Pola kierunków, krzywe caªkowe 51
5 Pola kierunków, krzywe caªkowe
Rozwa»my równanie ró»niczkowe zwyczajne pierwszego rz¦du
(R1) x0 = f (t, x).
Kierunkiem równania ró»niczkowego zwyczajnego pierwszego rz¦du (R1) w punkcie (t, x) ∈ D(f) nazywamy prost¡ przechodz¡c¡ przez punkt (t, x), o wspóªczynniku kierunkowym równym f(t, x).
(Niekiedy kierunek równania (R1) w punkcie (t, x) de niuje si¦ jako od-cinek o ±rodku w (t, x) i wspóªczynniku kierunkowym równym f(t, x).)
Pole kierunków równania (R1) jest to przyporz¡dkowanie ka»demu punk-towi (t, x) ∈ D(f) kierunku równania (R1) w tym punkcie.
Krzyw¡ caªkow¡ równania (R1) nazywamy wykres rozwi¡zania tego rów-nania.
Z powy»szych de nicji ªatwo wida¢, »e wykres funkcji ró»niczkowalnej jest krzyw¡ caªkow¡ równania (R1) wtedy i tylko wtedy, gdy w ka»dym swym punkcie jest styczny do kierunku równania w tym punkcie.
Rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (R1)+(x(t0) = x0) polega na
zna-lezieniu krzywej caªkowej równania (R1) przechodz¡cej przez punkt (t0, x0).
5.1 Przykªad
Rozpatrzmy równanie ró»niczkowe
(5.1) x0 = xf (x),
gdzie o funkcji f : R → R klasy C1 zakªadamy, »e istnieje K > 0 takie, »e
f (x) > 0dla x ∈ [0, K), f(K) = 0 oraz f(x) < 0 dla x > K.
Równania tego typu opisuj¡ zmian¦ w czasie liczebno±ci populacji pew-nych organizmów »ywych: t jest czasem, x jest miar¡ g¦sto±ci populacji ga-tunku.
B¦dziemy rozwa»ali tylko rozwi¡zania przyjmuj¡ce warto±ci dodatnie, i b¦dzie nas interesowaªo tylko zachowanie si¦ rozwi¡za« dla t 0.
Oznaczmy przez ϕ: (α, β) → R nieprzedªu»alne rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (5.2) x0 = xf (x) x(0) = x0. Przypadek 0 < x0 < K.
52 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Po pierwsze, zauwa»amy, »e ϕ ro±nie na [0, β) dopóki przyjmuje warto±ci pomi¦dzy 0 a K (na pewno przyjmuje takie warto±ci bezpo±rednio na prawo od t0 = 0). Wyka»emy teraz, »e ϕ(t) ∈ (0, K) dla ka»dego t ∈ [0, β). Zaªó»my
nie wprost, »e zbiór { t ∈ [0, β) : ϕ(t) /∈ (0, K) } jest niepusty, i oznaczmy przez t1 kres dolny tego zbioru (oczywi±cie 0 < t1 < β). Z ci¡gªo±ci funkcji
ϕwynika, »e albo ϕ(t1) = 0, albo ϕ(t1) = K. Przypadek ϕ(t1) = 0 jest
wy-kluczony, gdy» ϕ(0) > 0 i ϕ jest rosn¡ca na [0, t1). Przypadek ϕ(t1) = K te»
jest wykluczony, gdy» funkcja ϕ byªaby wówczas rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego x0 = xf (x) x(t1) = K,
za± jedynym rozwi¡zaniem tego zagadnienia jest funkcja stale równa K. Wykazali±my zatem, »e ϕ jest rosn¡ca na [0, β) i przyjmuje tam warto±ci z (0, K). Z twierdzenia o przedªu»aniu rozwi¡za« (Tw. 3.4) wynika, »e β = ∞. Istnieje zatem granica A := limt→∞ϕ(t). Z poprzedniego akapitu wynika, »e
0 < A ¬ K. Chcemy wykaza¢, »e A = K. Zaªó»my nie wprost, »e A < K, i oznaczmy M := inf{ xf(x) : x ∈ [x0, A] }. Zachodzi M > 0. Poniewa» dla
ka»dego t 0 mamy x0 ¬ ϕ(t) < A, zatem ϕ0(t) M. Ale
ϕ(t) − x0 =
t
Z
0
ϕ0(s) ds M · t,
st¡d ϕ(t) → ∞ gdy t → ∞, sprzeczno±¢. Wykazali±my wi¦c, »e ϕ(t) ro±nie do K przy t → ∞.
Przypadek x0 > K.
Po pierwsze, zauwa»amy, »e ϕ maleje na [0, β) dopóki przyjmuje warto±ci wi¦ksze od K (na pewno przyjmuje takie warto±ci bezpo±rednio na prawo od t0 = 0). Wyka»emy teraz, »e ϕ(t) > K dla ka»dego t ∈ [0, β). Zaªó»my
nie wprost, »e zbiór { t ∈ [0, β) : ϕ(t) ¬ K } jest niepusty, i oznaczmy przez t1 kres dolny tego zbioru (oczywi±cie 0 < t1 < β). Z ci¡gªo±ci funkcji
ϕ wynika, »e ϕ(t1) = K. Lecz jest to wykluczone, gdy» funkcja ϕ byªaby
wówczas rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego
x0 = xf (x) x(t1) = K,
za± jedynym rozwi¡zaniem tego zagadnienia jest funkcja stale równa K. Wykazali±my zatem, »e ϕ jest malej¡ca na [0, β) i przyjmuje tam warto±ci z (K, ∞). Z twierdzenia o przedªu»aniu rozwi¡za« (Tw. 3.4) wynika, »e β =
Pola kierunków, krzywe caªkowe 53 ∞. Istnieje zatem granica A := limt→∞ϕ(t). Z poprzedniego akapitu wynika,
»e A K. Chcemy wykaza¢, »e A = K. Zaªó»my nie wprost, »e A > K, i oznaczmy M := sup{ xf(x) : x ∈ [A, x0] }. Zachodzi M < 0. Poniewa» dla
ka»dego t 0 mamy A < ϕ(t) ¬ x0, zatem ϕ0(t) ¬ M. Ale
ϕ(t) − x0 =
t
Z
0
ϕ0(s) ds ¬ M · t,
st¡d ϕ(t) → −∞ gdy t → ∞, sprzeczno±¢. Wykazali±my wi¦c, »e ϕ(t) maleje do K przy t → ∞.
54 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
