Obliczanie pewnych całek niewymiernych metodą współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Obliczanie pewnych całek

niewymiernych metodą

współczynników

nieoznaczonych ...

Autorzy:

Tomasz Drwięga

2019

(1)

Obliczanie pewnych całek niewymiernych metodą współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Obliczanie pewnych całek niewymiernych metodą współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Autor: Tomasz Drwięga

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a

Do obliczenia całki stosujemy wzór

gdzie, jest danym wielomianem stopnia , a jest szukanym wielomianem stopnia o nieznanych współczynnikach, zaś jest również szukaną liczbą rzeczywistą.

Aby obliczyć wszystkie niewiadome (współczynniki), stosujemy metodę Lagrange'a według następującego algorytmu: 1. Zapisujemy wynik całki z niewiadomymi oraz traktując następnie zapis jako równanie.

2. Obliczamy stronami pochodną pamiętając o własności, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej. 3. Obie strony równania należy pomnożyć przez

4. Poprzez porównanie odpowiednich współczynników wielomianów występujących po obu stronach równania dostajemy układ równań na wszystkie szukane niewiadome współczynniki.

5. Na koniec obliczamy jeszcze całkę

∫

Wn(x)

dx

a +bx+cx2 √

∫

Wn(x)

dx =

(x)

+ α ∫

dx, a ≠ 0

a +bx+cx2 √

Q

n−1

a + bx + c

x

2

−

−−−−−−−−

−

√

1 a +bx+cx2 √

(x)

W

n

n

Q

n−1

(x)

n − 1

α

(x)

Q

n−1

α,

.

a + bx + c

x

2

−

−−−−−−−−

−

√

∫

dx

.

a +bx+cx2 √

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Stosując metodę współczynników nieoznaczonych Lagrange'a, obliczmy całkę

Zgodnie z twierdzeniem Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a możemy zapisać

Następnie licząc pochodną po obu stronach równania, pamiętając o własności, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej, mamy

Mnożąc obie strony równania przez i grupując wyrazy, dostajemy

skąd, po porównaniu odpowiednich współczynników, otrzymujemy układ równań

Zatem . Wracając do całki

i korzystając z podstawień Eulera wyliczamy

Stąd

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Stosując metodę współczynników nieoznaczonych Lagrange'a obliczmy całkę

Chcąc skorzystać z metody współczynników nieoznaczonych, musimy najpierw przekształcić naszą całkę do odpowiedniej postaci, w której można zastosować metodę Lagrange'a.

∫

x2+4x+1

dx

+2x+6 x2 √

∫

x2+4x+1

dx = (Ax + B)

+ α ∫

+2x+6 x2 √

√

−

x

−−−−−−−

2

+ 2x + 6

−

_√x2+2x+6dx

= (Ax + B ⋅

+ (Ax + B) ⋅

+

+4x+1 x2 +2x+6 x2 √

)

′

√

−

x

−−−−−−−

2

+ 2x + 6

−

(

√

−

x

−−−−−−−

2

+ 2x + 6

−

)

′ α +2x+6 x2 √

= A

+ (Ax + B)

+

+4x+1 x2 +2x+6 x2 √

√

−

x

−−−−−−−

2

+ 2x + 6

−

2_√x2x+22+2x+6 _√x2_+2x+6α

+ 2x + 6

x

2

−

−−−−−−−

−

√

+ 4x + 1 = A( + 2x + 6) + (Ax + B)(x + 1) + α

x

2

_x

2

+ 4x + 1 = 2A + (3A + B)x + 6A + B + α

x

2

_x

2

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

2A = 1

3A + B = 4

6A + B + α = 1.

A = , B = , α = −

1 2 52 92

I = ∫

x2+4x+1

dx = ( x + )

− ∫

+2x+6 x2 √ 21 52

√

−

x

−−−−−−−

2

+ 2x + 6

−

92 _√x2_+2x+6dx

∫

dx

= ln x + 1 +

+ C.

+2x+6 x2 √

∣∣

√

−

x

−−−−−−−

2

+ 2x + 6

−

∣∣

I =

x+5

⋅

− ln x + 1 +

+ C

2

√

−

x

−−−−−−−

2

+ 2x + 6

−

29

∣∣

√

−

x

−−−−−−−

2

+ 2x + 6

−

∣∣

∫ x

_√

−

− + 4x + 2

−−−−−−−−−

x

2

−

dx

I = ∫ x

_√

−

− + 4x + 2

−−−−−−−−−

x

2

−

dx = ∫

x(− +4x+2)x2

dx = ∫

dx

− +4x+2x2 √ − +4 +2xx 3 _x2 − +4x+2x2 √

Zatem

Różniczkując równanie stronami i pamiętając o własności, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej, otrzymujemy

i stąd

Następnie mnożąc równanie obustronnie przez i grupując wyrazy podobne, otrzymujemy

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach , dostajemy układ równań

Stąd

Wracając do całki mamy

Całkę, która nam pozostała, obliczamy korzystając na przykład z podstawień Eulera lub przekształcając ją do całki , wówczas

Zatem

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-16 01:13:28

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=7e50cb2c7caeb3fc6e7c0240c733f508

Autor: Tomasz Drwięga

∫

− +4 +2xx3 _x2

dx = (A + Bx + C) ⋅

+ α ∫

− +4x+2x2 √

x

2

√

−

− + 4x + 2

−−−−−−−−−

x

2

−

_√− +4x+2x2dx

= (A + Bx + C ⋅

+

− + 4 + 2x

x

3

_x

2

− + 4x + 2

x

2

−

−−−−−−−−−

−

√

x

2

)

′

√

−

− + 4x + 2

−−−−−−−−−

x

2

−

+ (A + Bx + C) ⋅

x

2

₍

_√

−

_{− + 4x + 2}

−−−−−−−−−

_x

2

−

₎

′

+

α

− + 4x + 2

x

2

−

−−−−−−−−−

−

√

= (2Ax + B) ⋅

+

− + 4 + 2x

x

3

_x

2

− + 4x + 2

x

2

−

−−−−−−−−−

−

√

− + 4x + 2

x

2

−

−−−−−−−−−

−

√

+ (A + Bx + C) ⋅

x

2

−2x + 4

+

.

2 − + 4x + 2

_√

−

−−−−−−−−−

x

2

−

α

− + 4x + 2

x

2

−

−−−−−−−−−

−

√

− + 4x + 2

x

2

−

−−−−−−−−−

−

√

− + 4 + 2x = (2Ax + B) ⋅ (− + 4x + 2) + (A + Bx + C) ⋅ (−x + 2) + α

x

3

_x

2

_x

2

_x

2

− + 4 + 2x = −3A + (10A − 2B) + (4A + 6B − C)x + 2B + 2C + α

x

3

_x

2

_x

3

_x

2

x

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

−3A = −1

10A − 2B = 4

4A + 6B − C = 2

2B + 2C + α = 0.

A = , B = − , C = − , α = 6.

1 3 13 83

I = ∫ x

_√

−

− + 4x + 2

−−−−−−−−−

x

2

−

dx = (

1

− x − ) ⋅

+ 6 ∫

.

3

x

2 13 83

√

−

− + 4x + 2

−−−−−−−−−

x

2

−

_{√− +4x+2x}2dx

∫

dt − a2 _t2 √

∫

dx

= ∫

= arcsin

+ C.

− +4x+2x2 √ _{√6−(x−2)}dx 2 x−2 6 √

I =

x2−x−8

⋅

+ 6 arcsin

+ C.

3

√

−

− + 4x + 2

−−−−−−−−−

x

2

−

x−2√6