoek Q gezien.

1e. Bewijs dat de dipoollaag in P een potentiaal - T Q veroor-zaakt.

2e. Hoe groot is deze potentiaal, wanneer S een zijvlak van een kubus en P het middelpunt van de kubus is.

Par.3. Electrostatica.

1. Toon aan, dat de elektrische veldsterkte tengevolge van een bol om de oorsprong met straal R met constante ruimtelijke ladings-dichtheid p geplaatst in een medium met dielektrische constante 1e. buiten de bol gelijk is aan -34 fT R3 P r.

E r3

-binnen de bol gelijk is aan !3 fT E!. r . €

2. Leid de formule af:

18

-fDdS

=

Q,

s

-waarbij D de dielectrische verplaatsing voorstelt en Q de totale

lading billnen het oppervlak S .

3. Toon aan, dat de dielectrische verplaatsing nadert tot cr (cr =

op-pervlakte ladingsdichtheid ), indien men tot het oppervlak van een

geleider nadert.

4. Een in het luchtledig geplaatst homogeen geladen boloppervlak met straal a heeft een totale lading Q. De veldsterkte binnen de

bol is O. Waartoe nadert de grootte van de veldsterkte, indien

men van de buitenkant tot de bol nadert.

5. Toon aan, dat de potentiaal tengevolge van een in het luchtledig

geplaatste isolator met polarisatiedichtheid P gelijk blijft, indien

men de polarisatie vervangt door een ruimteÏading met dichtheid - div ~ _{en een oppervlaktelading met dichtheid P n ,} de normale

component van ~ op het oppervlak.

6. Een rechthoekig blok is homogeen gepolariseerd met polarisatie-dichtheid P evenwijdig aan een der ribben. Door welke ruimte-lading en oppervlakteruimte-lading kan men de polarisatie vervangen

zonder dat de veldsterkte verandert.

7. Bereken de elektrische veldsterkte in het middelpunt van een

ho-mogeen gepolariseerde bol met polarisatiedichtheid ~ .

8. Gegeven is de ladingsdichtheid p

=

E.

(r :; 1). De potentiaal op fT

het boloppervlak met middelpunt in de oorsprong en straal R

>

1

is

~,

waarbij Q de totale lading is.

le. Bepaal de functie van Green behorende bij de oorsprong voor

het gebied omsloten door het boloppervlak met straal R.

2e. Bereken de potentiaal in de oorsprong, indien de potentiaal-functie voldoet aan de vergelijking van Poisson.

Par.4. Hydrodynamica.

1. Wat verstaat men in de hydroqynamica onder

ät

oH en Dt DH ?

Hierin is H een willekeurige veldgrootheid. DH oH

Leid ai dat: Dt =

ar

+ (~.b.) H, wanneer u de stroomsnelheid is.

2. Leid ai de continuiteitsvergelijking der hydrodynamica:

5f

+ P div

~

=

4 11' P T.

waarin p de soortelijke massa van de·vloeistof of het gas is, u de stroomsnelheid en T de dichtheid der verdeelde bronnen.

3. Toon aan, dat de continuiteitsvergelijking voor een vloeistof met radHHe snelheid ter grootte u (r, t) luidt:

2e. Los de vergelijking op in het geval dat de vloeistof onsamen-drukbaar is en 4 11' P T

=

~.

HOOFDSTUK

m

Examenopgaven

I. 19 januari 1962.

1. a. Gegeven zijn drie willekeurige vectoren a, b en c.

Herleid de uitdrukking

-(~ + ~) . {(~ + ~) x (~ + ~) } tot een eenvoudiger gecI3.ante.

b. Bewijs, dat voor drie willekeurige vectoren ~, b en ~ geldt

(~x~) x~+ (~x~) x~+ (~x~) x~ =

Q..

c. Van een ruimtekromme r

=

!:(t), met r

=

(x,y,z),

is gegeven, dat

-d t2 = f (r)

!..

1

waarin r (!:. !:)II. Bewijs, dat dan

dr

!: x

dt

=

~,

waarin h een constante vector is.

2. Geef de formules voor

div (~ x !') en rot (~ x !'),

waarin v en w continu düferentieerbare vectorvelden zijn.

Neem v-= a en w

=

r , waarin a een constante vector is 'en

!. '"

(x-;-y,z). Herlei<fhet resultaat van de substitutie.

3. Formuleer het divergentietheorema van Gauss.

Bewijs met behulp hiervan de volgende stelling

/

(~

x !') d S '" / rot !' d V .

S

V

Hierin is ween continu differentieerbaar vectorveld, S een ge-sloten oppervlak en V het gebied binnen S.

(Geef richting en grootte van n). Neem in deze stelling w

=

a x r

-.r

(~. ~) ~ dS

=

~

/

dV,

S

v

indien a een constante vector is en r (x, y, z) . -I1. 4 september 1961.

1. a. Het volgende product

(~ x ~) x (~ x ~)

van vier willekeurige vectoren a, b, c en d kan geschreven worden zowel als lineaire combinatie-van

a.

en b als van

-

-c en d.

Bepaal in beide gevallen de co~ffici~nten. b. Bewij s, dat

(~x~) x (~x~) + (~x~) x (~x~) + (~x~) x (~x~)

= - 2 [~. (~ x ~)] ~.

2. Van het vectorveld

!

=

f(r)~

is gegeven, dat het overal differentieerbaar is, terwijl div. v = rm (m> 0).

Bepaal f ( r) en schrijf met behulp van de stelling van Gauss / rmdV

V

als een oppervlakte integraal. Hierin is ~

=

(x, y, z ) .

3. a. Bewijs met behulp van de stelling van Stokes de volgende inte-graalstelling voor het scalairveld cp :

fCP!ds = .r(~ xVcp)dS;

C S

hoe is de toevoeging van ~ aan ! ? b. Bewijs met behulp van deze stelling,

.r

[~x(!x~))ds C

waarin a een constante vector is.

dat

- a x

f

~ dS, S

22

-lIl. 14 juni 1961.

1. Gegeven zijn drie niet-coplanaire vectoren a, b en c. a. Bepaal drie vectoren al, bI en Cl, zOdanlg,-dat

al . a

=

bI . b

=

Cl ~ c-

=

1,-al . b

_-

_-

=

al .

_-

ë =

_-

_-

bI .

_-

a

=

bI . C

_-

=

_-

Cl . a

_-

=

_{- -}

Cl . b

=

o.

b. Zij V de inhoud van het parallelepipedum opgespannen op a, b

en c en V' de inhoud van het parallelepipedum opgespannen op

~I, -!?,I en ~I. Bewijs, dat VVI = 1.

c. Een vierde vector d kan geschreven worden als een lineaire combinatie van a, ben c. Bewijs, dat deze-lineaire combina-tie de volgende gedäante heeft :

~ = (~ • ~')~ + (~ • !?,')!?, + (~ • ~I)~.

2. Zij C een enkelvoudig gesloten kromme, die de rand vormt van een oppervlak S. De eenheidsvector langs de raaklijn aan C zij T, de eenheidsvector langs de normaal op S zij n . -a. Formuleer de stelling van Stokes (hoe is de toevoeging van n

un!?)

-b. Pas de stelling van Stokes toe op het vectorveld ~IP, waarin a een willekeurige constante vector is. Dit leidt tot een inte-graalstelling voor het scalairveld lP.

c. Als r

=

(x,y,z), bewijs dan dat n x r = ~n x'Vr2• d. Geef-met behulp van de onder b. gevonden stelling een

uit-drukking voor

-.r

(~ x !:.) dS S

in de vorm van een integrul langs C •

3. In het gebied 0 ~ r

<

a binnen een bol met straal a is een conti-nu differentieerbur vectorveld F gedefinieerd. Gegeven is, dat rot F == 0 en div F

=

-I-', wurin I-' een constante is.

a. Als r -= (x,y,i), bewijs dan dat rot r == 0 en div r = 3. Bepaal met behulp van deze resultaten-hefvectorveld F. b. Bewijs, dat het vectorveld afgeleid kan worden van een

sca-laire potentiaal lP, zodanig dat F = grad lP. Druk lP uit in F met behulp van-een lijnintegraal.

c. Bepaal met behulp van de gevonden lijnintegraal lP = lP ( r ) voor 0 ~ r ~ a, indien gegeven is dat lP ( a)

=

O. Welke waarde heeft de potentiaal in het middelpunt van de bol? Geef een schets van lP

=

lP ( r ) •

I

IV 24 mei 1961.

1. a. Als a, b en c drie willekeurige vectoren zijn, bewijs dan dat

~ x (~x ~)

"+

~ x (~ x ~) + ~ x (~ x ~)

=

Q;

, b. Als a, b, c en d vier willekeurige vectoren zijn, bewijs dan dat

(~ x-~) ~ (~ x ~") + (~ x ~) • (~ x ~) + ( ~ x ~). (~x ~) = 0

2. a. Als a een constante vector is en r = (x, y, z), bewijs dan V(~.~)=~;

b. Als ({) (x, y, z) en I/J (x, y, z) twee scalarvelden zijn, die twee-maal continu differentieerbaar zijn, bewijs dan, dat

V({) x VI/J =V x (({)VI/J).

Zij verder C een enkelvoudig gesloten ruimtekromme, die de rand vormt van een oppervlak S. Geef met behulp van de

stel-ling van Stokes een uitdrukking voor

.r

~. (V({) x VI/J)dS S

in de vorm van een integraal langs C. Hoe is de toevoeging van ~ aan de richting waarin C doorlopen wordt?

3. Van een continu vectorveld F, dat overal behalve in de punten r = a continue afgeleiden beZit, is gegeven dat V x F == Q en

V.F=IJ, O~r<a \l.F

1

waarin IJ een constante is en r

=

(x2 + y2 + Z2)2. Geef een

uitdrukking voor de scalaire potentiaal <1'( r) van F, indien ver-der gegeven is, dat lim <1'( r) = 0 en <1'( r) continu is.

r ~ '"

V 31 januari 1961.

1. a. Gegeven zijn drie niet-coplanaire vectoren a, b en c.

Een vierde vector ~ wordt geschreven als een Ïineaire

combi-natie van ~, b en c :

~ = À ~ + IJ~ + u~.

Schrijf de co~ffici~nten À, IJ en u als scalartripelproducten

I

i

I

'

24

-van de gegeven vectoren ~, ~, ~ en d. b. Bewij s, dat

(~x~) .{(~ x~) x (~x ~)}= [~, ~, ~]2,

waarin [a, ~, ~] het scalartripelproduct van de vectoren~, b

en cis.

2. Gegeven zijn twee vectorvelden u = ~ (x, y, z) en

!

=

!

(x, y, z )

Geef de formule voor V (u .

v).-Bewijs met behulp van deze üitdrukking, dat:

1

(!. V) ! = 2:V(!. !) - ! x (V x !).

3. Gegeven zijn twee vectorvelden v

=

v (x, y, z) en VI

=

w (x, y, z ),

terwijl overal rot w =

o.

-

-

-

-Als S een gesloten-oppërvlak is dat het gebied V in de ruimte begrenst, bewijs dan met behulp van de stelling van Gauss, dat

.r

'!!. rot ! d V =

.r

'!!. (~x!) d S

V S

Hierbij is !! de naar buitengerichte eenheidsnormaalvector. VI 20 januari 1961.

1. a. Gegeven zijn drie niet-coplanaire vectoren a, b en c.

Een vierde vector ~ wordt geschreven als eën ÏineaiÏe

combi-natie ~, ~ en c:

~=À~+I.L~+\)~.

Schrijf de co~ffici~nten À, I.L en \) als scalartripelproducten van de gegeven vectoren ~, ~, ~ en ~.

b. Als a + b + ~ = Q., bewijs dan, dat:

a x b

=

b x c

= c x

a

-

-

-

-

-

-en interpreteer het resultaat meetkundig.

2. Gegeven zijn twee vectorvelden u = u (x, y, z) en v

=

v (x, y, z).

Geef de formule voor V (u . v).- - -

-Bewijs met behulp van deze uitdrukking, dat: 1

3. Gegeven is, dat de functie lP = lP (x, y, z) aan de vergelijking van Laplace voldoet. Laat S een gesloten oppervlak zijn, dat het punt P (x , y , z ) omsluit.

p p p

a. Leidt met behulp van het theorema van Gauss een formule voor de potentiaal in P af, uitgedrukt in de waarden, die lP en zijn normale afgeleide op S aannemen.

(derde stelling van Green) .

b. Welke term in deze formule correspondeert met een enkelvou-dige poolbelegging en welke term met een dubbellaag. Welke zijn de dichtheden van deze beleggingen.

c. Pas de genoemde derde stelling van Green toe op een bol met middelpunt P en straal R en bewijs hiermee dat de waarde van lP in P gelijk is aan het gemiddelde van de waarden van lP op het boloppervlak.

4. Bewijs met behulp van het theorema van Gauss, dat: a.

.r

_{V lP d V =}

_.r

_{~ IPd S ,}

V S

b.

IV

x v dV

.r

nxvdS.

S VII september 1960.

1. a. Bewijs dat: V. (V lP x VI/»

=

0, waarbij lP en I/> willekeurige

differentieerbare functies zijn van x, y en z.

b. Beschrijf de bewegingen van een stoffelijk punt, die aan de onderstaande vectorvergelijking voldoen:

!:

x (~ x

i)

=

O.

Hierin is a een constante vector, r

=

{x ( t), y ( t), z ( t)} en

~ is de afgeleide naar de tijd t

Vall

!:.

2. Leid kort en zakelijk de noodzakelijke en voldoende voorwaarde ( n ) af, opdat een vectorveld

!

(u, v, w) een potentiaal lP bezit.

3. a. Formuleer de definitie van een dipool met behulp van twee enkelvoudige polen.

- - -

26

-het pWlt (x ,y ,z ) met sterkte J..L en as richting !!.

p p p

c. Wat is de waarde van de integraal:

f

~:

dS, voor een willekeurig enkelvoudig ge-S

sloten oppervlak S om de dipool? (u is de uitwendige een-heidsnormaal op het oppervlak S).

-VIn 16 juni 1960.

1. a. Bewijs de distributieve wet der vectorvermenigvuldiging voor het uitwendig product:

~x(~+~)=~x~+~x~.

b. Laat zien dat de 2 rechte lijnen r

=

a + ku en r

=

b + hv in de ruimte elkaar snijden, indien: - - - -

-2. ~ is een constante vector, bewijs dat:

V ( ~. !:)

=

~, V. (~ x !:)

=

0 en V x(~ x!:) = 2~.

3. Bewijs met behulp van het theorema van Gauss, dat:

a. IVqJdV = f!!qJdS,

V S

b. Iv x!dV

=

f!!X!dS.

V

S

IX 9 mei 1960.

1. Bewijs de volgende identiteiten

a) (~ x ~) x (~ x ~) • (~x ~) = [~, ~, ~] 2

b) V(~.~) = (~. V)~ + ~ x rot ~ + (~. V)~ + ~ x rot ~

N.B. Gegeven is ~ x (~x ~)

=

(~. ~)~

-

(~. ~)~

2. a. Noem de noodzakelijke en voldoende voorwaarden (n ), opdat

een vectorveld ~ (u, v, w) een potentiaal cp bezit.

b. Noem de additionele voorwaarde (n) opdat deze potentiaal

vol-doet aan de vergelijkmg van Laplace: I::. cp

=

o.

3. Gegeven is een dubbellaag (dipoollaag ) op een cirkelschijf met

straat R van constante sterkte IJ..

a. Bepaal de potentiaal en het veld in een punt P op de as van de cirkel met afstand z tot het middelpunt.

b. Laat zien, dat deze potentiaal en veldsterkte ook verkregen kunnen worden uit een wervelbelegging en bepaal de aard van deze wervelbelegging.

c. Laat in beide gevallen zien, dat de potentiaal een sprong

maakt als P langs de as bewegend het vlak van de cirkel pas-seert en bepaal de grootte van deze sprong.

~~~~~~~~~~--- ~~---- - -

--.---DEEL

11

DIFFERENTIAALMEETKUNDE

HOOFDSTUK

I

Ruimtekrommen

Par. 1. Algemene voorstelling; booglengte, raaklijn en osculatievlak.

Geef parametervoorstellingen voor de snijkromme van de oppervlak-ken: 1. _Xl

_-

2x₂

=

0 Xl + x2 + 3x3

=

6., 2. Xl

-

2x2 ₂ + 2 0 x₂ x₃ 1

=

O. 3. 2 X2 _{9 2 arctg x}2 _• Xl + 2 X3 _Xl 4. X2 + X2

-

_2x 1

=

0 X2 + X2 + X2

=

4. 1 2 1 2 3

Geef in elk van de volgende opgaven een tweetal oppervlakken, waar-van de gegeven kromme de snijkromme is •

5. Xl

=

t x₂ 2 t2 X

=

3 t

3 •

3

6. Xl

=

U _ u3 X₂ u2 _{X 3}

=

U + u3 •

7. _~

=

1 - cos 2u x₂ sin 2u X ₃ = 2 cos u. 8. Bereken qe booglengte van de kromme

Xl

=

6 t , x₂

=

3 e..[2 , x₃

=

2 t 3

tussen de oorsprong en het punt (6, 3..[2,2).

9. Bereken de booglengte van een omwenteling van de schroeflijn

X2 + X2 = 16 , X = 3 arc tg x_ . 2

1 2 3 Xl

10. Bereken de booglengte van het door de vlakken X_s 0 en x₃

=

..[2 afgesneden stuk van de kromme

u -u

11. Bewijs dat de x3-as in de oorsprong raakt aan de kromme Xl

=

u-sin· u, x₂

=

1 - cos u, x₃

=

2 u.

12. Bereken de hoeken, die de raaklijn in het punt (0,1,.0) aan de kromme

Xl

=

2 sin t , x₂

=

cos t X3

= -

>F3 sin 2 t getrokken, met de coördinaatassen maakt.

13. Bereken de hoek, waaronder de kromme 1

>F2 In v Xl = v, X₂ =

v'

x3

de rechte Xl + x₂ = 0, x₃ =

o

kruist.

14. Bepaal parametervoorstellingen van de dubbelpuntsraaklijnen in het punt (1, 0, 0) aan de kromme

X₂ = sin u cos u, x3 cos U getrokken.

15. Bepaal vergelijkingen voor de raaklijn in het punt (1,1, >F2) aan de kromme

X~ + x~ - 2xl = 0 , 16. Bepaal:

le. de parametervoorstelling van de kromme

Xl =

~

(cos t + t sin t), xa =

~

(sin t - t cos t), X s indien de booglengte als parameter gekozen wordt;

2e. de kentallen van de eenheidsvector langs de raaklijn in een willekeurig punt van de kromme.

17. Bepaal de vergelijking van het osculatievlak in het punt (1, 1,0 ) van de kromme

X 3 = >F2 In v.

18. Bepaal een parametervoorstelling van het osculatievlak aan de kromme

Xl = 1 + cos 2 t, _{X 2} = sin 2t , X

30

-in het snijpunt van de kromme met de xI! -as.

19. Waarom is Xl + X~ + X 3 "" 3 de vergelijking van het

osculatie-vlak in een willekeurig punt van de kromme

20. Gegeven is de kromme

1e. Bepaal de vergelijkingen van de osculatievlakken die door het 4

punt

(3"'

1, 0) gaan.

2~. Bewijs dat door een willekeurig punt van de ruimte drie os-culatievlakken aan de gegeven kromme gaan.

Par.2. Normalen, kromming en torsie.

1. Bewijs dat de normalenvlakken van de kromme

• 2 •

Xl

=

a sIn u, X

2

= a sm u cos u,

alle door de oorsprong gaan.

2. Gegeven is de kromme

x ₃

= a cos u

Xl

= e

U + e-u ,x₂

= e

U - e-u, XI!

= 2u.

1e. Bepaal in het punt (2,0,0) de vectorvergelijking van de hoofdnormaal.

2e. Bepaal de kromming x in dat punt.

3. Bepaal:

1e. kentallen van de hoofdnormaal in een willekeurig punt van de kromme

Xl

=

t + sin t, _{X 2} = cos t, 2e. de kromming in dat punt.

4. Bepaal in de oorsprong de vergelijkingen van het osculatievlak en de binormaal aan de kromme

Xl

= 2t,

_{X 2}

=

e -

2t, X 3

= t

3 +

2e.

5. Bepaal de kentallen van de eenheidsvector langs de bin or maal in

X 1

=

V, Xs = .[2 In v.

6. Bepaal de kromming x en de torsie T in een willekeurig punt van

de kromme

Xl

=

3 (cos t + t sin t), x

2

=

3 (sin t - t cos t), x s

2e.

7. Eveneens voor de kromme l+u

Xl = u, x

2 = - u - , X S =

8. Bewijs door berekening dat in een willekeurig punt van de krom-me

Xl = 3u - US, x 2 = 3u

2

, X S = 3u + US kromming en torsie gelijk zijn.

Par. 3. De formules van Frenet en de kromtecirkel. 1.11'} Leid uit

af:

VI _{_1} = _"h'v, _-2 V_IS = - _{TV_2 ,} v_₂ = v_s X ! l

2. Bereken met behulp van de formule Vi = - TV

_S - 2

de torsie in een willekeurig punt van de kromme

1

Xl = a (t-sint), x₂

=

a (l-cost), Xs

=

4acosït 3. Gegeven is de kromme C:

~ = ~ (s)

1e. Bewijs dat ~(s)+À(S}!1

een punt van de raaklijn voorstelt.

2e. Bewijs met behulp van de formules van Frenet dat, indien alle raaklijnen aan C door een vast punt gaan, C een rechte is.

32 -~=~(s).

le. Bewijs dat

~ (s) + À (s) ! 1 + IJ. (s) !z

een punt van het osculatievlak voorstelt.

2e. Bewijs met behulp van de formules van Frenet dat, indien alle osculatievlakken van C door een vast punt gaan, C een vlakke kromme is.

5. Bewijs dat een kromme vlak is, indien alle osculatievlakken even-wijdig zijn aan een vaste rechte.

6. Bij een gegeven kromme C:

~

=

~ (sj

bepaalt men een andere kromme Cl:

X=~(s)+ À(s)!z'

le. Bepaal À (s) als gegeven is, dat de hoofdnormalen van C

normalen van C 1 zijn.

2e. Als bovendien gegeven is, dat in elk punt van Cl het osculatie-vlak door het bijbehorende punt van C gaat, bewijs dan dat er

een lineair verband bestaat tussen de torsie en de kromming

van C.

7. Men kiest een punt van een kromme als oorsprong en de vectoren

!1' !z en !3 in dat punt als eenheidsvectoren van een coBrdina-tenstelsel. Bewijs dat nu voor de kromme geldt:

s

- '6

1 x s z 3 +

...

!

X SZ +

!

Xl S 3 + 2 6

...

...

1

'6

xT S 3 +

waarbij men voor x, Xl en T de in dat punt aangenomen waarden dient in te vullen.

voor het punt, behorende bij t

=

1.

9. Bewijs dat de meetkundige plaats van de kromtemiddelpunten van een cirkelschroeflijn weer een cirkelschroeflijn is.

10. Gegeven is de kromme C:

! = ! ( s ) .

Ie. Bewijs dat de kromme Cl: ~=!(S)+P!2

de meetkundige plaats is van de kromtemiddelpunten.

2e. Bewijs dat in corresponderende punten van C en Cl de raak-lijnen loodrecht op elkaar staan.

11. Gegeven is dat de kromme C:

! = ! ( s )

een constante kromming heeft. C 1 is de meetkundige plaats van

de kromtemiddelpunten.

Ie. Bewijs dat voor de booglengte Sl van Cl geldt: dSl

_ = pr

ds

2e. Bewijs dat Cl eveneens een constante kromming heeft. 3e. Bewijs dat C de meetkundige plaats van de

kromtemiddelpun-ten van Cl is.

I()

!

11 ~ en

!

3 zijn eenheidsvectoren respectievelijk langs raaklijn,

hoofdnormaal en binormaal;

een accent betekent (ook in de volgende opgaven): differentH~ren

34

-Par.4. Gemengde opgaven.

1. Bewijs dat voor een vlakke kromme y f (x) geldt:

x=

df 2 a/2 {1+ (-) }

dx

2. Bewijs dat de binormaal van een cirkelschroeflijn een constante

hoek maakt met de as van de rechte cirkel cylinder, waarop de schroeflijn ligt.

3. Bewijs:

Indien in elk punt van een kromme bij düferentiatie naar de boog-lengte geldt, dat

~II = À (s) ~I ,

dan is À (s)

=

0 en de kromme een rechte lijn.

4. Bewijs dat, indien alle raaklijnen aan een kromme evenwijdig

zijn aan een vaste rechte, deze kromme een rechte lijn is.

5. Bewijs dat, indien in elk punt

P

van een kromme de

hoofdnor-maal loodrecht staat op een vaste rechte, de raaklijn een vaste hoek met deze rechte maakt en de projectie van OP op deze rechte lineair van de booglengte afhangt.

6. Indien de kromme C e.en constante kromming heeft en Cl de

meetkundige plaats van de kromtemiddelpunten is, dan is TT 1

constant, waarbij Ten Tl de torsies zijn in corresponderende

punten van C en Cl. Bewijs dit.

Oppervlakken

Par. 1. Parametervoor ste lling, oppe rvlakkrommen en raakvlak.

Geef parametervoorstellingen van de volgende oppervlakken:

2. X2 + X2 - X =

o.

I 2 3 3.

4. Een rechte cirkelcylinder met R als straal en de Xl - as als as. 5. Een bol met 0 als middelpunt en R als straal.

6. Het oppervlak, beschreven bij wenteling van de kromme

X_s = 0, x₂

=

f (Xl)

om de x 2 -as.

7. Het oppervlak, beschreven door omhoogschroeven van de Xl - as

om de x3 -as.

Geef de vergelijking in Xl' X

2' Xs van de volgende oppervlakken: 8. Xl = U + v, x₂ = U - v, X_s = uv

9. Xl = u sin (X cos v, x

2 = u sin (X sin v, Xs = u cos (X ((X is constant) • 10. Xl

=

U - v, x₂

=

(u - V)2 , X =u+v. 3 11. Xl = r cos IJ, X 2 = r sin IJ, XS = h 4?

---12. Bewijs dat

Xl = cos 9 cos IJ, en

X₂ = cos 9 sin IJ , X

3

Xl

=

u sin v, _{X 2} = U cos v, X_s

.J

1 - u2

36 -hetzelfde oppervlak voorstellen. 13. Gegeven is het oppervlak

Xl = U - v, X_a = 1 - uv - u - - ' X_s = ...[2 In uv.

le. Bereken de lengte van de u - kromme tussen de punten, be-paald door u

=

1, v

=

1 en u

=

...[3, v

=

1.

2e. Geef de vectorvorm van de raaklijn aan de v - kromme in het punt, bepaald door u = 1, v = 1.

3e. Door de betrekking u = 2v wordt een kromme op het opper-vlak gegeven. Geef een parametervoorstelling van de raaklijn aan deze kromme, in het punt, dat bepaald is door u

=

2, v = 1.

14. Op het oppervlak

Xl = ua + v2

, xa = ua - va, X

s = uv

geeft men een kromme door de betrekkingen u 3t, v 4t. Bewijs dat dit een halfrechte is.

15. Bepaal de parametervoorstelling van het oppervlak

a a 4

Xl = U + v, xa

=

u - v , X_s

=

u v,

indien de krommenstelseis

u + v

=

constant, u :.. V

=

constant als parameterkrommen gekozen worden.

_ 16. le. Geef de vectorvoorstelling van het raakvlak in het punt (1,1,1) aan het oppervlak

2 2

Xl

=

u, xa

=

uv, X_s

=

uv .

2e. Bepaal de kentallen van de eenheidsvector langs de normaal in dat punt.

_ 17. le. Bepaal de vergelijking van het raakvlak in het punt (1,1,2) aan het oppervlak

2

X_s = Xl + _{Xl X 2 •}

2e. Bepaal de vergelijkingen van de normaal door dat punt.

) 18. Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak

..

X 3 _ 2x x 2 + x2 x 2 ₊ XII - 1

=

0 1 1 11 2

in net snijpunt met de x₂ - as.

" 19. Bepaal de richting van de raaklijn in het punt- (0,1,2) van de kromme

-Xl X - ln X = 0, X x₂ + X X - X X + 2 = O.

3 2 1 1 3 2 3

,,20. ie. Bepaal een parametervoórstelling voor het oppervlak, ge-vormd door de raaklijnen aan de kromme C:

~=~(s) •

2e. Bewijs dat de oppervlaktenormaal in een willekeurig punt P van dit oppervlak dezelfde richting heeft als de bin or maal in het punt van C, dat met P op dezelfde raaklijn ligt.

Par.2. De eerste fundamentaalvorm.

rt. ie. Bepaal de eerste fundamentaalvorm van het oppervlak x ₁ = sin u cos v, x _{_ 2} = sin u sin v, x ₃ = 2 cos U

2e. Bewijs dat de stelsels parameterkrommen elkaar loodrecht snijden.

~ 2. Bereken de sinus en de cosinus van de hoek, waaronder de stel-sels parameterkrommen elkaar op het oppervlak

Xl

=

U +

v, x

2

=

U -

v,

snijden.

x

= uv

3

--3. ie. Bepaal het lijnelement voor het oppervlak 2 2

XII = xr x2 •

2e. Onder welke hoek snijden de parameterkrommen elkaar in het punt (1, 1, 1) ? l 4. Op welke oppervlakken x 11 seIs Xl = constant en x 2 f (x , x ) vormen de krommenstel-t 2 5.

constant een orthogonaal stelsel? Op het oppervlak

Xl

=

U cos v, x₂

=

11 sin v, x 3

=

v bepaalt men een kromme door de betrekking

- - -

~ 38 ~

-v = In (u +

.J

U2 + 1) +

i.

TT le. Bepaal de richting van de raaklijn in het punt (0,0, 2)'

2e. Bepaal de lengte van de boog van de kromme, gelegen tussen de punten, behorende bij u = 0 en u = 2..[2.

6. Op een oppervlak met eerste fundamentaalvorm ds2 _{= u-}2 _du2 _{+ u}2 _dv2

>

bepaalt men een kromme door de formules

u = C \ v = t..[3.

Bepaal de booglengte van de kromme, gelegen tussen de punten behorende bij t = 1 en t = e.

_ ,, 7. Gegeven is een oppervlak met eerste fundamentaalvorm ds2 = du2 + G(u,v) dv2•

le. Bewijs dat twee krommen u = constant gelijke segmenten afsnijden van alle krommen v = constant.

2e. Door de betrekking v = cp (u) bepaalt men een kromme op het oppervlak. Hoe dient men cp (u) te kiezen, opdat het door twee krommen u = constant afgesneden segment zo klein mo-gelijk is?

8. Druk de cosinus van de hoek, waaronder de krommenstelseis u + v = constant en u - v = constant elkaar op het oppervlak

snijden, uit in de u- en v- waarde van het snijpunt.

9. Bepaal de hoek, waaronder de kromme u = v..[3 op het opper-vlak met eerste fundamentaalvorm

ds2 = v2 (du2 + dv2) de u-kromme snijdt.

10. le. Bewijs dat op het oppervlak Xl = U cos v, X

2 = u sin v, de krommen bepaald door du2

= (u2 + 1) dv2,

X

=

V

een orthogonaal net vormen.

2e! Bepaal op dit oppervlak de krommen die de v- krommen on-der een hoek van 450 snijden.

) 3e. Geef de eerste fundamentaalvorm bij gebruik van het onder Ie genoemde net als parameternet.

- 11. Bereken voor een oppervlak met eerste fundamentaalvorm

ds2

=

du2 + u2 dva

de grootte van het door de krommen u = 1, u = 2, v = 1, v

=

2

ingesloten oppervlak.

-z 12. Gegeven is een oppervlak met eerste fundamentaalvorm

ds2 = v2du2 + uv du dv + u2 dva •

Bepaal de grootte van het oppervlak, ingesloten door de krommen

u

=

1,

v

= 2,

u

=

v.

- 13. Gegeven is het oppervlak

Xl

=

u, xa

=

v, X_s

=

~

Bereken de grootte van- het deel van het oppervlak, waarvoor geldt:

1

>

u

>

0,

v

>

0,

(u -

1)2

>

v.

14. Bereken de grootte van het binnen de eerste ruimtehoek gelegen

deel van het oppervlak

:'

\j~l_VVV

X2 + X2 = (1 _ X )2

I 2 3 '

afgesneden door de vlakken Xs = 0 en Xl + X_a

=

1.

-

' -

-V-;:-... l

Par.3. Gemengde opgaven.

)

J

~otv~

1. Gegeven is het oppervlak o

Xl = a sin u cos v, x_a

=

b sin u sin v, x₃ :: c cos u.

Ie. Bewijs dat dit een ellipsoide is.

2e. Bepaal de meetkundige plaats van de punten, waar de para-meterkrommen orthogonaal zijn.

40

-3e. Bepaal de kentallen van de oppervlaktenormaal in een wille-keurig punt van het oppervlak.

2. Op een oppervlak met eerste fundamentaalvorm E du 2 + 2 F du dv + G dv2

ligt een stelsel krommen, bepaald door M (u, v) du + N (u, v) dv

=

0

Bewijs dat de orthogonale trajectorien bepaald worden door de differentiaalvergelijking

(EN - FM) du + (FN - GM) dv

=

o.

3. Bepaal in een plat vlak de orthogonale trajectorien van het stelsel cirkels

r :: À cos

e,

À is veranderlijk.

4. Bereken de oppervlakte van het gedeelte van de bol, dat gelegen is tussen de breedtecirkels

e

=

el

en

e "" e;a.

5. Gegeven is een oppervl~ met eerste fundamentaalvorm ds2

=

(u + v) (du2 + dv2) .

Geef de eerste fundamentaalvorm bij gebruik van het bissectrice-net als bissectrice-net van parameterkrommen.

6. Gegeven is het oppervlak

u

I

f.}a

2 -

e

dt, a waarbij dus

:s

= _

~

.J

a2 _ u2 is.

Ie. Bereken de oppervlakte van het gedeelte gelegen tussen

u .. Ot en ti "" f3. (f3

>

Ot) •

2e. Bepaal de bissectricekrommen.

3e. Bepaal de lengte van zo'n kromme, voor zover deze gelegen is tussen u ,.. Ot en u .. f3.

4e. Bepaal de eerste fundamentaalvorm bij gebruik van de bis-sectricekrommen als parameterkrommen.

7. Een loxodroom op een bpl snijdt de equator onder een hoek a en draait spiraalsgewijs om een pool.

Bereken de limtetlengte van deze kromme, gemeten vanaf het snijpunt met de equator.

8. Gegeven is het omwentelingsoppervlak

Xl = r cos ~, _{X 2} = r sin ~, X_s

=

er .

Als nieuwe parameterkrommen neemt men de krommen, die de meridianen onder een hoek van 600 snijden en de orthogonale trajectorien van deze krommen.

Bepaal de eerste fundamentaalvorm.

Par.4. De tweede fundamentaalvormj de geodeti-sche torsie.

1. Geef de tweede fundamentaalvorm voor een boloppervlak.

2. Geef de tweede fundamentaalvorm voor een omwentelingsopper-vlak.

3. Geef de tweede fundamentaalvorm voor het recht schroefopper-vlak,

Xl

=

r cos ~, _{X 2}

=

r sin CP, x s = h ~.

4. Geef de tweede fundamentaalvorm voor het oppervlak

x s

=

f (x l ' X_{2 ) ·}

5. Bereken de normale kromming langs de parameterkrommen in een willekeurig punt van de oppervlakken, genoemd in de opgaven

1, 2 en 3.

6. Bereken de normale kromming langs de bissectricekrommen in een willekeurig punt van het oppervlak, genoemd in opgave 3. 7. Bepaal de hoofdrichtingen, de hoofdkromtestralen en de totale

kromming in een willekeurig punt van het oppervlak

r

Xl = r cos

~,

X₂ = r sin 4!, X_s

= -

(! .J

1 -

e

dt '1 t

8. Gegeven is het oppervlak

1 (2 2 )

42

-le. Bereken de hoofdkromtestralen in het punt (a, 0,

i

a2 ) •

2e. Bepaal de vergelijking van de indicatrix van Dupin in de een-voudigste gedaante.

3e. Vergelijk de hoofdkromtestraal die behoort bij de richting van de breedtecirkel met de straal van deze cirkel.

9. le. Bepaal de hoofdkromtestralen in een willekeurig punt van het oppervlak

x₂ cosx₃ - x₁ sinx₃ = O.

2e. Bewijs dat de indicatrix van Dupin een orthogonale hyperbool is.

10. Bepaal de indicatrix van Dupin in een willekeurig punt van le. een bol;

2e. een omwentelingscylinder ; 3e. een recht schroefoppervlak .

11. Bepaal de kromtelijnen op een omwentelingsoppervlak.

12. Bepaal de kromtelijnen op de in opgave 10 genoemde oppervlak-ken.

13. Bewijs dat de geodetische torsie van de kromtelijnen gelijk aan nul is.

14. Bewijs dat de geodetische torsie van de bissectricekrommen-van het kromtelijnennet gelijk is aan

i

<x

2 - Xl) •

15. Bewijs dat de torsie van een willekeurige kromme op een bolop-pervlak gelijk is aan - : ' waarbij

e

de hoek is, die de hoofd-normaal van de kromme maakt met de oppervlaktehoofd-normaal. 16. Bewijs dat in eIk punt van een orthogonaal net op een oppervlak

de geodetische torsies van de twee krommen van het net tegen-gesteld gelijk zijn.

Par.5. Conforme afbeelding op een plat vlak.

1. Gegeven is een oppervlak met eerste fundamentaalvorm ds Z = (u + v) (du Z + dv2) .

ie. Bewijs dat u = xl' V = Xz een conforme afbeelding geeft van het oppervlak op een plat vlak, met daarin een recht-hoekig coördinatenstelsel (Xl' XZ).

2e. Bepaal de beeldkrommen van de bissectricekrommen van het parameternet.

2. Gegeven is een oppervlak met eerste fundamentaalvorm dsz _{= u-}z _duz ₊

UZ dvz •

ie. Schrijf dsz in de isometrische vorm.

2e. Geef een conforme afbeelding op een plat vlak. 3e. Van welke kromme op het oppervlak is de rechte

Xl + Xz = 1 het beeld?

3. Geef een conforme afbeelding van een recht schroefoppervlak op een plat vlak.

4. Toon aan, dat een loxodroom op een boloppervlak afgebeeld wordt ie. bij de mercatorprojectie

Xl :: q, , Xz x In tg

(~

+ !!)

2 4

op een rechte;

2e. bij de stereografische projectie r

=

2 R tg (; +

i),

cp

=

cp op een spiraal.

5. Gegeven is het oppervlak

. Xl :: U cos v, Xz = u sin v, X 3 = f (v) .

ie. Bepaal f (v) zodanig, dat het parameternet isometrisch is en schrijf het lijnelement in de isometrische vorm.

2e. Geef een conforme afbeelding van het oppervlak op een plat vlak, waarbij de parameterkrommen overgaan in een lijnen-waaier en een stelsel concentrische cirkels met de top van de

44 -waaier als middelpunt.

Par.6. Geodetische lijnen en geodetische kromming.

1. Wat zijn de geodetische lijnen in een plat vlak en op een

bolopper-vlak?

2. Bepaal de geodetische lijnen op de cylinder:

Xl

=

a cos v, x2

=

a sin v, X_s

=

u.

3. Geef een stelsel geodetische lijnen op een omwentelingsoppervlak.

4. 1e. Bewijs dat voor een willekeurige geodetische lijn op een

om-wentelingsoppervlak geldt:

dcll c ds

=

r2 '

2e. Leid hieruit met behulp van de eerste fundamentaalvorm af:

dr 1

Vr

2 - c

2

ds = ±

r

1 + fl2

3e. Leid hieruit voor een geodetische lijn op een

omwentelings-oppervlak af:

(1

vg+

fl2

ip=±c - 2 2 dr .

. r r - c

5. 1e. Bepaal de geodetische lijnen op het oppervlak

. 1 2

X 1 = U cos v, x 2 = u sm v, X 3

=

2

u

2e. Bewijs dat de geodetische lijn die in het punt (..[2, ..[2, 2)

een hoek van 300 _{met de u- kromme maakt, de kromme}

u

=

1 raakt.

6. 1e. Bereken voor een oppervlak met lijnelement

ds 2 = (u + V)2 (du2 + dv 2 )

de waarden van

du dv d2u d2v

ds ' ds ' ds 2 en ds2

2e. Bewijs dat de onder le. genoemde krommen geodetische lij-nen op het oppervlak zijn.

7. Bepaal de geodetische lijnen op het oppervlak. met lijnelement ds2 = u2 (du2 + dv2) .

8. Bewijs dat de breedtecirkels op een omwentelingsvlak. een con-stante geodetische kromming hebben.

9. Bewijs dat een kleine cirkel op een bol een confltante geodetische kromming heeft.

10. Op een omwentelingsoppervlak. bepaalt men een stelselloxodro-men, die de meridianen onder dezelfde hoek snijden. Bewijs met behulp van de stelling van Liouville dat deze loxodromen in hun snijpunten met een breedtecirkel dezelfde geodetische kromming hebben.

11. le. Bereken de geodetische kromming van de parameterkrommen op een oppervlak met eerste fundamentaalvorm :

du2 + dv2 ds2 =

(u + V)2

2e. Bereken de geodetische kromming van de krommen van het bissectricenet.

12. Gegeven is een oppervlak. met eerste fundamentaalvorm ds2

=

a (u,v) (du2 + dv2)

le. Bereken de geodetische kromming langs de parameterkrom-men.

2e. Bereken de geodetische kromming van de krommen, die de u- krommen onder een hoek van 300 snijden.

3e. Bewijs dat, indien langs elke u- kromme de geodetische kromming constant is, dit ook geldt langs elke v- kromme. 13. le. Bewijs: indien de geodetische lijnen door een vast punt en hun

orthogonale trajectorien als parameterkrommen gekozen worden, dan is voor het lijnelement te schrijven:

46

-ah TT

2e. Bereken hen · oU voor u = 0, v

2.

14. Op eEm oppervlak met lijnelement

ds2 = du2 + (u + V)2 dv2

trekt men een geodetische lijn C; de (veranderlijke) hoek, waaronder deze de u- krommen snijdt, noemen we a.

Bewijs dat langs C geldt: da= ± dv.

15. Bereken de totale kromming van het in de vorige opgave

genoem-de oppervlak. .

16. Bewijs: indien op een oppervlak twee stelsels geodetische lijnen

elkaar onder een constante hoek snijden, dan is de totale

krom-ming van het oppervlak gelijk aan nul.

17. 1e. Bereken de totale kromming van het oppervlak met

lijnele-. ment

ds2 = du2 + e2U dv2 •

2e. Bewijs dat bij voortgang langs een geodetische lijn in de richting van toenemende v, de hoek die deze met de u-kromme maakt, niet toeneemt.

18. Op een oppervlak met lijnelement

ds2

=

du2 + u2 dv2

wordt een "driehoek" ingesloten door de krommen

TT

v = 0, v = :{, u cos v = 1.

1e. Bewijs dat dit geodetische lijnen zijn.

2e. Bewijs niet behulp van de stelling van Gauss-Bonnet dat de

som van de hoeken van deze "driehoek" 1800 is.

19. 1e. Bereken op een oppervlak met lijnelement ds2 = du2 + e2U

dv2

de hoeken van de "vierhoek", ingesloten door de krommen

TT

v = 0, v =

2'

u = 1, u = 2.

20. Bewijs met behulp van de stelling van Gauss-Bonnet:

op een oppervlak met een negatieve totale kromming kunnen twee geodetische lijnen geen enkelvoudig samenhangend stuk uitsnij-den.

Par. 7. Gemengde opgaven.

1. Gegeven is het oppervlak

a b uv

Xl =

2"

(u + v), x₂

=

'2

(u - v), X_s

=

"2.

Ie. Waarom zijn de bissectricekrommen van de parameterkrom-men de kromtelijnen ?

2e. Bewijs dat de geodetische kromming van de parameterkrom-men nul is.

2. Bepaal de kromming, de geodetische kromming, de torsie en de geodetische torsie van een parallel op een omwentelingsvlak. 3. Ie. Bepaal het lijnelement van het oppervlak

Xl = U cos v, x₂ = u sin v, X_s = 4> (v).

2e. Welk stelsel parameterkrommen bestaat uit geodetische lij-nen? Is dat direct te zien?

3e. Bewijs dat de hoofdkrommingen in elk punt van teken ver-schillen.

4. Gegeven is een oppervlak met ds2

=

du2 + e2U dv2 •

Ie. Bepaal de totale kromming.

2e. Beeld het oppervlak conform af op een plat vlak.

3e. Wat zijn daarbij de beeldkrommen van de parameterkrom-men?

5. Gegeven is het oppervlak

u

Xl .: U COS v, x a

=

u sin v, xa

=

I

I

t

,J

I -

e

dt. Bepaal:

48 -ie. de kromtelijnen ;

2e. een isometrische lijnelement ;

3e. een conforme afbeelding op een plat vlak; 4e. een conforme afbeelding op een boloppervlak; 5e. een geodetisch lijnelement.

6. Gegeven is een oppervlak met

ds2 = (u + v) (du2 + dv2)

ie. Geef een conforme afbeelding op een plat vlak.

2e. Bepaal de geodetische kromming van de parameterkrommen en van hun bissectricekrommen.

7. Neem op een boloppervlak geodetische poolcoBrdinaten vanuit de "noordpool" .

-ie. Bepaal het lijnelement.

2e. Controleer de formules

(oh) 1 o2h

h (0, v) "" 0, oU u=o = 1, K = -

iï

ou2 ·

3e. Geef een conforme afbeelding van het oppervlak op een plat vlak.

4e. Bepaal de geodetische kromming van de loxodroom, die de

meridianen onder 600 snijdt.

8. ie. Bereken de geodetische kromming van de v- lijnen op een

oppervlak met lijnelement ds2

=

du2 + eU dv2 2e. Bewijs dat

1

x

=

2 e -:au, y

=

v

een conforme afbeelding geeft van dit oppervlak op een plat vlàk.

3e. Toon aan, dat daarbij de geodetische lijnen afgebeeld worden op cirkels. (Ga voor de berekening uit van de x, y - param

e-ters. )

Xl = U + V, _X2 = U - V, X· = UV.

3

le. Bepaal de eerste en tweede fundamentaalvorm.

2e. B~paal in de oorsprong de hoofdkromtestralen en de totale kromming.

3e. Bepaal de hoofdrichtingen in de oorsprong.

4e. Bepaal in de oorsprong de geodetische kromming van de pa-rameterkrommen.

5e. Bepaal de vergelijking van de orthogonale trajectorien van de u- krommen.

10. Op een boloppervlak met straal R kiest men de "geografische

breedte" g en de "geografische lengte" q. als parameters.

Op de bol liggen de punten A, B en C:

A (g = ~, cp = 0), B (g =

i,

cp = ~), C (g = ~, q.

=

0).

Gevraagd:

le. Bepaal het lijnelement.

2e. Bepaal het oppervlakte element en met behulp daarvan de grootte van het oppervlak van de "driehoek" ABC, ingesloten door de krommen

TT TT

g

=

{3' cp

=

'2

en q.

=

O.

3e. Bepaal de tweéde fundamentaalvorm. 4e. Bereken de totale kromming in A.

5e. Geef de definitie en een eigenschap van een geodetische lijn op een oppervlak.

6e. Bewijs meetkundig, met behulp van de definitie, dat de geode-tische kromming van de breedtecirkel door A gelijk is aan

1

-~.

7e. Controleer het verband tussen de totale kromming van een oppervlakdeel en de geodetische kromming langs de rand er van door de stelling van Gauss-Bonnet toe te passen op het onder 2e genoemde deel van het boloppervlak.

- 50 •.

Formules vectoranalyse Vectoralgebra.

1. ~ x (~ x ~) :: (~ . ~) ~ - (~ • ~) ~

2. (~x~). (~x~) :: (~. ~) (~ . ~) - (~ • ~) (~ . ~)

Roterend ass enste 15 e 1. 3.

ä:: ä

l + W x al

-

-

-

-4.

r

=

r'

+ w x r1

-

-

-

-Geaccentueerde grootheden t.o. v. roterend assenstelsel.

5. ~:: ~1 + ~ X

!:1

+ 2 w x jol + ~ X (~ X !:') V- operaties. 6. V. ( cP~ ) = cP V • ~ + ( V cP) • a 7. V x (cP~) :: cPV X ~ + (V cP) x ~ 8. V x (V x ~) :: V (V. ~) - ~~ 9. V. (~x~)

=

(V x ~) • ~ - (V x ~) • a 10. V x (~x~):: ~ (V. ~) - (V. ~)~ + (~.V) ~ - (~. V)~ 11. V (~. ~) :: (~. V) ~ + (~. V) ~ + ~ x (V x~) + ~ x (V x ~) V- operaties in orthogonale kromlijnige coördinaten.

1 ocP

12. V cP :: h- -.,. - ~ 1 + cycl.

1 "ql

1 0

13. V . ~ :: h h h {-.,. (al h2 ha) + cycl.}

1 2 a uql

2 1 { o (h2ha Oe) }

14. V cP:: h h h .,.- -h- ~-)+ cycl.

1 2 a oql 1 oql

1 à 0

15. V x ~ ::

iïh

{aq (aaha) - oq _{(a2h2 )}} ~l + cycl.

2 a 2 a

dQl' dQ2 en dQ3; ~l ~2 ~s zijn de plaatselijke eenheias-vectoren. BolcoBrdinaten r, 0, I/> • 16. dI2 = dr 2 + r 2' d02 + r 2 sin 2 0 dl/>~ cq, lMl 1

ow

17. V ~:: or ~ +

r

0

e

~O + r sin 0 ~~ ~I/>

18. V •

~

_{=r2 !in} 0 { :r (ar r2 sin O)} +

;0

(aO r sin 0) + +

:1/>

(al/> r)}

2 0241 2 ~ 1 0241 cotO ~ 1 02~

19. V ~ = ora +

r

or + r2 002 +

--ra

00 + ·r 2 sin20 0",2

20. V x

~

= r 2 ;in 0 { :0. (a r sin 0) -

:1/>

(ao r)}

~

+ + r s!n 0 {

:1/>

(~)

-

:r (al/> r sin O)}

~O

+

1 0 0

+

r {

ar

(aO r) - ~ (ar)} ~I/>

Cy linde r c oBrdina ten.

21. dI2

=

dz2 + r 2 d02 + dz2

èIP 1 èIP 0

22. V ~

=

or ~ +

r

00 ~O + oZ ~

1 0 0 0

23. V • ~::

r {

or (ar r) + 00 (ag) + ~ (az r)

2 02~ 1 ~ 1 024> 02~ 24 _. V ~=-+--+--+-_{or 2 r or r 2 ooa oZ2} 1 { 0 0 25. V x ~ =

r

00 az - oZ (aO r)} ~ +

o

0 + { oZ ar -

ar

az } ~O + 1 0 0 +

r {

or (aO r) - 00 ar} ~