Metody wyznaczania całek nieoznaczonych

Zestaw 8

Metody wyznaczania całek nieoznaczonych

Niech f :P→Ρ , gdzie P jest przedziałem. Mówimy, Ŝe F :P→Ρ jest funkcją pierwotną funkcji f , gdy F′= f . Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale P i oznaczamy

∫

( )

∫

Zachodzą wzory

( ) ( )

( ) ( ) ∫ ( )

∫

∫

( )

( )

af

∫

∫

Przykład 1. Obliczyć całki:

a)

∫

x x x

x² 2 5₂

3 6 5

Wykorzystując podane własności całek oraz C a

dx x x

a

a +

= +

∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

2

2 1

1 5 2 3

6 5 5

3 2 6 5

x C x x

x x x C

x x x

x + = − + − − +

+ −

− +

− ⁻ 5

ln 2 3 3 3

5 5 1

ln 2 2 3

3 6

5 ^{3 2}

1 2

3

b) dx

x x x

∫

Z postaci funkcji podcałkowej wynika, Ŝe jest ona określona dla x>0 . Wtedy mamy

4 7 3 2 1 4 2 1 3 1 2

2 4 1 3 2

2

3 2 4 + − − − −

+

= + + =

= ⋅ +

⋅ x x x x

x x x x x

x x

x ,

co daje C x x

x C dx x

x x x dx

x x

x  = + − + = − +









 +

+ =

⋅ ^{− − −}

∫

∫

3 3 2

4 7 3

1

2 3 2 4

1 3 4 2

3 4

3 3 2

c)

∫

ZauwaŜmy, Ŝe ^{x2 −x−20=}

(

)(

)

( )

∫

∫

Całkowanie przez podstawianie

Niech P,T będą przedziałami i niech funkcja g:T →P będzie róŜniczkowalna. JeŜeli funkcja f ma w P całkę nieoznaczoną, to funkcja f og⋅g′ ma w T całkę

nieoznaczoną oraz

( ) ( )

(

( )

)

^{( )}

g

f o

∫

∫

Przykład 2. Policzyć całki:

a)

∫

Przyjmijmy g

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

∫ ∫

∫

9 2 3

2 3 1 3

1 1 3 3 3 1 1 3

b)

∫

− dx x

x

2 6

( ) ( )

( )

(

)

dt t dx

x dx x

x

x = = + = − +

= −

−

∫ ∫

∫

2 1 1

2 1 6

2 2 1 6

2 2 1

2

c)

∫

x x

3 5

2

Przyjmijmy ^g

( )

( )

t t

f 1

= . Wtedy ^g′

( )

( ) ( )

5 3

3 2

= −

⋅ ′

x x x g x

f og

Stąd otrzymujemy

( )

∫

∫

∫

d)

∫

x x ln

Przyjmijmy ^g

( )

( )

( )

x x

g 1

′ = oraz

( ) ( )

x x x g x g

f ln

′ =

o ⋅ . Stąd

otrzymujemy

( )

C t tdt x dx

x = = + = +

∫

∫

e)

∫

Przyjmijmy ^g

( )

( )

t t

f =1 . Wtedy ^g′

( )

( ) ( )

1 2

2

= +

⋅ ′ _x ^x e x e g x

f og .

Stąd otrzymujemy

( ) ( )

∫ ∫

∫

e dx e

e

e x

x x x

x

1 2 2ln ln 1

2 1 1 2 1 1 2

2 2 1 1

2 ¹

Wzór na całkowanie przez części

Niech P będzie przedziałem i f,g:P→Ρ funkcjami róŜniczkowalnymi. JeŜeli gf ′ ma całkę nieoznaczoną, to gf′ ma całkę nieoznaczoną oraz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫

∫

Przykład 3. Policzyć całki:

a)

∫

Przyjmijmy ^f′

( )

( )

( )

( )

(

)

e C e e x dx e e x dx e

x⋅ ^x = ⋅ ^x − ^x = ⋅ ^x − ^x + = ^x − +

∫ ∫

b)

∫

Przyjmijmy f′

( )

( )

( )

( )

x x

g 1

′ = . Zatem

( )

∫

∫

Zadania do samodzielnego rozwiązywania Zadanie 1. W oparciu o własności całek obliczyć:

a)

_∫ (

)

∫ (

)

∫

b)

_∫ (

)

∫ (

)(

)

∫

c)

_∫ (

)(

)

∫ (

)

∫

1 2

d)

∫

(

)(

)

x x

∫

3 2

p)

_∫ (

)

x x² 1³

e)

_∫

(

)

k) dx

x

∫

3 2

5 3

f)

_∫

(

)

_∫

Zadanie 2. Stosując metodę podstawiania obliczyć całki:

a)

∫

(

)

( )

∫

x x

2 6

3

m)

∫

− dx x

x

2 9 b)

∫

(

)

∫

x 3 2

1 n)

∫

c)

∫

∫

− dx x x

5 2

3

o)

∫

d)

∫

∫

− dx x

x

2 2

p)

∫

e)

∫

x

∫

−

3 2

1

2 ^q)

∫

x e^x

2 1

f)

∫

∫

+ dx x

x

5 3

2

1

Zadanie 3. Obliczyć całkując przez części:

a)

∫

∫ (

)

∫

b)

_∫ (

)

_∫

_∫

Odpowiedzi Zadanie 1.

a) x⁴ −x³ +x² +C 4

1 g) x x x x x C

+ +

− +

− ^{4 3 2}

5

2 5

m) x² +x+C 2

1 b)

C x x

x + − +

− 7

3 2 8

5 _{8 3} h) x⁵ +x+C

5

2 n) ²

2 1x x− +C

c) x⁵ + x³ +x+C 3

1 5

1 i)

C x x

x

x+ ^{4 5} + ³ + ^{4 7} + 7

24 32 5

27 216

o) x x C

x− + +

−1 2ln

d) x⁴ −x³ +x² +C 4

1 j) x C

x − x₂ − ⁵ +

3 5

5 4 2

1 5

9 p)

C x x

x

x − + −ln +

2 3 4 3 6

2 4 6

e) x⁴ + x² +C 2

5 4

1 k) ³ x² + ³ x⁴ +C

4 15 2

9 f) x⁴ −6x² +C

l) ³ x⁸ − ⁶ x⁷ +C 7

6 8

3

Zadanie 2.

a)

(

)

6

1 g)

(

)

⋅

− ₅

2 3

1 10

1 m) x² −9+C

b)

(

)

16

1 h) 2x−3+C n) − ⋅e^−3x+1+C

3 1

c)

(

)

21

2 i) − 3−5x² +C

5

1 o) ⋅e^x2 +C

2 1

d)

(

)

3

1 j) x² −2+C _{p) − ⋅e}^−x2 _+C

2 1

e)

(

)

3

1 k) ³

(

)

8 3

q) −e^x +C

1

f) ln 1+x² +C _l) ⁵

(

)

12 5

Zadanie 3.

a)

(

)

(

)

₍

₎

9 1 ₃ b)

(

)

₍

₎

4 1 2

f) ^x

(

)

16 1 4