O pewnym równaniu różniczkowym
Niniejsza praca dotyczy całek równania różniczkowego drugiego rzędu
( 1 ) x / + v y ' + a y = 0
v dla pewnych wartości stałej v oraz афО.
Bównanie (1) zostało rozwiązane w postaci zamkniętej dla wartości
^ = ^ + 1 /2 oraz v — —2a 1), gdzie n —1, 2, . . . Okażemy, że można je również rozwiązać w postaci zamkniętej w przypadku, gdy v = 2 ( a + l) i a— —l oraz gdy v = 3 12—n i а ф 0 (n= 1 ,2 ,...) . Bozumowanie nasze opiera się na następującej prostej uwadze, której dowód pozostawiamy czytel
nikowi:
Bównanie różniczkowe
(2) ooy"+ (2 — p ) у ' + ay = О przez podstawienie
(3) y^Wt/1" 1
sprowadza się do równania różniczkowego
(4) mi" Ą-pu'Ą-au — 0. •
I. Niech f?= 3 (2—?i i а ф 0 {n—1 ,2 ,...). Bównanie (1) ma wówczas postać
—■n^y' +ay = 0 (a+0),
czyh jest to równanie typu (2), gdzie / « = « + 1 / 2 . Stosując podsta
wienie (3)
(5) yr=wxn~l/2
л.
Cz a j k o w s k i i T . t i e t z (Toruń)(П х у ф I
4 Zob. [1], [2] i [3].
O pewnym równaniu różniczkowym
otrzymujemy równanie
2xu"-f- (2n -f 1 )w'4- 2au = 0 mające rozwiązania2)
sin |/an?, a x > 0.
Równanie ( !') ma więc dwie całki liniowo niezależne postaci (5).
II. Mech v=2(n-\-l) i a — — 1 (n = 1 ,2 ,...). Równanie (1) ma wów
czas postać
czyli jest to równanie typu (2), gdzie f i = —2a, a— —l. Stosując podsta
wienie (3) у=% х~{гп+1) otrzymujemy z (1") równanie
o znanych rozwiązaniach3), a tym samym rozwiązaliśmy równanie.róż
niczkowe (1) w przypadku v —2 { n + l ) i a — —1 ( n—1 ,2 ,...).
U N IW E R S Y T E T M IKOŁAJA K O P E R N IK A w TORUNIU
[1] A. R. F o r s y t h - J a c o b s t h a l , Differential-Gleichungen, Braunschweig 1912.
[2] J. L. B u r c h n a ll and T. W . C h a u n d y , A Note on the Hypergeometric and Bessel’s Equations, Quarterly Journal Oxford 1 (1930), str. 186-195.
[3] E. К а т к е , DifferenUalgleichungen, Lósungsmethoden und Lósnngen, Leip
zig 1943.
Я . Чай к о в с к и йи Т. Тиц (Торунь)
З А М Е Т К А О Г И П Е Р ГЕ О М Е ТР И Ч Е С К О М Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О М У Р А В Н Е Н И И
Работа касается дифференциального уравнения х у " + v y ' + a y = 0 (а ^ О ).
Подстановкой y —uxv~1 расширяется класс решений этого уравнения на случай о = 2(те-И ), v — 3 / 2 —n.
2) Zob. F o r s y t h - J a c o b s t h a l [1], str. 204.
s) Zob. B u r c h n a ll and C h a u n d y [2], str. 190, i K a m k e [3], str. 424-425.
( Г )
xy" + 2 (w -f 1) ' —- ?/ = 0,
xn — 2 nu— u — 0
Prace cytowane
РЕЗЮМЕ
164 ,T. ' Cz aj kows ki i T. Tietz
J. Czajko w sk i and T. Tietz (Toruń)
A N O TE ON T H E H Y P E R O E O M E T R IC A L D IF F E R E N T IA L E Q U A T IO N
S U M M A R Y
The paper concerns the differential equation x y " + v y ' -\-ay — 0 [аф0). B y the substitution of y = u x v~1 we extend the class of solutions of the above equation to the cases v — 2{n-\~l), v = 3/ 2 — n.
